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2018年广西高考数学二模试卷(文科)含答案解析

1、2018 年广西高考数学二模试卷(文科)一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 (5 分)复数 z(1+3 i) (1i )在复平面内对应的点位于(   )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2 (5 分)已知集合 Ax| x220,Bx|x0,则 AB(  )A (0, ) B (,2)(0,+)C ( ,+) D (, )(0,+)3 (5 分)设向量 (x,4) , (1,x) ,若向量 与 同向,则 x(  )A2 B2 C2 D04 (5 分)以下关于双曲线 M:

2、x 2y 28 的判断正确的是(   )AM 的离心率为 2 BM 的实轴长为 2CM 的焦距为 16 DM 的渐近线方程为 yx5 (5 分)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中的圆的半径为 2,则该几何体的体积为(  )A51296 B296 C51224 D5126 (5 分)设 x,y 满足约束条件 ,则 zx +3y 的最大值是(  )A9 B8 C3 D47 (5 分)执行如图所示的程序框图,若输入的 k11,则输出的 S(  )第 2 页(共 23 页)A12 B13 C15 D188 (5 分)我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求

3、三角形面积的“三斜求积公式” ,设ABC 三个内角 A,B ,C 所对的边分别为 a,b,c ,面积为 S,则“三斜求积公式”为 S 若 a2sinC24sinA,a(sinCsin B) (c+b)(27a 2)sinA,则用“三斜求积公式”求得的 S(   )A B C D9 (5 分)设 D 为椭圆 x2+ 1 上任意一点,A(0, 2) ,B(0,2) ,延长 AD 至点P,使得 |PD| BD|,则点 P 的轨迹方程为(   )Ax 2+(y2) 220 Bx 2+(y+2) 220Cx 2+(y2) 25 Dx 2+(y+2 ) 2510 (5 分)设 3a8,

4、blog 0.50.2,c log 424,则(   )Aacb Babc Cbac Dbc a11 (5 分)如图,在底面为矩形的四棱锥 EABCD 中,DE平面 ABCD,F,G 分别为棱 DE, AB 上一点,已知 CDDE 3,BC 4,DF 1,且 FG平面 BCE,四面体ADFG 的每个顶点都在球 O 的表面上,则球 O 的表面积为(  )第 3 页(共 23 页)A12 B16 C18 D2012 (5 分)将函数 ysin2x+cos2x 的图象向左平移 (0 )个单位长度后得到f(x)的图象,若 f(x)在( , )上单调递减,则 的取值范围为( &nbs

5、p;)A ( , ) B ( , ) C , D , )二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)13 (5 分)若 2tan1,tan 2,则 tan(+)     14 (5 分)若 m 是集合1,3,5,7,9,11中任意选取的一个元素,则椭圆的焦距为整数的概率为     15 (5 分)若函数 f(x ) 是在 R 上的减函数,则 a 的取值范围是     16 (5 分)若函数 f(x )x 33x 2a(a0)只有 2 个零点,则 a     三、解答题(本大题共 5 小题,共 70

6、 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17 (12 分)已知公差不为 0 的等差数列a n的前 n 项和 Sn,S 1+1,S 3,S 4 成等差数列,且 a1、a 2,a 5 成等比数列(1)求数列a n的通项公式;(2)若 S4,S 6,S n 成等比数列,求 n 及此等比数列的公比18 (12 分)如图,四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是正方形,PD平面 ABCD,且AB 2,PD3(1)证明:AB平面 PAD;(2)设 E 为棱 PD 上一点,且 DE2PE ,记三棱锥 CPAB 的体积为 V1,三棱锥PABE 的体积为 V2,求 的值第 4 页(共 23 页)19 (

7、12 分) “双十一网购狂欢节”源于淘宝商城(天猫)2009 年 11 月 11 日举办的促销活动,当时参与的商家数量和促销力度均有限,但营业额远超预想的效果,于是 11 月 11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期如今,中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日” 某淘宝电商为分析近 8 年“双十一”期间的宣传费用 x(单位:万元)和利润 y(单位:十万元)之间的关系,搜集了相关数据,得到下列表格:x 2 3 4 5 6 8 9 11y 1 2 3 3 4 5 6 8(1)请用相关系数 r 说明 y 与 x 之间是否存在线性相关关系(当|r| 0.81 时,说明 y与 x

