1、2018 年广西高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）复数 z（1+3 i） （1i ）在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2 （5 分）已知集合 Ax| x220，Bx|x0，则 AB（ ）A （0， ） B （，2）（0，+）C （ ，+） D （， ）（0，+）3 （5 分）设向量 （x，4） ， （1，x） ，若向量 与 同向，则 x（ ）A2 B2 C2 D04 （5 分）以下关于双曲线 M：
2、x 2y 28 的判断正确的是（ ）AM 的离心率为 2 BM 的实轴长为 2CM 的焦距为 16 DM 的渐近线方程为 yx5 （5 分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆的半径为 2，则该几何体的体积为（ ）A51296 B296 C51224 D5126 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 zx +3y 的最大值是（ ）A9 B8 C3 D47 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 k11，则输出的 S（ ）第 2 页（共 23 页）A12 B13 C15 D188 （5 分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求
3、三角形面积的“三斜求积公式” ，设ABC 三个内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c ，面积为 S，则“三斜求积公式”为 S 若 a2sinC24sinA，a（sinCsin B） （c+b）（27a 2）sinA，则用“三斜求积公式”求得的 S（ ）A B C D9 （5 分）设 D 为椭圆 x2+ 1 上任意一点，A（0， 2） ，B（0，2） ，延长 AD 至点P，使得 |PD| BD|，则点 P 的轨迹方程为（ ）Ax 2+（y2） 220 Bx 2+（y+2） 220Cx 2+（y2） 25 Dx 2+（y+2 ） 2510 （5 分）设 3a8，
4、blog 0.50.2，c log 424，则（ ）Aacb Babc Cbac Dbc a11 （5 分）如图，在底面为矩形的四棱锥 EABCD 中，DE平面 ABCD，F，G 分别为棱 DE， AB 上一点，已知 CDDE 3，BC 4，DF 1，且 FG平面 BCE，四面体ADFG 的每个顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为（ ）第 3 页（共 23 页）A12 B16 C18 D2012 （5 分）将函数 ysin2x+cos2x 的图象向左平移 （0 ）个单位长度后得到f（x）的图象，若 f（x）在（ ， ）上单调递减，则 的取值范围为（ &nbs
5、p;）A （ ， ） B （ ， ） C ， D ， ）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）若 2tan1，tan 2，则 tan（+） 14 （5 分）若 m 是集合1，3，5，7，9，11中任意选取的一个元素，则椭圆的焦距为整数的概率为 15 （5 分）若函数 f（x ） 是在 R 上的减函数，则 a 的取值范围是 16 （5 分）若函数 f（x ）x 33x 2a（a0）只有 2 个零点，则 a 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70
6、 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）已知公差不为 0 的等差数列a n的前 n 项和 Sn，S 1+1，S 3，S 4 成等差数列，且 a1、a 2，a 5 成等比数列（1）求数列a n的通项公式；（2）若 S4，S 6，S n 成等比数列，求 n 及此等比数列的公比18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是正方形，PD平面 ABCD，且AB 2，PD3（1）证明：AB平面 PAD；（2）设 E 为棱 PD 上一点，且 DE2PE ，记三棱锥 CPAB 的体积为 V1，三棱锥PABE 的体积为 V2，求 的值第 4 页（共 23 页）19 （
