1、2018 年湖南省永州市祁阳县高考数学二模试卷（理科）一、选择题：（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1 （5 分）已知集合 My |y2 x，x0 ，N y|y ，则 MN 等于（ ）A B1 C y|y1 D y|y12 （5 分）设复数 z1+ （其中 i 为虚数单位） ，则 等于（ ）A12i B1+2i C2i D2i3 （5 分）下列说法正确的是（ ）A “f （0）0”是“函数 f （x ） 是奇函数”的充要条件B若 p：x 0R，x 02x 010，则p：x R，x 2x10
2、C若 pq 为假命题，则 p， q 均为假命题D “若 ，则 sin ”的否命题是“若 ，则 sin ”4 （5 分）在等差数列a n中，S n 为其前 n 项和，若 a3+a4+a825，则 S9（ ）A60 B75 C90 D1055 （5 分）为了得到函数 的图象，可以将函数 ycos2x 的图象（ ）A向左平移 个单位 B向右平移 个单位C向右平移 个单位 D向左平移 个单位6 （5 分）已知非零向量 ， 的夹角为 60，且| |1， |2 |1，则| |（ ）A B1 C D27 （5 分）函数 的图象大致是（ ）A B第 2 页（共
3、20 页）C D8 （5 分）已知 ，则 （ ）A B C D9 （5 分）已知偶函数 ，当 时， ，设af（1） ，bf（2） ，c f（ 3） ，则（ ）Aabc Bbca Ccba Dc ab10 （5 分）函数 f（x ）的定义域为 R，f （2）2018，对任意的 xR，都有 f（x）2x 成立，则不等式 f（x ）x 2+2014 的解集为（ ）A （2，+ ） B （2，2） C （，2） DR11 （5 分）过点 P（1，1）作圆 C：（x t） 2+（yt+2） 21（tR）的切线，切点分别为 A， B，则 的最小值为（ ）A
4、B C D2 312 （5 分）已知数列a n与b n的前 n 项和分别为 Sn，T n，且an0，6S na n2+3an，nN*，b n ，若n N*，kT n 恒成立，则 k 的最小值是（ ）A B49 C D二填空题（本题共 4 小题，共 20 分.把答案填写在答题卡相应的横线上）13 （5 分）公差不为 0 的等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a2，a 5，a 14 成等比数列，则 a10 14 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 sinA2sinB，且a+b c，则角 C 的大小为
5、 15 （5 分）已知函数 f（x ） 若关于 x 的函数 yf 2（x）bf（x）+1第 3 页（共 20 页）有 8 个不同的零点，则实数 b 的取值范围是 16 （5 分）已知函数 f（x ）xlnx+ax 在区间（0，e）内是增函数，函数 g（x）|e xa|+ （其中 e 为自然对数的底数） ，当 x0，1n3 时，函数 g（x）的最大值 M与最小值 m 的差为 则实数 a 三、解答题：本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17 （10 分）已知幂函
6、数 f（ x）（m1） 2 在（0，+）上单调递增，函数g（x）2 xk（）求 m 的值；（）当 x1，2时，记 f（x ） ，g（x）的值域分别为集合 A，B，设命题 p：x A，命题 q：xB，若命题 p 是 q 成立的必要条件，求实数 k 的取值范围18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，满足 （）求角 C；（）求 的取值范围19 （12 分）已知函数 f（x ） sinxcosxsin 2x+1（ 0）图象的相邻两条对称轴之间的距离为 （）求 的值及函数 f（x）的单调递减区间；（）如图，在锐角三角形 ABC 中有 f（B）1，若在线段 BC 上存在
