1、2018 年辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题 2 分，共 20 分）1 （2 分）在：0，2，1， 这四个数中，最小的数是（ ）A0 B2 C1 D2 （2 分）肥皂泡的泡壁厚度大约是 0.0007mm，0.0007 用科学记数法表示为（ ）A0.710 3 B710 3 C710 4 D710 53 （2 分）下列计算正确的是（ ）Aaa 2a 3 B （a 3） 2a 5 Ca+a 2a 3 Da 6a2a 34 （2 分）已知不等式组 ，其解集在数轴上表示正确的是（ ）A B
2、C D5 （2 分）一元二次方程 x2+2x+40 的根的情况是（ ）A有一个实数根 B有两个相等的实数根C有两个不相等的实数根 D没有实数根6 （2 分）估计 的值在（ ）A2 和 3 之间 B3 和 4 之间 C4 和 5 之间 D5 和 6 之间7 （2 分）右图是某市 10 月 1 日至 7 日一周内“日平均气温变化统计图” 在这组数据中，众数和中位数分别是（ ）A13，13 B14，14 C13，14 D14，138 （2 分）小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为 85 分、80 分、90 分，若依次按照 2：3：5 的比例确
3、定成绩，则小王的成绩是（ ）第 2 页（共 28 页）A255 分 B84 分 C84.5 分 D86 分9 （2 分）如图，已知O 的周长等于 6cm，则它的内接正六边形 ABCDEF 的面积是（ ）A B C D2710 （2 分）如图，在ABC 中，ACB 90，AC 4， BC2，P 是 AB 边上一动点，PDAC 于点 D，点 E 在 P 的右侧，且 PE1，连结 CEP 从点 A 出发，沿 AB 方向运动，当 E 到达点 B 时，P 停止运动在整个运动过程中，图中阴影部分面积 S1+S2 的大小变化情况是（ ）A一直减小 B一直不变C先增大后减小
4、 D先减小后增大二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）11 （3 分） 12 （3 分）某同学的身高为 1.4m，某一时刻他在阳光下的影长为 1.2m此时，与他相邻的一棵小树的影长为 3.6m，这棵树的高度为 m 13 （3 分）若点（x 1，y 1） 、 （x 2，y 2）和（x 3，y 3）分别在反比例函数 y 的图象上，且 x1x 20x 3，则 y1， y2，y 3 的大小关系是 14 （3 分）按一定规律排列的一列数依次为 ， ， ， ， ，按此规律排列下去，这列数的第 1
5、0 个数是 15 （3 分）图所示是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道是由两段互相平行且与地面成 37角的楼梯 AD，BE 和一段水平平台 DE 构成已知天桥高度 BC4.8m ，引桥水平跨度 AC8m则水平平台 DE 的长度约为 m （参考数据：sin37 0.60，cos370.80，tan37 0.75） 第 3 页（共 28 页）16 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB1，AD2，点 E 是边 AD 上的一个动点，把BAE 沿 BE 折叠，点 A 落在 A处，如果 A恰在矩形的对称轴上，则 AE 的长为
6、 三、解答题（第 17 小题 6 分，第 18、19 小题各 8 分，共 22 分）17 （6 分）先化简，再求值：（a+b） （ab）+b（b2） ，其中 a1，b118 （8 分）一只不透明袋子中装有 1 个红球，2 个黄球，这些球除颜色外都相同，小明搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出 1 个球，用画树状图或列表法列出摸出球的所有等可能情况，并求两次摸出的球都是红球的概率19 （8 分）如图，四边形 ABCD 中，ABCD，点 E，F 在对角线上，BEDF ，连接AF， CE，且 AFCE求证：四边形 ABCD 是平行四边形四、 （每小题 8 分，共
7、 16 分）20 （8 分）某校为了调查学生书写规范汉字的能力，从七年级 1000 名学生中随机抽选了部分学生参加测试，并根据测试成绩绘制了如下频数分布表和扇形统计图（尚不完整）学生书写规范汉字的能力测试成绩统计表组别 成绩 x 分 频数（人数）第 4 页（共 28 页）第 1 组 x60 4第 2 组 60x70 a第 3 组 70x80 20第 4 组 80x90 b第 5 组 90x100 10请结合图表完成下列各题：（1）表中 a 的值为 ，b 的值为 ；扇形统计图中表示第 1 组所对应的圆心角度数为 &
