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中考数学培优(含解析)之解直角三角形

1、解直角三角形 聚焦考点温习理解一、锐角三角函数的定义在 RtABC 中,C90,ABc,BC a,AC b正弦:sinA A的 对 边斜 边 ac余弦:cos A A的 邻 边斜 边 bc余切:tanA A的 对 边A的 邻 边 ab二、特殊角的三角函数值 sin cos tan30 1232345 160 32123三、解直角三角形解直角三角形的常用关系在 RtABC 中,C90,则:(1)三边关系: a2 b2c 2;(2)两锐角关系:AB90;(3)边与角关系:sinA cosB ac, cosAsinB bc,tanA a;(4)sin2A cos2A1四、解直角三角形的应用常用知识1

2、. 仰角和俯角:仰角:在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角俯角:在视线与水平线所成的角中,视线在水平线下方的角叫做俯角2.坡度和坡角坡度:坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作 i_坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作 ,itan坡度越大, 角越大,坡面_3.方向角(或方位角)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90的水平角叫做方向角名师点睛典例分类考向一:解直角三角形典例 1:在ABC 中,C90,D 为 AC 上一点,AD=1, 132cosA, 43tanBDC,求 BC BCDA考向二:解直角三角形的应用典例 2:(2018宜宾)

3、 某游乐场一转角滑梯如图所示,滑梯立柱 AB、CD 均垂直于地面,点 E 在线段 BD 上,在 C 点测得点 A 的仰角为 30,点 E 的俯角也为 30,测得 B、E 间距离为 10 米,立柱 AB 高 30 米.求立柱 CD 的高(结果保留根号).典例 3: (2018南京) 如图,为了测量建筑物 AB 的高度,在 D 处树立标杆 CD,标杆的高是 2m,在 DB 上选取观测点 E、F,从 E 测得标杆和建筑物的顶部 C、A 的仰角分别为 58、45,从测得 C、A 的仰角分别为 22、70 求建筑物 AB 的高度(精确到 0.1m)(参考数据:tan220.40,tan581.60 ,

4、tan702.75)典例 4:(2018连云港)如图 1,水坝的横截面是梯形 ABCD,ABC 37,坝顶DC3m,背水坡 AD 的坡度 i(即 tanDAB )为 10.5,坝底 AB14m(1)求坝高;(2)如图 2,为了提高坝堤的防洪能力,防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固,使得 AE2DF ,EFBF ,求 DF 的长(参考数据:sin37 ,cos37 ,tan37 )35 45 34典例 5:(2018长沙)为加快城乡对接,建设全域美丽乡村,某地区对 A,B 两地间的公路进行改建.如图,A,B 两地之间有一座山,汽车原来从 A 地到 B 地需途经 C 地沿折线ACB 行

5、驶,现开通隧道后,汽车可直接沿直线 AB 行驶,已知 BC80 千米,A 45,B 30.(结果精确到 0.1 千米,参考数据:)图 1 图 2(1 )开通隧道前,汽车从 A 地到 B 地大约要走多少千米?(2 )开通隧道后,汽车从 A 地到 B 地大约可以少走多少千米?典例 6: (2018桂林)如图所示,在某海域,一艘指挥船在 C 处收到渔船在 B 处发出的求救信号,经确定,遇险抛锚的渔船所在的 B 处位于 C 处的南偏西 45方向上,且 BC60 海里;指挥船搜索发现,在 C 处的南偏西 60方向上有一艘海监船 A,恰好位于 B 处的正西方向于是命令海监船 A 前往救援,已知海监船 A

6、的航行速度为 30 海里/小时,问渔船在 B处需要等待多长时间才能得到海监船 A 的救援?(参考数据: 2141 , 3173 ,62 45,结果精确到 01 小时)课时作业能力提升一、单选题1 (2017阿坝)如图,在 RtABC 中,斜边 AB 的长为 m,A=35,则直角边 BC 的长是( )Amsin35 Bmcos35 C 35sinm D 35cosm2 ( 2017南宁)如图,一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 45方向,距离灯塔 60n mile 的 A 处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔 P 的北偏东 30方向上的 B 处,这时,B 处与灯塔 P 的距离为 ( ) A6

