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中考数学培优(含解析)之一次方程

1、一次方程聚焦考点温习理解1. 等式:性质 1:等式两边都加上或减去同一个数或式 ,其结果仍是等式;性质 2:等式两边都乘以或除以同一个数(式) (除数或除式不为 0) ,其结果仍是等式2. 含有未知数的等式叫方程,如果将一个未知数的值代入方程,左右两边相等时,这个值叫做方程的解3. 解方程实际是就是运用等式的基本性质对方程进行化变形4. 元一次方程一般形式是: )0(abx最简形式是: )0(abx5. 解一元一次方程的一般步骤是:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化 16. 方程的解的情况:当时 ,方程 x的解是 ;当 a=0,b0 时,方程有无数个解;当 a=0 0b时,方程无解7.

2、解一次方程组时,消元的基本方法有代入消元法和加减消元法来8. 名师点睛典例分类考向一:等式的基本性质典题 1:(2017杭州)设 x, y, c 是实数,则以下正确的是()A若 x y,则 x c y c B若 x y,则 xc ycC若 x y,则 D若 2c 3,则 2x3 y考向二:一次方程(组)相关概念典题 2:如果方程 0)2(1nmyx是关于 x、y 的二元一次方程,那么 m、n 的值分别为( )A.1,0 B.0,1 C.2,1 D.1,1考向三:一次方程(组)解法典题 3:(2018怀化)二元一次方程组 2yx的解是( )A.20yxB. 20yxC. 0 D. 0yx考向四:

3、一元一次方程的解及解法应用典题 4:(2017荆州)若单项式5 x4y2m n与 2017xm ny2是同类项,则 m7 n 的算术平 方根是_典例 5:若代数式 4x5 与 的值相 等,则 x 的值是( )A 1 B C D 2典例 6:(2017巴中)若方程组 213xyk 的解满足 x+y=0,则 k 的值为( )A1 B1 C0 D不能确定考向五:一次方程( 组) 的无解 ,错解,漏解典例 7:我们知道:关于 x 的方程 ax=b,当 a0 时,原方程有唯一解;当 a=0 且 b=0 时,原方程有无数个解;当 a=0 且 b0 时,原方程无解.根 据上面规律,解答以下问题:关于 x、y

4、 的方程组 mxyk12有无数个解,求 2019)(mk的立方根典例 8:在解方程组 9 7abc时,甲正确地解得 3 2xy,乙把 c 写错而得到 6 1xy,若两人的运算过程均无错误,求 a,b,c 的值.考向六:实际问题与一元一次方程(组) 典例 4:(2017 新疆乌鲁 木齐第 13 题)一件衣服售价为 200 元,六折销售,仍可获利20,则这件衣服的进价是 元典例 9:(2017台州)滴滴快车是一种便捷的出行工具,计价规则如下表:计费项目 里程费 时长费 远途费单价 1.8 元/公里 0.3 元/分钟 0.8 元/公里注:车费由里程费、时长费、远途费三部分,其中里程费按行车的实际里程

5、计费;时长费按行车的实际时间计算,远途费的收取方式为:行车 7 公里以内(含 7 公里)不收远途费超过 7 公里的,超出部分每公里收 0.8 元小王与小张各自乘坐滴滴快车,行车里程分别为 6 公里和 8.5 公里,如果下车时所付车费相同,那么这两辆滴滴快车的行车时间相差( )A. 10 分钟 B. 13 分钟 C. 15 分钟 D. 19 分钟课时作业能力提升一、单选题(共 7 题,每题 4 分;共 28 分)1 ( 2018济南)关于 x 的方程 321m的解为正数,则 m 的取值范围是A 2m B C D 12来源:2 ( 2017 嘉兴)若二元一次方程组 的解为 则 ( ) A. B.

