1、1专题 03 导数及其应用（选择题、填空题）1【2019 年高考全国卷理数】已知曲线 在点（1，ae）处的切线方程为 y=2x+b，则elnxyA Ba=e，b=1e1ab，C D ， 1【答案】D【解析】 eln1,xya切线的斜率 ， ，|2xk1ea将 代入 ，得 .(1,)2yb,b故选 D【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有 a，b 的等式，从而求解，属于常考题型.2 【2018 年高考全国卷理数】设函数 .若 为奇函数，则曲线 在32()(1)fxax()fx()yfx点 处的切线方程为(0,)A Byx yxC D2【答案】D【解析】因为函数 是奇函
2、数，所以 ，解得 ，所以 ， ，() 1=0 =1 ()=3+ ()=32+1所以 ，(0)=1,(0)=0所以曲线 在点 处的切线方程为 ，化简可得 .=() (0,0) (0)=(0) =故选 D.【名师点睛】该题考查的是有关曲线 在某个点 处的切线方程的问题，在求解的过程中，=() (0,(0)首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得 ，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜()式求得结果.3【2017 年高考全国卷理数】若 是函数 的极值点，则 的极小值为2x21()exfxa()fx2A
3、B1 32eC D135e【答案】A【解析】由题可得 ，12121()2)e()e()exx xfxaaa 因为 ，所以 ， ，故 ，(2)0ff 2f令 ，解得 或 ，xx1所以 在 上单调递增，在 上单调递减，()f,)(,(2,1)所以 的极小值为 .x1)ef故选 A【名师点睛】 （1）可导函数 yf (x)在点 x0 处取得极值的充要条件是 f (x0)0，且在 x0 左侧与右侧 f (x)的符号不同；（2）若 f(x)在(a，b) 内有极值，那么 f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值4【2017 年高考浙江】函数 y=f(x)的导函数 的图象如
4、图所示，则函数 y=f(x)的图象可能是()yf【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且 位于增区间内，因此选 D0x【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与 轴的交点为 ，且图象x0x在 两侧附近连续分布于 轴上下方，则 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性0xx0x时，由导函数 的正负，得出原函数 的单调区间()f ()f35 【2018 年高考全国卷理数】函数 的图像大致为2exf【答案】B【解析】 为奇函数，舍去 A；2e0, ,xxffxf，舍去 D；1ef时， ， 单24 3e2e,xx xxf 20fx()f调递增，舍去 C.因此选
5、B.【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性. 6 【2018 年高考全国卷理数】函数 的图像大致为42yx4【答案】D【解析】函数图象过定点 ，排除 A，B ；(0,2)令 ，则 ，4()yfx324(1)fxx由 得 ，得 或 ，此时函数单调递增，0f2(1)020由 得 ，得 或 ，此时函数单调递减，排除 C.()fx2()xxx故选 D.【名师点睛】本题主要考查函数的图象的识别和
6、判断，利用函数图象过的定点及由导数判断函数的单调性是解决本题的关键.7【2019 年高考天津理数】已知 ，设函数 若关于 的不等式aR2,1,()ln.xaxfx在 上恒成立，则 的取值范围为()0fxRA B,1 0,2C De 1e【答案】C5【解析】当 时， 恒成立；1x()210fa当 时， 恒成立，22() xfx令 ，2()1xg则222(1)()(1)()xx，1()0xx当 ，即 时取等号，0 ，则 .max2()g当 时， ，即 恒成立，1()ln0fxlnxa令 ，则 ，()lnxh21(l)h当 时， ，函数 单调递增，e()0x当 时， ，函数 单调递减，0xh()h则
7、 时， 取得最小值 ，e()e ，minax综上可知， 的取值范围是 .0,e故选 C.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.8 【2019 年高考浙江】已知 ，函数 若函数,abR32,0()1(),0xfax6恰有 3 个零点，则()yfxabAa0 Ca1，b1，b0 【答案】C【解析】当 x0 时，y f（x） axbx axb（1 a）xb0，得 x ，=1则 yf（x）axb 最多有一个零点；当 x0 时，yf（x）ax b x3 （a+1）x 2+axaxb x3 （a+1）x 2b，=13 12 =13 12，
8、2()a当 a+10，即 a1 时，y0，yf （x）ax b 在0 ，+）上单调递增，则 yf（x）axb 最多有一个零点，不合题意；当 a+10，即 a1 时，令 y0 得 x(a+1，+ ） ，此时函数单调递增，令 y0 得 x 0，a+1 ） ，此时函数单调递减，则函数最多有 2 个零点.根据题意，函数 yf（x）axb 恰有 3 个零点函数 yf（x）ax b 在（，0）上有一个零点，在0，+）上有 2 个零点，如图： 0 且 ，1 013(+1)312(+1)(+1)2 0解得 b0，1a 0，b （a+1） 3， 16则 a1，b12从而得到函数的递减区间为 ，5,3kkZ函数的
