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2019年辽宁省辽阳市高考数学二模试卷(理科)含答案解析

1、2019 年辽宁省辽阳市高考数学二模试卷(理科)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)已知集合 AxR|1x3,B2,1,0,1,2,3,4,则 AB(  )A 1,0,1,2,3 B0 ,1,2,3 C1,2,3D 0,1,22 (5 分)已知复数 z ,则 z+ 在复平面内对应的点位于(  )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 (5 分)设 x,y 满足约束条件 ,则 zx2y 的最小值是(  )A4 B2 C0 D24 (5 分)抛物线 C:y 22px(

2、p0)的焦点为 F,点 A(6,y 0)是 C 上一点,|AF|2p,则 p(  )A8 B4 C2 D15 (5 分)已知等比数列a n的首项为 1,且 a6+a42(a 3+a1) ,则 a1a2a3a7(  )A16 B64 C128 D2566 (5 分)函数 y 的图象大致是(  )AB第 2 页(共 24 页)CD7 (5 分)某学生 5 次考试的成绩(单位:分)分别为 85,67,m,80,93,其中 m0,若该学生在这 5 次考试中成绩的中位数为 80,则得分的平均数不可能为(  )A70 B75 C80 D858 (5 分)已知某几何体

3、是由一个三棱柱和一个三棱锥组合而成的,其三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )A B2 C D9 (5 分)已知函数 f(x )2sin(x+ )1(02)的部分图象如图所示,则下列判断正确的是(  )A直线 x 是函数 yf(x )图象的一条对称轴B函数 yf (x )图象的对称中心是( +k,0) ,k Z第 3 页(共 24 页)Cf( )1D函数 yf(x )的最小正周期为 10 (5 分)已知数列a n的首项 a121,且满足(2n5 )a n+1(2n3)an+4n216n+15,则a n的最小的一项是(   )Aa 5 Ba 6 Ca 7 Da

4、811 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C: 1(a0,b0)的一条渐近线与圆(x 2) 2+(y1) 21 相切,则 (  )A B C D12 (5 分)设x表示不大于实数 x 的最大整数,函数 f( x) ,若 f(x )有且只有 5 个零点,则实数 a 的取值范围为(  )A (,e B (,e) C (,1 D (c ,1)二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在答题卡中的横线上13 (5 分)已知| |2,| | 3, , 的夹角为 120,则 |2 + |     14 (5 分) (x+ )

5、(x +2) 5 的展开式中 x2 的系数为     15 (5 分)某天,小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影,他们到达电影院之后发现,当天正在放映 A,B,C ,D,E 五部影片于是他们商量一起看其中的一部影片:小赵说:只要不是 B 就行;小张说:B,C,D,E 都行;小李说:我喜欢 D,但是只要不是 C 就行;小刘说:除了 E 之外,其他的都可以据此判断,他们四人可以共同看的影片为     16 (5 分)如图,在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中,AB1,BC ,点 M 在棱 CC1 上,当 MD1+MA 取得最小值时, MD1MA

6、,则棱 CC1 的长为     第 4 页(共 24 页)三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题,每道试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答17 (12 分)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若(1)求 B;(2)若 b1,求ABC 面积的最大值18 (12 分)某种类型的题目有 A,B,C ,D,E5 个选项,其中有 3 个正确选项,满分 5分赋分标准为“选对 1 个得 2 分,选对 2 个得 4 分,选对 3 个得 5 分,每选错 1 个扣3 分,最低

7、得分为 0 分” ,在某校的一次考试中出现了一道这种类型的题目,已知此题的正确答案为 ACD,假定考生作答的答案中的选项个数不超过 3 个(1)若甲同学无法判断所有选项,他决定在这 5 个选项中任选 3 个作为答案,求甲同学获得 0 分的概率;(2)若乙同学只能判断选项 AD 是正确的,现在他有两种选择:一种是将 AD 作为答案,另一种是在 B,C,E 这 3 个选项中任选一个与 AD 组成一个含有 3 个选项的答案,则乙同学的最佳选择是哪一种,请说明理由19 (12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,ACD45,CD2,PAC 为边长为 的等边三角形,PA C

