1、第 3 课时 几何图形与一元二次方程1掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题2继续探究实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题3通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力一、情境导入如图，在长为 10cm，宽为 8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的 80%，你能求出所截去小正方形的边长吗？二、合作探究探究点：用一元二次方程解决图形面积问题【类型一】利用面积构造一元二次方程模型用 10 米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为 6 平方米若设它的一条边长为 x 米，则根据题意可列出关于 x 的方程为( )A
2、 x(5 x)6 B x(5 x)6C x(10 x)6 D x(102 x)6解析：设一边长为 x米，则另外一边长为(5 x)米，根据它的面积为 6平方米，即可列出方程得： x(5 x)6，故选择 B.方法总结：理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关系列出方程现有一块长 80cm、宽 60cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为 xcm 的小正方形，做成一个底面积为 1500cm2的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长解析：设小正方形的边长为 xcm，则长方体盒子底面的长、宽均可用含 x的代数式表示，再根据面积，即可建立等量关系，列出方程解：设小正方形的边长为
3、 xcm，则可得这个长方体盒子的底面的长是(802 x)cm，宽是(602 x)cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面积，方程可列为(802 x)(602 x)1500，整理得 x270 x8250，解得 x155， x215.又602 x0， x55(舍)小正方形的边长为 15cm.方法总结：要从已知条件中找出关键的与所求问题有关的信息，通过图形求出面积，解题的关键是熟记各种图形的面积公式，列出符合题意的方程，整理即可【类型二】整体法构造一元二次方程模型如图，在一块长为 22 米，宽为 17 米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余
4、部分种上草坪，使草坪面积为 300 平方米设道路宽为 x 米，根据题意可列出的方程为_解析：解法一：把两条道路平移到靠近矩形的一边上，用含 x的代数式表示草坪的长为(22 x)米，宽为(17 x)米，根据草坪的面积为 300平方米可列出方程(22 x)(17 x)300.解法二：根据面积的和差可列方程：221722 x17 x x2300.方法总结：解答与道路有关的面积问题，可以根据图形面积的和差关系，寻找相等关系建立方程求解；也可以用平移的方法，把道路平移构建特殊的图形，并利用面积建立方程求解【类型三】利用一元二次方程解决动点问题如图所示，在 ABC 中， C90， AC6cm， BC8cm
5、，点 P 从点 A 出发沿边AC 向点 C 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从 C 点出发沿 CB 边向点 B 以 2cm/s 的速度移动(1)如果 P、 Q 同时出发，几秒钟后，可使 PCQ 的面积为 8 平方厘米？(2)点 P、 Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得 PCQ 的面积等于 ABC 的面积的一半若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由解析：这是一道动态问题，可设出未知数，表示出 PC与 CQ的长，根据面积公式建立方程求解解：(1)设 xs 后，可使 PCQ 的面积为 8cm2，所以 AP xcm， PC(6 x)cm， CQ2 xcm.则根据题意，得 (6 x)2x8
6、.整理，得 x26 x80，解这个方程，12得 x12， x24.所以 P、 Q 同时出发，2s 或 4s 后可使 PCQ 的面积为 8cm2.(2)设点 P 出发 x 秒后， PCQ 的面积等于 ABC 面积的一半则根据题意，得(6 x)2x 68.整理，得 x26 x120.由于此方程没有实数根，所以不存在12 12 12使 PCQ 的面积等于 ABC 面积一半的时刻三、板书设计与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程；对图形进行分割或补全的原则：转化成为规则图形时越简单越直观越好.