7、12 分） “双十一网购狂欢节”源于淘宝商城（天猫）2009 年 11 月 11 日举办的促销活动，当时参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是 11 月 11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期如今，中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日” 某淘宝电商为分析近 8 年“双十一”期间的宣传费用 x（单位：万元）和利润 y（单位：十万元）之间的关系，搜集了相关数据，得到下列表格：x 2 3 4 5 6 8 9 11y 1 2 3 3 4 5 6 8（1）请用相关系数 r 说明 y 与 x 之间是否存在线性相关关系（当|r| 0.81 时，说明 y与 x
8、之间具有线性相关关系） ；（2）建立 y 关于 x 的线性回归方程（系数精确到 0.1） ，预测当宣传费用为 20 万元时的利润，附参考公式：回归方程 ybx+a 中 b 和 a 最小二乘估计公式分别为， 相关系数 r参考数据：xiyi241， xi2356 8.25， 620 （12 分）已知曲线 M 由抛物线 x2y 及抛物线 x24y 组成，直线l：ykx3（ k0）与曲线 M 有 m（m N）个公共点（1）若 m3，求 k 的最小值；（2）若 m3，记这 3 个交点为 A，B，C，其中 A 在第一象限，F（0，1） ，证明： 2第 5 页（共 23 页）21 （12 分）已知函数 f（
9、x ）（ax2）e xe（a2） （1）讨论 f（x ）的单调性；（2）当 x1 时，f（x）0，求 a 的取值范围选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为sin22 cos0（1）写出直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程；（2）已知点 P（0，1） ，点 Q（ ，0） ，直线 l 过点 Q 且曲线 C 相交于 A，B 两点，设线段 AB 的中点为 M，求| PM|的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x 2|+|
10、2x+3|（1）求不等式 f（x ）15 的解集；（2）若 f（x） ax 2+x 对于 xR 恒成立，求 a 的取值范围第 6 页（共 23 页）2018 年广西高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）复数 z（1+3 i） （1i ）在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算求出 z 在复平面内对应的点的坐标得答案【解答】解：z（1+3 i） （1i ）2+4 i，复数 z（
11、1+3 i） （1i）在复平面内对应的点的坐标为（2，4） ，位于第一象限故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2 （5 分）已知集合 Ax| x220，Bx|x0，则 AB（ ）A （0， ） B （，2）（0，+）C （ ，+） D （， ）（0，+）【分析】分别求出集合 A，B，由此能求出 AB【解答】解：集合 Ax| x220x|x 或 x ，B x|x0，AB（， ）（0，+） 故选：D【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题3 （5 分）设向量 （x，4） ，
12、（1，x） ，若向量 与 同向，则 x（ ）A2 B2 C2 D0【分析】根据向量的运算得到关于 x 的方程，代入判断即可【解答】解：若向量 与 同向，则 x24，解得：x 2，x2 时， （2，4） ， （1，2） ，相同，x2 时， （2，4） ， （1，2） ，相反，第 7 页（共 23 页）故选：B【点评】本题考查了向量的运算，考查共线向量，是一道基础题4 （5 分）以下关于双曲线 M：x 2y 28 的判断正确的是（ ）AM 的离心率为 2 BM 的实轴长为 2CM 的焦距为 16 DM 的渐近线方程为 yx【分析】化双曲线方程为标准方程，求出 a，b，c
13、的值，然后逐一核对四个选项得答案【解答】解：由 x2y 28，得 ， ，则 c2a 2+b216，c 4双曲线的离心率 ，渐近线方程为 yx，实轴长为 ，焦距为8正确的判断是 D故选：D【点评】本题考查双曲线的标准方程及双曲线的有关概念，是基础题5 （5 分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆的半径为 2，则该几何体的体积为（ ）A51296 B296 C51224 D512【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为一个正方体掏去一个圆柱而得，圆柱下底面离正方体下底面距离为 2，则答案可求【解答】解：由三视图还原原几何体如图：第 8 页（共 23 页）该几何体为一个正方体