8、D(1)证明:平面 PCD平面 ABCD;(2)求二面角 APB D 的余弦值第 5 页(共 24 页)20 (12 分)设椭圆 C: 1(ab0)的左右焦点分别为 F1,F 2,下顶点为A,O 为坐标原点,点 O 到直线 AF2 的距离为 , AF1F2 为等腰直角三角形(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点,若直线 AM 与直线 AN 的斜率之和为 2,证明:直线 l 恒过定点,并求出该定点的坐标21 (12 分)已知函数 f(x )xlnxkx 2x,a,b 是函数( x)的两个极值点(ab) (1)求 k 的取值范围;(2)证明:abe 2选考题:

9、共 10 分,请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分选修 4-4:极坐标与参数方程22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x+y+a0,曲线 C 的参数方程为( 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系(1)求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程;(2)若直线 ( R)与 l 的交点为 M,与 C 的交点为 A,B,且点 M 恰好为线段 AB 的中点,求 a选修 4-5:不等式选讲23已知 f(x) |x+a|+|x|(1)当 a1 时,求不等式 f(x )3 的解集;(2)设关于 x 的不等式 f(x)3 有解,求 a

10、 的取值范围第 6 页(共 24 页)2019 年辽宁省辽阳市高考数学二模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)已知集合 AxR|1x3,B2,1,0,1,2,3,4,则 AB(  )A 1,0,1,2,3 B0 ,1,2,3 C1,2,3D 0,1,2【分析】利用交集定义直接求解【解答】解:集合 AxR |1x3,B 2,1, 0,1,2,3, 4,AB0,1,2,3故选:B【点评】本题考查交集的求法,考查交集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题

11、2 (5 分)已知复数 z ,则 z+ 在复平面内对应的点位于(  )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简 z,求得 z+ 在复平面内对应的点的坐标得答案【解答】解:z ,z+ ,z+ 在复平面内对应的点的坐标为( , ) ,位于第一象限故选:A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题3 (5 分)设 x,y 满足约束条件 ,则 zx2y 的最小值是(  )第 7 页(共 24 页)A4 B2 C0 D2【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求即可【解答】解:

12、由 zx2y 得 y x ,作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分 ABC)平移直线 y x ,由图象可知当直线 y x ,过点 B 时,直线 y x 的截距最大,此时 z 最小,由 ,解得 B(0,2) 代入目标函数 zx2y ,得 z0224,目标函数 zx2y 的最小值是4故选:A【点评】本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,利用数形结合是解决问题的基本方法4 (5 分)抛物线 C:y 22px(p0)的焦点为 F,点 A(6,y 0)是 C 上一点,|AF|2p,则 p(  )A8 B4 C2 D1【分析】利用抛物线的定义,通过|AF |2

13、p,求解 p 即可【解答】解:抛物线 C:y 22px(p0)的准线方程 x ,点 A 在 C 上,|AF|2 p,可得:6+ 2p,第 8 页(共 24 页)解得:p4故选:B【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用,抛物线的定义的应用,考查计算能力5 (5 分)已知等比数列a n的首项为 1,且 a6+a42(a 3+a1) ,则 a1a2a3a7(  )A16 B64 C128 D256【分析】利用等比数列的通项公式可得 q,再利用通项公式及其等差数列的求和公式即可得出【解答】解:设等比数列a n的公比为 q,a 6+a42(a 3+a1) ,q 5+q32(q 2+1) ,解得

14、 q32则 a1a2a3a7q 0+1+6q 212 7128故选:C【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题6 (5 分)函数 y 的图象大致是(  )ABC第 9 页(共 24 页)D【分析】根据函数的定义域,奇偶性以及对称性,以及函数值的符号进行判断即可【解答】解:的定义域为x| x0,排除 B,由 f(x)0 得 lnx40 得 x1,f(x)f(x ) ,则函数 f(x)是奇函数,图象关于原点对称排除 C,当 x1 时,f( x)0,排除 D,故选:A【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,结合定义域,奇偶性以及函数

