1、2019 年辽宁省辽阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 AxR|1x3，B2，1，0，1，2，3，4，则 AB（ ）A 1，0，1，2，3 B0 ，1，2，3 C1，2，3D 0，1，22 （5 分）已知复数 z ，则 z+ 在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 zx2y 的最小值是（ ）A4 B2 C0 D24 （5 分）抛物线 C：y 22px（
2、p0）的焦点为 F，点 A（6，y 0）是 C 上一点，|AF|2p，则 p（ ）A8 B4 C2 D15 （5 分）已知等比数列a n的首项为 1，且 a6+a42（a 3+a1） ，则 a1a2a3a7（ ）A16 B64 C128 D2566 （5 分）函数 y 的图象大致是（ ）AB第 2 页（共 24 页）CD7 （5 分）某学生 5 次考试的成绩（单位：分）分别为 85，67，m，80，93，其中 m0，若该学生在这 5 次考试中成绩的中位数为 80，则得分的平均数不可能为（ ）A70 B75 C80 D858 （5 分）已知某几何体
3、是由一个三棱柱和一个三棱锥组合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B2 C D9 （5 分）已知函数 f（x ）2sin（x+ ）1（02）的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）A直线 x 是函数 yf（x ）图象的一条对称轴B函数 yf （x ）图象的对称中心是（ +k，0） ，k Z第 3 页（共 24 页）Cf（ ）1D函数 yf（x ）的最小正周期为 10 （5 分）已知数列a n的首项 a121，且满足（2n5 ）a n+1（2n3）an+4n216n+15，则a n的最小的一项是（ ）Aa 5 Ba 6 Ca 7 Da
4、811 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C： 1（a0，b0）的一条渐近线与圆（x 2） 2+（y1） 21 相切，则 （ ）A B C D12 （5 分）设x表示不大于实数 x 的最大整数，函数 f（ x） ，若 f（x ）有且只有 5 个零点，则实数 a 的取值范围为（ ）A （，e B （，e） C （，1 D （c ，1）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上13 （5 分）已知| |2，| | 3， ， 的夹角为 120，则 |2 + | 14 （5 分） （x+ ）
5、（x +2） 5 的展开式中 x2 的系数为 15 （5 分）某天，小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影，他们到达电影院之后发现，当天正在放映 A，B，C ，D，E 五部影片于是他们商量一起看其中的一部影片：小赵说：只要不是 B 就行；小张说：B，C，D，E 都行；小李说：我喜欢 D，但是只要不是 C 就行；小刘说：除了 E 之外，其他的都可以据此判断，他们四人可以共同看的影片为 16 （5 分）如图，在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，AB1，BC ，点 M 在棱 CC1 上，当 MD1+MA 取得最小值时， MD1MA
6、，则棱 CC1 的长为 第 4 页（共 24 页）三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每道试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若（1）求 B；（2）若 b1，求ABC 面积的最大值18 （12 分）某种类型的题目有 A，B，C ，D，E5 个选项，其中有 3 个正确选项，满分 5分赋分标准为“选对 1 个得 2 分，选对 2 个得 4 分，选对 3 个得 5 分，每选错 1 个扣3 分，最低
7、得分为 0 分” ，在某校的一次考试中出现了一道这种类型的题目，已知此题的正确答案为 ACD，假定考生作答的答案中的选项个数不超过 3 个（1）若甲同学无法判断所有选项，他决定在这 5 个选项中任选 3 个作为答案，求甲同学获得 0 分的概率；（2）若乙同学只能判断选项 AD 是正确的，现在他有两种选择：一种是将 AD 作为答案，另一种是在 B，C，E 这 3 个选项中任选一个与 AD 组成一个含有 3 个选项的答案，则乙同学的最佳选择是哪一种，请说明理由19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，ACD45，CD2，PAC 为边长为 的等边三角形，PA C
8、D（1）证明：平面 PCD平面 ABCD；（2）求二面角 APB D 的余弦值第 5 页（共 24 页）20 （12 分）设椭圆 C： 1（ab0）的左右焦点分别为 F1，F 2，下顶点为A，O 为坐标原点，点 O 到直线 AF2 的距离为 ， AF1F2 为等腰直角三角形（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，若直线 AM 与直线 AN 的斜率之和为 2，证明：直线 l 恒过定点，并求出该定点的坐标21 （12 分）已知函数 f（x ）xlnxkx 2x，a，b 是函数（ x）的两个极值点（ab） （1）求 k 的取值范围；（2）证明：abe 2选考题：