7、0 3 n mile B60 2 n mile C30 3 n mile D30 2 n mile3 ( 2018宜昌)如图,要测量小河两岸相对的两点 P、 A 的距离,可以在小河边取 PA 的垂线 PB 上一点 C,测得 PC100 米,PCA35,则小河宽 PA 等于( )CB PAA100sin35 B100sin55 C100tan35 D100tan554 ( 2018益阳)如图,小刚从山脚 A 出发,沿坡角为 的山坡向上走了 300 米大道 B 地,则小刚上升了( ) 30OBA第 4 题图A.300sin 米 B.300cos 米 C.300tan 米 D. tan30米5 (

8、2018陕西)如图,在 ABC 中,AC8,ABC60,C45 ,ADBC,垂足为 D,ABC 的平分线交 AD 于点 E,则 AE 的长为( )A423B2 C23D3 2EDAB C6 如图,边长为 1 的小正方形构成的网格中,半径为 1 的O 的圆心 O 在格点上,则BED 的正切值等于( )A 52B 52C2 D 217 (2017铜仁)如图,在 RtABC 中, C90,点 D 是 AB 的中点,EDAB 交 AC 于点E设 A,且 tan 31,则 tan2( )A 43 B 34 C 35 D 53二、填空题8 ( 2017广州)如图,RtABC 中,C 90,BC15,tan

9、A 81,则 AB 9 ( 2017无锡)在如图的正方形方格纸中,每个小的四边形都是相同的正方形,A,B ,C,D 都在格点处,AB 与 CD 相交于 O,则 tanBOD 的值等于 10 ( 2018齐齐哈尔)四边形 ABCD 中,BD 是对角线, ABC90,tanABD 34,AB20,BC10,AD13,则线段 CD 三、解答题 11 ( 2018舟山)如图 1,滑动调节式遮阳伞的立柱 AC 垂直于地面 AB,P 为立柱上的滑动调节点,伞体的截面示意图为PDE ,F 为 PD 中点,AC2.8m,PD2m,CF 1m,DPE20 当点 P 位于初始位置 P0 时,点 D 与 C 重合(

10、图 2) 根据生活经验,当太阳光线与 PE 垂直时,遮阳效果最佳(1 )上午 10:00 时,太阳光线与地面的夹角为 60(图 3) ,为使遮阳效果最佳,点 P 需从P0 上调多少距离?(结果精确到 0.1m)(2 )中午 12:00 时,太阳光线与地面垂直(图 4) ,为使遮阳效果最佳,点 P 在(1)的基础上还需上调多少距离?(结果精确到 0.1m)(参考数据:sin700.94,cos700.34,tan702.75, 21.41, 31.73)EDPACFB EC(D)P(0)AF B图 1 图 265光光P0 EDACF B光光P0 EDPACF图 3 图 4 12 . (2018株

11、洲)下图为某区域部分交通线路图,其中直线 l1l 2l 3直线 l 与 l1,l 2,l 3都垂直,垂足分别是点 A、点 B 和点 C(高速线右侧边缘),l 2 上的点 M 位于点 A 的北偏东30的方向上,且 BM= 3千米,l 3 上的点 N 位于点 M 的北偏东 的方向上,且 cos=13,MN=2 1千米,点 A 和点 N 是城际铁路线 L 上两个相邻的站点(1)求 l2 和 l3 之间的距离;(2)若城际火车的平均时速为 150 千米/小时,求市民小强乘坐城际火车从 A 站点到 N 站点需要多少小时?(结果用分数形式表示 )13 ( 2018随州)随州新厥水一桥(如图 1)设计灵感来

12、源于市花兰花,采用蝴蝶兰斜拉桥方案,设计长度为 258 米,宽 32 米,为双向六车道,2018 年 4 月 3 日通车斜拉桥又称斜张桥,主要由索塔、主梁、斜拉索组成某座斜拉桥的部分截面图如图 2 所示,索塔 AB 和斜拉索(图中只画出最短的斜拉索 DE 和最长的斜拉索 AC)均在同一水平面内,BC 在水平桥面上已知ABC DEB 45 ,ACB30,BE 6 米,AB 5BD (1 )求最短的斜拉索 DE 的长;(2 )求最长的斜拉索 AC 的长14 ( 2018 抚顺)如图,BC 是路边坡角为 30,长为 10 米的一道斜坡,在坡顶灯杆 CD 的顶端 D 处有一探射灯,射出的边缘光线 DA

