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中考数学培优(含解析)之位置与坐标

1、位置与坐标 聚焦考点温习理解1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系。其中,水平的数轴叫做 x 轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴,取向上为正方向;两轴的交点 O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意:x 轴和 y 轴上的点,不属于任何象限。2、点的坐标的概念点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“, ”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。平

2、面内点的坐标是有序实数对,当 ba时, (a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。3、各象限内点的坐标的特征来源:Zxxk.Com点 P(x,y)在第一象限 0,yx点 P(x,y)在第二象限 点 P(x,y)在第三象限 ,yx点 P(x,y)在第四象限 04、坐标轴上的点的特征点 P(x,y)在 x 轴上 y,x 为任意实数点 P(x,y)在 y 轴上 0,y 为任意实数点 P(x,y)既在 x 轴上,又在 y 轴上 x,y 同时为零,即点 P 坐标为(0,0)5、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上 x 与 y 相等点 P(x,y)在第二、四象限夹

3、角平分线上 x与 y 互为相反数6、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐 标相同。7、关于 x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征点 P 与点 p关于 x 轴对称 横坐标相等,纵坐标互为相反数点 P 与点 p关于 y 轴对称 纵坐标相等,横坐标互为相反数点 P 与点 p关于原点对称 横、纵坐标均互为相反数8、点到坐标轴及原点的距离(1)点 P(x,y)到 x 轴的距离等于 y(2)点 P(x,y)到 y 轴的距离等于 x(3)点 P(x,y)到原点的距离等于 2y9、点的平移点 P(x,y)沿 x 轴向右(或向

4、左)平移 m 个单位后对应点的坐标是(xm,y) ;点 P(x,y)沿y 轴向上(或向下)平移 n 个单位后对应点的坐标是(x,yn).名师点睛典例分类考点典例一、确定位置考向一:平面直角坐标系的有关概念典例 1:(2017南通)在平面直角坐标系中点 P(1, 2)关于 x 轴的对称点的坐标是( )A (1 ,2 ) B (1, 2) C (1,2 ) D (2 ,1)典例 2:(2017南充)如图,等边 OAB 的边长为 2,则点 B 的坐标为( )A(1 ,1) B( 3,1) C( 3, ) D(1, 3)考向二:函数的值及自变量取值典例 3:(2017无锡)函数 y 2x-中自变量 x

5、 的取值范围是( )Ax2 Bx2 Cx2 Dx2考向三:求特殊点的坐标、平移缩放变化点的坐标典例 4: (2018攀枝花)若点 A(a1,b2)在第二象限,则点 B(a,1b )在( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限典例 5:(2017西宁)在平面直角坐标系中,将点 A(1,2)向右平移 3 个单位长度得到点 B,则点 B 关于 x 轴的对称点 B的坐标为( )A ( 3,2) B (2,2 ) C (2 ,2) D (2 ,2 )考向四:函数图象的 应用典例 6:(2018攀枝花)如图 3,点 A 的坐标为(0 ,1),点 B 是 x 轴正半轴上的一动点,以AB 为边作 R

6、t ABC,使BAC90 ,ACB30设点 B 的横坐标为 x,点 C 的纵坐标为y,能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是( )考向五:坐标与面积问题典例 7:已知ABC,ACB=90,点 D(0,-3) ,M(4 ,-3)(1 )如图,若点 C 与点 O 重合,且 A(-3,a ) ,B(3 ,b) ,a+b-20=0,求ACB 的面积(2 )如图,若AOG=70,求CEF 的度数(3 )当C 在 X 轴与 DF 之间时,N 在线段 AC 上,连 NE,且NEC+CEF=180 度,求AOG 与NEF 的关系课时作业能力提升xyOACB图 3A B C DxyO xO1 1xO3y y

7、xOy3一、选择题1 ( 2017湘潭)函数 y 2x中,自变量 x 的取值范围是( )Ax 2 Bx2 Cx0 Dx22 ( 2018咸宁)甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行 2400米,先到终点的人原地休息已知甲先出发 4 分钟,在整个步行过程中,甲 、乙两人的距离 y(米)与甲出发的时间 t(分)之间的关系如图所示,下列结论: 甲步行的速度为 60 米/分; 乙走完全程用了 32 分钟; 乙用 16 分钟追上甲; 乙到达终点时,甲离终点还有 300 米其中正确的结论有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个3 ( 2018抚顺) 已知点 A 的的坐标为( 1,

8、3) ,点 B 的的坐标为(2,1 ) 将线段 AB 沿某一方向平移后点 A 的对应点的坐标为(2,1 ) 则点 B 的对应点的坐标为( )A .(5,3) B.(-1,-2) C (1、1) D.(0,-1)4 ( 2018贵港)若点 A(1m,1n)与点 B(3 ,2)关于 y 轴对称,则 m n 的值是( )A5 B3 C3 D15 ( 2018扬州)在平面直角坐标系的第二象限内有一点 M,点 M 到 x 轴的距离为 3,到 y轴的距离为 4,则点 M 的坐标是( )A (3 ,4 ) B (4,3) C (4 ,3) D (3,4)6 ( 2018东营)在平面直角坐标系中,若点 P(m