8、之间具有线性相关关系) ;(2)建立 y 关于 x 的线性回归方程(系数精确到 0.1) ,预测当宣传费用为 20 万元时的利润,附参考公式:回归方程 ybx+a 中 b 和 a 最小二乘估计公式分别为, 相关系数 r参考数据:xiyi241, xi2356 8.25, 620 (12 分)已知曲线 M 由抛物线 x2y 及抛物线 x24y 组成,直线l:ykx3( k0)与曲线 M 有 m(m N)个公共点(1)若 m3,求 k 的最小值;(2)若 m3,记这 3 个交点为 A,B,C,其中 A 在第一象限,F(0,1) ,证明: 2第 5 页(共 23 页)21 (12 分)已知函数 f(

9、x )(ax2)e xe(a2) (1)讨论 f(x )的单调性;(2)当 x1 时,f(x)0,求 a 的取值范围选修 4-4:坐标系与参数方程22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数) 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为sin22 cos0(1)写出直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程;(2)已知点 P(0,1) ,点 Q( ,0) ,直线 l 过点 Q 且曲线 C 相交于 A,B 两点,设线段 AB 的中点为 M,求| PM|的值选修 4-5:不等式选讲23已知函数 f(x )|2x 2|+|

10、2x+3|(1)求不等式 f(x )15 的解集;(2)若 f(x) ax 2+x 对于 xR 恒成立,求 a 的取值范围第 6 页(共 23 页)2018 年广西高考数学二模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 (5 分)复数 z(1+3 i) (1i )在复平面内对应的点位于(   )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算求出 z 在复平面内对应的点的坐标得答案【解答】解:z(1+3 i) (1i )2+4 i,复数 z(

11、1+3 i) (1i)在复平面内对应的点的坐标为(2,4) ,位于第一象限故选:A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题2 (5 分)已知集合 Ax| x220,Bx|x0,则 AB(  )A (0, ) B (,2)(0,+)C ( ,+) D (, )(0,+)【分析】分别求出集合 A,B,由此能求出 AB【解答】解:集合 Ax| x220x|x 或 x ,B x|x0,AB(, )(0,+) 故选:D【点评】本题考查并集的求法,考查并集定义等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题3 (5 分)设向量 (x,4) ,

12、(1,x) ,若向量 与 同向,则 x(  )A2 B2 C2 D0【分析】根据向量的运算得到关于 x 的方程,代入判断即可【解答】解:若向量 与 同向,则 x24,解得:x 2,x2 时, (2,4) , (1,2) ,相同,x2 时, (2,4) , (1,2) ,相反,第 7 页(共 23 页)故选:B【点评】本题考查了向量的运算,考查共线向量,是一道基础题4 (5 分)以下关于双曲线 M:x 2y 28 的判断正确的是(   )AM 的离心率为 2 BM 的实轴长为 2CM 的焦距为 16 DM 的渐近线方程为 yx【分析】化双曲线方程为标准方程,求出 a,b,c

13、的值,然后逐一核对四个选项得答案【解答】解:由 x2y 28,得 , ,则 c2a 2+b216,c 4双曲线的离心率 ,渐近线方程为 yx,实轴长为 ,焦距为8正确的判断是 D故选:D【点评】本题考查双曲线的标准方程及双曲线的有关概念,是基础题5 (5 分)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中的圆的半径为 2,则该几何体的体积为(  )A51296 B296 C51224 D512【分析】由三视图还原原几何体,可知该几何体为一个正方体掏去一个圆柱而得,圆柱下底面离正方体下底面距离为 2,则答案可求【解答】解:由三视图还原原几何体如图:第 8 页(共 23 页)该几何体为一个正方体

14、掏去一个圆柱而得,圆柱下底面离正方体下底面距离为 2,则该几何体的体积为 83 22651224 故选:C【点评】本题考查由三视图求面积、体积,关键是由三视图还原原几何体,是中档题6 (5 分)设 x,y 满足约束条件 ,则 zx +3y 的最大值是(  )A9 B8 C3 D4【分析】先由约束条件画出可行域,再求出可行域各个角点的坐标,将坐标逐一代入目标函数,验证即得答案【解答】解:如图即为 x,y 满足约束条件的可行域,由图易得:由 ,解得 A(3,2) ,同理可得 B(0,1) ,C(4, 0) ,当 x3,y2 时zx+3y 的最大值为 9,故选:A第 9 页(共 23 页)