9、共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：极坐标与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 x+y+a0，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程；（2）若直线 （ R）与 l 的交点为 M，与 C 的交点为 A，B，且点 M 恰好为线段 AB 的中点，求 a选修 4-5：不等式选讲23已知 f（x） |x+a|+|x|（1）当 a1 时，求不等式 f（x ）3 的解集；（2）设关于 x 的不等式 f（x）3 有解，求 a
10、 的取值范围第 6 页（共 24 页）2019 年辽宁省辽阳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 AxR|1x3，B2，1，0，1，2，3，4，则 AB（ ）A 1，0，1，2，3 B0 ，1，2，3 C1，2，3D 0，1，2【分析】利用交集定义直接求解【解答】解：集合 AxR |1x3，B 2，1， 0，1，2，3， 4，AB0，1，2，3故选：B【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题
11、2 （5 分）已知复数 z ，则 z+ 在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简 z，求得 z+ 在复平面内对应的点的坐标得答案【解答】解：z ，z+ ，z+ 在复平面内对应的点的坐标为（ ， ） ，位于第一象限故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 zx2y 的最小值是（ ）第 7 页（共 24 页）A4 B2 C0 D2【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求即可【解答】解：
12、由 zx2y 得 y x ，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分 ABC）平移直线 y x ，由图象可知当直线 y x ，过点 B 时，直线 y x 的截距最大，此时 z 最小，由 ，解得 B（0，2） 代入目标函数 zx2y ，得 z0224，目标函数 zx2y 的最小值是4故选：A【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法4 （5 分）抛物线 C：y 22px（p0）的焦点为 F，点 A（6，y 0）是 C 上一点，|AF|2p，则 p（ ）A8 B4 C2 D1【分析】利用抛物线的定义，通过|AF |2
13、p，求解 p 即可【解答】解：抛物线 C：y 22px（p0）的准线方程 x ，点 A 在 C 上，|AF|2 p，可得：6+ 2p，第 8 页（共 24 页）解得：p4故选：B【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的定义的应用，考查计算能力5 （5 分）已知等比数列a n的首项为 1，且 a6+a42（a 3+a1） ，则 a1a2a3a7（ ）A16 B64 C128 D256【分析】利用等比数列的通项公式可得 q，再利用通项公式及其等差数列的求和公式即可得出【解答】解：设等比数列a n的公比为 q，a 6+a42（a 3+a1） ，q 5+q32（q 2+1） ，解得
14、 q32则 a1a2a3a7q 0+1+6q 212 7128故选：C【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6 （5 分）函数 y 的图象大致是（ ）ABC第 9 页（共 24 页）D【分析】根据函数的定义域，奇偶性以及对称性，以及函数值的符号进行判断即可【解答】解：的定义域为x| x0，排除 B，由 f（x）0 得 lnx40 得 x1，f（x）f（x ） ，则函数 f（x）是奇函数，图象关于原点对称排除 C，当 x1 时，f（ x）0，排除 D，故选：A【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合定义域，奇偶性以及函数
15、值的对应性，利用排除法是解决本题的关键7 （5 分）某学生 5 次考试的成绩（单位：分）分别为 85，67，m，80，93，其中 m0，若该学生在这 5 次考试中成绩的中位数为 80，则得分的平均数不可能为（ ）A70 B75 C80 D85【分析】由该学生在这 5 次考试中成绩的中位数为 80，得到 m80，由此能求出得分的平均数不大于 81【解答】解：某学生 5 次考试的成绩（单位：分）分别为 85，67，m，80，93，其中m0，该学生在这 5 次考试中成绩的中位数为 80，m80，得分的平均数： 81，得分的平均数不可能为 85故选：D【点评】本题考查实数值的判断，考查中位