9、2, m1) 在第二象限,则 m 的取值范围是( )A m1 B m2 C1 m2 D m17 ( 2018孝感)如图,在中,B90 ,AB 3cm,BC6cm ,动点 P 从点 A 开始沿 AB向点以 B 以 1cm/s 的速度移动,动点 Q 从点 B 开始沿 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动.若P,Q 两点分别从 A,B 两点同时出发,P 点到达 B 点运动停止,则PBQ 的面积 S 随出发时间 t 的函数关系图象大致是( )二、填空题8 在 坐 标 平 面 内 P(-2019,-2020)到 y 轴的距离等于 来源:9 ( 2018长春)如图,在平面直角坐标系中,点 A、B 的

10、坐标分别为( 1,3) 、(n,3) 若直线 y2x 与线段 AB 有公共点,则 n 的值可以为 (写出一个即可)10 (2018咸宁)如图,将正方形 OEFG 放在平而直角坐标系中,O 是坐标原点,点 E 的坐标为(2,3) ,则点 F 的坐标为_三、解答题11已知点 P(3m9,m+1) ,试分别根据下列条件,求出点 P 的坐标(1 )点 P 在 y 轴上;(2 )点 P 在 x 轴上;ACBPQ(3 )点 P 的纵坐标比横坐标大 12;来源:Z.xx.k.Com(4 )点 P 在过点 A(2018, 8),且与 y 轴垂直的直线上求 AP 长12 在平面直角坐标系中,A( 0,20),B

11、 在原点,C(26,0 ),D(24,20), 动点 P 从 A 开始沿 AD 边向 D 以 1cm/s 的速度运动, 动点从点 C 开始沿 CB 以 3cm/s 的速度向 B 运动,P、Q 同时出发,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动, 设运动时间为 ts,问 t 为何值时:(1)四边形 PQCD 是平行四边形?并写出 P、Q 的坐标;(2)四边形形 PQCD 是等腰梯形?并写出 P、Q 的坐标.13 (2018黄石)如图,在 Rt PMN 中, P90, PM PN, MN6 cm,矩形 ABCD 中AB2 cm, BC10 cm,点 C 和点 M 重合,点 B、 C(M)、 N

12、在同一直线上,令 Rt PMN 不动,矩形 ABCD 沿 MN 所在直线以每秒 1cm 的速度向右移动,至点 C 与点 N 重合为止,设移动 x秒后,矩形 ABCD 与 PMN 重叠部分的面积为 y, 求 y 与 x 的的函数关系式并大致画出其函数图象 N(M)PDCBA14已知:平面直角坐标系中,已知 A(1,0) 、B(2,3) 、且 C 点是由 B 沿坐标轴向下平移 3 个单位后再向左平移一个单位得到(1 )求ABC 的面积是多少?(2 )若点 A、C 的位置不变,当点 P 在 y 轴上时,且 SACP =4SABC ,求点 P 的坐标?(3 )若点 B、 C 的位置不变,当点 Q 在

13、x 轴上时,且 SBCQ =4SABC ,求点 Q 的坐标?15 在平面直角坐标系 xOy 中,对于任意两点 P1(x 1,y1)与 P2(x 2,y 2)的“相对偏差距离” ,给出如下定义:若|x 1x 2|y 1y 2|,则点 P1(x 1,y1 )与点 P2(x 2,y 2)的“相对偏差距离”为|x 1x 2|; 若|x 1x 2|y 1y 2|,则 P1(x 1,y1)与点 P2(x 2,y 2)的“相对偏差距离”为|y 1y 2|;(1 )若 M(一 2018,2020) ,N(一 2017,2018) ,则 M,N 的相对偏差距离为_(2 )已知点 A(2017 ,0) ,B 为

14、y 轴上的动点,若点 A 与 B 的“相对偏差距离为 ”2018”,写出满足条件的 B 点的坐标直接写出点 A 与点 B 的“相对偏差距离 ”的最小值(3)已知 C 点坐标为 C(m,4m+2017) ,D(0 ,2020) ,求点 C 与 D 的“相对偏差距离”的最小值及相应的 C 点坐标16 ( 2018无锡)如图,平面直角坐标系中,已知点 B 的坐标为(6,4 )(1 )请用直尺(不带刻度)和圆规作一条直线 AC,它与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于点A 和点 C,且使 ABC=90,ABC 与AOC 的面积相等(作图不必写作法,但要保留作图痕迹)来源:Z24-t=3t t=6 P(6

15、,20) Q(8,0)故当 t=6 时,有 PD=QC,又 PDQC,则 PQCD 是平行四边形,综上 ,当 t=6 时,PQCD 是平行边形形时,此时 P(6,20) Q(8,0),(2)等腰梯形 即不平行的两边相等 PQ=CD 过 D 向 x 轴作垂线 DF 过 P 向 x 轴作垂线 PE , DFCPEQ,C F=QE=2, P 、Q 两点横坐标差为 2t-(26-3t)=2 t=7 P(7,20) Q(5,0)13 (2018黄石)如图,在 Rt PMN 中, P90, PM PN, MN6 cm,矩形 ABCD 中AB2 cm, BC10 cm,点 C 和点 M 重合,点 B、 C(

