1、数学试题 第 1 页（共 6 页） 绝密 启用前 随州市 2019 年初中毕业升学考试 数 学 试 题 （考试时间 120 分钟 满分 120 分） 注意事项： 1 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试 卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置 2 选择题每小题选出答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 ， 答在试 卷上无效 3 非选择题作答： 用 0.5 毫米黑色墨水签字笔直接答 在答题卡上对应的答题区域内 ， 答在试卷上无效 . 4 考生必须保持答题卡的整洁 ， 考试结束后，请将本试 卷和答题卡一并上
2、交 一、 选择题 （本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题给出 的四 个选项中， 有且 只有一个是正确的） 1 3 的 绝对值 是 A 3 B 3C 3D 9 2 地球的半径约为 6370000 m，用科学记数法表示正确的是 A 4637 10 m B 563.7 10 m C 66.37 10 m D 76.37 10 m 3 如图，直线 12ll ，直角三角板的直角顶点 C 在 直线 1l 上， 一锐角顶点 B 在直线 2l 上，若 1 = 35， 则 2 的度数是 A 65 B 55 C 45 D 35 4 下列运算正确的是 A 44mm B 2 3 5()aa C
3、2 2 2()x y x y D ( 1) 1tt 5 某 校 男子篮球队 10 名队员进行定点投篮练习，每人投篮 10 次，他们投中的次数统计如下表： 投中次数 3 5 6 7 8 人数 1 3 2 2 2 则这 些队员投中次数的 众数 、 中位数 和平均数 分别为 A 5， 6， 6 B 2， 6， 6 C 5， 5， 6 D 5， 6， 5 6 如图 是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为 A 2 B 3C 4 D 5（ 第 6题图 ）23l1l2A（ 第 3题图 ）21 CB数学试题 第 2 页（共 6 页） OEDCBA（ 第 8 题图 ）7 第一次 “龟兔赛跑”， 兔子因为在
4、途中睡觉而输掉比赛 ， 很不服气，决定与乌龟再比一次，并且 骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢 . 结果 兔子 又一次输掉了比赛 ， 则 下列函数图 象 可以体现 这次比赛 过程的是 8 如图，在平行四边形 ABCD 中， E 为 BC 的中点， BD， AE交于点 O，若随机向平行四边形 ABCD 内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为 A 116 B 112 C 18 D 16 9 “分母有理化”是我们常用的一种化简的方法 ，如： 2 3 ( 2 3 ) ( 2 3 ) 7 4 32 3 ( 2 3 ) ( 2 3 ) ， 除此之外，我们也可以用平方之后再开
5、方的方式来化简一些 有特点的 无理数，如：对于 3 5 3 5 ，设 3 5 3 5x ，易知 3 5 3 5 ， 故 0x ， 由 22( 3 5 3 5 ) 3 5 3 5 2 ( 3 5 ) ( 3 5 ) 2x ，解得 2x ， 即 3 5 3 5 2 . 根据以上方法，化简 32 6 3 3 6 3 3 后的 结果为 A 5 3 6 B 56 C 56 D 5 3 6 10 如图所示，已知二次函数 2y ax bx c 的图 象 与 x 轴 交于 A， B 两点，与 y 轴交于点 C， OA OC ， 对称轴为 直线 x=1， 则下列结论： 0abc ； 11024abc ； 10a
6、c b ； 2c 是关于 x 的一元二次方程 2 0ax bx c 的一个根 . 其中正确的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 DCBAt ( 时间 )t ( 时间 )t ( 时间 )t ( 时间 ) OOOOs ( 路程 ) s ( 路程 )s ( 路程 )s ( 路程 )（ 第 10 题图 ）yxCx=1BAO数学试题 第 3 页（共 6 页） 二、填空题 （本大题共有 6 小题，每小题 3 分，共 18 分 ， 只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上） 11 计算： 0( 2019)2cos60 = . 12 如图 ， 点 A， B， C 在 O 上， 点 C 在