15、【点评】在解决线性规划的小题时,常用“角点法” ,其步骤为:由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标 将坐标逐一代入目标函数 验证,求出最优解7 (5 分)执行如图所示的程序框图,若输入的 k11,则输出的 S(  )A12 B13 C15 D18【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案【解答】解:模拟程序的运行,可得k11,n1,S1不满足条件 S11,执行循环体,n2,S3不满足条件 S11,执行循环体,n3,S6不满足条件 S11,执行循环体,n4,S10第 10 页(共

16、23 页)不满足条件 S11,执行循环体,n5,S15此时,满足条件 S11,退出循环,输出 S 的值为 15故选:C【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题8 (5 分)我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式” ,设ABC 三个内角 A,B ,C 所对的边分别为 a,b,c ,面积为 S,则“三斜求积公式”为 S 若 a2sinC24sinA,a(sinCsin B) (c+b)(27a 2)sinA,则用“三斜求积公式”求得的 S(   )A B C D【分析】根据正弦定理:由 a2sinC4

17、sinA 得 ac24,则由 a(sinCsin B) (c +b)(27a 2)sinA 得 a2+c2b 227,利用公式可得结论【解答】解:根据正弦定理:由 a2sinC24sinA 得 ac24,则 a(sinC sinB ) (c +b)(27a 2)sin A 可得 a(cb) (c+b)(27a 2)a,则 c2b 227a 2,即 c2+a2b 227,S ,故选:D【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于基础题9 (5 分)设 D 为椭圆 x2+ 1 上任意一点,A(0, 2) ,B(0,2) ,延长 AD 至点P,使得 |PD| BD|,则点

18、P 的轨迹方程为(   )Ax 2+(y2) 220 Bx 2+(y+2) 220Cx 2+(y2) 25 Dx 2+(y+2 ) 25【分析】由已知可得,A(0,2) ,B(0,2)为椭圆两焦点,再由已知结合椭圆定义可得点 P 的轨迹是以 A 为圆心,以 2 为半径的圆,写出圆的标准方程得答案【解答】解:如图,第 11 页(共 23 页)由椭圆方程 x2+ 1,得 a25,b 21,c 2,则 A(0,2) ,B(0,2)为椭圆两焦点,|DA |+|DB|2 a2 ,|PD |BD |,|PA| |PD|+|DA|BD|+|DA| 2 点 P 的轨迹是以 A 为圆心,以 2 为半径

19、的圆,其方程为 x2+(y+2) 220故选:B【点评】本题考查轨迹方程的求法,考查数学转化思想方法,是中档题10 (5 分)设 3a8,blog 0.50.2,c log 424,则(   )Aacb Babc Cbac Dbc a【分析】3a8,a blog 0.50.2 log 25log 425,clog 424log 416可得大小关系【解答】解:3 a8,a blog 0.50.2 log 25log 425c log 424log 4162则 acb故选:A【点评】本题考查了指数函数与对数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础第 12 页(共 23 页)题11 (

20、5 分)如图,在底面为矩形的四棱锥 EABCD 中,DE平面 ABCD,F,G 分别为棱 DE, AB 上一点,已知 CDDE 3,BC 4,DF 1,且 FG平面 BCE,四面体ADFG 的每个顶点都在球 O 的表面上,则球 O 的表面积为(  )A12 B16 C18 D20【分析】以 A 为原点,AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,过 A 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法求出 AG1,球 O 是以 AD、AG、DF 为长、宽、高的长方体的外接球,从而求出球 O 的半径 R ,由此能求出球 O 的表面积【解答】解:以 A 为原点,AB 为 x 轴