8、nbsp; 度；（2）若测试成绩不低于 80 分为优秀，请你估计从该校七年级学生中随机抽查一个学生，他的测试成绩为优秀的概率是 ；（3）若测试成绩在 6080 分之间为合格，请你估计该校七年级学生的测试成绩为合格的人数21 （8 分）如图，AB 为O 的直径，点 C，D 为 上的点，且 ，延长 AD，BC 相交于点 E，连接 OD 交 AC 于点 F（1）求证：ABCAEC；（2）若 OA3，BC4，求 AD 的长五、 （本题 10 分）22 （10 分）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为 40 元，用 90 元购进甲
9、种玩具的件数与用 150 元购进乙种玩具的件数第 5 页（共 28 页）相同（1）求每件甲、乙种玩具的进价分别是多少元？（2）若购买甲、乙两种玩具共 50 件，且总费用不超过 1000 元，求甲种玩具至少要购买多少件？六、 （本题 10 分）23 （10 分）如图 1，ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片，切去四个全等的等腰直角三角形（阴影部分所示） ，其中 E，F 在 AB 上；再沿虚线折起，点 A，B，C，D 恰好重合于点 O 处（如图 2 所示） ，形成有一个底面为正方形 GHMN 的包装盒，设GFx（cm） （1）请直接写出线段 BF 的长（用含 x 的代数式表示） ；（2）若
10、折成的长方体盒子的底面面积为 1250cm2，求长方体盒子的高；（3）若某广告商要求折成的长方体盒子侧面积 S（cm 2）最大，求上盖中四个全等的等腰直角三角形的腰长七、 （本题 12 分）24 （12 分）如图，RtABC，ACB90，ACBC 2，以 C 为顶点的正方形CDEF（ C、D、E、F 四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点 C 自由转动，且CD ，连接 AF，BD（1）求证：BDCAFC；（2）当正方形 CDEF 有顶点在线段 AB 上时，直接写出 BD+ AD 的值；（3）直接写出正方形 CDEF 旋转过程中，BD+ AD 的最小值第 6 页（共 28 页）八、 （本题 12 分
11、）25 （12 分）如图，点 A（m ，n）是抛物线 y x2 上的任意一点（ m0） 直线 ykx+b经过点 A，交 y 轴于点 B，过点 A 作 ACx 轴于点 C，ABO 的平分线交 x 轴于点 D，交 AC 延长线于点 E，且 ADBE（1）求证：ABAE ；（2）求点 D 的坐标（用含 m 的代数式表示）并求 OB 的长；（3）若 60BAE90，且 n 是整数直接写出满足条件的所有 k 的值；当 k 取最大值时，在 x 轴上找一点 P，使 tanAPB ，直接写出此时 OP 的长第 7 页（共 28 页）2018 年辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（下
12、列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题 2 分，共 20 分）1 （2 分）在：0，2，1， 这四个数中，最小的数是（ ）A0 B2 C1 D【分析】根据有理数大小比较的法则解答【解答】解：在 0，2，1， 这四个数中，只有2 是负数，最小的数是2故选：B【点评】本题很简单，只要熟知正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数即可2 （2 分）肥皂泡的泡壁厚度大约是 0.0007mm，0.0007 用科学记数法表示为（ ）A0.710 3 B710 3 C710 4 D710 5【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n
13、 ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定【解答】解：0.0007710 4 ，故选：C【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n ，其中1|a| 10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定3 （2 分）下列计算正确的是（ ）Aaa 2a 3 B （a 3） 2a 5 Ca+a 2a 3 Da 6a2a 3【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解【解答】解：A、aa 2a 3，
