1、221.2 二次函数 yax 2的图象和性质1会用描点法画出 y ax2的图象，理解抛物线的概念2掌握形如 y ax2的二次函数图象和性质，并会应用一、情境导入自由落体公式 h gt2(g 为常量)， h 与 t 之间是什么关系呢？它是什么函数？它的图12象是什么形状呢？二、合作探究探究点一：二次函数 y ax2的图象【类型一】图象的识别已知 a0，在同一直角坐标系中，函数 y ax 与 y ax2的图象有可能是( )解析：本题进行分类讨论：(1)当 a0 时，函数 y ax2的图象开口向上，函数 y ax图象经过一、三象限，故排除选项 B；(2)当 a0 时，函数 y ax2的图象开口向下，
2、函数y ax图象经过二、四象限，故排除选项 D；又因为在同一直角坐标系中，函数 y ax与y ax2的图象必有除原点(0，0)以外的交点，故选择 C.方法总结：分 a0 与 a0 两种情况加以讨论，并且结合一些特殊点，采取“排除法”【类型二】实际问题中图象的识别已知 h 关于 t 的函数关系式为 h gt2(g 为正常数， t 为时间)，则函数图象为( )12解析：根据 h关于 t的函数关系式为 h gt2，其中 g为正常数， t为时间，因此函数12h gt2图象是受一定实际范围限制的，图象应该在第一象限，是抛物线的一部分，故选 A.12方法总结：在识别二次函数图象时，应该注意考虑函数的实际意
3、义探究点二：二次函数 y ax2的性质【类型一】利用图象判断二次函数的增减性作出函数 y x2的图象，观察图象，并利用图象回答下列问题：(1)在 y 轴左侧图象上任取两点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，使 x2x10，试比较 y1与 y2的大小；(2)在 y 轴右侧图象上任取两点 C(x3， y3)， D(x4， y4)，使 x3 x40，试比较 y3与 y4的大小；(3)由(1)、(2)你能得出什么结论？解析：根据画出的函数图象来确定有关数值的大小，是一种比较常用的方法解：(1)图象如图所示，由图象可知 y1 y2，(2)由图象可知 y3y4；(3)在 y 轴左侧，y 随 x 的
4、增大而增大，在 y 轴右侧， y 随 x 的增大而减小方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图进行观察和分析以免解题时产生错误【类型二】二次函数的图象与性质的综合题已知函数 y( m3) xm23 m2 是关于 x 的二次函数(1)求 m 的值；(2)当 m 为何值时，该函数图象的开口向下？(3)当 m 为何值时，该函数有最小值？(4)试说明函数的增减性解析：(1)由二次函数的定义可得 故可求 m的值m2 3m 2 2，m 3 0，)(2)图象的开口向下，则 m30；(3)函数有最小值，则 m30；(4)函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定解：
5、(1)根据题意，得 解得 当 m4 或 m1m2 3m 2 2，m 3 0， ) m1 4， m2 1，m 3. )时，原函数为二次函数(2)图象开口向下， m30， m3， m4.当 m4 时，该函数图象的开口向下(3)函数有最小值， m30， m3， m1，当 m1 时，原函数有最小值(4)当 m4 时，此函数为 y x2，开口向下，对称轴为 y 轴，当 x0 时， y 随 x的增大而增大；当 x0 时， y 随 x 的增大而减小当 m1 时，此函数为 y4 x2，开口向上，对称轴为 y 轴，当 x0 时， y 随 x 的增大而减小；当 x0 时， y 随 x 的增大而增大方法总结：二次函
6、数的最值是顶点的纵坐标，当 a0 时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当 a0 时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察探究点三：确定二次函数 y ax2的表达式【类型一】利用图象确定 y ax2的解析式一个二次函数 y ax2(a0)的图象经过点 A(2，2)关于坐标轴的对称点 B，求其关系式解析：坐标轴包含 x轴和 y轴，故点 A(2，2)关于坐标轴的对称点不是一个点，而是两个点点 A(2，2)关于 x轴的对称点 B1(2，2)，点 A(2，2)关于 y轴的对称点B2(2，2)解：点 B 与点 A(2，2)关
7、于坐标轴对称， B1(2，2)， B2(2，2)当 y ax2的图象经过点 B1(2，2)时，2 a22， a ， y x2；当 y ax2的图象经过点12 12B1(2，2)时，2 a(2) 2， a ， y x2.二次函数的关系式为 y x212 12 12或 y x2.12方法总结：当题目给出的条件不止一个答案时，应运用分类讨论的方法逐一进行讨论，从而求得多个答案【类型二】二次函数 y ax2的图象与几何图形的综合应用已知二次函数 y ax2(a0)与直线 y2 x3 相交于点 A(1， b)，求：(1)a， b 的值；(2)函数 y ax2的图象的顶点 M 的坐标及直线与抛物线的另一个
8、交点 B 的坐标解析：直线与函数 y ax2的图象交点坐标可利用方程求解解：(1)点 A(1， b)是直线与函数 y ax2图象的交点，点 A 的坐标满足二次函数和直线的关系式， b a12，b 21 3， ) a 1，b 1.)(2)由(1)知二次函数为 y x2，顶点 M(即坐标原点)的坐标为(0，0)，由 x22 x3，解得 x11， x23， y11， y29，直线与抛物线的另一个交点B 的坐标为(3，9)【类型三】二次函数 y ax2的实际应用如图所示，有一抛物线形状的桥洞桥洞离水面最大距离 OM 为 3m，跨度 AB6m.(1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的
9、关系式；(2)一艘小船上平放着一些长 3m，宽 2m 且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？解析：可令 O为坐标原点，平行于 AB的直线为 x轴，建立平面直角坐标系，则可设此抛物线函数关系式为 y ax2.由题意可得 B点的坐标为(3，3)，由此可求出抛物线的函数关系式，然后利用此抛物线的函数关系式去探究其他问题解：(1)以 O 点为坐标原点，平行于线段 AB 的直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的函数关系式为 y ax2.由题意可得 B 点坐标为(3，3)，3 a32，解得 a ，抛物线的函数关系式为 y x2.13 13(2)当 x1 时， y 12 . OM3，木板最高可堆放 3 (米)13 13 13 83方法总结：解决实际问题时，要善于把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型解决实际问题的思想三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数 yax 2 的图象与性质，体会数学建模的数形结合的思想方法.