6、C. D.3已知密文和明文的对应规则为:明文 a、b 对应的密文为 ma-nb、ma+nb.例如,明文1、2 对应的密文是 0,4.若密文是 1,3 时,则对应的明文是( )A. -1,1 B. -1,5 C. 3,1 D. 1,l4如果 ,2xy是二元一次方程组 ,2axby的解,那么关于 m 的方程 a2m+2 016 b=2 017 的解为( )来源:Zxxk.ComA. -1 B. 1 C. 0 D. -25( 2018娄底)如图,往竖直放置的在 A 处由 短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水,水面高度 为 6cm,现将右边细管绕 A 处顺时针方向旋转 60到AB

7、 位置, 则 AB 中水柱的长度约为( )A4cm B6 cm C8cm D12cm36如图,8 块相同的小长方形地砖拼成一个长方形,其中每一个小长方形的面积为( )A 400cm2 B. 500cm2 C. 600cm2 D. 675cm27( 2018河南) 九章算术中记载:”今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三问人数、羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出 5 钱,还差 45 钱;若每人出 7 钱,还差 3 钱问:合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为 x 人,羊价为 y 钱,根据题意,可列方程组为( )A 3745xyB 3745-xyC 3-745xyD 3-745

8、xy二、填空题(共 3 题,每题 4 分;共 12 分 )8 ( 2018菏泽,14,3 分)一组“数值转换机”按下面的程序计算,如果输入的数是36,则输出的结果为 106,要使输出的结果为 127,则输入的最小正整数是 9 ( 2018德州)对于实数 a, b 定义运算“” :ab2,.ba例如,43,因为 43 ,所以 43 25若 x,y 满足方程组4829xy,则 xy 10 ( 2018泰州)已知 3x-y=3a2-6a+9,x+y=a 2+6a-9.若 xy ,则实数 a 的值为 .三、解答题(共 6 题,每题 10 分;共 60 分) 11 已知方程组: 42)(3018ymx,

9、求 myx)1(的平方根.12:若实数 x,y 符合 y,且 x、y 是方程组 10324x的解,求 xy 的平方根。13:已知关于 x,y 的二元一次方程(a2017)x+(2018-a)y+1+a=0 ,当 a 每取一个值时,就有一个方程,而这些方程有一个公共解,试求出这个公共解14 已知非负数 a,b,c 满足条件 a+b=2018,c a=2017,设 S=a+b+c 的最大值为 m,最小值为 n,求 mn 的值15 为了打赢“精准脱贫”攻坚战,某乡镇积极鼓励外出打工人员返乡创业,对返乡创业人员一次性最高可给予 10 万元的无息贷款(贷款期限为 3 年)帮助农民发家致富农民秭再兴抓住机

10、遇,返乡创业,他去年初利用 10 万元的无息贷款在家乡创办了一家农家乐(经营餐饮与住宿) ,一年时间创收的利润刚好为投 资资金的 80%,其中餐饮利润比住宿利润的2 倍还多 5000 元(1 )求去年该农家乐创收的餐饮和住宿的利润各为多少万元?(2 )今年初秭再兴把去年的餐饮利润 全部用于继续投资,增设了土特产的实体店和网店销售项目他在接受记者采访时说:“我预计今年餐饮和住宿的利润比去年都会增长20%,土特产销售的利润将不低于住宿利润的 40%. 到今年年底,这两年获得的所有利润除能收回所有投资外,还将结余 4 万元 ”求今年销售土特产获得的实际利润 .16 ( 2018南宁) 某公司在甲、乙

11、仓库共存放某种原料 450 吨,如果运出甲仓库所存原料的 60%,乙仓库所存原料的 40%,那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多 30 吨(1) 求甲、乙两仓库各存放原料多少吨?(2)现公司需将 300 吨原料运往工厂,从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为 120 元/ 吨 和100 元/吨经协商,从甲仓库到工厂的运价可优惠 a 元/吨(10 a30) ,从乙仓库到工厂的运价不变设从甲仓库运 m 吨原料到工厂,请求出总运费 w 关于 m 的函数解析式(不要求写出 m 的取值范围) ;(3)在(2)的条件下,请根据函数的性质说明:随着 m 的增大,w 的变化情况考点五:一次方程聚焦考点温习理解

12、9. 等式:性质 1:等式两边都加上或减去同一个数或式 ,其结果仍是等式;性质 2:等式两边都乘以或除以同一个数(式) (除数或除式不为 0) ,其结果仍是等式10. 含有未知数的等式叫方程,如果将一个未知数的值代入方程,左右两边相等时,这个值叫做方程的解11. 解方程实际是就是运用等式的基本性质对方程进行化变形12. 元一次方程一般形式是: )0(abx最简形式是: )0(abx13. 解一元一次方程的一般步骤是:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化 114. 方程的解的情况:当时 ,方程 x的解是 ;当 a=0,b0 时,方程有无数个解;当 a=0 0b时,方程无解15. 解一次方程组