7、一点 D 使得AD2，且 AC ，CD 1，求三角形 ABC 的面积20 （12 分）等差数列a n的前 n 项和为 Sn，数列b n是等比数列，满足a13，b 11，b 2+S210，a 52b 2a 3（）求数列a n和b n的通项公式；第 4 页（共 20 页）（）令 Cn 设数列c n的前 n 项和 Tn，求 T2n21 （12 分）已知函数 f（x ）x 2+ax+1，其中 aR，且 a0（）设 h（x）（2x 3）f （x） ，若函数 yh（x ）图象与 x 轴恰有两个不同的交点，试求 a 的取值集合；（）当 a2 时，求函数 y| f（x）| 在0 ，1上最大值22 （12 分）
8、已知函数 f（x ）ax+xlnx（aR）（1）若函数 f（x ）在区间 e，+ ）上为增函数，求 a 的取值范围；（2）当 a1 且 kZ 时，不等式 k（x 1）f（x）在 x（1，+ ）上恒成立，求 k 的最大值第 5 页（共 20 页）2018 年湖南省永州市祁阳县高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1 （5 分）已知集合 My |y2 x，x0 ，N y|y ，则 MN 等于（ ）A B1 C y|y1 D y|y1【分析】求出集合 M，N，利用集合的
9、基本运算即可得到结论【解答】解：My |y2 x， x0 y| y1 ，N y|y y|y 0，1 y |0y1，则 MN，故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出对应的值域是解决本题的关键2 （5 分）设复数 z1+ （其中 i 为虚数单位） ，则 等于（ ）A12i B1+2i C2i D2i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案【解答】解：z1+ ， ，故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3 （5 分）下列说法正确的是（ ）A “f （0）0”是“函数 f （x ） 是奇函数
10、”的充要条件B若 p：x 0R，x 02x 010，则p：x R，x 2x10C若 pq 为假命题，则 p， q 均为假命题D “若 ，则 sin ”的否命题是“若 ，则 sin ”【分析】根据四种命题之间的关系，对选项中的命题分析、判断正误即可【解答】解：对于 A，f （0）0 时，函数 f （x）不一定是奇函数，如 f（x）第 6 页（共 20 页）x 2，xR；函数 f （x） 是奇函数时，f（0）不一定0，如 f（x） ，x 0；是即不充分也不必要条件，A 错误；对于 B，命题 p：x 0R，x 02x 010，则p：xR， x2x10，B 错误；对于 C，若 pq 为假命题，则 p，
11、q 至少有一假命题，C 错误；对于 D，若 ，则 sin 的否命题是“若 ，则 sin ”，D 正确故选：D【点评】本题考查了命题真假的判断问题，是基础题4 （5 分）在等差数列a n中，S n 为其前 n 项和，若 a3+a4+a825，则 S9（ ）A60 B75 C90 D105【分析】利用等差数列通项公式得到 ，由此利用S9 9a 5，能求出结果【解答】解：等差数列a n中，S n 为其前 n 项和，a 3+a4+a825，3a 1+12d25， ，S 9 9a 59 75故选：B【点评】本题考查等差数列的前 9 项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的
12、合理运用5 （5 分）为了得到函数 的图象，可以将函数 ycos2x 的图象（ ）A向左平移 个单位 B向右平移 个单位C向右平移 个单位 D向左平移 个单位【分析】先根据诱导公式进行化简 ycos2x 为正弦函数的类型，再由左加右减上加下减的原则可确定平移的方案【解答】解：由题意 ycos2xsin（2x + ） ，第 7 页（共 20 页）函数 ysin （2 x+ ）的图象经过向右平移 ，得到函数 ysin2（x ）+ sin（2x ）的图象，故选：B【点评】本题主要考查三角函数的平移三角函数的平移原则为左加右减上加下减，注意 x 的系数的应用，以及诱导公式的应用6 （5 分