16、数、平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8 （5 分）已知某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）第 10 页（共 24 页）A B2 C D【分析】根据三视图知该几何体是一个三棱柱和一个三棱锥组合而成的，结合图中数据计算它的体积【解答】解：根据三视图知该几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组合而成的，画出直观图如图所示，则该几何体的体积为VV 三棱柱 +V 三棱锥 113+ 1132故选：B【点评】本题考查了利用三视图求简单组合体体积的应用问题，是基础题9 （5 分）已知函数 f（x ）2sin（x+ ）1（02）的部分图象如图
17、所示，则下列判断正确的是（ ）A直线 x 是函数 yf（x ）图象的一条对称轴B函数 yf （x ）图象的对称中心是（ +k，0） ，k Z第 11 页（共 24 页）Cf（ ）1D函数 yf（x ）的最小正周期为 【分析】根据五点法作图，求出 ，可得函数的解析式，再利用正弦函数的性质判断各个选项是否正确，从而得出结论【解答】解：根据函数 f（x ）2sin（x+ ）1（02）的部分图象，可得sin（ + ）1， + ，1，f （x）2sin （x+ ）1令 x ，求得 f（x）1，为最大值，故直线 x 是函数 yf（x）图象的一条对称轴，故 A 正确；令 x +k，求
18、得 f（x）2sin（k + ）10，故 B 不对；由函数的解析式可得 f（ ） 2sin（ + ）11，故 C 不对；由 f（x）2sin（x + ）1，可得它的周期为 2，故 D 不对，故选：A【点评】本题主要考查由 yAsin （ x+）的部分图象求函数解析式，五点法作图，正弦函数的性质，属于基础题10 （5 分）已知数列a n的首项 a121，且满足（2n5 ）a n+1（2n3）an+4n216n+15，则a n的最小的一项是（ ）Aa 5 Ba 6 Ca 7 Da 8【分析】本题可先将 4n216n+15 进行因式分解，再进行变形发现可以构造一个数列bn使问题简单化，
19、然后通过求出数列b n的通项公式来求出数列a n的通项公式，再可以把数列a n的通项公式看成一个二次函数去考虑a n取最小值的项数【解答】解：由题意，可知：4n 216n+15（2n3） （2n5） ，（2n5）a n+1（2n3）a n+（2n3） （2n5） ，等式两边同时除以（2n3） （2n5） ，可得：，第 12 页（共 24 页）可设 bn ，则 ，b n+1b n+1，即：b n+1b n1b 1 数列b n是以7 为首项，1 为公差的等差数列b n7+（n1）1n8，n N*a n（n8） （2n5）2n 221n+40可把 an 看成关于 n 的二次函数，则根据二次函数的性质
20、，可知：当 n5 或 n6 时，a n 可能取最小值当 n5 时，a 525 2215+4015，当 n6 时，a 626 2216+4014当 n5 时，a n 取得最小值故选：A【点评】本题主要考查数列的转化及构造新数列的思想，以及二次函数去判断数列取最值的问题，本题是一道较好的中档题11 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C： 1（a0，b0）的一条渐近线与圆（x 2） 2+（y1） 21 相切，则 （ ）A B C D【分析】求得双曲线的渐近线方程，以及圆的圆心和半径，运用直线和圆相切的条件：dr，计算可得 3a4b，即可得到结果【解答】解：双曲线 C： 1（
21、a0，b0）的一条渐近线为 y x，即为 axby0，圆（x2） 2+（y 1） 21 的圆心（2，1） ，半径为 1，由直线和圆相切可得， 1，化为 a2+b24a 24ab+ b2，可得 3a4b，第 13 页（共 24 页） 故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质，注意渐近线方程和圆方程的运用，考查直线和圆相切的条件：dr，考查运算能力，属于中档题12 （5 分）设x表示不大于实数 x 的最大整数，函数 f（ x） ，若 f（x ）有且只有 5 个零点，则实数 a 的取值范围为（ ）A （，e B （，e） C （，1 D （c ，1）【分析】根据分段函数的表达式，先讨论当
22、 x0 时，函数零点的个数为 3 个，则条件等价为当 x0 时，函数 f（x）的零点只有一个，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数，利用数形结合进行求解即可【解答】解：当 x0 时，由 f（x）（lnx） 2lnx20 得（lnx） 2lnx+20，则lnx2，若lnx2，则2lnx1，此时方程等价为（lnx） 2lnx+22+20，此时lnx0，方程无解，不满足条件若lnx1，则1lnx0，此时方程等价为（lnx） 2lnx+21+21，此时lnx1，此时 x ，有一个解若lnx0，则 0lnx1，此时方程等价为（lnx） 2 lnx+20+22，此时 lnx，方程无解，不满足条