14、正确；B、应为（a 3） 2a 32a 6，故本选项错误；第 8 页（共 28 页）C、a 与 a2 不是同类项，不能合并，故本选项错误D、应为 a6a2a 62 a 4，故本选项错误故选：A【点评】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的一定不能合并4 （2 分）已知不等式组 ，其解集在数轴上表示正确的是（ ）A BC D【分析】求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，再在数轴上把不等式组的解集表示出来，即可得出选项【解答】解：解不等式得：x3，解不等式 得： x1，不等式组的解集为：x3，在数轴上表示不等
15、式组的解集为：故选：B【点评】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式（组）的应用，关键是能正确在数轴上表示不等式组的解集5 （2 分）一元二次方程 x2+2x+40 的根的情况是（ ）A有一个实数根 B有两个相等的实数根C有两个不相等的实数根 D没有实数根【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式b 24ac 的值的符号就可以了【解答】解：a1，b2，c4，b 24ac2 2414120，第 9 页（共 28 页）方程没有实数根故选：D【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）0方程有两个相等的实数根；（3）0方
16、程没有实数根6 （2 分）估计 的值在（ ）A2 和 3 之间 B3 和 4 之间 C4 和 5 之间 D5 和 6 之间【分析】估算确定出范围即可【解答】解：91316，3 4，则 的值在 3 和 4 之间，故选：B【点评】此题考查了估算无理数的大小，以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键7 （2 分）右图是某市 10 月 1 日至 7 日一周内“日平均气温变化统计图” 在这组数据中，众数和中位数分别是（ ）A13，13 B14，14 C13，14 D14，13【分析】根据众数与中位数的定义，找出出现次数最多的数，把这组数据从小到大排列，求出最中间两个数的平
17、均数即可【解答】解：温度为 14的有 2 天，最多，故众数为 14；7 天温度排序为：10，11，12，13，14，14，15，位于中间位置的数是 13，故中位数为 13，故选：D【点评】此题考查了众数与中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将第 10 页（共 28 页）一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数） ，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错8 （2 分）小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为 85 分、80 分、90 分，若依次按照 2：3：5 的比例确定成绩，则小王
18、的成绩是（ ）A255 分 B84 分 C84.5 分 D86 分【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果【解答】解：根据题意得：85 +80 +90 17+24+45 86（分），故选：D【点评】此题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的求法是解本题的关键9 （2 分）如图，已知O 的周长等于 6cm，则它的内接正六边形 ABCDEF 的面积是（ ）A B C D27【分析】首先过点 O 作 OHAB 于点 H，连接 OA，OB ，由O 的周长等于 6cm，可得 O 的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得答案【解答】解：过点 O 作 OHAB 于点 H，连接 O
19、A，OB ，AH AB， O 的周长等于 6cm， O 的半径为：3cm ，AOB 36060，OAOB ，OAB 是等边三角形，ABOA 3cm，AH cm，第 11 页（共 28 页）OH （cm） ，S 正六边形 ABCDEF6S OAB 6 3 （cm 2） 故选：C【点评】此题考查了正多边形与圆的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用10 （2 分）如图，在ABC 中，ACB 90，AC 4， BC2，P 是 AB 边上一动点，PDAC 于点 D，点 E 在 P 的右侧，且 PE1，连结 CEP 从点 A 出发，沿 AB 方向运动，当 E 到达点 B 时，P 停止运动在整个运动