13、 和 DB 与水平路面 AB 所成的夹角DAN 和DBN分别是 37和 60(图中的点 A,B,CD ,M,N 均在同一平面内,CMAN)(1 )求灯杆 CD 的高度. (2 )求 AB 的长度(结果精确到 01 米).(参考数据: 3173 ,sin370 60,cos37 0 80,tan37 075)15 ( 2018上海)如图 7,已知 ABC 中,AB=AC=5,tanABC=34.(1)求边 AC 的长;(2)设边 BC 的垂直平分线与边 AB 的交点为 D,求AB的值.16 ( 2017莱芜)已知 AB 是O 的直径,C 是圆上一点, BAC 的平分线交O 于点 D,过 D 作

14、DEAC 交 AC 的延长线于点 E,如图 (1 )求证:D 是 O 的切线;(2 )若 AB=10,AC=6,求 BD 的长;(3 )如图,若 F 是 OA 中点,FGOA 交直线 DE 于点 G,若 FG= 419,tan BAD= 43,求O 的半径解直角三角形 聚焦考点温习理解一、锐角三角函数的定义在 RtABC 中,C90,ABc,BC a,AC b正弦:sinA A的 对 边斜 边 ac余弦:cos A A的 邻 边斜 边 bc余切:tanA A的 对 边A的 邻 边 ab二、特殊角的三角函数值 sin cos tan30 1232345 160 32123三、解直角三角形解直角三

15、角形的常用关系在 RtABC 中,C90,则:(1)三边关系: a2 b2c 2;(2)两锐角关系:AB90;(3)边与角关系:sinA cosB ac, cosAsinB bc,tanA a;(4)sin2A cos2A1四、解直角三角形的应用常用知识1. 仰角和俯角:仰角:在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角俯角:在视线与水平线所成的角中,视线在水平线下方的角叫做俯角2.坡度和坡角坡度:坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作 i_坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作 ,itan坡度越大, 角越大,坡面_3.方向角(或方位角)指北或指南方向

16、线与目标方向线所成的小于 90的水平角叫做方向角名师点睛典例分类考向一:解直角三角形典例 1:在ABC 中,C90,D 为 AC 上一点,AD=1, 132cosA, 43tanBDC,求 BC BCDA【分析】考查利用解直角三角形求边或角,主要是利用直角三角形边、角及边角关系进行解决,本题可设 k 值法,转化为方程求解【解答】解:在ABC 中, 132cosA且C90, 132cosABC,设AC=12k (k0),则 BC=13 k,则 BC=5 k,在直角DCB 中, 4tanD,则有43tanDCB,而 AD=1, 425,解得 6k,BC=5 65k考向二:解直角三角形的应用典例 2

17、:(2018宜宾) 某游乐场一转角滑梯如图所示,滑梯立柱 AB、CD 均垂直于地面,点 E 在线段 BD 上,在 C 点测得点 A 的仰角为 30,点 E 的俯角也为 30,测得 B、E 间距离为 10 米,立柱 AB 高 30 米.求立柱 CD 的高(结果保留根号).【分析】(1)在 RtCED 中,根据 tanCED= DEC求出 DC 的值;(2)通过作“CFAB”构造 RtAFC ; 在 RtAFC 中,根据 tanACF= FA求出 AF;由此列出方程求得 DE,进而可得 CD 的高度【解答】解:如图,作 CFAF,垂足为 F,ABBD , CDBD,四边形 CDBF 是矩形,CF=

18、BD ,CD=BF,ECF= CED=30,设 DE= x, BD=BE+DE=10+ x,CF=10+ x.在RtCDE 中,tanCED= DEC,CD=xtan30;在 RtACF 中,tanACF= CFA,AF=(10+x)tan30;AB=30,AF+BF=AF+CD=30,即 xtan30+(10+x)tan30=30,解得:x=153-, CD=xtan30 =513-.典例 3: (2018南京) 如图,为了测量建筑物 AB 的高度,在 D 处树立标杆 CD,标杆的高是 2m,在 DB 上选取观测点 E、F,从 E 测得标杆和建筑物的顶部 C、A 的仰角分别为 58、45,从

19、测得 C、A 的仰角分别为 22、70 求建筑物 AB 的高度(精确到 0.1m)(参考数据:tan220.40,tan581.60 , tan702.75)【分析】分别在 RtCDE 和 RtCDF 中利用三角函数求得 DE、DF 长,则可得 EF,分别在RtABE 和 RtABF 中利用三角函数可用 AB 表示 BE、BF,再根据 BEBFEF 可构造关于AB 的方程求解【解答】解:在 RtCED 中,CED58,tan58 ,DE CDDE CDtan58 2tan58在 Rt CFD 中,CFD 22 , tan22 ,DF EFDFDECDDF CDtan22 2tan22 同理 E