14、掏去一个圆柱而得，圆柱下底面离正方体下底面距离为 2，则该几何体的体积为 83 22651224 故选：C【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题6 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 zx +3y 的最大值是（ ）A9 B8 C3 D4【分析】先由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证即得答案【解答】解：如图即为 x，y 满足约束条件的可行域，由图易得：由 ，解得 A（3，2） ，同理可得 B（0，1） ，C（4， 0） ，当 x3，y2 时zx+3y 的最大值为 9，故选：A第 9 页（共 23 页）
15、【点评】在解决线性规划的小题时，常用“角点法” ，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标 将坐标逐一代入目标函数 验证，求出最优解7 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 k11，则输出的 S（ ）A12 B13 C15 D18【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得k11，n1，S1不满足条件 S11，执行循环体，n2，S3不满足条件 S11，执行循环体，n3，S6不满足条件 S11，执行循环体，n4，S10第 10 页（共
16、23 页）不满足条件 S11，执行循环体，n5，S15此时，满足条件 S11，退出循环，输出 S 的值为 15故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题8 （5 分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式” ，设ABC 三个内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c ，面积为 S，则“三斜求积公式”为 S 若 a2sinC24sinA，a（sinCsin B） （c+b）（27a 2）sinA，则用“三斜求积公式”求得的 S（ ）A B C D【分析】根据正弦定理：由 a2sinC4
17、sinA 得 ac24，则由 a（sinCsin B） （c +b）（27a 2）sinA 得 a2+c2b 227，利用公式可得结论【解答】解：根据正弦定理：由 a2sinC24sinA 得 ac24，则 a（sinC sinB ） （c +b）（27a 2）sin A 可得 a（cb） （c+b）（27a 2）a，则 c2b 227a 2，即 c2+a2b 227，S ，故选：D【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题9 （5 分）设 D 为椭圆 x2+ 1 上任意一点，A（0， 2） ，B（0，2） ，延长 AD 至点P，使得 |PD| BD|，则点
18、P 的轨迹方程为（ ）Ax 2+（y2） 220 Bx 2+（y+2） 220Cx 2+（y2） 25 Dx 2+（y+2 ） 25【分析】由已知可得，A（0，2） ，B（0，2）为椭圆两焦点，再由已知结合椭圆定义可得点 P 的轨迹是以 A 为圆心，以 2 为半径的圆，写出圆的标准方程得答案【解答】解：如图，第 11 页（共 23 页）由椭圆方程 x2+ 1，得 a25，b 21，c 2，则 A（0，2） ，B（0，2）为椭圆两焦点，|DA |+|DB|2 a2 ，|PD |BD |，|PA| |PD|+|DA|BD|+|DA| 2 点 P 的轨迹是以 A 为圆心，以 2 为半径
19、的圆，其方程为 x2+（y+2） 220故选：B【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查数学转化思想方法，是中档题10 （5 分）设 3a8，blog 0.50.2，c log 424，则（ ）Aacb Babc Cbac Dbc a【分析】3a8，a blog 0.50.2 log 25log 425，clog 424log 416可得大小关系【解答】解：3 a8，a blog 0.50.2 log 25log 425c log 424log 4162则 acb故选：A【点评】本题考查了指数函数与对数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础第 12 页（共 23 页）题11 （