20、过程中，图中阴影部分面积 S1+S2 的大小变化情况是（ ）A一直减小 B一直不变C先增大后减小 D先减小后增大【分析】设 PDx，AB 边上的高为 h，想办法求出 AD、h，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可【解答】解：在 RtABC 中，ACB90，AC4，BC2，AB 2 ，设 PDx，AB 边上的高为 h，h ，PDBC， ，AD2x，AP x，S 1+S2 2xx+ （2 1 x） x 22x+4 （x1）第 12 页（共 28 页）2+3 ，当 0x1 时，S 1+S2 的值随 x 的增大而减小，当 1x2 时，S 1+S2 的值随 x 的增大而增大故选：D【
21、点评】本题考查动点问题的函数图象、三角形面积，平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题，属于中考常考题型二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）11 （3 分） 4 【分析】直接利用求出立方根求解即可【解答】解：4 的立方为 64，64 的立方根为 4 4【点评】本题考查的是简单的开立方问题，注意正负号即可12 （3 分）某同学的身高为 1.4m，某一时刻他在阳光下的影长为 1.2m此时，与他相邻的一棵小树的影长为 3.6m，这棵树的高度为 4.2 m 【分析】设这棵树高度为 h，根据同一时刻物高与影长成正比列出关于 h 的方程，求
22、出h 的值即可【解答】解：设这棵树高度为 hm，同一时刻物高与影长成正比， ，解得 h4.2故答案为：4.2【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键第 13 页（共 28 页）13 （3 分）若点（x 1，y 1） 、 （x 2，y 2）和（x 3，y 3）分别在反比例函数 y 的图象上，且 x1x 20x 3，则 y1， y2，y 3 的大小关系是 y 3y 1y 2 【分析】根据 k20，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大判断 y1 与 y2 的大小以及y3 的符号，判断即可【解答】解：k2，x 1x 20 时，0y 1y 2，x 3
23、，0，y 30，y 3y 1y 2，故答案为：y 3y 1y 2【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质是解题的关键14 （3 分）按一定规律排列的一列数依次为 ， ， ， ， ，按此规律排列下去，这列数的第 10 个数是 【分析】分析题中数据可知第 n 个数的分子为 n2+1，分母为（n+1） 21故可求得第n 个数是 ，于是得到结论【解答】解：第一个数的分子为 12+12，分母为 221；第二个数的分子为 22+15，分母为 321；第三个数的分子为 32+110，分母为 421；第 n 个数的分子为 n2+1，分母为（n+1） 21
24、所以第 n 个数是 ，这列数的第 10 个数是 ，故答案为： 【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律分别得到分子和分母与数序之间的关系15 （3 分）图所示是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道是由两段互相平行且与第 14 页（共 28 页）地面成 37角的楼梯 AD，BE 和一段水平平台 DE 构成已知天桥高度 BC4.8m ，引桥水平跨度 AC8m则水平平台 DE 的长度约为 1.6 m （参考数据：sin37 0.60，cos370.80，tan370.75） 【分析】如图，延长 BE 交 AC 于 M设 DExm在 Rt
25、BCM 中求出 CM，再根据AC8，构建方程即可解决问题【解答】解：如图，延长 BE 交 AC 于 M设 DExmADEM，DEAM ，DEAMx（m） ，在 Rt BCM 中，tan37 ，CM 6.4（m） ，AC8m，x+6.48，x1.6（m） ，故答案为 1.6【点评】本题考查解直角三角形的应用，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型16 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB1，AD2，点 E 是边 AD 上的一个动点，把BAE 沿 BE 折叠，点 A 落在 A处，如果 A恰在矩形的对称轴上，则
26、 AE 的长为 1 或第 15 页（共 28 页）【分析】分两种情况：过 A作 MNCD 交 AD 于 M，交 BC 于 N，则直线 MN 是矩形 ABCD 的对称轴，得出 AMBN AD1，由勾股定理得到 AN0，求得AM1，再由勾股定理解得 AE 即可；过 A作 PQAD 交 AB 于 P，交 CD 于 Q；求出EBA30，由三角函数求出AEA E ABtan30；即可得出结果【解答】解：分两种情况：如图 1，过 A作 MNCD 交 AD 于 M，交 BC 于 N，则直线 MN 是矩形 ABCD 的对称轴，AMBN AD1，ABE 沿 BE 折叠得到ABE，AEAE，ABAB 1，AN 0
