1、243 正多边形和圆1了解正多边形和圆的有关概念2理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系3会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形一、情境导入如图，要拧开一个边长为 6cm 的正六边形螺帽，扳手张开的开口至少是多少？你能想办法知道吗？二、合作探究探究点一：正多边形的有关概念和性质【类型一】求正多边形的中心角已知一个正多边形的每个内角均为 108，则它的中心角为_度解析：每个内角为 108，则每个外角为 72，根据多边形的外角和等于 360， 正多边形的边数为 5，则其中心为 360572.【类型二】正多边形的有关计算已知正六边形 ABCDEF 的半径是 R，求正六边形的边长 a
2、和面积 S.解：作半径 OA、 OB，过 O 作 OH AB，则 AOH 30，1806 AH R， a2 AH R.由勾股定理可得： r2 R2( R)2， r R， S ar612 12 32 12R R6 R2.12 32 332方法总结：熟练掌握多边形的相关概念，以及等边三角形与圆的关系及有关计算【类型三】圆的内接正多边形的探究题如图所示，图， ， M， N 分别是 O 的内接正三角形 ABC，正方形 ABCD，正五边形 ABCDE，正 n 边形的边 AB， BC 上的点，且 BM CN，连接 OM， ON.(1)求图中 MON 的度数；(2)图中 MON 的度数是_，图中 MON 的
3、度数是_； (3)试探究 MON 的度数与正 n 边形边数 n 的关系(直接写出答案)解：图中，连接 OB， OC.正三角形 ABC 内接于 O， OBM OCN30， BOC120.又 OCN30， BOC120，而 BM CN， OB OC， OBMOCN， BOM CON， MON BOC120；(2)90 72；(3) MON .360n探究点二：作圆的内接正多边形如图，已知半径为 R 的 O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形解析：度量法：用量角器量出圆心角是 120 度的角；尺规作图法：先将圆六等分，然后再每两份合并成一份，将圆三等分解：方法一：(1)用量角器画圆心角 AOB1
4、20， BOC120；(2)连接 AB， BC， CA，则 ABC 为圆内接正三角形方法二：(1)用量角器画圆心角 BOC120；(2)在 O 上用圆规截取 ；AC AB (3)连接 AC， BC， AB，则 ABC 为圆内接正三角形方法三：(1)作直径 AD；(2)以 D 为圆心，以 OA 长为半径画弧，交 O 于 B， C；(3)连接 AB， BC， CA，则 ABC 为圆内接正三角形方法四：(1)作直径 AE；(2)分别以 A， E 为圆心， OA 长为半径画弧与 O 分别交于点 D， F， B， C；(3)连接 AB， BC， CA(或连接 EF， ED， DF)，则 ABC(或 EFD)为圆内接正三角形方法总结：解决正多边形的作图问题，通常可以使用的方法有两大类：度量法、尺规作图法；其中度量法可以画出任意的多边形，而尺规作图只能作出一些特殊的正多边形，如边数是 3、4 的整数倍的正多边形三、板书设计教学过程中，强调正多边形与圆的联系，将正多边形放在圆中便于解决、探究更多关于正多边形的问题.