7、优弧 AB上， 若 OBA= 50 ，则 C 的度数为 . 13 2017 年，随州学子尤东梅参加最强大脑节目，成功完成了 高难度的项目挑战， 展现了惊人的记忆力 . 在 2019 年的最强 大脑节目中 ， 也有很多 具 有挑战性的比赛项目 ， 其中幻圆 这个项目充分体现了数学的魅力 . 如图是一个最简单的二阶幻圆 的模型，要求：内、外两个圆 周 上 的四个 数字之和相等；外 圆两直径上的 四个 数字之和相等，则图中 两 空白圆圈内 应填写的 数字从左到右 依次 为 和 . 14 如图，在 平面直角坐标系中， Rt ABC 的 直角 顶点 C 的坐标为 (1,0) ， 点 A 在 x 轴正半轴
8、上，且 2AC . 将 ABC 先绕点 C 逆 时针旋转 90，再向 左 平移 3 个单位，则变换后点 A 的 对应点的坐标为 . 15 如图， 矩形 OABC 的顶 点 A， C 分别在 y 轴、 x 轴的正半轴上， D 为 AB 的中点， 反比例函数 ( 0)kykx 的图象 经过点 D，且与 BC 交于点 E，连接 OD， OE， DE， 若 ODE 的面积为 3， 则 k 的值为 . 16 如图， 已知正方形 ABCD 的边长为 a ， E 为 CD 边上一点（不与端点重合），将 ADE 沿AE 对折至 AFE ，延长 EF 交边 BC 于 点 G，连接 AG， CF 给出下列判断：
9、EAG 45 ； 若 13DE a ，则 AG CF ； 若 E 为 CD 的中点，则 GFC 的面积为 2110a ； 若 CF FG ，则 ( 2 1)DE a； 2B G D E A F G E a . 其中正确的是 .（写出所有正确判断的序号） OyxCBA（ 第 14 题图 ） （ 第 15 题图 ）yxBCAEDO（ 第 16 题图 ）GFEDCBACBA（ 第 12题图 ）O（ 第 13 题图 ）1138764数学试题 第 4 页（共 6 页） 三、 解答题 （本大题共 8 小题，共 72 分 ， 解答应写出必要 的 演算步骤、文字说明或证明过程 ） 17 （本题满分 5 分）
10、解关于 x 的分式方程： 9633xx 18 （本题满分 7 分） 已知关于 x 的一元二次方程 22(2 1) 1 0x k x k 有两个不 相 等 的 实数根 12xx， （ 1）求 k 的取值范围； （ 2）若 123xx，求 k 的值 及方程的根 19 （本题满分 10 分） “校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图 根据图中信息回答下列问题 ： （ 1） 接受问卷调查的学生共有 _人， 条形统计图中 m 的值为 _； （ 2） 扇形统计图中“ 了解 很少 ”部分
11、所对应扇形的圆心角 的 度 数为 _； （ 3） 若该中学共有学生 1800 人，根据上述调查结果， 可以 估计 出 该学校学生中对校园安全知识达到“ 非常 了解”和“基本了解”程度的总人数 为 _人； （ 4） 若从对校园安全知识达到“ 非常 了解”程度的 2 名男生和 2 名女生中随机抽取 2 人参加校园安全知识竞赛 ， 请用列表或画树状图的方法，求 恰好抽到 1 名男生和 1 名女生 的概率 . 20 （本题满分 8 分） 在一次海上救援中，两艘专业救助船 A， B 同时 收到 某事故渔船的求救 讯息， 已知 此时 救助船 B 在 A 的正北方向， 事故渔船 P 在救助船 A 的北偏西
12、30 方向上，在救助船 B 的西南 方向上， 且事故渔船 P 与救助船 A 相距 120 海里 （ 1）求 收到求救讯息时 事故渔船 P 与救助船 B 之间 的距离 ； （ 2）若救助船 A， B 分别以 40 海里 /小 时 、 30 海里 /小 时的速度 同时出发，匀速直线前往 事故渔船 P 处搜救，试通过计算判断哪 艘船先到达 不了解了解很少基本了解非常了解O了解程度人数3016m4m30164了解很少不了解50%基本了解非常了解条形统计图扇形统计图（ 第 20 题图 ）BAP东北数学试题 第 5 页（共 6 页） 21 （本题满分 9 分）如图， 在 ABC 中， AB AC ， 以