13、 时,消元的基本方法有 代入消元法和加减消元法名师点睛典例分类考向一:等式的基本性质典题 1:(2017杭州)设 x, y, c 是实数,则以下正确的是()A若 x y,则 x c y c B若 x y,则 xc yc来源 :Zxxk.ComC若 x y,则 D若 2c 3,则 2x3 y【分析】根据等式的性质,可得答案考向二:一次方程(组)相关概念典题 2:如果方程 0)2(1nmyx是关于 x、y 的二元一次方程,那么 m、n 的值分别为( )A.1,0 B.0,1 C.2,1 D.1,1【分析】根据二元一次方程定义即可得答案【解答】解:由题意得 1nm,解得 12或 0nm又 2,所以

14、12nm应舍去,得 10n故选:B考向三:一次方程(组)解法典题 3:(2018怀化)二元一次方程组 2yx的解是( )A.20yxB. 20yxC. 0 D. 0【分析】考查代入消元法和加减消元法解二元一次方程组【解答】解:可用加减法解,得 2x0,x0;,得 2y4 ,y 2 .20yx.故选:B考向四:一 元一次方程的解及解法应用典题 4:(2017荆州)若单项式5 x4y2m n与 2017xm ny2是同类项,则 m7 n 的算术平方根是_【分析】考查算术平方根;同类项;解二元一次方程组根据同类项定义可以得到关于m、 n 的二元一次方程,即可求得 m、 n 的值即可解题典例 5:若代

15、数式 4x5 与 的值相等,则 x 的值是( )A 1 B C D 2【分析】 根据题意列出方程,求出方程的解再解一元一次方程即可【解答】解:根据题意得:4x 5= ,去分母得:8x10=2x 1,解得:x= ,故选 B典例 6:(2017巴中)若方程组 213xyk 的解满足 x+y=0,则 k 的值为( )A1 B1 C0 D不能确定【分析】根据等式的性 质,可得答案【解答】解:+,得 3( x+y)=3 3k,由 x+y=0,得 3 3k=0,解得 k=1,故选 B考向五:一次方程( 组) 的无解 ,错解,漏解典例 7:我们知道:关于 x 的方程 ax=b,当 a0 时,原方程有唯一解;

16、当 a=0 且 b=0 时,原方程有无数个解;当 a=0 且 b0 时,原方程无解.根据上面规律,解答以下问题:关于 x、y 的方程组 mxyk12有无数个解,求 2019)(mk的立方根【分析】考查对一次方程(组)解的情况的理解与运用来源:典例 8:在解方程组 9 7axbyc时,甲正确地解得 3 2xy,乙把 c 写错而得到 6 1xy,若两人的运算过程均无错误,求 a,b,c 的值.【分析】考查对一次方程 (组)错解的情况的理解与运用,方程组解的定义把甲的解代入方程组,把乙的解代入原方程组的(1) ,解关于 a、b 的方程组即可【解答】解:把甲的解代入方程组得 3291 7c,由(2)得

17、 c=5,把乙的解代入原方程组的(1)得 6a+3b=9 (3) ,由(1) (3)得到 1 3ab,a=1,b=3,c=5考向六:实际问题与一元一次方程(组) 典例 4:(2017 新疆乌鲁木齐第 13 题)一件衣服售价为 200 元,六折销售,仍可获利20,则这件衣服的进价是 元【答案】100.考点:一元一次方程的应用典例 9:(2017台州)滴滴快车是一种便捷的出行工具,计价规则如下表:计费项目 里程费 时长费 远途费单价 1.8 元/公里 0.3 元/分钟 0.8 元/公里注:车费由里程费、时长费、远途费三部分,其中里程费按行车的实际里程计费;时长费按行车的实际时间计算,远途费的收取方