27、 ，即 A与 N 重合，AM1，AE 2EM 2+AM 2，AE 2（1A E） 2+12，解得：AE 1，AE1；如图 2，过 A作 PQAD 交 AB 于 P，交 CD 于 Q，则直线 PQ 是矩形 ABCD 的对称轴，PQAB，APPB，AD PQ BC，AB2PB，PAB30 ，ABC30，第 16 页（共 28 页）EBA 30，AEAEABtan30 1 ；综上所述：AE 的长为 1 或 ；故答案为：1 或 【点评】本题考查了翻折变换折叠问题，矩形的性质，勾股定理；正确理解折叠的性质是解题的关键三、解答题（第 17 小题 6 分，第 18、19 小题各 8 分，共 22 分）17
28、（6 分）先化简，再求值：（a+b） （ab）+b（b2） ，其中 a1，b1【分析】根据平方差公式和单项式乘多项式的法则去括号，然后合并同类项，把原式化成最简式，最后把 a、b 的值代入求解即可【解答】解：（a+b） （ab）+b（b2） ，a 2b 2+b22b，a 22b，当 a1，b1 时，原式（1） 2211【点评】本题考查了整式的化简整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点18 （8 分）一只不透明袋子中装有 1 个红球，2 个黄球，这些球除颜色外都相同，小明搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出 1 个球，用画树状图或列表法列出摸出
29、球的所有等可能情况，并求两次摸出的球都是红球的概率【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球都是红球的情况，再利用概率公式即可求得答案第 17 页（共 28 页）【解答】解：画树状图得：共有 9 种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的只有 1 种情况，两次摸出的球都是红球的概率为： 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比19 （8 分）如图，四边形 ABCD 中，ABCD，点 E，F 在对角线上，BEDF ，连接AF， CE，且 AFCE求证：四边形 ABCD 是平行四边形【分析】利用全等三角形的性质证明ABFC
30、DE，推出 ABCD 即可解决问题【解答】证明：DFBE ，DF+ BDBE+DE，即 BFDE ，在AFB 和CED 中，AFB CED（SSS） ，ABF CDE，ABCD，AB CD ，四边形 ABCD 是平行四边形【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型四、 （每小题 8 分，共 16 分）第 18 页（共 28 页）20 （8 分）某校为了调查学生书写规范汉字的能力，从七年级 1000 名学生中随机抽选了部分学生参加测试，并根据测试成绩绘制了如下频数分布表和扇形统计图（尚不完整）学生书写规范汉字的能力测试成绩统计表
31、组别 成绩 x 分 频数（人数）第 1 组 x60 4第 2 组 60x70 a第 3 组 70x80 20第 4 组 80x90 b第 5 组 90x100 10请结合图表完成下列各题：（1）表中 a 的值为 3 ，b 的值为 13 ；扇形统计图中表示第 1 组所对应的圆心角度数为 28.8 度；（2）若测试成绩不低于 80 分为优秀，请你估计从该校七年级学生中随机抽查一个学生，他的测试成绩为优秀的概率是 46% ；（3）若测试成绩在 6080 分之间为合格，请你估计该校七年级学生的测试成绩为合格的人数【分析】 （1）根据 3 组的人数和所占的百分比求出总人数，用总人数乘以第 4
32、 组所占的百分比求出 b；再用总的人数减去其它组的人数求出 a；用 360乘以第一小组所占的百分比，即可得出第一小组所对应的圆心角度数；（2）利用概率公式直接计算结果即可；（3）先求出随机调查不合格人数的概率，再乘以总人数即可得到答案【解答】解：（1）抽查的学生总人数是：2040%50（人） ，第 19 页（共 28 页）b5026%13，a5042013103；第一小组所对应的圆心角度数为： 36028.8；故答案为：3，13，28.8；（2）根据题意得： 100%46% ，故答案为 46%；（3）估计该校七年级学生规范汉字书写不合格的人数为 1000460（人） 【点评】本题考查了频数分布