13、AB 为直径的 O 分别交 AC， BC 于 点 D， E， 点 F 在 AC 的延长线上，且 2BAC CBF . （ 1）求证： BF 是 O 的切线 ； （ 2）若 O 的 直 径为 3， 3sin3CBF， 求 BC 和 BF 的长 . 22 （本题满分 11 分） 某食品厂生产一种半成品食材， 成本为 2 元 /千克，每天的 产量 p(百千克 )与销售价格 x(元 /千克 )满足函数关系式 1 82px，从市场反馈的信息发现，该半成品食材 每天的 市场需求量 q(百千克 )与销售价格 x(元 /千克 )满足一次函数关系， 部分数据如下表： 销售价格 x(元 /千克 ) 2 4 10
14、市场需求量 q(百千克 ) 12 10 4 已知按物价部门规定销售价格 x 不低于 2 元 /千克且不高于 10 元 /千克 . （ 1） 直接写出 q 与 x 的函数关系式 ，并注明自变量 x 的 取值范围 ； （ 2） 当 每天 的 产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出， 而 当 每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃 . 当每天的 半成品食材能全部售出 时，求 x 的取值范围； 求厂家 每天 获得的利润 y(百元 )与销售价格 x 的函数关系式； （ 3）在（ 2）的条件下， 当 x 为 _元 /千克 时， 利润
15、y 有最大值； 若 要 使 每天的利润不低于 24(百元 )， 并 尽可能地减少半成品食材的 浪费，则 x 应定为 _元 /千克 . 23 （本题满分 10 分） 若一个两位数十位、个位上的数字分别为 m， n，我们可将这个两位数记为 mn ，易知 10mn m n；同理，一个三位数 、 四位数等均可 以 用此记法，如100 10abc a b c . 【基础训练】 （ 1）解方程填空： 若 2 3 45xx ，则 x _；若 7 8 26yy，则 y _； 若 93 5 8 13 1t t t，则 t _； OFEDCBA（ 第 21 题图 ）数 学 试 题 第 6 页 （ 共 6 页 ）
16、【能力提升】 （ 2） 交换任意一个两位数 mn 的个位数字与十位数字，可得到 一个 新 数 nm ，则 mn nm一定能被 _整除 ， mn nm 一定能被 _整除 ， mn nm mn 一定能被 _整除 ； （请从大于 5 的 整数中选择合适的数 填 空 ）【探索发现】 （ 3） 北京时间 2019 年 4 月 10 日 21 时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚 数学中 也 存在 有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位 的 数字 各 不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用 得 出 的 最大的数
17、减去最小的数得到 一个新数（ 例 如若 选的数为 325，则用 532 235 297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数， 这个 数称为“卡普雷卡尔黑洞数” 该 “卡普雷卡尔黑洞数”为 _；设任选的三位数为 abc (不妨设 abc )，试说明其均可产生该黑洞数 24 （本题满分 12 分） 如图 1， 在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 2y ax bx c 与 y 轴交于点 (0,6)A ，与 x 轴交于点 ( 2,0)B ， (6,0)C （ 1） 直接写出抛物线的解析式 及 其对称轴 ； （ 2） 如图 2， 连接 A
18、B， AC，设点 ( , )Pmn 是抛物线 上位于第一象限内的一 动点，且 在 对称轴右侧，过点 P 作 PD AC 于点 E，交 x 轴于点 D，过点 P 作 PG AB 交 AC 于 点 F，交 x 轴于点 G 设线段 D G 的长为 d ， 求 d 与 m 的函数关系式，并注明 m 的取值范围 ； （ 3） 在 （ 2 ） 的条件下， 若 PDG 的面 积为 4912 ， 求 点 P 的坐标； 设 M 为 直 线 A P 上 一动点， 连 接 O M 交 直 线 A C 于 点 S ， 则 点 M 在运动过程中，在 抛物线上是否存在点 R ，使得 ARS 为等腰直角三角形 ，若存在，
