1、*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1探索一元二次方程的根与系数的关系2会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题一、情境导入一般地，对于关于 x 的方程 x2 px q0( p， q 为已知常数， p24 q0)，试用求根公式求出它的两个解 x1、 x2，算一算 x1 x2、 x1x2的值，你能得出什么结果？二、合作探究探究点：一元二次方程根与系数的关系【类型一】利用一元二次方程根与系数的关系求关于方程根的代数式的值已知 m、 n 是方程 2x2 x20 的两实数根，则 的值为( )1m 1nA1 B. C D112 12解析：根据根与系数的关系，可以求出 m n 和 mn 的值，
2、再将原代数式变形后，整体代入计算即可因为 m、 n 是方程 2x2 x20 的两实数根，所以m n ， mn1， .故选 C.12 1m 1n n mmn 12 1 12方法总结：解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式，注意前提：方程有两个实数根时，判别式大于或等于 0.【类型二】根据方程的根确定一元二次方程已知一元二次方程的两根分别是 4 和5，则这个一元二次方程是( )A x26 x80 B x29 x10C x2 x60 D x2 x200解析：方程的两根分别是 4 和5，设两根为 x1， x2，则 x1 x21， x1x220.如果令方程 ax2 bx c0 中， a1，则 b1
3、， c20.方程为 x2 x200.故选D.方法总结：先把所构造的方程的二次项系数定为 1，利用一元二次方程根与系数的关系确定一元二次方程一次项系数和常数项【类型三】根据根与系数的关系确定方程的解(2014云南曲靖)已知 x4 是一元二次方程 x23 x c0 的一个根，则另一个根为_解析：设另一根为 x1，则由根与系数的关系得 x143， x11.故答案为 x1.方法总结：解决这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系列出方程即可解决【类型四】利用一元二次方程根与系数的关系确定字母系数(2014山东烟台)关于 x 的方程 x2 ax2 a0 的两根的平方和是 5，则 a 的值是( )A1
4、或 5 B1C5 D1解析：将两根平方和转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决设方程两根为 x1， x2，由题意，得 x x 5.( x1 x2)21 222 x1x25. x1 x2 a， x1x22 a， a222 a5.解得 a15， a21.又 a28 a，当 a5 时，0，此时方程有两实数根所以取 a1.故选 D.方法总结：解答此类题的关键是将与方程两根有关的式子转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决问题注意不要忽略题目中的隐含条件0，导致解答不全面【类型五】一元二次方程根与系数的关系和根的情况的综合应用已知 x1、 x2是
5、一元二次方程( a6) x22 ax a0 的两个实数根(1)是否存在实数 a，使 x1 x1x24 x2成立？若存在，求出 a 的值；若不存在，请你说明理由；(2)求使( x11)( x21)为负整数的实数 a 的整数值解：(1)根据题意，得 (2 a)24 a(a6)24 a0.解得 a0.又 a60， a6.由根与系数关系得： x1 x2 ， x1x2 .由2aa 6 aa 6 x1 x1x24 x2得 x1 x24 x1x2， 4 ，解得 a24.经检验 a24 是2aa 6 aa 6方程 4 的解即存在 a24，使 x1 x1x24 x2成立2aa 6 aa 6(2)原式 x1 x2 x1x21 1 为负整数，则 6 a 为1 或2aa 6 aa 6 66 a2，3，6.解得 a7 或 8，9，12.三、板书设计教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住 0 这个前提条件.