9、递增区间为 ，2,所以当 时，函数 取得最小值，,3xkZ()此时 ，=32,2=32所以 ，()=2(32)32=332故答案是 .332【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.15 【2019 年高考江苏】在平面直角坐标系 中，点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过xOy点（-e， -1)(e 为自然对数的底数） ，则点 A 的坐标是 .【答案】 (e, 1
10、)【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.设点 ，则 .0,Axy0lnx又 ，1当 时， ，0x0yx10则曲线 在点 A 处的切线为 ，lnyx001()yx即 ，0l1将点 代入，得 ，e,0eln1x即 ，0lnx考察函数 ，lnHx当 时， ，当 时， ，,1x01,x0Hx且 ，l当 时， 单调递增，1x,Hx注意到 ，e故 存在唯一的实数根 ，0lnx0ex此时 ，1y故点 的坐标为 .Ae,【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本
11、质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点16【2019 年高考北京理数】设函数 （a 为常数）若 f（x）为奇函数，则exfa=_；若 f（x ）是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是_【答案】 1,0【解析】首先由奇函数的定义得到关于 的恒等式，据此可得 的值，然后利用 可得 a 的a()0fx取值范围.若函数 为奇函数，则 即 ，exfa,fxfeexxa11即 对任意的 恒成立，1e 0xax则 ，得 .1若函数 是 R 上的增函数，则 在 R 上恒成立，exfa() e0xfa即 在 R 上恒成立，2xa又
12、 ，则 ，e0即实数 的取值范围是 .a,0【名师点睛】本题考查函数的奇偶性单调性 利用单调性确定参数的范围 .解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识基础知识 基本运算能力的考查 .17 【2018 年高考江苏】若函数 在 内有且只有一个零点，则 在()=232+1() (0,+) ()上的最大值与最小值的和为 _1,1【答案】3【解析】由 得 或 ，260fxax 3ax因为函数 在 上有且仅有一个零点且 ，所以 ，f,0=1f0,3af因此 解得 .32210,a3a从而函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 fx,0,1max0,ff，min1f ff则 a
13、xminf0+43.故答案为 .3【名师点睛】对于函数零点的个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数的取值条件从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等18【2017 年高考江苏】已知函数 ，其中 e 是自然对数的底数若31()2exfx(1)fa，则实数 的取值范围是 2()0faa12【答案】1,2【解析】因为 ，所以函数 是奇函数，31()2e()xfxf()fx因为 ，所以函数 在 上单调递增，2)e0x xfx R又 ，即 ，1)0(fa2()(1aff所以 ，即 ，22解得 ，1a故实数 的取值
14、范围为 1,2【名师点睛】解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为 的形式，然()()fgxfh后根据函数 的单调性去掉“ ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意 与 的取值应()fxf x在函数 的定义域内19 【2017 年高考山东理数】若函数 （ 是自然对数的底数）在 的定义域上单e()xf2.718 ()fx调递增，则称函数 具有 M 性质.下列函数中所有具有 M 性质的函数的序号为 .()f ()2xf3x3()fx2()fx【答案】【解析】 在 R 上单调递增，故 具有 性质；ee()2()xxxf()xf 在 R 上单调递减，故 不具有 性质；3xf ()3xf ，令 ，则 ， 当 时，e()x 3()exg 2ee(3)xgx3x，当 时， ， 在 上单调递减，在 上单0g03()xf(,)(,)调递增，故 不具有 性质；3()fx ，令 ，则 ，2ex2()e)xg2 2()e)e(1)0xxg13则 在 R 上单调递增，故 具有 性质2e()xxf2()fx【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的动向，它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可