19、请 直接写出点 M 及其对应的点R 的坐标；若不存在，请说明理由 ( 图 2)（ 图 1 ） 备用图CBA AB CO xyAB CD GOEFPxyyxO数学参考答案及评分标准 第 1 页（共 4 页） 绝密 启用前 随州市 2019 年初中毕业升学考试 数学 参考答案及评分标准 第一题 （ 第 1 至 10 小题，每小题 3 分，共 30 分 ） 是选择题，每小题给出的代号为 A， B，C， D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，把正确结论的代号在答题卡上相应的地方涂黑，涂对得 3 分，不涂、涂错或涂黑的代号超过一个，一律 0 分 . 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
20、 答案 A C B D A C B B D C 第二题 （第 11 至 16 小题，每小题 3 分，共 18 分）是填空题，只需要将结果 直接 填写在答题卡上对应题号处的横线上，不必写出解答过程，不填、填错，一律 0 分 .（说明：第 12 题填 40 或 40都正确 ， 第 13 题只填对一个空 给 1 分，顺序填反了 不 得 分 ） 11 0 12 40 13 2 和 9 14 (2,2) 15 4 16 第三题 (第 17 至 24 小题 ， 共 72 分 )是解答或证明题 ， 各题都给出了一种解法或部分其他解法的解题思路 ， 若考生的解法与本解法不同 ， 可根据本题的主要考查内容参照评
21、分标准制定相应的评分细则 ， 下述右端所注分数表示考生正确做到这一步应得的累加分数 . 17 (本题满分 5 分 ) 解 ： 方程两边同乘 (3 )(3 )xx得 9(3 ) 6(3 )xx 2 分 解 得 35x， 4 分 经检验 ， 35x是原 分 式方程的解， 所以， 原 分 式方程的解为 35x. 5 分 说明：不检验扣 1 分 . 18（本题满分 7 分） 解： （ 1）由题意 可 得 22 ( 2 1) 4 ( 0kk +1) ， 1 分 解得 34k. 3 分 （ 2） 由 122 1 3x x k ， 得 1k ，符合条件 ， 5 分 故 原方程为 2 3 2 0xx ， 解得
22、 1212xx, . 7 分 19（本题满分 10 分） 解：（ 1） 60 1 分 10 2 分 （ 2） 96 4 分 （ 3） 1020 6 分 数学参考答案及评分标准 第 2 页（共 4 页） （ 4） 设两名 男 生用 A1、 A2表示，两名 女生 用 B1、 B2表示，根据题意可画出 或列表： 树状图 ： 由上图 （ 或上表 ） 可知，共有 12 种等 可能的结果， 符合条件 的结果有 8 种 ， 9 分 故 P（ 恰好选中一名男生一名女生 ） 8212 3 10 分 说明：（ 2）问 中 写 96 也给分 ，（ 4）问中用树状图法或列表法中一种即可 . 20 （本题满分 8 分）
23、 解：（ 1） 过点 P 作 PH AB 于 H，依题意可得 A=30， B=45， 在 R PAHt 中 ，由 AP=120， A=30 ， 可得 PH=60， 2 分 在 R PBHt 中 ，由 B=45，得 2 60 2PB PH(海里 ) 故 收到求救讯息时 事故渔船 P 与救助船 B 的距离为 602 海里 . 4 分 （ 2） 依题意可得 A 船所需时间 为 120 340At (小时 ) 5 分 B 船所需时间 为 60 2 2230Bt (小时 ) 6 分 由 ABtt 可知， B 船先到达 . 8 分 21.（本题满分 9 分） 解：（ 1）证明：连接 AE， AB 为 O
24、的 直径 ， AE BE， 又 AB=AC， AE 为 BAC 的角平分线 ， 1 分 又 2BAC CBF ， BAE CBF ， 90C B F A B E B A E A B E ， AB BF，故 BF 是 O 的切线 . 4 分 （ 2） 在 Rt ABE 中， 由 3AB ， 3s in s in3B A E C B F ， 可得 3BE ， 23BC . 6 分 过 C 作 CH BF 于 H， 在 Rt BCH 中， sin 2C H B C C B F ， 22BH ， 7 分 由 CH BF， AB BF，可知 CH AB，易得 FCH FAB ， FH CHBF AB，