15、值的对应性,利用排除法是解决本题的关键7 (5 分)某学生 5 次考试的成绩(单位:分)分别为 85,67,m,80,93,其中 m0,若该学生在这 5 次考试中成绩的中位数为 80,则得分的平均数不可能为(  )A70 B75 C80 D85【分析】由该学生在这 5 次考试中成绩的中位数为 80,得到 m80,由此能求出得分的平均数不大于 81【解答】解:某学生 5 次考试的成绩(单位:分)分别为 85,67,m,80,93,其中m0,该学生在这 5 次考试中成绩的中位数为 80,m80,得分的平均数: 81,得分的平均数不可能为 85故选:D【点评】本题考查实数值的判断,考查中位

16、数、平均数等基础知识,考查运算求解能力,是基础题8 (5 分)已知某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组合而成的,其三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )第 10 页(共 24 页)A B2 C D【分析】根据三视图知该几何体是一个三棱柱和一个三棱锥组合而成的,结合图中数据计算它的体积【解答】解:根据三视图知该几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组合而成的,画出直观图如图所示,则该几何体的体积为VV 三棱柱 +V 三棱锥 113+ 1132故选:B【点评】本题考查了利用三视图求简单组合体体积的应用问题,是基础题9 (5 分)已知函数 f(x )2sin(x+ )1(02)的部分图象如图

17、所示,则下列判断正确的是(  )A直线 x 是函数 yf(x )图象的一条对称轴B函数 yf (x )图象的对称中心是( +k,0) ,k Z第 11 页(共 24 页)Cf( )1D函数 yf(x )的最小正周期为 【分析】根据五点法作图,求出 ,可得函数的解析式,再利用正弦函数的性质判断各个选项是否正确,从而得出结论【解答】解:根据函数 f(x )2sin(x+ )1(02)的部分图象,可得sin( +  )1, + ,1,f (x)2sin (x+ )1令 x ,求得 f(x)1,为最大值,故直线 x 是函数 yf(x)图象的一条对称轴,故 A 正确;令 x +k,求

18、得 f(x)2sin(k + )10,故 B 不对;由函数的解析式可得 f( ) 2sin( + )11,故 C 不对;由 f(x)2sin(x + )1,可得它的周期为 2,故 D 不对,故选:A【点评】本题主要考查由 yAsin ( x+)的部分图象求函数解析式,五点法作图,正弦函数的性质,属于基础题10 (5 分)已知数列a n的首项 a121,且满足(2n5 )a n+1(2n3)an+4n216n+15,则a n的最小的一项是(   )Aa 5 Ba 6 Ca 7 Da 8【分析】本题可先将 4n216n+15 进行因式分解,再进行变形发现可以构造一个数列bn使问题简单化,

19、然后通过求出数列b n的通项公式来求出数列a n的通项公式,再可以把数列a n的通项公式看成一个二次函数去考虑a n取最小值的项数【解答】解:由题意,可知:4n 216n+15(2n3) (2n5) ,(2n5)a n+1(2n3)a n+(2n3) (2n5) ,等式两边同时除以(2n3) (2n5) ,可得:,第 12 页(共 24 页)可设 bn ,则 ,b n+1b n+1,即:b n+1b n1b 1 数列b n是以7 为首项,1 为公差的等差数列b n7+(n1)1n8,n N*a n(n8) (2n5)2n 221n+40可把 an 看成关于 n 的二次函数,则根据二次函数的性质

20、,可知:当 n5 或 n6 时,a n 可能取最小值当 n5 时,a 525 2215+4015,当 n6 时,a 626 2216+4014当 n5 时,a n 取得最小值故选:A【点评】本题主要考查数列的转化及构造新数列的思想,以及二次函数去判断数列取最值的问题,本题是一道较好的中档题11 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C: 1(a0,b0)的一条渐近线与圆(x 2) 2+(y1) 21 相切,则 (  )A B C D【分析】求得双曲线的渐近线方程,以及圆的圆心和半径,运用直线和圆相切的条件:dr,计算可得 3a4b,即可得到结果【解答】解:双曲线 C: 1(