23、件若lnx1，则 1lnx2，此时方程等价为（lnx） 2 lnx+21+23，此时lnx ，xe ，有一个解若lnx2，则 2lnx3，此时方程等价为（lnx） 2 lnx+22+24，此时lnx2，xe 2，有一个解若lnx3，则 3lnx4，此时方程等价为（lnx） 2 lnx+23+25，此时 lnx，方程无解，不满足条件若lnx 4，则 4lnx5，此时方程等价为（lnx） 2lnx+24+26，此时 lnx，方程无解，不满足条件，即当lnx 4 时，方程 lnx） 2 lnx+2 无解，即当 x0 时， f（x）只有 3 个零点，第 14 页（共 24 页）若 f（x）有且仅有 5
24、 个零点，则等价为当 x0 时，若 f（x）有且仅有 2 个零点即方程 ex 1ax 有两个非正实根显然 x0 是函数的零点，函数 ye x 1 在点（0，0）处的切线斜率 kf （0）1，故只需 k1 即可综上，实数 a 的取值范围为（，1故选：C【点评】本题主要考查函数零点的应用，利用分段函数的表达式判断当 x0 时函数f（x）的零点个数为 3 个是解决本题的关键综合性较强，难度较大二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上13 （5 分）已知| |2，| | 3， ， 的夹角为 120，则 |2 + | 【分析】直接利
25、用向量的数量积以及向量的模，化简求解即可【解答】解：| |2，| |3 ， ， 的夹角为 120，则|2 + | 故答案为： 【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力14 （5 分） （x+ ） （x +2） 5 的展开式中 x2 的系数为 120 【分析】由二项式定理及分类讨论思想得：由（x+2） 5 展开式的通项得：Tr+1 x5r 2r，则（x+ ） （x+2） 5 的展开式中 x2 的系数为： + 120，得解【解答】解：由（x+2） 5 展开式的通项得：T r+1 x5r 2r，则（x+ ） （x+2） 5 的展开式中 x2 的系数为： + 120，故答案为：12
26、0【点评】本题考查了二项式定理及分类讨论思想，属中档题15 （5 分）某天，小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影，他们到达电影院之后发现，当天正在放映 A，B，C ，D，E 五部影片于是他们商量一起看其中的一部影片：第 15 页（共 24 页）小赵说：只要不是 B 就行；小张说：B，C，D，E 都行；小李说：我喜欢 D，但是只要不是 C 就行；小刘说：除了 E 之外，其他的都可以据此判断，他们四人可以共同看的影片为 D 【分析】由题意，小赵排除 B，小张排除 A，小李排除 C，小刘排除 E；从而求解【解答】解：由题意，小赵说：只要不是 B 就行，故排除 B；小张说：B，C，
27、D，E 都行，故排除 A；小李说：我喜欢 D，但是只要不是 C 就行，故排除 C；小刘说：除了 E 之外，其他的都可以，故排除 E；故他们四人可以共同看的影片为：D 故答案为：D【点评】本题考查了合情推理的应用，属于基础题16 （5 分）如图，在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，AB1，BC ，点 M 在棱 CC1 上，当 MD1+MA 取得最小值时， MD1MA ，则棱 CC1 的长为 【分析】设长方体的高为 h，求出 MD1+MA 的最小值对应的位置，根据勾股定理解方程得出 h 的值【解答】解：AB1，BC ，AC 2，延长 DC 到 N 使得 CNAC2，
28、则 MAMN，设 CC1h，连接 D1N 交 CC1 于 M，则 MD1+MA 的最小值为 D1N 第 16 页（共 24 页） ，CM ，C 1M DM ，AM ，又 AD1 ，MA MD 1，AD 12M A 2+MD 12，即 3+h21+ +4+ ，解得 h 故答案为： 【点评】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每道试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答17 （12 分）在ABC 中，内角
29、A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若（1）求 B；（2）若 b1，求ABC 面积的最大值【分析】 （1）由余弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 cosB ，可求 B （2）由余弦定理，基本不等式可求 ac ，根据三角形的面积公式即可计算得解【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1） 第 17 页（共 24 页）由余弦定理可得： ，2 分可得： ，3 分可得： sinAcosBcos BsinC+sinBcosCsin（B+C ）sinA，可得：cosB ，B （2）由余弦定理：b 2a 2+c22accosB，可得：1a 2+c2 ac，7 分1a 2+c2 ac2ac a
