1、一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设全集 U1，2，3，4，5，A x|x24x+30，xN，则 UA（ ）A1 ，2，3 B3 ，4，5C4，5 D x|x0 或 x32 （5 分）若 为第二象限角则复数 zcos+isin （i 为虚数单位）对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 （5 分）已知等差数列a n前 9 项的和为 27，a 108，则 a100（ ）A100 B99 C98 D974 （5 分）条件 p：|x +1|2，条件
2、q：x2，则p 是q 的（ ）A充分非必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要的条件5 （5 分）设函数 f（x ）ln（x 2+1） ，则使 f（2x）f（x+1）成立的 x 的取值范围是（ ）A （，1） B （1，+）C D6 （5 分）如图所示，半径为 1 的圆 O 是正方形 MNPQ 的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形 MNPQ 内，用 A 表示事件 “豆子落在圆 O 内” ，B 表示事件“豆子落在扇形OEF（阴影部分）内 ”，则 P（B| A）（ ）A B C D7 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形
3、的个数为（ 第 2 页（共 26 页）A1 B2 C3 D48 （5 分）已知 ，则 的展开式中 x4 的系数为（ ）A15 B15 C5 D59 （5 分）把函数 yf（x）的图象向左平移 个单位长度，再把所得的图象上每个点的横、纵坐标都变为原来的 2 倍，得到函数 g（x）的图象，并且 g（x）的图象如图所示，则 f（x ）的表达式可以为（ ）Af（x）2sin（x+ ） Bf（x ）sin （4x + ）Cf（x）sin（4x ） Df（x ）2sin（4x ）10 （5 分）已知 F1，F 2 是双曲线 的左、右焦点，若点 F2 关于双
4、曲线渐近线的对称点 A 满足F 1AOAOF 1（O 为坐标原点） ，则双曲线的渐近线方程为（ ）Ay2x B C Dy x11 （5 分）电子计算机诞生于 20 世纪中叶，是人类最伟大的技术发明之一计算机利用二进制存储信息，其中最基本单位是“位（bit） ”，1 位只能存放 2 种不同的信息：0 或l，分别通过电路的断或通实现 “字节（Byte） ”是更大的存储单位，1Byte8bit ，因此第 3 页（共 26 页）1 字节可存放从 00000000（2） 至 11111111（2） 共 256 种不同的信息将这 256 个二进制数中，所有恰有相邻两位数是 1 其余各位数均是
5、0 的所有数相加，则计算结果用十进制表示为（ ）A254 B381 C510 D76512 （5 分）已知函数 f（x ）x 22x+a（e x1 +ex+1 ）有唯一零点，则 a（ ）A B C D1二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）已知向量 ， 满足 2，且 （1， ） ，则 在 方向上的投影为 14 （5 分）设 x，y 满足约束条 ，则目标函数 的最大值为 15 （5 分）已知直线 yk （x +1） （k0）与抛物线 C：y 24x 相交于 A，B 两点，F 为
6、 C的焦点，若|FA|2| FB|，则 k 16 （5 分）某工厂现将一棱长为 的正四面体毛坯件切割成一个圆柱体零件，则该圆柱体体积的最大值为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （12 分）已知 a，b，c 分别是ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，若 a10，角 B 是最小的内角，且 3c4asinB+3 bcosA（）求 sinB 的值；（）若ABC 的面积为 42，求 b 的值18 （12 分）如图，在多而体 ABCDE 中，AE平面 ABC，平面 BCD平面 ABC，ABC是边长为 2 的等边三角形，B
7、DCD ，AE2（1）证明：平面 EBD平面 BCD；（2）求平面 BED 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值第 4 页（共 26 页）19 （12 分）已知椭圆 C： l （ab0）的离心率为 ，且过点（2， ） （）求椭圆 C 的标准方程；（）设 A、B 为椭圆 C 的左、右顶点，过 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆于 M，N 两点，分别记ABM ， ABN 的面积为 S1，S 2，求|S 1S 2|的最大值20 （12 分）某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过 1kg 的包裹收费 10 元；重量超过 1kg 的包裹，除 1kg 收费 10 元之外，超过 1kg 的部分，每超出