20、FBEBF ,2tan22 2tan58 ABtan45 ABtan70 ABtan45 ABtan70 CDtan22 2tan58解得 AB5.9(m)因此,建筑物 AB 的高度约为 59m典例 4:(2018连云港)如图 1,水坝的横截面是梯形 ABCD,ABC 37,坝顶DC3m,背水坡 AD 的坡度 i(即 tanDAB )为 10.5,坝底 AB14m(1)求坝高;(2)如图 2,为了提高坝堤的防洪能力,防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固,使得 AE2DF ,EFBF ,求 DF 的长(参考数据:sin37 ,cos37 ,tan37 )35 45 34【分析】 (1)

21、过点 D、C 分别作梯形 ABCD 的高 DM、CN,设高为 x,分别解 RtADM 和RtBCN,用含 x 的代数式表示 AM、BN,再列出关于 x 的方程即可;(2)过点 F 作FH AB 于 H,利用 RtEFH Rt FBH 列方程【解答】解:(1)过点 D 作 DMAB,垂足为 M,过点 C 作 CNAB ,垂足为 N图 1 图 2因背水坡 AD 的坡度 i 为 1:0.5,所以 tanDAB 2,设 AMx ,则 DM2x又四边形 DMNC 是矩形,所以 DMNC 2x在 Rt BNC 中,tanABC tan37 ,所以 BN x,CNBN 2xBN 34 83由 x3 x14,

22、得 x3,所以 DM6即坝高为 6m83(2)过点 F 作 FHAB ,垂足为 H设 DFy,则 AE2yEH 32y y 3y ,BH14 2y(3y)11y 由 FH BE,EFBF,得EFHFBH 所以 ,即 HFHB EHFH 611 y 3 y662(3y )(3y),解得 y72 或 y72 (舍) 所以 DF2 713 13 13答:DF 的长为(2 7)米13典例 5:(2018长沙)为加快城乡对接,建设全域美丽乡村,某地区对 A,B 两地间的公路进行改建.如图,A,B 两地之间有一座山,汽车原来从 A 地到 B 地需途经 C 地沿折线ACB 行驶,现开通隧道后,汽车可直接沿直

23、线 AB 行驶,已知 BC80 千米,A 45,B 30.(结果精确到 0.1 千米,参考数据:)(1 )开通隧道前,汽车从 A 地到 B 地大约要走多少千米?(2 )开通隧道后,汽车从 A 地到 B 地大约可以少走多少千米?【分析】 (1)过点 C 作 AB 的垂线 CD,垂足为 D,在直角ACD 中,解直角三角形求出CD,进而解答即可;(2)在直角CBD 中,解直角三角形求出 BD,再求出 AD,进而求出汽车从 A 地到 B 地比原来少走多少路程【解答】解:(1)过点 C 作 AB 的垂线 CD,垂足为 D,ABCD,sin30CDB,BC 80 千米,CD BCsin30801240 千

24、米,AC sin45CD02402千米,ACBC80 40240 1.4180 136.4 千米,(2 ) cos30 BDC,BC 80 千米,BD BCcos30 8032 40千米,tan45 A,CD40(千米) ,AD tan45CD40 千米,AB ADBD40 40340401.73 109.2 (千米) ,汽车从 A 地到 B 地比原来少走多少路程为: ACBCAB136.4 109.227.2(千米) 典例 6: (2018桂林)如图所示,在某海域,一艘指挥船在 C 处收到渔船在 B 处发出的求救信号,经确定,遇险抛锚的渔船所在的 B 处位于 C 处的南偏西 45方向上,且

25、BC60 海里;指挥船搜索发现,在 C 处的南偏西 60方向上有一艘海监船 A,恰好位于 B 处的正西方向于是命令海监船 A 前往救援,已知海监船 A 的航行速度为 30 海里/小时,问渔船在 B处需要等待多长时间才能得到海监船 A 的救援?(参考数据: 2141 , 3173 ,62 45,结果精确到 01 小时)【分析】过点 C 作 CDAB 交 AB 的延长线于点 D,先在 RtBDC 中,求得 BD,CD 长,再在 Rt ADC 中,求得 AD 的长,进而求得 AB 的长,问题即可得解【解答】解:过点 C 作 CDAB 交 AB 的延长线于点 D由题意知BCD45 ,ACD60在 Rt