33、直方图和概率，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，概率所求情况数与总情况数之比21 （8 分）如图，AB 为O 的直径，点 C，D 为 上的点，且 ，延长 AD，BC 相交于点 E，连接 OD 交 AC 于点 F（1）求证：ABCAEC；（2）若 OA3，BC4，求 AD 的长【分析】 （1）根据 ASA 证明即可（2）连接 BD 交 OC 于 K，作 OHBC 于 H求出 OK 的长，利用三角形的中位线定理即可解决问题【解答】 （1）证明： ，CAECAB，AB 是直径，ACBACE90，ACAC，第 20 页（共 28 页）ABCAEC（AS
34、A ） （2）连接 BD 交 OC 于 K，作 OHBC 于 HOHBC，CHHB2，OB3，OH ， ，OCBD，DKKB， BCOH OCBK，BK ，OK ，OAOB ，DKKB，AD2OK 【点评】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法确定线段之间的关系，属于中考常考题型五、 （本题 10 分）22 （10 分）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为 40 元，用 90 元购进甲种玩具的件数与用 150 元购进乙种玩具的件数相同（1）求每件甲、乙种玩具的进价分别
35、是多少元？（2）若购买甲、乙两种玩具共 50 件，且总费用不超过 1000 元，求甲种玩具至少要购第 21 页（共 28 页）买多少件？【分析】 （1）设每件甲种玩具的进价为 x 元，则每件乙种玩具的进价为（40x）元，根据数量总价单价结合用 90 元购进甲种玩具的件数与用 150 元购进乙种玩具的件数相同，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买甲种玩具 m 件，则购买乙种玩具（ 50m ）件，根据总费用单价 数量结合总费用不超过 1000 元，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论【解答】解：（1）设每件甲种玩具的进价为 x 元，则每件乙
36、种玩具的进价为（40x）元，依题意，得： ，解得：x15，经检验，x15 是原方程的解，且符合题意，40x25答：每件甲种玩具的进价为 15 元，每件乙种玩具的进价为 25 元（2）设购买甲种玩具 m 件，则购买乙种玩具（ 50m ）件，依题意，得：15m+25 （50m ）1000，解得：m25答：甲种玩具至少要购买 25 件【点评】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式六、 （本题 10 分）23 （10 分）如图 1，ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片，切去四个全等的
37、等腰直角三角形（阴影部分所示） ，其中 E，F 在 AB 上；再沿虚线折起，点 A，B，C，D 恰好重合于点 O 处（如图 2 所示） ，形成有一个底面为正方形 GHMN 的包装盒，设GFx（cm） 第 22 页（共 28 页）（1）请直接写出线段 BF 的长（用含 x 的代数式表示） ；（2）若折成的长方体盒子的底面面积为 1250cm2，求长方体盒子的高；（3）若某广告商要求折成的长方体盒子侧面积 S（cm 2）最大，求上盖中四个全等的等腰直角三角形的腰长【分析】 （1）利用等腰直角三角形的性质可得出 EF 的长，再结合 BF （ABEF）即可求出线段 BF 的长（用含 x 的代数式表示）
38、 ；（2）由底面的面积可求出 GH 的长，由 GHFP 可得出 FP 的长，利用等腰直角三角形的性质可求出 BF 的长，结合（1）的结论可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出 x 的值，此问得解；（3）由（1）的结论结合等腰直角三角形的性质可得出 FP 的长，利用矩形的面积公式可得出 S4x 2+120 x，配方后可得出当 x15 时 S 取得最大值，将 x 的值代入BF30 中即可求出结论【解答】解：（1）GEF 为等腰直角三角形，GFxcm，EF xcm又BFAE，AB60cm ，BF （ABEF） （ 60 x）30 （cm） （2）S 正方形 GHMN1250cm 2，GH 25
39、 cm，FP25 cmBFP 为等腰直角三角形，BF FP25cm， （60 x）25，第 23 页（共 28 页）解得：x5 当折成的长方体盒子的底面面积为 1250cm2 时，长方体盒子的高为 5 cm（3）BF（30 ）cm，BFP 为等腰直角三角形，FP BF（30 x ） cm，S4GFFP4x 2+120 x4（x15 ） 2+180040，当 x15 时，S 取得最大值，此时 BF30 15cm 当长方体盒子侧面积 S（cm 2）最大时，上盖中四个全等的等腰直角三角形的腰长为15cm【点评】本题考查了列代数式、等腰直角三角形、正方形的性质、解一元一次方程、二次函数的最值以及长方体