8、 1kg（不足 1kg，按1kg 计算）需再收 5 元该公司将最近承揽的 100 件包裹的重量统计如表：包裹重量（单位：kg）1 2 3 4 5包裹件数 43 30 15 8 4公司对近 60 天，每天揽件数量统计如表：包裹件数范围 0100 101200 201300 301400 401500包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450天数 6 6 30 12 6以上数据已做近似处理，并将频率视为概率（1）计算该公司未来 3 天内恰有 2 天揽件数在 101400 之间的概率；（2） 估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司
9、利润，剩余的用作其他费用目前前台有工作人员 3 人，每人每天揽件不超过 150 件，工资 100 元公司正在考虑是否将前台工作人员裁减 1 人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？21 （12 分）已知函数 f（x ）lnxxm （m R） （1）若函数 f（x ）有两个零点，求 m 的取值范围；第 5 页（共 26 页）（2）证明：当 m3 时，关于 x 的不等式 f（x）+（x 2）e x0 在 上恒成立请考生在 22、23 两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）
10、在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2sin +2acos（a0） ；直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，直线 l 与曲线 C 分别交于 M，N 两点（1）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；（2）若点 P 的极坐标为（2， ） ， ，求 a 的值选修 4-5：不等式选讲23已知 f（x） |x+1|ax1|（1）当 a1 时，求不等式 f（x ）1 的解集；（2）若 x（0 ，1）时不等式 f（x）x 成立，求 a 的取值范围第 6 页（共 26 页）2019 年湖南省长沙市长郡中学高考数学二模试卷（
11、理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设全集 U1，2，3，4，5，A x|x24x+30，xN，则 UA（ ）A1 ，2，3 B3 ，4，5C4，5 D x|x0 或 x3【分析】求出集合的等价条件，结合补集的定义进行求解即可【解答】解：Ax| x24x +30，xN x|1x 3，xN1 ，2，3，则 UA4，5，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，结合补集的定义是解决本题的关键2 （5 分）若 为第二象限角则复数 zcos+isin （i 为虚数单位）对应的
12、点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】根据 所在的象限，分别判断实部 cos 和虚部 sin 的符号，即可得到 z 对应的点所在的象限【解答】解：因为 为第二象限角所以 cos0，sin 0，即复数 z 的实部为负数，虚部为正数，所以 z 对应的点在第二象限故选：B【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3 （5 分）已知等差数列a n前 9 项的和为 27，a 108，则 a100（ ）A100 B99 C98 D97【分析】根据已知可得 a53，进而求出公差，可得答案【解答】解：等差数列a n前 9 项的和为 27，S 9
13、9a 59a 527，a 53，又a 108，d1，a 100a 5+95d98，第 7 页（共 26 页）故选：C【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键4 （5 分）条件 p：|x +1|2，条件 q：x2，则p 是q 的（ ）A充分非必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要的条件【分析】根据题意，解|x +1| 2 可以求出 p 为真的解集，从而得到p，由 q 可得q 为x2，进而能够判断出p 是q 的真子集，由集合间的关系与充分条件的关系可得答案【解答】解：根据题意，|x +1|2x3 或 x1，则p：3x1，又由题意，q：x2