26、BDC 中,sinBCD BC,BD 60sin4560 230 CDBD30 2在 Rt ADC 中,tanACD CDA,AD 30 tan6030 330 6AB ADBD30 630 230( 6 2)30( 6 2)30 2451411041 0( 小时) 答:渔船在 B 处需要等待 1 0 小时才能得到海监船 A 的救援课时作业能力提升一、单选题1 (2017阿坝)如图,在 RtABC 中,斜边 AB 的长为 m,A=35,则直角边 BC 的长是( )Amsin35 Bmcos35 C 35sinm D 35cosm【分析】根据正弦定义:把锐角 A 的对边 a 与斜边 c 的比叫做

27、 A 的正弦可得答案【解答】解:sinA= C,AB=m,A=35,BC=msin35,故答案:A2 ( 2017南宁)如图,一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 45方向,距离灯塔 60n mile 的 A 处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔 P 的北偏东 30方向上的 B 处,这时,B 处与灯塔 P 的距离为 ( ) A60 3 n mile B60 2 n mile C30 3 n mile D30 2 n mile【分析】考查解直角三角形的应用方向角问题;勾股定理的应用如图作 PEAB 于 E在RtPAE 中,求出 PE,在 RtPBE 中,根据 PB2PE 即可解决问题【解答】解

28、:如图作 PEAB 于 E在 RtPAE 中, PAE45,PA60n mile,PEAE 26030 n mile,在 RtPBE 中, B 30, PB2PE60 2n mile,故答案:B3 ( 2018宜昌)如图,要测量小河两岸相对的两点 P、 A 的距离,可以在小河边取 PA 的垂线 PB 上一点 C,测得 PC100 米,PCA35,则小河宽 PA 等于( )CB PAA100sin35 B100sin55 C100tan35 D100tan55【分析】解直角三角形与实际问题【解答】解:在 RtPCA 中,APC90 ,tan PCAAP,得到PAPCtanPCA100tan35故

29、答案:C 4 ( 2018益阳)如图,小刚从山脚 A 出发,沿坡角为 的山坡向上走了 300 米大道 B 地,则小刚上升了( ) 30OBA第 4 题图A.300sin 米 B.300cos 米 C.300tan 米 D. tan30米【分析】解直角三角形与实际问题【解答】解:在 RtAOB 中,sin= ABO,OB=300sin,即小刚上升了 300sin 米.故答案:A,5 ( 2018陕西)如图,在 ABC 中,AC8,ABC60,C45 ,ADBC,垂足为 D,ABC 的平分线交 AD 于点 E,则 AE 的长为( )A423B2 C23D3 2EDAB C【分析】解直角三角形与角平

30、分线运用【解答】解:在 RtADC 中 C45,AC8,可求出 AD4 2,在 RtABD 中ABD60,可得 BDADtan604 2 3,由 BE 平分ABC 可求出DBE30,则 DE BDtan604 42,所以 AEADED4 24382故答案:C6 如图,边长为 1 的小正方形构成的网格中,半径为 1 的O 的圆心 O 在格点上,则BED 的正切值等于( )A 52B 52C2 D 21【分析】解直角三角形与圆周角定理【解答】解:如图,在 RtABC 中,AB 2,BC1,tan BAC ABC 21BEDBAD,tanBED 21故答案:D7 (2017铜仁)如图,在 RtABC

31、 中, C90,点 D 是 AB 的中点,EDAB 交 AC 于点E设 A,且 tan 31,则 tan2( )A 43 B 34 C 35 D 53【分析】考查解直角三角形;线段垂直平分线的性质根据题目中的数据和锐角三角函数可以求得 tan2 的值,本题得以解决【解答】解:连接 BE, 点 D 是 AB 的中点,ED AB,A,ED 是 AB 的垂直平分线,EBEA,EBAA, BEC2 ,tan 31,设DEk,AD3k,AE k10,AB6 k,BC 53,AC 59CE k5109 k5104, tan243510kCEB,故答案:A二、填空题8 ( 2017广州)如图,RtABC 中