21、,AD 为 y 轴,过 A 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴,建立空间直角坐标系,设 AGt,则 G(t,0,0) ,F(0,4,1) ,B(3,0,0) ,C(3,4,0) ,E (0,4,3) ,(t,4,1) , ( 0,4,0) ,(3,4,3) ,设平面 BCE 的法向量 (x,y,z) ,则 ,取 x1,得 (1,0,1) ,FG平面 BCE, t +10,解得 t1,即 AG1,四面体 ADFG 的每个顶点都在球 O 的表面上,球 O 是以 AD、AG、DF 为长、宽、高的长方体的外接球,球 O 的半径 R ,第 13 页(共 23 页)球 O 的表面积 S4R 218故选:C

22、【点评】本题考查球的表面积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题12 (5 分)将函数 ysin2x+cos2x 的图象向左平移 (0 )个单位长度后得到f(x)的图象,若 f(x)在( , )上单调递减,则 的取值范围为(  )A ( , ) B ( , ) C , D , )【分析】利用辅助角公式先进行化简,结合函数图象关系,以及函数单调性的性质求出的取值范围即可【解答】解:ysin2x+cos2x sin(2x + ) ,将函数 ysin2x+cos2x 的图象向左平移 (0 )个单位长度后得到 f(x)的图象,则 f(x

23、) sin2(x+ )+ sin(2x+2+ ) ,由 2k+ 2x +2+ 2k+ ,k Z,得 k+ xk + ,kZ,若 f(x)在(, )上单调递减,则 ,得 ,第 14 页(共 23 页)即 k k ,k Z,当 k1 时, ,即 的取值范围为 , ,故选:C【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角函数图象关系求出函数的解析式是解决本题的关键二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)13 (5 分)若 2tan1,tan 2,则 tan(+)    【分析】由已知直接利用两角和的正切求得 tan( +) 【解答】解:2tan1,tan

24、 ,又 tan 2,tan(+ ) 故答案为: 【点评】本题考查两角和的正切,是基础的计算题14 (5 分)若 m 是集合1,3,5,7,9,11中任意选取的一个元素,则椭圆的焦距为整数的概率为    【分析】基本事件总数为 6,椭圆 的焦距为整数包含的基本事件 m 的可能取值有 1,3,11,共有 3 个,由此能求出椭圆 的焦距为整数的概率【解答】解:m 是集合1,3,5,7,9,11中任意选取的一个元素,基本事件总数为 6,椭圆 的焦距为整数包含的基本事件 m 的可能取值有 1,3,11,共有 3 个,第 15 页(共 23 页)椭圆 的焦距为整数的概率 p 故答案为:

25、 【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型、椭圆性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题15 (5 分)若函数 f(x ) 是在 R 上的减函数,则 a 的取值范围是 6,1 ) 【分析】根据题意,由函数单调性的定义分析可得 ,解可得 a 的取值范围,即可得答案【解答】解:根据题意,函数 f(x ) 是在 R 上的减函数,则有 ,解可得:6a1,则 a 的取值范围是6,1) ;故答案为:6,1)【点评】本题考查分段函数单调性的性质以及应用,关键是理解函数单调性的定义16 (5 分)若函数 f(x )x 33x 2a(a0)只有 2 个零点,则 a 0 或4 【分析】求函数

26、的导数,利用函数的一个极值等于 0,即可判断 f(x)有且只有 2 个零点,得到 a 的值【解答】解:f(x )f(x ) x33x 2a则 f(x)3 x26x,令 3x26x 0,可得 x0 或 x2,即函数有两个极值点,函数 f(x)x 33x 2a(a0)只有 2 个零点,由 f(0)a0 得 a0,由 f(2)812a0 得 a4,综上 a0 或4 时,f (x )有且只有 2 个零点故答案为:0 或4第 16 页(共 23 页)【点评】本题主要考查函数单调性和极值之间的关系,考查学生的计算能力,综合性较强难度较大三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明

27、过程或演算步骤.)17 (12 分)已知公差不为 0 的等差数列a n的前 n 项和 Sn,S 1+1,S 3,S 4 成等差数列,且 a1、a 2,a 5 成等比数列(1)求数列a n的通项公式;(2)若 S4,S 6,S n 成等比数列,求 n 及此等比数列的公比【分析】 (1)设等差数列a n的公差为 d0S 1+1,S 3,S 4 成等差数列,且 a1、a 2,a 5成等比数列,可得 2S3S 1+1+S4, a 1a5,即 a2+a31+a 4, a 1(a 1+4d) ,d0解出即可得出(2)由(1)可得:S n n 2,可得 s44 216,s 66 236s 4,s 6,s n