18、式为:行车 7 公里以内(含 7 公里)不收远途费超过 7 公里的,超出部分每公里收 0.8 元小王与小张各自乘坐滴滴快车,行车里程分别为 6 公里和 8.5 公里,如果下车时所付车费相同,那么这两辆滴滴快车的行车时间相差( ) A. 10 分钟 B. 13 分钟 C. 15 分钟 D. 19 分钟【分析】设小王的行车时间为 x 分钟,小张的行车时间为 y 分钟,根据题意列出小王和小张车费的代数式,两者相等,计算可得出时间差。课时作业能力提升一、单选题(共 7 题,每题 4 分;共 28 分)1 ( 2018济南)关于 x 的方程 321m的解为正数,则 m 的取值范围是A 12m B C 2

19、 D 12【分析】 解的定义就是使方程左右两边相等的数,先求出方程的解, 再列出不等式即【解答】解:解方程 31x得 3x方程的解为正数, 03,解得 12故答案为:B2 ( 2017嘉兴)若二元一次方程组 的解为 则 ( ) A. B. C. D.3已知密文和明文的对应规则为:明文 a、b 对应的密文为 ma-nb、ma+nb.例如,明文1、2 对应的密文是 0,4.若密文是 1,3 时,则对应的明文是( )A. -1,1 B. -1,5 C. 3,1 D. 1,l【分析】由方程组解的意义可把解代入即得【解答】解:由题意得 420nm解之得 12n,则明文 a、b 对应的密文为 2a-b、2

20、a+b,则当 a=1,b=3 时有 2a-b=-1、2a+b=5故选 B4如果 1,2xy是二元一次方程组 1,2axby的解,那么关于 m 的方程 a2m+2 016 b=2 017 的解为( )A. -1 B. 1 C. 0 D. -2【分析】根据二元一次方程组的解,可直接代入可得【解答】解: 2ab,解得 0a,代入可得 m+2016+0=2017,解得 m=1.故选:B.5( 2018娄底)如图,往竖直放置的在 A 处由短软管连接的粗细均匀细管组成的 “U”形装置中注入一定量的水,水面高度为 6cm,现将右边细管绕 A 处顺时针方向旋转 60到AB 位置, 则 AB 中水柱的长度约为(

21、 )A4cm B6 cm C8cm D12cm3【分析】考查一元一次方程应用【解答】解:如图,构造 RtACD,设 ADxcm,因为ACD30,AC2AD2xcm则x2x12,解得 x4,所以 AC2x8答案:C,6如图,8 块相同的小长方形地砖拼成一个长方形,其中每一个小长方形的面积为( )A 400cm2 B. 500cm2 C. 600cm2 D. 675cm2【分析】考查一元一次方程应用7( 2018河南) 九章算术中记载:”今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三问人数、羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出 5 钱,还差 45 钱;若每人出 7 钱,还差 3 钱问:

22、合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为 x 人,羊价为 y 钱,根据题意,可列方程组为( )A 3745xyB 3745-xyC 3-745xyD 3-745xy【分析】考查一元一次方程应用【解答】解:根据“若每人出 5 钱,还差 45 钱;若每人出 7 钱,还差 3 钱”由此可得方程组 3745xy答案:A二、填空题(共 3 题,每题 4 分;共 12 分)8 ( 2018菏泽 ,14 ,3 分)一组“数值转换机”按下面的程序计算,如果输入的数是36,则输出的结果为 106,要使输出的结果为 127,则输入的最小正整数是 【分析】考查 一元一次方程解的意义及运用9.(2018德州)对于实数 a

23、,b 定义运算“” :ab2,.ba例如,43,因为 43,所以 43 25若 x,y 满足方程组4829xy,则 xy 【分析】考查二元一次方程组解的意义及运用【解答】解:解方程组得:x=5y12,5 12,xy51260答案:60 10 ( 2018泰州)已知 3x-y=3a2-6a+9,x+y=a 2+6a-9.若 xy ,则实数 a 的值为 .【分析】考查二元一次方程组解的意义及运用【解答】解:将已知的两个等式相减可得 2x-2y=2a2-12a+18,x-y=(a-3) 20 ,(a-3)20, (a-3)2=0,a=3.答案:3三、解答题(共 6 题,每题 10 分;共 60 分)