32、,C 90,BC15,tanA 815,则 AB 【分析】根据A 的正切求出 AC,再利用勾股定理列式计算即可得解【答案】解:RtABC 中,C90 ,tanA 815,BC15, AC158,解得 AC8,根据勾股定理得,AB 722BCA故答案:179 ( 2017无锡)在如图的正方形方格纸中,每个小的四边形都是相同的正方形,A,B ,C,D 都在格点处,AB 与 CD 相交于 O,则 tanBOD 的值等于 【分析】根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理,通过转化的数学思想可以求得tanBOD 的值,本题得以解决【解答】解:平移 CD 到 CD交 AB 于 O,如图所示,则BOD BO

33、D,tan BODtanBOD,设每个小正方形的边长为 k,则 OBkk52,OD kk2)2(, BD3k,作 BEOD于点 E,则BE 3/DOFB ,OE kkE2522/ , 23/ kkDOFBt 32an/kOB,tanBOD 3,故答案:310 ( 2018齐齐哈尔)四边形 ABCD 中,BD 是对角线, ABC90,tanABD 34,AB20,BC10,AD13,则线段 CD 【分析】作 AHBD ,CGBD,垂足分别为 H,G 如图,有两种情况,四边形 ABCD 或四边形 ABCD利用 tanABDtanBCG34即可得线段 CD 89或 17【解答】解:作 AHBD ,C

34、GBD,垂足分别为 H,G 如图,有两种情况,四边形 ABCD或四边形 ABCD在 RtABH 中,tanABD 34AB,可设 AH3x,NH4x,则由勾股定理 AB5x20 ,x4,AH 12 ,NH16ABCABDCBD 90,CBD GCB90 , GCBABD tanBCG34同上可得,BG6 ,CG 8在 Rt ADH 中,DH 2ADH5,DGBH BGDH16655 CD 2GDC 9在 RtAD H 中,DH 5 ,D GBH BGD H 1665 15CD 2GDC17 线段 CD 8或 17GDHCABD三、解答题 11 ( 2018舟山)如图 1,滑动调节式遮阳伞的立柱

35、 AC 垂直于地面 AB,P 为立柱上的滑动调节点,伞体的截面示意图为PDE ,F 为 PD 中点,AC2.8m,PD2m,CF 1m,DPE20 当点 P 位于初始位置 P0 时,点 D 与 C 重合(图 2) 根据生活经验,当太阳光线与 PE 垂直时,遮阳效果最佳(1 )上午 10:00 时,太阳光线与地面的夹角为 60(图 3) ,为使遮阳效果最佳,点 P 需从P0 上调多少距离?(结果精确到 0.1m)(2 )中午 12:00 时,太阳光线与地面垂直(图 4) ,为使遮阳效果最佳,点 P 在(1)的基础上还需上调多少距离?(结果精确到 0.1m)(参考数据:sin700.94,cos7

36、00.34,tan702.75, 21.41, 31.73)EDPACFB EC(D)P(0)AF B图 1 图 265光光P0 EDACF B光光P0 EDPACF图 3 图 4 【分析】 (1)已知 CP0,只要求出图 3 中的 CP 长即可,故只需解CPF ;(2 )解出图 4 中的 CP 的长,过点 F 作 FGCP ;【解答】解:(1)如图 2,当点 P 位于初始位置 P0 时, CP02m如图 3,10 00 时,太阳光线与地面的夹角为 65,点 P 上调至 P1 处,1 90,CAB90 ,AP 1E115 ,CP 1E65,DP 1E20,CP 1F45,CFP 1F1m,C

37、CP 1F45CP 1F 为等腰直角三角形,CP 1 2m,P 0P1CP 0CP 12 0.6m即点需 P 从 P0 上调 0.6m(2 )如图 4,中午 12 : 00 时,太阳光线与 PE,地面都垂直,点 P 上调至 P2 处,P 2EABCAB 90 , CP 2E90DP 2E20CP 2FCP 2EDP 2E 70CFP 2F1m,得CP 2F 为等腰三角形,C CP 2F70过点 F 作 FGCP 2 于点 GGP 2P 2Fcos7010.340.34mCP 22GP 20.68mP 1P2CP 1CP 2 0.680.7m即点 P 在(1)的基础上还需上调 0.7m光光GP0