21、a0,b0)的一条渐近线为 y x,即为 axby0,圆(x2) 2+(y 1) 21 的圆心(2,1) ,半径为 1,由直线和圆相切可得, 1,化为 a2+b24a 24ab+ b2,可得 3a4b,第 13 页(共 24 页) 故选:B【点评】本题考查双曲线的简单性质,注意渐近线方程和圆方程的运用,考查直线和圆相切的条件:dr,考查运算能力,属于中档题12 (5 分)设x表示不大于实数 x 的最大整数,函数 f( x) ,若 f(x )有且只有 5 个零点,则实数 a 的取值范围为(  )A (,e B (,e) C (,1 D (c ,1)【分析】根据分段函数的表达式,先讨论当

22、 x0 时,函数零点的个数为 3 个,则条件等价为当 x0 时,函数 f(x)的零点只有一个,利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数,利用数形结合进行求解即可【解答】解:当 x0 时,由 f(x)(lnx) 2lnx20 得(lnx) 2lnx+20,则lnx2,若lnx2,则2lnx1,此时方程等价为(lnx) 2lnx+22+20,此时lnx0,方程无解,不满足条件若lnx1,则1lnx0,此时方程等价为(lnx) 2lnx+21+21,此时lnx1,此时 x ,有一个解若lnx0,则 0lnx1,此时方程等价为(lnx) 2 lnx+20+22,此时 lnx,方程无解,不满足条

23、件若lnx1,则 1lnx2,此时方程等价为(lnx) 2 lnx+21+23,此时lnx ,xe ,有一个解若lnx2,则 2lnx3,此时方程等价为(lnx) 2 lnx+22+24,此时lnx2,xe 2,有一个解若lnx3,则 3lnx4,此时方程等价为(lnx) 2 lnx+23+25,此时 lnx,方程无解,不满足条件若lnx 4,则 4lnx5,此时方程等价为(lnx) 2lnx+24+26,此时 lnx,方程无解,不满足条件,即当lnx 4 时,方程 lnx) 2 lnx+2 无解,即当 x0 时, f(x)只有 3 个零点,第 14 页(共 24 页)若 f(x)有且仅有 5

24、 个零点,则等价为当 x0 时,若 f(x)有且仅有 2 个零点即方程 ex 1ax 有两个非正实根显然 x0 是函数的零点,函数 ye x 1 在点(0,0)处的切线斜率 kf (0)1,故只需 k1 即可综上,实数 a 的取值范围为(,1故选:C【点评】本题主要考查函数零点的应用,利用分段函数的表达式判断当 x0 时函数f(x)的零点个数为 3 个是解决本题的关键综合性较强,难度较大二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在答题卡中的横线上13 (5 分)已知| |2,| | 3, , 的夹角为 120,则 |2 + |    【分析】直接利

25、用向量的数量积以及向量的模,化简求解即可【解答】解:| |2,| |3 , , 的夹角为 120,则|2 + | 故答案为: 【点评】本题考查向量的数量积的应用,考查转化思想以及计算能力14 (5 分) (x+ ) (x +2) 5 的展开式中 x2 的系数为 120 【分析】由二项式定理及分类讨论思想得:由(x+2) 5 展开式的通项得:Tr+1 x5r 2r,则(x+ ) (x+2) 5 的展开式中 x2 的系数为: + 120,得解【解答】解:由(x+2) 5 展开式的通项得:T r+1 x5r 2r,则(x+ ) (x+2) 5 的展开式中 x2 的系数为: + 120,故答案为:12