14、，则q 为 x2，所以p 是q 的充分不必要条件；故选：A【点评】本题考查充分、必要条件的判断，解题的关键是利用补集的思想，并且根据充要条件的判断可以转化为两个集合之间的关系5 （5 分）设函数 f（x ）ln（x 2+1） ，则使 f（2x）f（x+1）成立的 x 的取值范围是（ ）A （，1） B （1，+）C D【分析】根据题意，分析可得 f（x ）为偶函数且在0 ，+）上为增函数，进而可得f（2x）f（x+1）f（|2x|） f（|x+1| ） |2x| x+1|，解可得 x 的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，函数 f（x ）ln （x 2+1） ，则 f（ x）
15、ln （x） 2+1ln（x 2+1）f（x ） ，即函数 f（x）为偶函数，当 x0 时，易得 f（x）为增函数，则 f（2x）f（x +1）f（|2x|）f （|x+1| ） |2x| x+1|，变形可得：3x 22x 10，解可得 x 或 x1，第 8 页（共 26 页）即 x 的取值范围为（， ）（1，+）故选：D【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数 f（x）的奇偶性与单调性，属于基础题6 （5 分）如图所示，半径为 1 的圆 O 是正方形 MNPQ 的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形 MNPQ 内，用 A 表示事件 “豆子落在圆 O 内” ，B 表示事件“
16、豆子落在扇形OEF（阴影部分）内 ”，则 P（B| A）（ ）A B C D【分析】利用几何概型先求出 P（A） ，P（AB） ，再由条件概型能求出 P（B| A） 【解答】解：如图所示，半径为 1 的圆 O 是正方形 MNPQ 的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形 MNPQ 内，用 A 表示事件“豆子落在圆 O 内” ，B 表示事件“豆子落在扇形 OEF（阴影部分）内” ，则 P（A） ，P（AB） ，P（B|A） 故选：B第 9 页（共 26 页）【点评】本题考查概率的求法，考查几何概型、条件概型能等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，在
17、此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）A1 B2 C3 D4【分析】画出三视图的直观图，判断各个面的三角形的情况，即可推出结果【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA底面 ABCD，AC ，CD ，PC3，PD2 ，可得三角形 PCD 不是直角三角形所以侧面中有 3 个直角三角形，分别为：PAB，PBC，PAD故选：C第 10 页（共 26 页）【点评】本题考查简单几何体的三视图的应用，是基本知识的考查8 （5 分）已知 ，则 的展开式中 x4 的系数为（ ）A15 B15 C5 D5【分析】由定积分的运算得： cosx 2，由二项式定理得：（ +1） 2（x
18、1） 5（x+2 +1） （ x5 x4+ x3 x2+x1） ，所以 x4 5，得解【解答】解：由已知 cosx 2，所以 （ +1） 2（x1） 5（x+2 +1） （ x5 x4+ x3x2+ x1） ，所以 x4 5，故选：D【点评】本题考查了定积分的运算及二项式定理，属中档题9 （5 分）把函数 yf（x）的图象向左平移 个单位长度，再把所得的图象上每个点的横、纵坐标都变为原来的 2 倍，得到函数 g（x）的图象，并且 g（x）的图象如图所示，则 f（x ）的表达式可以为（ ）Af（x）2sin（x+ ） Bf（x ）sin （4x + ）第 11 页（共
19、26 页）Cf（x）sin（4x ） Df（x ）2sin（4x ）【分析】根据条件先求出 和 ，结合函数 yAsin （x+）的图象变换规律，求得f（x）的解析式【解答】解：设 g（x）2sin （ x+） ，由图象可得 g（0）2sin1，即 sin， +2k，kZ，或 +2k，k Z （舍去） ，则 g（x）2sin（ x+ ） 由五点法作图可得 + 2 ， 2，故 g（x）2sin（2x+ ） 由题意可得，把函数 g（x）的图象上所有点的横坐标缩短到到原来的 ，得到y2sin （4x + ） ，再把所得曲线向右平移 个单位长度得到函数 f（x ）的图象，即 f（x）2sin（4x 4