20、5 分）如图，在底面为矩形的四棱锥 EABCD 中，DE平面 ABCD，F，G 分别为棱 DE， AB 上一点，已知 CDDE 3，BC 4，DF 1，且 FG平面 BCE，四面体ADFG 的每个顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为（ ）A12 B16 C18 D20【分析】以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，过 A 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出 AG1，球 O 是以 AD、AG、DF 为长、宽、高的长方体的外接球，从而求出球 O 的半径 R ，由此能求出球 O 的表面积【解答】解：以 A 为原点，AB 为 x 轴
21、，AD 为 y 轴，过 A 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 AGt，则 G（t，0，0） ，F（0，4，1） ，B（3，0，0） ，C（3，4，0） ，E （0，4，3） ，（t，4，1） ， （ 0，4，0） ，（3，4，3） ，设平面 BCE 的法向量 （x，y，z） ，则 ，取 x1，得 （1，0，1） ，FG平面 BCE， t +10，解得 t1，即 AG1，四面体 ADFG 的每个顶点都在球 O 的表面上，球 O 是以 AD、AG、DF 为长、宽、高的长方体的外接球，球 O 的半径 R ，第 13 页（共 23 页）球 O 的表面积 S4R 218故选：C
22、【点评】本题考查球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题12 （5 分）将函数 ysin2x+cos2x 的图象向左平移 （0 ）个单位长度后得到f（x）的图象，若 f（x）在（ ， ）上单调递减，则 的取值范围为（ ）A （ ， ） B （ ， ） C ， D ， ）【分析】利用辅助角公式先进行化简，结合函数图象关系，以及函数单调性的性质求出的取值范围即可【解答】解：ysin2x+cos2x sin（2x + ） ，将函数 ysin2x+cos2x 的图象向左平移 （0 ）个单位长度后得到 f（x）的图象，则 f（x
23、） sin2（x+ ）+ sin（2x+2+ ） ，由 2k+ 2x +2+ 2k+ ，k Z，得 k+ xk + ，kZ，若 f（x）在（， ）上单调递减，则 ，得 ，第 14 页（共 23 页）即 k k ，k Z，当 k1 时， ，即 的取值范围为 ， ，故选：C【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数图象关系求出函数的解析式是解决本题的关键二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）若 2tan1，tan 2，则 tan（+） 【分析】由已知直接利用两角和的正切求得 tan（ +） 【解答】解：2tan1，tan
24、 ，又 tan 2，tan（+ ） 故答案为： 【点评】本题考查两角和的正切，是基础的计算题14 （5 分）若 m 是集合1，3，5，7，9，11中任意选取的一个元素，则椭圆的焦距为整数的概率为 【分析】基本事件总数为 6，椭圆 的焦距为整数包含的基本事件 m 的可能取值有 1，3，11，共有 3 个，由此能求出椭圆 的焦距为整数的概率【解答】解：m 是集合1，3，5，7，9，11中任意选取的一个元素，基本事件总数为 6，椭圆 的焦距为整数包含的基本事件 m 的可能取值有 1，3，11，共有 3 个，第 15 页（共 23 页）椭圆 的焦距为整数的概率 p 故答案为：
25、 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、椭圆性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题15 （5 分）若函数 f（x ） 是在 R 上的减函数，则 a 的取值范围是 6，1 ） 【分析】根据题意，由函数单调性的定义分析可得 ，解可得 a 的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，函数 f（x ） 是在 R 上的减函数，则有 ，解可得：6a1，则 a 的取值范围是6，1） ；故答案为：6，1）【点评】本题考查分段函数单调性的性质以及应用，关键是理解函数单调性的定义16 （5 分）若函数 f（x ）x 33x 2a（a0）只有 2 个零点，则 a 0 或4 【分析】求函数
26、的导数，利用函数的一个极值等于 0，即可判断 f（x）有且只有 2 个零点，得到 a 的值【解答】解：f（x ）f（x ） x33x 2a则 f（x）3 x26x，令 3x26x 0，可得 x0 或 x2，即函数有两个极值点，函数 f（x）x 33x 2a（a0）只有 2 个零点，由 f（0）a0 得 a0，由 f（2）812a0 得 a4，综上 a0 或4 时，f （x ）有且只有 2 个零点故答案为：0 或4第 16 页（共 23 页）【点评】本题主要考查函数单调性和极值之间的关系，考查学生的计算能力，综合性较强难度较大三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明