16、M)、 N 在同一直线上,令 Rt PMN 不动,矩形 ABCD 沿 MN 所在直线以每秒 1cm 的速度向右移动,至点 C 与点 N 重合为止,设移动 x秒后,矩形 ABCD 与 PMN 重叠部分的面积为 y, 求 y 与 x 的的函数关系式并大致画出其函数图象 N(M)PDCBA【分析】 先求出两种临界情形,即 D 在 PM 或 PN 上时,分别求得 t2 t4.,再分 0 t2时,2 t4 时,4 t6 情形分可求得函数关系式,来源:14已知:平面直角坐标系中,已知 A(1,0) 、B(2,3) 、且 C 点是由 B 沿坐标轴向下平移 3 个单位后再向左平移一个单位得到(1 )求ABC

17、的面积是多少?(2 )若点 A、C 的位置不变,当点 P 在 y 轴上时,且 SACP =4SABC ,求点 P 的坐标?(3 )若点 B、 C 的位置不变,当点 Q 在 x 轴上时,且 SBCQ =4SABC ,求点 Q 的坐标?【分析】利用平移规律和点的坐标值与线段值,利用面积转化为方程求解【解答】解:(1 )A(1,0) ,B(2,3 ) ,C(3,0) ,AC=1(3)=1+3=4,点B 到 AC 的距离为 3,ABC 的面积= 143=6;(2 ) S ACP =4SABC =24,以 AC 为底时,ACP 的高 OP24 24=12,点 P 在 y 轴正半轴时,P(0,12) ;点

18、 P 在 y 轴负半轴时,P(0,12) ;(3 ) S BCQ =4SABC ,=24,以 CQ 为底时,BCQ 的高为 3,底边 CQ=2423=16,点 Q 在 C 的左边时,Q (316 ,0 ) ,即 Q(19,0) ;点 Q 在 C 的右边时,Q (3+16,0) ,即 Q(13,0 )16 在平面直角坐标系 x Oy 中,对于任意两点 P1(x 1,y1)与 P2(x 2,y 2)的“相对偏差距离” ,给出如下定义:若|x 1x 2|y 1y 2|,则点 P1(x 1,y1 )与点 P2(x 2,y 2)的“相对偏差距离”为|x 1x 2|; 若|x 1x 2|y 1y 2|,则

19、 P1(x 1,y1)与点 P2(x 2,y 2)的“相对偏差距离”为|y 1y 2|;(1 )若 M(一 2018,2020) ,N(一 2017,2018) ,则 M,N 的相对偏差距离为_(2 )已知点 A(2017 ,0) ,B 为 y 轴上的动点,若点 A 与 B 的“相对偏差距离为 ”2018”,写出满足条件的 B 点的坐标直接写出点 A 与点 B 的“相对偏差距离 ”的最小值(3 )已知 C 点坐标为 C(m, 4m+2017) ,D (0,2020) ,求点 C 与 D 的“相对偏差距离”的最小值及相应的 C 点坐标【分析】以新定义题型考查点的坐标的理解和运用16 ( 2018

20、无锡)如图,平面直角坐标系中,已知点 B 的坐标为(6,4 )(1 )请用直 尺(不带刻度 )和圆规作一条直线 AC,它与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于点A 和点 C,且使 ABC=90,ABC 与AOC 的面积相等(作图不必写作法,但要保留作图痕迹)(2 )问:(1 )中这样的直线 AC 是否唯一?若唯一,请说明理由;若不唯一,请在图中画出所有这样的直线 AC,并写出与之对应的函数表达式【分析】 (1)当AB C 与AOC 全等且拼成矩形,可通过作垂线构造矩形的方法,也可找 OB 中点画圆的方法找到 AC 两点,再作直线 AC;当 ABC 与AOC 全等且拼成筝形时,作 OB 的垂直平分

21、线即可;(2),当ABC 与AOC 全等且拼成筝形时,先借助勾股定理列方程求出 OA 和 OC 的长,从而得 A、C 的坐标,在用待定系数法求 AC 的解析式;当ABC 与 AOC 全等 且拼成矩形,直接利用待定系数法求 AC 得解析式【解答】解:(1)方法一:过 B 作 BAx 轴于 A,过 B 作 BCy 轴于 C,作直线 AC(如答图) ;方法二:连接 OB,作 OB 的垂直平分线交 OB 于 D,以 D 为圆心,DO 为半径作圆 D,交 x轴于 A,交 y 轴于 C,作直线 AC(如答图) ;方法三:连接 OB,作 OB 的垂直平分线交 x 轴于 A,交 y 轴于 C,作直线 AC(如答图) ; 来源: OB=4,点 A 的坐标为( 6,0) ,C (0,4) ,设 AC 解析式为 y=kx+b,把 A、C 代入得60kb,解得23kb,AC 得表达式为243x.