30、c，9 分可得：ac ，10 分S ABC acsinB ，可得ABC 面积的最大值 12 分【点评】本题主要考查余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了三角函数恒等变换的应用，考查学生的计算能力和转化思想，属于基础题18 （12 分）某种类型的题目有 A，B，C ，D，E5 个选项，其中有 3 个正确选项，满分 5分赋分标准为“选对 1 个得 2 分，选对 2 个得 4 分，选对 3 个得 5 分，每选错 1 个扣3 分，最低得分为 0 分” ，在某校的一次考试中出现了一道这种类型的题目，已知此题的正确答案为 ACD，假定考生作答的答案中的选项个数不超过 3 个（1）
31、若甲同学无法判断所有选项，他决定在这 5 个选项中任选 3 个作为答案，求甲同学获得 0 分的概率；（2）若乙同学只能判断选项 AD 是正确的，现在他有两种选择：一种是将 AD 作为答案，另一种是在 B，C，E 这 3 个选项中任选一个与 AD 组成一个含有 3 个选项的答案，则乙同学的最佳选择是哪一种，请说明理由【分析】 （1）根据组合数公式计算得 0 分的情况和所有的情况种数，得出概率；（2）分别计算两种情况的得分的数学期望，从而可做出结论【解答】解：（1）从 5 个选项中任选 3 个作答，共有 10 中情况，若选择 1 个正确选项，2 个错误选项，则得 0 分，这中情况共有 3 种，故甲
32、同学获得 0 分的概率为 （2）若将 AD 作为答案，则得 4 分，若从 BCE 中任选一个与 AD 组成答案，则有 2 种情况，第 18 页（共 24 页）记 P（X）为得 X 分的概率，则 P（1） ，P（5） ，则 E（X）1 +5 4 ，乙同学的最佳选择是将 AD 作为答案【点评】本题考查了古典概型的概率计算，考查组合数公式的应用，属于中档题19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，ACD45，CD2，PAC 为边长为 的等边三角形，PA CD（1）证明：平面 PCD平面 ABCD；（2）求二面角 APB D 的余弦值【分析】 （1）设 CD 的中
33、点为 E，证明 CD平面 PAE 可得 CDPE，利用勾股定理证明 PEAE，得出 PE平面 ABCD，故而平面 PCD平面 ABCD；（2）以 E 为原点，EA ，EC，EP 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 APBD 的余弦值【解答】证明：（1）取 CD 的中点 E，连接 PE，AE，ACD45，CD2，AC ，AD ，ACD 是等腰直角三角形，ADAC，AECD，又 PACD，PA AEA，CD平面 PAE，又 PE平面 PAE，CDPE PE 1，又 AE CD1，PA ，第 19 页（共 24 页）PE 2+AE2PA 2，PEAE，又 AE
34、平面 ABCD，CD平面 ABCD，CD AE E，PE平面 ABCD，又 PE平面 PCD，平面 PCD平面 ABCD解：（2）以 E 为原点，EA ，EC，EP 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0） ，P（0，0，1） ，B（1，2，0） ，D （0，1，0） ，（1，0，1） ， （1，2，1） ， （0，1，1） ，设平面 PAB 的法向量 （x，y，z） ，则 ，取 x1，得 （1，0，1） ，设平面 PBD 的法向量 （x，y ，z） ，则 ，取 z1，得 （3，1，1） ，设二面角 APB D 的平面角为 ，则 cos 二面角 APB D 的余弦值
35、为 第 20 页（共 24 页）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查利用向量求二面角的平面角等基础知识，还考查了空间向量的坐标运算，考查运算求解能力及方程思想，属于中档题20 （12 分）设椭圆 C： 1（ab0）的左右焦点分别为 F1，F 2，下顶点为A，O 为坐标原点，点 O 到直线 AF2 的距离为 ， AF1F2 为等腰直角三角形（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，若直线 AM 与直线 AN 的斜率之和为 2，证明：直线 l 恒过定点，并求出该定点的坐标【分析】 （1）由已知可得 a，b，c 的关系，结合点 O 到直线 AF2 的距离为 ，进一
36、步得到 a，b，则椭圆方程可求；（2）当直线斜率不存在时，求得直线方程为 x1；当直线 l 的斜率存在，设直线 l 方程：ykx +m，联立直线方程与椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系可得 M，N 的横坐标的和与积，由直线 AM 与 AN 的斜率之和为 2 可得 m 与 k 的关系，再由直线系方程得答案【解答】 （1）解：由AF 1F2 为等腰直角三角形，得 a ，又 O 到直线 AF2 的距离为 ，bc1，则 a ，则椭圆 C 的标准方程为 ；（2）证明：当直线 l 的斜率不存在时，设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，则 x1x 2，y 2 y 1，由