27、过程或演算步骤.）17 （12 分）已知公差不为 0 的等差数列a n的前 n 项和 Sn，S 1+1，S 3，S 4 成等差数列，且 a1、a 2，a 5 成等比数列（1）求数列a n的通项公式；（2）若 S4，S 6，S n 成等比数列，求 n 及此等比数列的公比【分析】 （1）设等差数列a n的公差为 d0S 1+1，S 3，S 4 成等差数列，且 a1、a 2，a 5成等比数列，可得 2S3S 1+1+S4， a 1a5，即 a2+a31+a 4， a 1（a 1+4d） ，d0解出即可得出（2）由（1）可得：S n n 2，可得 s44 216，s 66 236s 4，s 6，s n
28、成等比数列，可得 S 4Sn，36 216n 2，解出即可得出【解答】解：（1）设等差数列a n的公差为 d0S 1+1，S 3，S 4 成等差数列，且 a1、a 2，a 5 成等比数列，2S 3S 1+1+S4， a 1a5，即 a2+a31+a 4， a 1（a 1+4d） ，d0可得 a11，d2a n1+2（n1）2n1（2）由（1）可得：S n n 2，s 44 216，s 66 236s 4，s 6，s n 成等比数列， S 4Sn，36 216n 2，第 17 页（共 23 页）化为：364n，解得 n9此等比数列的公比 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，
29、考查了推理能力与计算能力，属于中档题18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是正方形，PD平面 ABCD，且AB 2，PD3（1）证明：AB平面 PAD；（2）设 E 为棱 PD 上一点，且 DE2PE ，记三棱锥 CPAB 的体积为 V1，三棱锥PABE 的体积为 V2，求 的值【分析】 （1）由已知得 PD AB，又底面 ABCD 是正方形，可得ABAD ，PDADD，从而证得 AB平面 PAD；（2）由题意求出PAE 的面积，再结合等体积法即可求出 的值【解答】 （1）证明：PD 平面 ABCD，PD AB ，底面 ABCD 是正方形，ABAD，又 PDAD D ，
30、AB 平面 PAD；（2）解：DE2PE ，AD AB2，PD 3，PAE 的面积为 ， ，又 ， 第 18 页（共 23 页）【点评】本题考查空间中直线与平面的位置关系，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题19 （12 分） “双十一网购狂欢节”源于淘宝商城（天猫）2009 年 11 月 11 日举办的促销活动，当时参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是 11 月 11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期如今，中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日” 某淘宝电商为分析近 8 年“双十一”期间的宣传费用 x（单位：万
31、元）和利润 y（单位：十万元）之间的关系，搜集了相关数据，得到下列表格：x 2 3 4 5 6 8 9 11y 1 2 3 3 4 5 6 8（1）请用相关系数 r 说明 y 与 x 之间是否存在线性相关关系（当|r| 0.81 时，说明 y与 x 之间具有线性相关关系） ；（2）建立 y 关于 x 的线性回归方程（系数精确到 0.1） ，预测当宣传费用为 20 万元时的利润，附参考公式：回归方程 ybx+a 中 b 和 a 最小二乘估计公式分别为， 相关系数 r参考数据：xiyi241， xi2356 8.25， 6【分析】 （1）根据公式求解 ， 和 r，结合当|r|0.81 时，说明 y
32、 与 x 之间具有线性相关关系，可得结论第 19 页（共 23 页）（2）利用公式求出 ， ，即可得回归方程，将 x20 带入可得出结论【解答】解：（1）由题意得 ，又 ， ， ，所以所以，y 与 x 之间具有线性相关关系（2）因为 ，（或 ， ）所以 y 关于 x 的线性回归方程为 当 x20 时，故可预测当宣传费用为 20 万元时的利润为 137 万元【点评】本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题20 （12 分）已知曲线 M 由抛物线 x2y 及抛物线 x24y 组成，直线l：ykx3（ k0）与曲线 M 有 m（m N）个公共点（1）若 m3，求 k 的最小值；（2）若 m3，