20、+ ）2sin （4x ）2sin（4x+ ） ，故选：B【点评】本题主要考查三角函数图象的应用，根据条件求出 和 的值以及利用三角函数图象平移变换关系是解决本题的关键，属于中档题10 （5 分）已知 F1，F 2 是双曲线 的左、右焦点，若点 F2 关于双曲线渐近线的对称点 A 满足F 1AOAOF 1（O 为坐标原点） ，则双曲线的渐近线方程为（ ）Ay2x B C Dy x【分析】设 F1（c ，0） ，F 2（c ，0） ，渐近线方程为 y x，对称点为 A（m，n） ，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为1，求出对称点 A 的坐标，A 满足F 1AOAOF 1，
21、可得|AF 1|OF 1|c，由两点的距离公式，可得所求渐近线方程【解答】解：设 F1（c ，0） ，F 2（c ，0） ，渐近线方程为 y x，F2 的对称点为 A（m，n） ，第 12 页（共 26 页）即有 ，且 n ，解得 m ，n ，A 满足F 1AOAOF 1，可得|AF 1|OF 1|c，即有（ +c） 2+ c 2，结合 c2a 2+b2，化为 c2a，即 b a，可得双曲线的渐近线方程为 y x故选：B【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为1，以及等腰三角形的性质和两点的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题11 （5
22、分）电子计算机诞生于 20 世纪中叶，是人类最伟大的技术发明之一计算机利用二进制存储信息，其中最基本单位是“位（bit） ”，1 位只能存放 2 种不同的信息：0 或l，分别通过电路的断或通实现 “字节（Byte） ”是更大的存储单位，1Byte8bit ，因此1 字节可存放从 00000000（2） 至 11111111（2） 共 256 种不同的信息将这 256 个二进制数中，所有恰有相邻两位数是 1 其余各位数均是 0 的所有数相加，则计算结果用十进制表示为（ ）A254 B381 C510 D765【分析】由题意，可知符合题意的数为：11 （2） ，110 （2） ，110
23、0 （2） ，11000000 （2） 共7 个，化成十进制数后，利用等比数列的求和公式即可计算得解【解答】解：根据题意，可知符合题意的数为：11 （2） ，110 （2） ，1100 （2） ，第 13 页（共 26 页）11000000（2） 共 7 个，化成十进制数后，它们可以构成以 3 为首项，2 为公比的等比数列，故计算结果为 3 381故选：B【点评】本题考查进位制之间的转化，等比数列的求和，考查了转化首项和计算能力，属于中档题12 （5 分）已知函数 f（x ）x 22x+a（e x1 +ex+1 ）有唯一零点，则 a（ ）A B C D1【分析】通过转化可知问题等价
24、于函数 y1（x1） 2 的图象与 ya（e x1 + ）的图象只有一个交点求 a 的值分 a0、a0、a0 三种情况，结合函数的单调性分析可得结论【解答】解：因为 f（x ）x 22x+a（e x1 +ex+1 ）1+（x1） 2+a（e x1 + ）0，所以函数 f（x）有唯一零点等价于方程 1（x1） 2a（e x1 + ）有唯一解，等价于函数 y1（x 1） 2 的图象与 ya（e x1 + ）的图象只有一个交点当 a 0 时， f（x ）x 22x1，此时有两个零点，矛盾；当 a 0 时，由于 y1（x1） 2 在（，1）上递增、在（1，+）上递减，且 ya（e x1 + ）在（，1
25、）上递增、在（1，+）上递减，所以函数 y1（x 1） 2 的图象的最高点为 A（1，1） ，ya（e x1 + ）的图象的最高点为 B（1，2a） ，由于 2a01，此时函数 y1（x1） 2 的图象与 y a（e x1 + ）的图象有两个交点，矛盾；当 a 0 时，由于 y1（x1） 2 在（，1）上递增、在（1，+）上递减，且 ya（e x1 + ）在（，1）上递减、在（1，+）上递增，所以函数 y1（x 1） 2 的图象的最高点为 A（1，1） ，ya（e x1 + ）的图象的最低点为 B（1，2a） ，第 14 页（共 26 页）由题可知点 A 与点 B 重合时满足条件，即 2a1，