26、0【点评】本题考查了二项式定理及分类讨论思想,属中档题15 (5 分)某天,小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影,他们到达电影院之后发现,当天正在放映 A,B,C ,D,E 五部影片于是他们商量一起看其中的一部影片:第 15 页(共 24 页)小赵说:只要不是 B 就行;小张说:B,C,D,E 都行;小李说:我喜欢 D,但是只要不是 C 就行;小刘说:除了 E 之外,其他的都可以据此判断,他们四人可以共同看的影片为 D  【分析】由题意,小赵排除 B,小张排除 A,小李排除 C,小刘排除 E;从而求解【解答】解:由题意,小赵说:只要不是 B 就行,故排除 B;小张说:B,C,

27、D,E 都行,故排除 A;小李说:我喜欢 D,但是只要不是 C 就行,故排除 C;小刘说:除了 E 之外,其他的都可以,故排除 E;故他们四人可以共同看的影片为:D 故答案为:D【点评】本题考查了合情推理的应用,属于基础题16 (5 分)如图,在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中,AB1,BC ,点 M 在棱 CC1 上,当 MD1+MA 取得最小值时, MD1MA ,则棱 CC1 的长为    【分析】设长方体的高为 h,求出 MD1+MA 的最小值对应的位置,根据勾股定理解方程得出 h 的值【解答】解:AB1,BC ,AC 2,延长 DC 到 N 使得 CNAC2,

28、则 MAMN,设 CC1h,连接 D1N 交 CC1 于 M,则 MD1+MA 的最小值为 D1N 第 16 页(共 24 页) ,CM ,C 1M DM ,AM ,又 AD1 ,MA MD 1,AD 12M A 2+MD 12,即 3+h21+ +4+ ,解得 h 故答案为: 【点评】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题,每道试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答17 (12 分)在ABC 中,内角

29、A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若(1)求 B;(2)若 b1,求ABC 面积的最大值【分析】 (1)由余弦定理,三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 cosB ,可求 B (2)由余弦定理,基本不等式可求 ac ,根据三角形的面积公式即可计算得解【解答】 (本题满分为 12 分)解:(1) 第 17 页(共 24 页)由余弦定理可得: ,2 分可得: ,3 分可得: sinAcosBcos BsinC+sinBcosCsin(B+C )sinA,可得:cosB ,B (2)由余弦定理:b 2a 2+c22accosB,可得:1a 2+c2 ac,7 分1a 2+c2 ac2ac a

30、c,9 分可得:ac ,10 分S ABC acsinB ,可得ABC 面积的最大值 12 分【点评】本题主要考查余弦定理,基本不等式,三角形的面积公式在解三角形中的应用,考查了三角函数恒等变换的应用,考查学生的计算能力和转化思想,属于基础题18 (12 分)某种类型的题目有 A,B,C ,D,E5 个选项,其中有 3 个正确选项,满分 5分赋分标准为“选对 1 个得 2 分,选对 2 个得 4 分,选对 3 个得 5 分,每选错 1 个扣3 分,最低得分为 0 分” ,在某校的一次考试中出现了一道这种类型的题目,已知此题的正确答案为 ACD,假定考生作答的答案中的选项个数不超过 3 个(1)

31、若甲同学无法判断所有选项,他决定在这 5 个选项中任选 3 个作为答案,求甲同学获得 0 分的概率;(2)若乙同学只能判断选项 AD 是正确的,现在他有两种选择:一种是将 AD 作为答案,另一种是在 B,C,E 这 3 个选项中任选一个与 AD 组成一个含有 3 个选项的答案,则乙同学的最佳选择是哪一种,请说明理由【分析】 (1)根据组合数公式计算得 0 分的情况和所有的情况种数,得出概率;(2)分别计算两种情况的得分的数学期望,从而可做出结论【解答】解:(1)从 5 个选项中任选 3 个作答,共有 10 中情况,若选择 1 个正确选项,2 个错误选项,则得 0 分,这中情况共有 3 种,故甲

32、同学获得 0 分的概率为 (2)若将 AD 作为答案,则得 4 分,若从 BCE 中任选一个与 AD 组成答案,则有 2 种情况,第 18 页(共 24 页)记 P(X)为得 X 分的概率,则 P(1) ,P(5) ,则 E(X)1 +5 4 ,乙同学的最佳选择是将 AD 作为答案【点评】本题考查了古典概型的概率计算,考查组合数公式的应用,属于中档题19 (12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,ACD45,CD2,PAC 为边长为 的等边三角形,PA CD(1)证明:平面 PCD平面 ABCD;(2)求二面角 APB D 的余弦值【分析】 (1)设 CD 的中

