1、223 实际问题与二次函数第 1 课时 几何图形的最大面积1经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系2会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值3能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题一、情境导入孙大爷要围成一个矩形花圃花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为 32 米的篱笆恰好围成围成的花圃是如图所示的矩形 ABCD.设 AB 边的长为 x 米，矩形 ABCD 的面积为 S 平方米当 x 为何值时， S 有最大值？并求出最大值二、合作探究探究点：最大面积问题【类型一】利用二次函数求最大面积小李想用篱笆围成一个周长为 60 米的矩形场地，矩形面积 S(单位：平方米)随
2、矩形一边长 x(单位：米)的变化而变化(1)求 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；(2)当 x 是多少时，矩形场地面积 S 最大？最大面积是多少？解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数(1)矩形一边长为 x，则另一边长为，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标60 2x2解：(1)根据题意，得 S x x230 x.自变量 x 的取值范围是 0 x30.60 2x2(2)S x230 x( x15) 2225， a10， S 有最大值，即当 x15(米)时， S 最大值 225 平方米方法总结：二次函数与日常生活的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广
3、泛性解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系【类型二】利用二次函数判断面积取值成立的条件用长为 32 米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为 x 米，面积为 y平方米(1)求 y 关于 x 的函数关系式；(2)当 x 为何值时，围成的养鸡场面积为 60 平方米？(3)能否围成面积为 70 平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)求出 y的最大值，与 70比较大小，即可作出判断解：(1) y
4、 x(16 x) x216 x(0 x16)；(2)当 y60 时， x216 x60，解得 x110， x26.所以当 x10 或 6 时，围成的养鸡场的面积为 60 平方米；(3)方法一：当 y70 时， x216 x70，整理得： x216 x700，由于256280240，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为 70 平方米的养鸡场方法二： y x216 x( x8) 264，当 x8 时， y 有最大值 64，即能围成的养鸡场的最大面积为 64 平方米，所以不能围成 70 平方米的养鸡场方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程【类型三】最大面积方案设计
5、施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为 6 米，宽度 OM 为 12米现以 O 点为原点， OM 所在直线为 x 轴建立直角坐标系(如图所示)(1)直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标；(2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架” CDAB，使 A、 D 点在抛物线上，B、 C 点在地面 OM 上为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆 AB、 AD、 DC 的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下解：(1) M(12，0)， P(6，6)(2)设这条抛物线的函数关系式为 y a(x6) 26，因为抛物线过 O(0，0)，所以a(06)
6、 260，解得， a ，所以这条抛物线的函数关系式为： y (x6) 26，16 16即 y x22 x.16(3)设 OB m 米，则点 A 的坐标为( m， m22 m)，所以 AB DC m22 m.根据抛物16 16线的轴对称，可得 OB CM m，所以 BC122 m，即 AD122 m，所以l AB AD DC m22 m122 m m22 m m22 m12 (m3) 215.所以当16 16 13 13m3，即 OB3 米时，三根木杆长度之和 l 的最大值为 15 米三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况.