13、）已知非零向量 ， 的夹角为 60，且| |1， |2 |1，则| |（ ）A B1 C D2【分析】由题意可得 | |1 ，再根据， 1，求得| |的值【解答】解：非零向量 ， 的夹角为 60，且| |1， | |1 ，|2 |1， 4 4 + 4 2| |+11，4 2|0 ， | | ，故选：A【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，向量的模的计算，属于基础题7 （5 分）函数 的图象大致是（ ）A BC D【分析】利用排除法，即可得出结论【解答】解：由题意知当 x1 或 x1 时，y 0，故排除 A、B；又当 x0 时，函数的值也趋近于 0，故排除 C，故选
14、：D【点评】本题考查函数的图象，考查数形结合的数学思想，比较基础第 8 页（共 20 页）8 （5 分）已知 ，则 （ ）A B C D【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值【解答】解： ， ，故选：B【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题9 （5 分）已知偶函数 ，当 时， ，设af（1） ，bf（2） ，c f（ 3） ，则（ ）Aabc Bbca Ccba Dc ab【分析】根据函数的奇偶性和单调性，进行判断即可【解答】解：当 时，ysin x 单调递增，y 也为增函数，函数 ，也为增函数函数 为偶函数， ，
15、即函数的对称轴为 x ，即 f（x）f（ x ）f（2）f（2） ，f（3）f（ 3） ，0312 ，f（3）f（1）f（ 2） ，即 cab，故选：D第 9 页（共 20 页）【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用条件确定函数的单调性是解决本题的关键10 （5 分）函数 f（x ）的定义域为 R，f （2）2018，对任意的 xR，都有 f（x）2x 成立，则不等式 f（x ）x 2+2014 的解集为（ ）A （2，+ ） B （2，2） C （，2） DR【分析】根据题意，构造函数 g（x）f （x）x 22014，对其求导可得函数 g（x）在R 上单调递减，由
16、f（2）的值分析可得 g（2）f（2）（2） 220140，进而可以将不等式变形为 g（x）g（2） ，结合函数的单调性分析可得答案【解答】解：根据题意，令 g（x）f （x）x 22014，则 g（x）f（x）2x0，函数 g（x）在 R 上单调递减，而 f（2）2018，g（2）f（2）（ 2） 220140不等式 f（x） x2+2014，可化为 g（x）g（2） ，x2即不等式 f（x） x2+2014 的解集为（2，+） ；故选：A【点评】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，关键是依据题意，构造函数 g（x）并分析函数的单调性11 （5 分）过点 P（1，1）作圆 C：（x t）
17、2+（yt+2） 21（tR）的切线，切点分别为 A， B，则 的最小值为（ ）A B C D2 3【分析】根据圆的公切线的性质求出|PA |PB| ，以及从 cosAPC，再根据二倍角公式，以及向量的数量积公式可得 （t 22t +5）+（t 2 2t+4） ，设t22t+4x，则 x3，则得到 f（x） ，利用导数求出函数的最值即可【解答】解：圆 C：（x t） 2+（yt +2） 21 的圆心坐标为（t，t2） ，半径为 1，|PC |2（t+1） 2+（t3） 22t 24t +10，第 10 页（共 20 页）|PA| 2 |PB|2 |PC|21（t+1） 2+（t3）
18、 212t 24t+9，cosAPC ，cosPAB2cos 2APC 12（ ）1 | | |cosPAB（2t 24t +9） （t 22t+5）+（t 22t +4） ，设 t22t+4x，则 x3，则 f（x ）（x+x+1） ，f（x） 0 恒成立，f（x）在3 ， +）单调递增，f（x） minf（3） ， 的最小值为故选：C【点评】本题主要考查了圆的切线性质的应用及平面向量的数量积的定义的应用以及导数和函数的最值的关系，属于难题12 （5 分）已知数列a n与b n的前 n 项和分别为 Sn，T n，且an0，6S na n2+3an，nN*，b n ，若n N*，kT n 恒成