33、点为 E,证明 CD平面 PAE 可得 CDPE,利用勾股定理证明 PEAE,得出 PE平面 ABCD,故而平面 PCD平面 ABCD;(2)以 E 为原点,EA ,EC,EP 所在直线分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角 APBD 的余弦值【解答】证明:(1)取 CD 的中点 E,连接 PE,AE,ACD45,CD2,AC ,AD ,ACD 是等腰直角三角形,ADAC,AECD,又 PACD,PA AEA,CD平面 PAE,又 PE平面 PAE,CDPE PE 1,又 AE CD1,PA ,第 19 页(共 24 页)PE 2+AE2PA 2,PEAE,又 AE

34、平面 ABCD,CD平面 ABCD,CD AE E,PE平面 ABCD,又 PE平面 PCD,平面 PCD平面 ABCD解:(2)以 E 为原点,EA ,EC,EP 所在直线分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,A(1,0,0) ,P(0,0,1) ,B(1,2,0) ,D (0,1,0) ,(1,0,1) , (1,2,1) , (0,1,1) ,设平面 PAB 的法向量 (x,y,z) ,则 ,取 x1,得 (1,0,1) ,设平面 PBD 的法向量 (x,y ,z) ,则 ,取 z1,得 (3,1,1) ,设二面角 APB D 的平面角为 ,则 cos 二面角 APB D 的余弦值

35、为 第 20 页(共 24 页)【点评】本题考查面面垂直的证明,考查利用向量求二面角的平面角等基础知识,还考查了空间向量的坐标运算,考查运算求解能力及方程思想,属于中档题20 (12 分)设椭圆 C: 1(ab0)的左右焦点分别为 F1,F 2,下顶点为A,O 为坐标原点,点 O 到直线 AF2 的距离为 , AF1F2 为等腰直角三角形(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点,若直线 AM 与直线 AN 的斜率之和为 2,证明:直线 l 恒过定点,并求出该定点的坐标【分析】 (1)由已知可得 a,b,c 的关系,结合点 O 到直线 AF2 的距离为 ,进一

36、步得到 a,b,则椭圆方程可求;(2)当直线斜率不存在时,求得直线方程为 x1;当直线 l 的斜率存在,设直线 l 方程:ykx +m,联立直线方程与椭圆方程,化为关于 x 的一元二次方程,利用根与系数的关系可得 M,N 的横坐标的和与积,由直线 AM 与 AN 的斜率之和为 2 可得 m 与 k 的关系,再由直线系方程得答案【解答】 (1)解:由AF 1F2 为等腰直角三角形,得 a ,又 O 到直线 AF2 的距离为 ,bc1,则 a ,则椭圆 C 的标准方程为 ;(2)证明:当直线 l 的斜率不存在时,设 M(x 1,y 1) ,N(x 2,y 2) ,则 x1x 2,y 2 y 1,由

37、 ,得 x11,此时直线方程为 x1;当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 方程:ykx+m,由 ,得(1+2k 2)x 2+4kmx+2(m 21)0第 21 页(共 24 页), ,依题意:k AM+kAN 2,y 1kx 1+m,y 2kx 2+m, 2, ,则mk+1直线 l 方程为:y kx+mkxk+1k(x1)+1,过定点(1,1) 综上,直线 l 恒过定点(1, 1) 【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查直线与椭圆位置关系的应用,是中档题21 (12 分)已知函数 f(x )xlnxkx 2x,a,b 是函数( x)的两个极值点(ab) (1)求 k 的取值范围;(2)证明:a