33、记这 3 个交点为 A，B，C，其中 A 在第一象限，F（0，1） ，证明： 2【分析】 （1）根据直线和抛物线的位置关系，即可求出 k 的最小值，（2）由（1）知， ，y A3，则 设 B（x 1，y 1） ，C（x 2， y2） ，则 ，x 1x23，可得 y1+y2k（x 1+x2）69，第 20 页（共 23 页）可得 ，即可证明【解答】 （1）解：联立 x2y 与 ykx3，得 x2+kx3 0， ，l 与抛物线 x2y 恒有两个交点联立 x24y 与 ykx3，得 x24kx+120m3， ，k0， ， k 的最小值为 （2）证明：由（1）知，且 ，2x A4k， ，y A3易知
34、F（0，1）为抛物线 x24y 的焦点，则设 B（x 1，y 1） ，C（x 2，y 2） ，则 ，x 1x23，y 1+y2k（x 1+x2）69， ，【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系，弦长公式和函数的性质，属于中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）（ax2）e xe（a2） （1）讨论 f（x ）的单调性；（2）当 x1 时，f（x）0，求 a 的取值范围【分析】 （1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值，得到关于 a的不等式，解出即可【解答】解：（1）f'（x ）（ax2
35、+a）e x当 a0 时，f'（x ）2e x0，f（x）在 R 上单调递减当 a0 时，令 f'（x ）0，得 ，令 f'（x）0，得第 21 页（共 23 页）f（x）的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，当 a0 时，令 f'（x ）0，得 ，令 f'（x）0，得f（x）的单调递减区间为 ，单调递增区间为（2）当 a0 时，f（x ）在（1，+）上单调递减，f（ x）f （1）0，不合题意当 a0 时，f（2）（2a 2）e 2e（a2）a（2e 2e）2e 2+2e0，不合题意，当 a1 时，f'（x ）（ax2+a）e x0，f（x）在
36、（1，+）上单调递增，f（x）f（1）0，故 a1 满足题意当 0a1 时，f（x ）在 上单调递减，在 单调递增， ，故 0a1 不满足题意综上，a 的取值范围为1，+） 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为sin22 cos0（1）写出直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程；（2）已知点 P（0，1） ，点 Q（ ，0） ，直线 l
37、 过点 Q 且曲线 C 相交于 A，B 两点，设线段 AB 的中点为 M，求| PM|的值【分析】 （1）由直线 l 的参数方程消去 t，能求出 l 的普通方程；曲线 C 的极坐标方程转化为 ，由此能求出曲线 C 的直角坐标方程（2）由点 P（0，1）在直线 l 上，求出 l 的参数方程，代入 中，得t2+16t+40由此能求出|PM|【解答】解：（1）直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 由直线 l 的参数方程消去 t，得 l 的普通方程为 xsinycos+cos0，由 ，得第 22 页（共 23 页）曲线 C 的直角坐标方程为 ；（2）点 P（0，1）在直线 l 上， ，l 的参数方程
38、为 ，代入 中，得 t2+16t+40设 A，B，M 所对应的参数分别为 t1，t 2，t 0则 ，|PM |t 0|8【点评】本题考查直线的普通方程和曲线的直角坐标方程的求法，考查线段长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x 2|+|2x+3|（1）求不等式 f（x ）15 的解集；（2）若 f（x） ax 2+x 对于 xR 恒成立，求 a 的取值范围【分析】 （1）利用分类讨论法去掉绝对值，再求不等式 f（x）15 的解集；（2）由题意得出 a|2x
39、 2|+|2x+3|+ x2x 恒成立，求出|2 x2|+|2x +3|+x2x 的最小值即可【解答】解：（1）函数 f（x）|2x2|+|2x+3| ；当 时，有4x115，解得 x4，即 ；当 时，515 恒成立，即 ；当 x1 时，有 4x+115，解得 ，即 ；综上，不等式 f（x ）15 的解集为 ；（2）由 f（x） ax 2+x 恒成立，得 a|2x 2|+|2x+3|+ x2x 恒成立，|2 x2|+|2x+3| （2x2）（2x+3）|5，第 23 页（共 23 页）当且仅当（2x2）（2x +3）0，即 是等号成立；又因为 ，当且仅当 时等号成立，又因为 ，所以 ，所以 a 的取值范围是 【点评】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档题