28、成等比数列,可得 S 4Sn,36 216n 2,解出即可得出【解答】解:(1)设等差数列a n的公差为 d0S 1+1,S 3,S 4 成等差数列,且 a1、a 2,a 5 成等比数列,2S 3S 1+1+S4, a 1a5,即 a2+a31+a 4, a 1(a 1+4d) ,d0可得 a11,d2a n1+2(n1)2n1(2)由(1)可得:S n n 2,s 44 216,s 66 236s 4,s 6,s n 成等比数列, S 4Sn,36 216n 2,第 17 页(共 23 页)化为:364n,解得 n9此等比数列的公比 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式,

29、考查了推理能力与计算能力,属于中档题18 (12 分)如图,四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是正方形,PD平面 ABCD,且AB 2,PD3(1)证明:AB平面 PAD;(2)设 E 为棱 PD 上一点,且 DE2PE ,记三棱锥 CPAB 的体积为 V1,三棱锥PABE 的体积为 V2,求 的值【分析】 (1)由已知得 PD AB,又底面 ABCD 是正方形,可得ABAD ,PDADD,从而证得 AB平面 PAD;(2)由题意求出PAE 的面积,再结合等体积法即可求出 的值【解答】 (1)证明:PD 平面 ABCD,PD AB ,底面 ABCD 是正方形,ABAD,又 PDAD D ,

30、AB 平面 PAD;(2)解:DE2PE ,AD AB2,PD 3,PAE 的面积为 , ,又 , 第 18 页(共 23 页)【点评】本题考查空间中直线与平面的位置关系,考查了空间想象能力和思维能力,训练了利用等积法求多面体的体积,是中档题19 (12 分) “双十一网购狂欢节”源于淘宝商城(天猫)2009 年 11 月 11 日举办的促销活动,当时参与的商家数量和促销力度均有限,但营业额远超预想的效果,于是 11 月 11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期如今,中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日” 某淘宝电商为分析近 8 年“双十一”期间的宣传费用 x(单位:万

31、元)和利润 y(单位:十万元)之间的关系,搜集了相关数据,得到下列表格:x 2 3 4 5 6 8 9 11y 1 2 3 3 4 5 6 8(1)请用相关系数 r 说明 y 与 x 之间是否存在线性相关关系(当|r| 0.81 时,说明 y与 x 之间具有线性相关关系) ;(2)建立 y 关于 x 的线性回归方程(系数精确到 0.1) ,预测当宣传费用为 20 万元时的利润,附参考公式:回归方程 ybx+a 中 b 和 a 最小二乘估计公式分别为, 相关系数 r参考数据:xiyi241, xi2356 8.25, 6【分析】 (1)根据公式求解 , 和 r,结合当|r|0.81 时,说明 y

32、 与 x 之间具有线性相关关系,可得结论第 19 页(共 23 页)(2)利用公式求出 , ,即可得回归方程,将 x20 带入可得出结论【解答】解:(1)由题意得 ,又 , , ,所以所以,y 与 x 之间具有线性相关关系(2)因为 ,(或 , )所以 y 关于 x 的线性回归方程为 当 x20 时,故可预测当宣传费用为 20 万元时的利润为 137 万元【点评】本题考查了线性回归方程的求法及应用,属于基础题20 (12 分)已知曲线 M 由抛物线 x2y 及抛物线 x24y 组成,直线l:ykx3( k0)与曲线 M 有 m(m N)个公共点(1)若 m3,求 k 的最小值;(2)若 m3,

33、记这 3 个交点为 A,B,C,其中 A 在第一象限,F(0,1) ,证明: 2【分析】 (1)根据直线和抛物线的位置关系,即可求出 k 的最小值,(2)由(1)知, ,y A3,则 设 B(x 1,y 1) ,C(x 2, y2) ,则 ,x 1x23,可得 y1+y2k(x 1+x2)69,第 20 页(共 23 页)可得 ,即可证明【解答】 (1)解:联立 x2y 与 ykx3,得 x2+kx3 0, ,l 与抛物线 x2y 恒有两个交点联立 x24y 与 ykx3,得 x24kx+120m3, ,k0, , k 的最小值为 (2)证明:由(1)知,且 ,2x A4k, ,y A3易知