38、be 2【分析】 (1)由导数与极值的关系知可转化为方程 f(x)lnx2kx0 在(0,+)有两个不同根;利用参数分离法进行转化求解即可(2)根据极值的定义得 a,b 分别是 f(x )lnx2kx0 的两个根,不等式abe 2只需证明 lnablna+lnab 2,根据条件构造函数,求出函数的导数,利用导数与不等式之间的关系进行证明即可【解答】解:(1)函数 f(x)xlnxkx 2x 的定义域为( 0,+) ,f (x)lnx2kx函数 f(x)在其定义域内有两个不同的极值点 a,b第 22 页(共 24 页)方程 f(x) 0 在(0,+)有两个不同根;即 lnx2kx0 得 2k ,

39、转化为函数 g(x) ,与函数 y2k 的图象在(0, +)上有两个不同交点又 g(x) ,即 0xe 时,g(x)0,xe 时,g(x)0,故 g(x)在(0,e )上单调增,在(e ,+)上单调减故 g(x) 极大 g(e ) 又 g(x)有且只有一个零点是 1,且在 x0 时,g(x ) ,在在 x+时,g(x)0,故 g(x)的草图如右图,02k ,即 0k 故 k 的取值范围为(0, ) (2)由(1)可知 a,b 分别是方程 lnx2kx0 的两个根,即 lna2ka ,lnb2kb,要证明 abe 2只需证明 lnablna +lnab2两式相加,得: 2k(a+b)lna +l

40、nb,即 2k ,两式相减,得: 2k(ab)lna lnb ,即 2k ,联立,得 ,lna+lnb 设 t ,0ab,t1,lna+lnb ,t1,只需证明当 t1 时,不等式 2 成立即可,即不等式 lnt 成立,设函数 (t)lnt ,(t ) 0,在1,+ )上单调递增,故 t1 时,(t )(1)0,(t) ( 1)0,即证得当 t1 时,lnt ,即证得 lna+lnb2,第 23 页(共 24 页)lnab2,即证得 abe 2【点评】本题主要考查导数的综合应用,结合函数极值与导数之间的关系,转化为f(x)0 的两个根,根据不等式之间的关系进行转化,构造函数,利用导数进行证明是

41、解决本题的关键综合性较强,难度较大选考题:共 10 分,请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分选修 4-4:极坐标与参数方程22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x+y+a0,曲线 C 的参数方程为( 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系(1)求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程;(2)若直线 ( R)与 l 的交点为 M,与 C 的交点为 A,B,且点 M 恰好为线段 AB 的中点,求 a【分析】 (1)由 x+y+a0 得 cos+sin+a0;由 消去参数 得x2+y22y80, 22 sin80(2) 的

42、直角坐标方程为 y x,联立 得 M( a, a) ,直线 y x 的参数方程为 (t 为参数)代入 x2+(y1) 29,再利用参数的几何意义可得【解答】解:(1)由 x+y+a0 得 cos+sin+a0;由 消去参数 得 x2+y22y80, 22 sin 80(2) 的直角坐标方程为 y x,第 24 页(共 24 页)联立 得 M( a, a) ,直线 y x 的参数方程为 (t 为参数)代入 x2+(y1) 29,整理得:t 2(1+a)t+ a2+ 80,设 A,B 对应的参数为 t1,t 2,则 t1+t21+a,因为 M 为 AB 的中点,所以 t1+t20,1+ a0,a1

43、【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程,属中档选修 4-5:不等式选讲23已知 f(x) |x+a|+|x|(1)当 a1 时,求不等式 f(x )3 的解集;(2)设关于 x 的不等式 f(x)3 有解,求 a 的取值范围【分析】 (1)分 3 种情况去绝对值变成解不等式组;(2)先利用绝对值不等式求出 f(x )的最小值,再将不等式有解转化为最小值可得【解答】解:(1)当 a1 时,|x +1|+|x|3 或 或 ,解得:2x1,所以不等式 f(x )3 的解集为(2,1) (2)f(x) |x+a|+|x|x +ax|a| ,即 f(x) min| a|,又 f(x)3 有解等价于 f(x) min3,| a|3,3a3所以 a 的取值范围是3a3【点评】本题考查了绝对值不等式的解法,属中档题