19、立，则 k 的最小值是（ ）A B49 C D【分析】根据递推公式求出a n的通项公式，利用裂项法求 Tn，从而得出 k 的最小值【解答】解：6S na n2+3an，6S n+1a n+12+3an+1，6a n+1（a n+1+an） （a n+1 an）+3 （a n+1a n）（a n+1+an） （a n+1a n）3（a n+1+an） ，第 11 页（共 20 页）a n0，a n+1+an0，a n+1a n3，又 6a1a 12+3a1，a 10，a 13a n是以 3 为首项，以 3 为公差的等差数列，a n3n，b n （ ） （ ） ，T n （ + +
20、） （ ） k 故选：C【点评】本题考查了等差数列的判断，裂项法数列求和，属于中档题二填空题（本题共 4 小题，共 20 分.把答案填写在答题卡相应的横线上）13 （5 分）公差不为 0 的等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a2，a 5，a 14 成等比数列，则 a10 19 【分析】由 S5a 32，结合等差数列的求和公式可求 a3，然后由 a52a 2a14，结合等差数列的求和公式进而可求公差 d，结合通项公式进行求解即可【解答】解：设数列的公差为 d， （d0）S 5a 32，得：5a 3a 32，a 30 或 a35；a 2，a 5，a 14 成等比数列，a 52a 2a14，
21、（a 3+2d） 2（a 3d） （a 3+11d）若 a30，则可得 4d211d 2 即 d0 不符合题意，若 a35，则可得（5+2d） 2（5d） （5+11d） ，解可得 d0（舍）或 d2，a 10a 3+7d5+7 219，第 12 页（共 20 页）故答案为：19【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，等比数列的性质的简单应用，利用方程组思想是解决本题的关键14 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 sinA2sinB，且a+b c，则角 C 的大小为 60 【分析】利用正弦定理化简 sinA2sin B，可得 a2b，a +
22、b c，利用余弦定理即可求角 C 的大小【解答】解：sinA2sinB，由正弦定理：可得 a2b即 a24b 2a+b c，即 3b c，由余弦定理：2abcosCa 2+b2c 2可得：cosC 0C C60故答案为：60【点评】本题考查了正余弦定理的运用能力和计算能力属于基础题15 （5 分）已知函数 f（x ） 若关于 x 的函数 yf 2（x）bf（x）+1有 8 个不同的零点，则实数 b 的取值范围是 （2， 【分析】作函数 f（x ） 的图象，从而可得方程 x2bx+10 有 2个不同的正解，且在（0，4上，从而解得【解答】解：作函数 f（x ） 的图象如右图，关于 x 的函数 y
23、f 2（x）bf（x）+1 有 8 个不同的零点，方程 x2bx+10 有 2 个不同的正解，且在（0，4上；第 13 页（共 20 页） ，解得，2b ；故答案为：（2， 【点评】本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用16 （5 分）已知函数 f（x ）xlnx+ax 在区间（0，e）内是增函数，函数 g（x）|e xa|+ （其中 e 为自然对数的底数） ，当 x0，1n3 时，函数 g（x）的最大值 M与最小值 m 的差为 则实数 a 【分析】根据函数 f（x ）xlnx+ax 在（0，e）上是增函数，可得 f'（x）lnx+a10 在（0，e）恒
24、成立，从而 f'（x）lnx+a+1 的最小值大于等于 0 即可，进而可得参数的范围；利用函数 当 x0，ln3时，函数 g（x）的最大值 M 与最小值 m 的差为 ，可求参数的值，从而可得结论【解答】解：f（x ）xlnx+ax，f '（x）lnx+a1函数 f（x） xlnx+ax 在（0，e）上是增函数f'（x）lnx +a10 在（0，e）恒成立ylnx 是（0，e ）上的减函数f'（x）lnx +a+1 的最小值大于等于 0 即可，即1+ a10a2第 14 页（共 20 页）x0， ln3，e x1，3e xa 时，函数取得最小值为x0 时， ；xl