34、F(0,1)为抛物线 x24y 的焦点,则设 B(x 1,y 1) ,C(x 2,y 2) ,则 ,x 1x23,y 1+y2k(x 1+x2)69, ,【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系,弦长公式和函数的性质,属于中档题21 (12 分)已知函数 f(x )(ax2)e xe(a2) (1)讨论 f(x )的单调性;(2)当 x1 时,f(x)0,求 a 的取值范围【分析】 (1)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的单调区间即可;(2)通过讨论 a 的范围,求出函数的单调区间,从而求出函数的最小值,得到关于 a的不等式,解出即可【解答】解:(1)f'(x )(ax2

35、+a)e x当 a0 时,f'(x )2e x0,f(x)在 R 上单调递减当 a0 时,令 f'(x )0,得 ,令 f'(x)0,得第 21 页(共 23 页)f(x)的单调递减区间为 ,单调递增区间为 ,当 a0 时,令 f'(x )0,得 ,令 f'(x)0,得f(x)的单调递减区间为 ,单调递增区间为(2)当 a0 时,f(x )在(1,+)上单调递减,f( x)f (1)0,不合题意当 a0 时,f(2)(2a 2)e 2e(a2)a(2e 2e)2e 2+2e0,不合题意,当 a1 时,f'(x )(ax2+a)e x0,f(x)在

36、(1,+)上单调递增,f(x)f(1)0,故 a1 满足题意当 0a1 时,f(x )在 上单调递减,在 单调递增, ,故 0a1 不满足题意综上,a 的取值范围为1,+) 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,是一道综合题选修 4-4:坐标系与参数方程22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数) 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为sin22 cos0(1)写出直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程;(2)已知点 P(0,1) ,点 Q( ,0) ,直线 l

37、 过点 Q 且曲线 C 相交于 A,B 两点,设线段 AB 的中点为 M,求| PM|的值【分析】 (1)由直线 l 的参数方程消去 t,能求出 l 的普通方程;曲线 C 的极坐标方程转化为 ,由此能求出曲线 C 的直角坐标方程(2)由点 P(0,1)在直线 l 上,求出 l 的参数方程,代入 中,得t2+16t+40由此能求出|PM|【解答】解:(1)直线 l 的参数方程为 (t 为参数) 由直线 l 的参数方程消去 t,得 l 的普通方程为 xsinycos+cos0,由 ,得第 22 页(共 23 页)曲线 C 的直角坐标方程为 ;(2)点 P(0,1)在直线 l 上, ,l 的参数方程

38、为 ,代入 中,得 t2+16t+40设 A,B,M 所对应的参数分别为 t1,t 2,t 0则 ,|PM |t 0|8【点评】本题考查直线的普通方程和曲线的直角坐标方程的求法,考查线段长的求法,考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题选修 4-5:不等式选讲23已知函数 f(x )|2x 2|+|2x+3|(1)求不等式 f(x )15 的解集;(2)若 f(x) ax 2+x 对于 xR 恒成立,求 a 的取值范围【分析】 (1)利用分类讨论法去掉绝对值,再求不等式 f(x)15 的解集;(2)由题意得出 a|2x

39、 2|+|2x+3|+ x2x 恒成立,求出|2 x2|+|2x +3|+x2x 的最小值即可【解答】解:(1)函数 f(x)|2x2|+|2x+3| ;当 时,有4x115,解得 x4,即 ;当 时,515 恒成立,即 ;当 x1 时,有 4x+115,解得 ,即 ;综上,不等式 f(x )15 的解集为 ;(2)由 f(x) ax 2+x 恒成立,得 a|2x 2|+|2x+3|+ x2x 恒成立,|2 x2|+|2x+3| (2x2)(2x+3)|5,第 23 页(共 23 页)当且仅当(2x2)(2x +3)0,即 是等号成立;又因为 ,当且仅当 时等号成立,又因为 ,所以 ,所以 a 的取值范围是 【点评】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题,是中档题