26、即 a ，符合条件；综上所述，a ，故选：C【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力，考查数形结合能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）已知向量 ， 满足 2，且 （1， ） ，则 在 方向上的投影为 1 【分析】利用向量的数量积，转化求解 在 方向上的投影即可【解答】解：向量 ， 满足 2，且 （1， ） ，则 在 方向上的投影为：| |cos 1故答案为：1【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的投影的求法，是基本知识的考查14 （5 分）设 x
27、，y 满足约束条 ，则目标函数 的最大值为 4 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 目标函数 的几何意义为区域内的动点（x，y）到定点 D（1，3）的斜率，由图象知 AD 的斜率最大，由 得 A（0，1） ，此时 AD 的斜率 z 4，即 z 的最大值为 4故答案为：4第 15 页（共 26 页）【点评】本题主要考查线性规划以及直线斜率的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法15 （5 分）已知直线 yk （x +1） （k0）与抛物线 C：y 2
28、4x 相交于 A，B 两点，F 为 C的焦点，若|FA|2| FB|，则 k 【分析】由题意数形结合可得 B 为 AP 中点，OBAF设 BFm，则 OBm作BEOF ，则垂足 E 为 OF 的中点，设 BEn，则由 m2n 2 ，m1+ ，求得 m、n 的值，可得 k 的值【解答】解：由题意利用定义，结合其他几何性质可得抛物线 C：y24x 的焦点 F（1，0） ，准线 x1又直线 yk（x +1）过定点 P（1，0） ，因为|FA|2| FB|，所以 B 为 AP 中点，连接 OB，所以 OBAF 设 BFm，所以， OBm作 BEOF ，则垂足 E
29、为 OF 的中点，设 BEn，则 m2n 2 ，m1+ ，求得 m 、n ，所以 k ，故答案为： 第 16 页（共 26 页）【点评】本题主要抛物线的定义、性质、标准方程的应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题16 （5 分）某工厂现将一棱长为 的正四面体毛坯件切割成一个圆柱体零件，则该圆柱体体积的最大值为 【分析】求出棱锥的高，根据三角形相似的得出圆柱的底面半径和高的关系，利用基本不等式得出体积的最大值【解答】解：圆柱体体积最大时，圆柱的底面圆心为正四面体的底面中心 O，圆柱的上底面与棱锥侧面的交点 N 在侧面的中线 AM 上正四面体棱长为 ，BM ，O
30、 M ，BO1，AO ，设圆柱的底面半径为 r，高为 h，则 0r 由三角形相似得： ，即 h 2 r，圆柱的体积 Vr 2h r2（12r） ，r 2（12r ）（ ） 3 ，当且仅当 r12r 即 r 时取等号圆柱的最大体积为 故答案为： 第 17 页（共 26 页）【点评】本题考查棱锥的结构特征，圆柱的体积计算，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （12 分）已知 a，b，c 分别是ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，若 a10，角 B 是最小的内角，且 3c4asinB+3 bcosA（）求 sinB 的值；（）若ABC 的面积为 42，求 b 的值
31、【分析】 （）由正弦定理，三角形内角和定理可得 3sin（A+B）4sinAsinB+3sinB cosA，结合 sinA0，整理可得 3cosB4sin B，又 sinB0，利用同角三角函数基本关系式可求 sinB 的值（）由（）及三角形的面积公式可求 c 的值，利用同角三角函数基本关系式可求cosB 的值，根据余弦定理可求 b 的值【解答】 （本题满分为 12 分）解：（）由 3c4asinB+3bcos A、A+B+C 及正弦定理可得： 3sin（A+B）4sinAsinB+3sinB cosA，（3 分）由于 sinA0，整理可得：3cosB4sin B，又 sinB0，因此得 （6
32、分）（）由（）知 ，又ABC 的面积为 42，且 a10，从而有 ，解得 c14，（8 分）又角 B 是最小的内角，所以 ，且 ，得 ，（10 分）由余弦定理得 ，即 （12 分）第 18 页（共 26 页）【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18 （12 分）如图，在多而体 ABCDE 中，AE平面 ABC，平面 BCD平面 ABC，ABC是边长为 2 的等边三角形，BDCD ，AE2（1）证明：平面 EBD平面 BCD；（2）求平面 BED 与平面 ABC 所成锐二面