25、n3 时，3a2 时，函数 g（x）的最大值 M函数 g（x）的最大值 M 与最小值 m 的差为3a2 时，aa3 时，x 0ln 3，此时 x 在0，ln3内单调递减，所以函数在 f（0）处取最大值，在f（ln3）处取最小值，a 不符合 a 大于 3，所以舍去故答案为：【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数最值的确定，其中确定函数 g（x）的最大值 M 与最小值 m 是关键三、解答题：本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17 （10 分）已知幂函数 f（ x）（m1） 2 在（0，+）上单调递增，函数g（x
26、）2 xk（）求 m 的值；（）当 x1，2时，记 f（x ） ，g（x）的值域分别为集合 A，B，设命题 p：x A，命题 q：xB，若命题 p 是 q 成立的必要条件，求实数 k 的取值范围【分析】 （）根据幂函数的定义和性质求出 m 检验即可， （）结合集合的关系进行求解【解答】解：（）依题意得：（m 1） 21， m0 或 m2，当 m2 时，f（x）x 2 在（0，+）上单调递减，第 15 页（共 20 页）与题设矛盾，舍去，m0（）由（）得：f（x ）x 2，当 x1，2）时， f（x）1，4） ，即 A1，4） ，当 x1，2）时， g（x ）2 k，4k） ，即 B2k，4k）
27、 ，若命题 p 是 q 成立的必要条件，则 BA，则 ，即 ，解得：0k1【点评】本题主要考查幂函数性质和定义的应用，函数值域的计算以及集合关系的应用，综合性较强18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，满足 （）求角 C；（）求 的取值范围【分析】 （）已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出 cosC，将得出关系式代入求出 cosC 的值，确定出 C 的度数；（）由（）及正弦定理化简可得： 2sin（A+ ） ，结合 A 的范围，可得sin（A+ ）1，即可得解【解答】解：（） 由正弦定理 ，可得： ，整理可得：a 2+b2c 2ab，由余弦定理可得
28、：cosC ，C（0， ） ，C ；（）由（）可得：B A，第 16 页（共 20 页）由正弦定理可得： 2sin（A+ ） ，0A ， A+ ， sin（A+ ）1，从而解得： 2sin（A + ） （1，2 【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，解题时注意分析角的范围，属于基本知识的考查19 （12 分）已知函数 f（x ） sinxcosxsin 2x+1（ 0）图象的相邻两条对称轴之间的距离为 （）求 的值及函数 f（x）的单调递减区间；（）如图，在锐角三角形 ABC 中有 f（B）1，若在线段 BC 上存在一点 D 使得AD2，且 AC ，CD 1，求三角形 ABC 的
29、面积【分析】 （）利用二倍角和辅助角公式化简，相邻两条对称轴之间的距离为 可得，即可求 的值，可得 f（x）的解析式即可求函数 f（x）的单调递减区间；（）根据 f（B）1，求解 B 角，在ADC 中利用余弦定理求解 cosC，在求解 A 角，即可求解三角形 ABC 的面积【解答】解：（）函数 f（x） sinxcosxsin 2x+1 sin2x cos2x+1sin （2 x ）图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，即 T第 17 页（共 20 页）那么：T ，可得 1那么 f（x）sin（2x ）由 2x得： x 函数 f（x）的单调递减区间为 ： ， ，k Z（）由 f（B）1，即 f（
30、B）sin （2B ） 1 ，2B：2B 解得：B 在ADC 中，AD2，且 AC ，CD 1，利余弦定理：cosC ，C 由 A+B+C ，A 由正弦定理： ，可得 AB2那么三角形 ABC 的面积 S ABACsinA 【点评】本题考查了三角函数的化简能力和正余弦定理的灵活运用以及计算能力属于中档题20 （12 分）等差数列a n的前 n 项和为 Sn，数列b n是等比数列，满足a13，b 11，b 2+S210，a 52b 2a 3（）求数列a n和b n的通项公式；第 18 页（共 20 页）（）令 Cn 设数列c n的前 n 项和 Tn，求 T2n【分析】 （I）利用等差数列与等比数