25、即有 2 2 23BFBF ，解得 62BF . 9 分 说明：该题（ 1）（ 2）问均有多种方法，用其他 合理 方法得到正确结果都可给分。 B 1A 2A 1B 2A 2A 1B 2B 1A 1B 2B 1A 2B 2B 1A 2A 1 A1 A2 B1 B2 A1 A1A2 A1B1 A1B2 A2 A2A1 A2B1 A2B2 B1 B1A1 B1A2 B1B2 B2 B2A1 B2A2 B2B1 第 2 人 第 1 人 （ 第 20题答图 ）BAP H 8 分 OH FEDCBA（ 第 21 题答图 ）数学参考答案及评分标准 第 3 页（共 4 页） 22. （本题满分 11 分） 解
26、：（ 1） 14qx ， 其中 2 x 10 2 分 （ 2） 当每天的半成品食材能全部售 出 时，有 p q， 即 1 8 142 xx ，解得 4x ， 3 分 又 2 x 10，所以此时 24x . 4 分 由可知， 当 24x 时， 211( 2 ) ( 2 ) ( 8 ) 7 1 622y x p x x x x ； 6 分 当 4 10x 时， ( 2) 2( )y x q p q 1( 2 ) ( 1 4 ) 2 8 ( 1 4 ) 2x x x x 2 13 16xx 即有 221 7 1 6 2 42 1 3 1 6 , 4 1 0x x xy x x x ， 8 分 （ 3
27、） 132 9 分 5 11 分 说明：（ 1）问 不需要写解答过程， 不注明 x 的取值范围扣 1 分； （ 2）问小问函数表达式未综合到一起不扣分； （ 3）问中第一空 1 分，写成 6.5 也给分，第二空 2 分 . 23. （本题满分 10 分） （ 1） 2 1 分 4 2 分 7 3 分 （ 2） 11 4 分 9 5 分 10 6 分（ 3） 495 8 分 方法 1：第一次运算后得： 1 0 0 1 0 (1 0 0 1 0 ) 9 9 ( )a b c c b a a c ， 结果必定为 99 的倍数，由于 abc ， +1 +2a b c ， 2ac ，又 9 ac 0 ，
28、 ac 9， 2, 3, 4, 5, 6, 7 ,8, 9ac , 第一次运算后，可能得到： 198， 297， 396， 495， 594， 693， 792， 891， 再让这些数字经过运算，分别可以得到： 981-189=792， 972-279=693， 963-369=594， 954-459=495， 954-459=495 故 都可以得到该黑洞数 495. 10 分 数学参考答案及评分标准 第 4 页（共 4 页） 方法 2： 设 1 0 0 ( 1 ) 9 0 ( 1 0 ( ) ) ( 1 ) 9 ( 1 0 ( ) )a b c c b a a c a c a c a c
29、可知所得结果十位数字为 9，百位数字与个位数字之和为 9， 当 1 10 ( )a c a c 时， 9 ( 1 ) ( 1 0 ( ) ) ( 1 0 ( ) ) ( 1 ) 9a c a c a c a c ( 2 )9 (1 1 ( )a c a c 观察可得，新得到的数百 位数字在减小，个位数字在增大，重复计算若干次后一定会得到黑洞数 495，而当 1 10 ( )a c a c 时，同理也可得到该结论 . 说明： （ 3）问中的第小问，学生答案有一定道理即可适当给分， 若只是 取 一个 特殊值验证不给分 . 24. （本题满分 12 分） 解：（ 1） 抛物线的解析式为 21 262
30、y x x ， 2 分 对称轴为 2x . 3 分 （ 2） 过点 P 作 PH x 轴于点 H， 则 PH=n， 由 OA=OC， PD AC， 易得 PDH=45，故 DH=n， 由 PG AB，可得 t a n t a n 3AOP G H A B O BO ， 故 3nGH ，故有 233nDG n n ， 5 分 又 21 262n m m ， 所以 22 2 1( 2 6 )3 3 2D G n m m 214 433mm ，其中 26m. 7 分 （ 3） 由 （ 2） 知 21 1 2 1 4 9=2 2 3 3 1 2S D G P H n n n PDG， 解得 72n (负舍 )，又由 271 2622mm ， 26m，可解得 5m ， 故 P 点的坐标为 (5， 72 ) 9 分 11(6,3), (4,6)MR；2212 24( , ), (4, 6)55MR；3312 24( , ), (2,8)55MR. 12 分 说明： （ 1）问 不需要写解答过程， 抛物线解析式写成 1 ( 2)( 6)2y x x 也给 分， （ 2）问 中用其 它 合理 方法计算 出 正确答案也给分 ， （ 3） 问 小问 中 不需要写解答过程， 每写出一组正确的点 M， R 的坐标给 1 分 . H(第 24 题答图 )AB CD GOEFPxy