24、 11 已知方程组: 42)(3018ymx,求 myx)12(的平方根.【分析】考查二元一次方程组解法及平方根12:若实数 x,y 符合 1xy,且 x、y 是方程组 10324xyx的解,求 xy 的平方根。【分析】考查用整体思想求二元一次方程组解【解答】解:设|x+y|=a,|x|=b,则原方程组可化为:a 十 b=4(3);十 3b=10(4)( 3)2(4 )得:b= 2,解得 b=2,把 b=2 代入得:a+2=4,解得 a=2,即|x+y|=2,|x|=2, 由|x|=2 得:x=2,因 x-1=0,则 x=1,所以 x=2当 x=2 时,|2+y|=2,2+y=2,y=0 或

25、y=4;当 x=2,y=0 时 xy=0,则 xy 的平方根为 0;当 x=2,y=一 4 时 xy=一 80,此时 xy 没有平方根;综上 x=2,y=0,xy 的平方根为 013:已知关于 x,y 的二元一次方程(a2017)x+(2018-a)y+1+a=0 ,当 a 每取一个值时,就有一个方程,而这些方程有一个公共解,试求出这个公共解【分析】考查二元一次方程解及解的情况探讨【解答】解:将方程化为关于 a 的方程:(x 一 y 十 1)a=2017x2018y1,由于 x,y 的值与 a 的取值无关,即这个关于 a 的方程有无数多个解,则 x 一 y+1=0 且2017x 一 2018y

26、 一 1=0;则:2017(y 一 1)-2018y-1=0;得 y=-2018;解之得:x=一 2019;y=一 201814 已知非负数 a,b,c 满足条件 a+b=2018,c a=2017,设 S=a+b+c 的最大值为 m,最小值为 n,求 mn 的值【分析】考查消元化归思想及方程组解法的综合运用【解答】解:a ,b,c 为非负 数;S=a+b+c0;又ca=2017;c=a+2017;而 a 大于等于0c2017;a+b=2018;S=a+b+c=2018+c ;又c2017; c=2017 时 S 最小,即 S 最小=4035,即 n=4035;又a+b=2018;而 a、b

27、均为非负数, 0a2018 且c=a+2017S=a+b+c=2018+c=2018+a+2017= 4035+a; a=2018 时 S 最大,即 S 最大=4035 十2018,即 m=4035 十 2018;mn=4035 十 20184035=201815 为了打赢“精准脱贫”攻坚战,某乡镇积极鼓励外出打工人员返乡创业,对返乡创业人员一次性最高可给予 10 万元的无息贷款(贷款期限为 3 年)帮助农民发家致富农民秭再兴抓住机遇,返乡创业,他去年初利用 10 万元的无息贷款在家乡创办了一家农家乐(经营餐饮与住宿) ,一年时间创收的利润刚好为投资资金的 80%,其中餐饮利润比住宿利润的 2

28、倍还多 5000 元(1 )求去年该农家乐创收的餐饮和住宿的利润各为多少万元?(2 )今年初秭再兴把去年的餐饮利润全部用于继续投资,增设了土特产的实体店和网店销售项目 他在接受记者采访时说:“我预计今年餐饮和住宿的利润比去年都会增长 20%,土特产销售的利润将不低于住宿利润的 40%. 到今年年底,这两年获得的所有利润除能收回所有投资外,还将结余 4 万元 ”求今年销售土特产获得的实际利润 .【分析】考查一次方程组解法与实际问题16 ( 2018南宁) 某公司在甲、乙仓库共存放某种原料 450 吨,如果运出甲仓库所存原料的 60%,乙仓库所存原料的 40%,那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多 30 吨(1) 求甲、乙两仓库各存放原料多少吨?(2)现公司需将 300 吨原料运往工厂,从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为 120 元/ 吨和100 元/吨经协商,从甲仓库到工厂的运价可优惠 a 元/吨(10 a30) ,从乙仓库到工厂的运价不变设从甲仓库运 m 吨原料到工厂,请求出总运费 w 关 于 m 的函数解析式(不要求写出 m 的取值范围) ;(3)在(2)的条件下,请根据函数的性质说明:随着 m 的增大,w 的变化情况【分析】考查一次方程组解法与实际问题