37、 ，得 x11，此时直线方程为 x1；当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 方程：ykx+m，由 ，得（1+2k 2）x 2+4kmx+2（m 21）0第 21 页（共 24 页）， ，依题意：k AM+kAN 2，y 1kx 1+m，y 2kx 2+m， 2， ，则mk+1直线 l 方程为：y kx+mkxk+1k（x1）+1，过定点（1，1） 综上，直线 l 恒过定点（1， 1） 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，是中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）xlnxkx 2x，a，b 是函数（ x）的两个极值点（ab） （1）求 k 的取值范围；（2）证明：a
38、be 2【分析】 （1）由导数与极值的关系知可转化为方程 f（x）lnx2kx0 在（0，+）有两个不同根；利用参数分离法进行转化求解即可（2）根据极值的定义得 a，b 分别是 f（x ）lnx2kx0 的两个根，不等式abe 2只需证明 lnablna+lnab 2，根据条件构造函数，求出函数的导数，利用导数与不等式之间的关系进行证明即可【解答】解：（1）函数 f（x）xlnxkx 2x 的定义域为（ 0，+） ，f （x）lnx2kx函数 f（x）在其定义域内有两个不同的极值点 a，b第 22 页（共 24 页）方程 f（x） 0 在（0，+）有两个不同根；即 lnx2kx0 得 2k ，
39、转化为函数 g（x） ，与函数 y2k 的图象在（0， +）上有两个不同交点又 g（x） ，即 0xe 时，g（x）0，xe 时，g（x）0，故 g（x）在（0，e ）上单调增，在（e ，+）上单调减故 g（x） 极大 g（e ） 又 g（x）有且只有一个零点是 1，且在 x0 时，g（x ） ，在在 x+时，g（x）0，故 g（x）的草图如右图，02k ，即 0k 故 k 的取值范围为（0， ） （2）由（1）可知 a，b 分别是方程 lnx2kx0 的两个根，即 lna2ka ，lnb2kb，要证明 abe 2只需证明 lnablna +lnab2两式相加，得： 2k（a+b）lna +l
40、nb，即 2k ，两式相减，得： 2k（ab）lna lnb ，即 2k ，联立，得 ，lna+lnb 设 t ，0ab，t1，lna+lnb ，t1，只需证明当 t1 时，不等式 2 成立即可，即不等式 lnt 成立，设函数 （t）lnt ，（t ） 0，在1，+ ）上单调递增，故 t1 时，（t ）（1）0，（t） （ 1）0，即证得当 t1 时，lnt ，即证得 lna+lnb2，第 23 页（共 24 页）lnab2，即证得 abe 2【点评】本题主要考查导数的综合应用，结合函数极值与导数之间的关系，转化为f（x）0 的两个根，根据不等式之间的关系进行转化，构造函数，利用导数进行证明是
41、解决本题的关键综合性较强，难度较大选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：极坐标与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 x+y+a0，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程；（2）若直线 （ R）与 l 的交点为 M，与 C 的交点为 A，B，且点 M 恰好为线段 AB 的中点，求 a【分析】 （1）由 x+y+a0 得 cos+sin+a0；由 消去参数 得x2+y22y80， 22 sin80（2） 的
42、直角坐标方程为 y x，联立 得 M（ a， a） ，直线 y x 的参数方程为 （t 为参数）代入 x2+（y1） 29，再利用参数的几何意义可得【解答】解：（1）由 x+y+a0 得 cos+sin+a0；由 消去参数 得 x2+y22y80， 22 sin 80（2） 的直角坐标方程为 y x，第 24 页（共 24 页）联立 得 M（ a， a） ，直线 y x 的参数方程为 （t 为参数）代入 x2+（y1） 29，整理得：t 2（1+a）t+ a2+ 80，设 A，B 对应的参数为 t1，t 2，则 t1+t21+a，因为 M 为 AB 的中点，所以 t1+t20，1+ a0，a1
43、【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档选修 4-5：不等式选讲23已知 f（x） |x+a|+|x|（1）当 a1 时，求不等式 f（x ）3 的解集；（2）设关于 x 的不等式 f（x）3 有解，求 a 的取值范围【分析】 （1）分 3 种情况去绝对值变成解不等式组；（2）先利用绝对值不等式求出 f（x ）的最小值，再将不等式有解转化为最小值可得【解答】解：（1）当 a1 时，|x +1|+|x|3 或 或 ，解得：2x1，所以不等式 f（x ）3 的解集为（2，1） （2）f（x） |x+a|+|x|x +ax|a| ，即 f（x） min| a|，又 f（x）3 有解等价于 f（x） min3，| a|3，3a3所以 a 的取值范围是3a3【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题