40、的侧面积，解题的关键是：（1）利用等腰三角形的性质，用含 x 的代数式表示出 EF；（2）利用等腰三角形的性质及正方形的面积，找出 BF 的长；（3）利用二次函数的性质，找出当长方体盒子侧面积 S 取最大值时 x 的值七、 （本题 12 分）24 （12 分）如图，RtABC，ACB90，ACBC 2，以 C 为顶点的正方形CDEF（ C、D、E、F 四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点 C 自由转动，且CD ，连接 AF，BD（1）求证：BDCAFC；（2）当正方形 CDEF 有顶点在线段 AB 上时，直接写出 BD+ AD 的值；（3）直接写出正方形 CDEF 旋转过程中，BD+ AD 的最
41、小值【分析】 （1）根据 SAS 即可证明；（2）分两种情形分别求解即可解决问题；（3）如图 4 中取 AC 的中点 M利用相似三角形的性质证明 DM AD，推出第 24 页（共 28 页）BD+ ADBD+DM，推出当 B，D ，M 共线时，BD+ AD 的值最小，即可解决问题；【解答】 （1）证明：如图 1 中，四边形 CDEF 是正方形，CFCD，DCFACB90，ACFDCB，ACCB，FCADCB（SAS） （2）解： 如图 2 中，当点 D，E 在 AB 边上时，ACBC2，ACB90 ，AB2 ，CDAB ，ADBD ，BD+ AD +1第 25 页（共 28 页）如图 3 中，
42、当点 E，F 在边 AB 上时BDCF ，AD ，BD+ AD + （3）如图 4 中取 AC 的中点 M连接 DM，BMCD ，CM1，CA2 ，CD 2CMCA， ，DCM ACD，DCMACD， ，DM AD，第 26 页（共 28 页）BD+ ADBD+DM，当 B，D，M 共线时，BD + AD 的值最小，最小值 【点评】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会由转化的思想思考问题，属于中考压轴题八、 （本题 12 分）25 （12 分）如图，点 A（m ，n）是抛物线 y x2 上的任意一点
43、（ m0） 直线 ykx+b经过点 A，交 y 轴于点 B，过点 A 作 ACx 轴于点 C，ABO 的平分线交 x 轴于点 D，交 AC 延长线于点 E，且 ADBE（1）求证：ABAE ；（2）求点 D 的坐标（用含 m 的代数式表示）并求 OB 的长；（3）若 60BAE90，且 n 是整数直接写出满足条件的所有 k 的值；当 k 取最大值时，在 x 轴上找一点 P，使 tanAPB ，直接写出此时 OP 的长【分析】 （1）ACOB，则EABEOBD，即可求解；（2）证明EDCBDO（ AAS）利用 ABAE，即可求解；（3） 则直线 AB 的表达式为：ykx+1，点 A 时抛物线和直
44、线的交点，则：nkm+1，n m2，整理得：n 22（2k 2+1）n+10，即可求解；证明ABE 为等边三角形，利用BAMBPA、及 ，即可求解【解答】解：（1）ACx 轴，AC OB，EABEOBD，ABAE；（2）在等腰三角形 ABE 中，AD BE ，第 27 页（共 28 页）D 是 BE 的中点， BD DE，EDCBDO，ACOBOD 90，EDCBDO（AAS） ，ODDC，OB CE，点 A（m，n） ，则：OCm，AC n，点 D 的坐标为（ m，0） ；AEAC+CEAC+OBn+ CEn+OB，AB2（ACOB） 2+OC2m 2+（nOB） 2，由 AB2AE 2，解
45、得：OB 1，即点 B 的坐标为（0 ，1） ，（3） 点 B 的坐标为（ 0，1） ，则直线 AB 的表达式为：ykx +1点 A 时抛物线和直线的交点，则：nkm+1，n m2，整理得：n 22（2k 2+1）n+10，当 n0 时，k 无解，当 n1 时，k 为无解，当 n2 时，k ，当 n3 时，k ，经验证只有 n2，3 时，符合题意，即：当 k 或 时，n 为整数，即 k 值为 或 ；连接 BP 交 AE 于点 M，tanAPB ，则APB60，第 28 页（共 28 页）当 k 为最大值，则BAP60APB，MCOB，则ABE 为等边三角形，则：AB2BD 4OB4，CO2 ，又APB APB，BAMBPA， ，即：BPBM AB 216，MCAB， ，即： ，设：OPS，在 Rt BOP 中，1+S 2BP 2 ，解得：S ，即：OP 的长为 【点评】本题为二次函数综合题，涉及到三角形相似、勾股定理、一次函数知识点，其中（3）证明三角形为等边三角形是解题的关键，本题难度很大