31、列的通项公式即可得出；（）由 a13，a n2n+1 得 Snn（n+2） 则 n 为奇数，c n “分组求和” ，利用“裂项求和” 、等比数列的前 n 项和公式即可得出【解答】解：（）设数列a n的公差为 d，数列b n的公比为 q，由 b2+S210，a 52b 2a 3得 ，解得a n3+2（n1）2n+1 ， （）由 a13，a n2n+1 得 Snn（n+2） ，则 n 为奇数，c n ，n 为偶数，c n2 n1 T 2n（c 1+c3+c2n1 ）+（c 2+c4+c2n） 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、 “分组求和” 、“裂项求和” ，考查
32、了推理能力与计算能力，属于中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）x 2+ax+1，其中 aR，且 a0（）设 h（x）（2x 3）f （x） ，若函数 yh（x ）图象与 x 轴恰有两个不同的交点，试求 a 的取值集合；（）当 a2 时，求函数 y| f（x）| 在0 ，1上最大值【分析】 （）分类讨论，从而由 f（x ）0 恰有一解及 f（x）0 有两个不同的解求得；（）分类讨论，从而确定二次函数的单调性及最值，从而确定函数 y|f（x）| 在0 ，1上的最大值【解答】解：（）若 f（x ）0 恰有一解，且解不为 ，第 19 页（共 20 页）即 a240，解得 a2；若 f（x）0
33、有两个不同的解，且其中一个解为 ，代入得 + a+10，解得 a ，检验满足0；综上所述，a 的取值集合为 ，2，2 （） （1）若 0，即 a0 时，函数 y|f（x） |在0，1 上单调递增，故 ymaxf（1）2+ a；（2）若 0 1，即2a0 时，此时a 240，且 f（x ）的图象的对称轴在（0，1）上，且开口向上；故 ymaxmax f（0） ，f（1）max1，a+2 ，综上所述，y max【点评】本题考查了分类讨论的思想应用及数形结合的思想应用，同时考查了二次函数的性质应用，属于中档题22 （12 分）已知函数 f（x ）ax+xlnx（aR）（1）若函数 f（x ）在区间
34、e，+ ）上为增函数，求 a 的取值范围；（2）当 a1 且 kZ 时，不等式 k（x 1）f（x）在 x（1，+ ）上恒成立，求 k 的最大值【分析】 （1）函数 f（x ）在区间 e，+ ）上为增函数，可得 f（x）a+lnx+10 在区间e， +）上恒成立，转化为 a（lnx1） max即可得出（2）a1 时，f（x ）x+lnx，kZ 时，不等式 k（x 1）f（x）在 x（1，+ ）上恒成立，可得 k ，令 g（x） ，则 g（x） ，令 h（x）xlnx2（x1） 利用导数研究其单调性、函数零点即可得出【解答】解：（1）函数 f（ x）在区间 e，+ ）上为增函数，f（x）a +l
35、nx+10 在区间 e，+）上恒成立，a（lnx1） max2第 20 页（共 20 页）a2a 的取值范围是2，+） （2）a1 时，f（x ）x+lnx，kZ 时，不等式 k（x 1）f（x）在 x（1，+ ）上恒成立，k ，令 g（x） ，则 g（x） ，令 h（x）xlnx2（x1） 则 h（x）1 0，h（x） 在 （1，+）上单增，h（3）1ln30，h（4 ）22ln 20，存在 x0（3， 4） ，使 h（x 0）0即当 1xx 0 时 h（x ）0 即 g（x）0xx 0 时 h（x ）0 即 g（x）0g（x）在 （1，x 0）上单减，在 （x 0+）上单增令 h（x 0）x 0lnx 020，即 lnx0x 02，g（x） ming（x 0） x 0（3，4） kg（x） minx 0（3，4） ，且 kZ，k max3【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值、等价转化方法、方程与不等式的解法、函数零点，考查了推理能力与计算能力，属于难题