38、 EDPACF12 . (2018株洲)下图为某区域部分交通线路图,其中直线 l1l 2l 3直线 l 与 l1,l 2,l 3都垂直,垂足分别是点 A、点 B 和点 C(高速线右侧边缘),l 2 上的点 M 位于点 A 的北偏东30的方向上,且 BM= 3千米,l 3 上的点 N 位于点 M 的北偏东 的方向上,且 cos=13,MN=2 1千米,点 A 和点 N 是城际铁路线 L 上两个相邻的站点(1)求 l2 和 l3 之间的距离;(2)若城际火车的平均时速为 150 千米/小时,求市民小强乘坐城际火车从 A 站点到 N 站点需要多少小时?(结果用分数形式表示 )【分析】(1)过点 N

39、作 NDl 2 于点 D,在 RtMND 中,根据 cos= MND求 ND 的长;(2)在 RtMND 中,根据勾股定理求 MD 的长,由 NC=BD=BM+MD 可得 NC 的长,在 RtABM 中,根据 tanBAM= ABM求 AB 的长,从而可得 AC 的长,在 RtACN 中,根据勾股定理求 ND 的长,再除以速度即可得时间【解答】解:(1)过点 N 作 NDl 2 于点 D,则MND=,在 RtMND 中,cos= MND,ND=MNcos=2 13 =2(千米);(2)在 RtMND 中,MD= 2DM=2(=4 3,显然,四边形 BCND 是矩形,BC=ND=2,NC=BD=

40、BM+MD= +4 =5 ;在 RtABM 中,tanBAM= ABM,AB=30tanB= =3,AC=AB+BC=3+2=5 ,在 RtACN 中,AN= 2CN=22)5(=10,市民小强乘坐城际火车从 A 站点到 N 站点需要的时间为10= (小时) 13 ( 2018随州)随州新厥水一桥(如图 1)设计灵感来源于市花兰花,采用蝴蝶兰斜拉桥方案,设计长度为 258 米,宽 32 米,为双向六车道,2018 年 4 月 3 日通车斜拉桥又称斜张桥,主要由索塔、主梁、斜拉索组成某座斜拉桥的部分截面图如图 2 所示,索塔 AB 和斜拉索(图中只画出最短的斜拉索 DE 和最长的斜拉索 AC)均

41、在同一水平面内,BC 在水平桥面上已知ABC DEB 45 ,ACB30,BE 6 米,AB 5BD (1 )求最短的斜拉索 DE 的长;(2 )求最长的斜拉索 AC 的长【分析】 (1)证明BDE 90后,在 RtBDE 中,已知 ABC45及斜边 BE 的长,求ABC的对边 DE 的长,需用 ABC 的余弦求解 (2)根据 BDDE,AB5BD,先求得 AB 长,再过点 A 作 AMBC 于点 M,利用解直角三角形知识和直角三角形中 30的锐角所对的直角边等于斜边的一半求解【解答】解:(1 ) ABCDEB45,BDE90,BD DE ,在 Rt BDE 中,DEBEsinABC 6sin

42、453 2(米)即最短斜拉索 DE 的长为 3 2米(2 )过点 A 作 AMBC 于点 M,由(1)知,BDDE 3 , AB5BD 53 215 在 Rt ABM 中, AMABsinABC15 sin4515(米) ACB 30,AMC90 ,AC2AM21530(米) 即最长斜拉索 AC 的长为 30 米AB CDEM14 ( 2018 抚顺)如图,BC 是路边坡角为 30,长为 10 米的一道斜坡,在坡顶灯杆 CD 的顶端 D 处有一探射灯,射出的边缘光线 DA 和 DB 与水平路面 AB 所成的夹角DAN 和DBN分别是 37和 60(图中的点 A,B,CD ,M,N 均在同一平面

43、内,CMAN)(1 )求灯杆 CD 的高度. (2 )求 AB 的长度(结果精确到 01 米).(参考数据: 3173 ,sin370 60,cos37 0 80,tan37 075)【分析】 (1)作CHAN 于H,根据BC的值和坡角求得CH及 BH,由BH及DBN的正切值求得DH,从而求得DC的高度;(2 )由DH的值及 A正切求得AH的值,进而求得AB的值。【解答】解:(1 )作CHAN于H, 因为BC=10米, HBC=30,所以CH=5 米,BH=5 3米.因为tanDBN=DH:BH,所以DH=BHtanDBN=5 3 =15米,所以 CD=DH-CD=15-5=10米。(2 )因为tanA=DH:AH,所以AH=DH/tanA=15tan37=15075=20米,所以AB=AH-BH=20-53=20-8.65=11.35米11.4米。30BAHMDCN15 ( 2018上海)如图 7,已知 ABC 中,AB