33、角的余弦值【分析】 （1）取 BC 中点 O，连结 AO，DO，推导出 DOBC，DO平面 ABC，从而AEDO，进而四边形 AODE 是平行四边形，EDAO ，推导出 AOBC，从而 AO平面 BCD，进而 ED平面 BCD，由此能证明平面 EBD平面 BCD（2）推导出 AODO，DO BC，AOBC，分别以 OB，AO ，OD 所在直线为 x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 BED 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值【解答】证明：（1）取 BC 中点 O，连结 AO，DO，BDCD ，DOBC，DO 2，DO 平面 BCD，平面 DBC平面 ABCBC，平面 BCD
34、平面 ABC，DO平面 ABC，AE平面 ABC，AEDO，又 DO2AE，四边形 AODE 是平行四边形，EDAO ，ABC 是等边三角形，AOBC，AO平面 ABC，平面 BCD平面 ABCBC ，平面 BCD平面 ABC，AO平面 BCD，ED平面 BCD，ED平面 EBD，平面 EBD平面 BCD第 19 页（共 26 页）解：（2）由（1）得 AO平面 BCD，AO DO，又 DOBC，AOBC，分别以 OB，AO，OD 所在直线为 x，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则 A（0， ，0） ，B（1，0，0） ，D （0，0，2） ，E（0， ，2） ，平面 ABC 的一个法向量为
35、 （0，0，1） ，设平面 BED 的一个法向量为 （x，y ，z） ，（1，0，2） ， （1， ，2） ，则 ，取 x2，得 （2，0，1） ，设平面 BED 与平面 ABC 所成锐二面角的平面角为 ，则 cos 平面 BED 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19 （12 分）已知椭圆 C： l （ab0）的离心率为 ，且过点（2， ） （）求椭圆 C 的标准方程；（）设 A、B 为椭圆 C 的左、右顶点，过 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆于
36、M，N 两点，分别记ABM ， ABN 的面积为 S1，S 2，求|S 1S 2|的最大值第 20 页（共 26 页）【分析】 （）根据题意可得： ， 1，a 2b 2+c2，联立解出即可得出椭圆 C 的标准方程（）由（）知 F（2，0） ，当直线 l 的斜率不存在时，S 1S 2，于是| S1S 2|0；当直线 l 的斜率存在时，设直线 l：yk（x 2） （k0） ，设 M（x 1，y 1） ，N （x 2，y 2） ，与椭圆方程联立得（1+2k 2）x 28k 2x+8k280利用根与系数的关系代入|S1 S2| 4 |y1+y2|2 |k（x 1+x2）4k |，结合基本不等式的性质即
37、可得出【解答】解：（）根据题意可得： ， 1，a 2b 2+c2，解得：a 28，b2故椭圆 C 的标准方程为： 1（）由（）知 F（2，0） ，当直线 l 的斜率不存在时，S 1S 2，于是| S1S 2|0；当直线 l 的斜率存在时，设直线 l：yk（x 2） （k0） ，设 M（x 1，y 1） ，N （x 2，y 2） ，联立 ，得（1+2k 2）x 28k 2x+8k280x 1+x2 ，x 1x2 ，于是|S 1S 2| 4 |y1+y2|2 |k（x 1+x2）4k | 2 | 4k| 4当且仅当 k 时等号成立，此时| S1S 2|的最大值为 4综上，|S 1S 2|的最大值为
38、 4【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题20 （12 分）某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过 1kg 的包裹收费 10 元；重量超过 1kg 的包裹，除 1kg 收费 10 元之外，超过 1kg 的部分，每超出 1kg（不足 1kg，按第 21 页（共 26 页）1kg 计算）需再收 5 元该公司将最近承揽的 100 件包裹的重量统计如表：包裹重量（单位：kg）1 2 3 4 5包裹件数 43 30 15 8 4公司对近 60 天，每天揽件数量统计如表：包裹件数范围 0100
39、101200 201300 301400 401500包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450天数 6 6 30 12 6以上数据已做近似处理，并将频率视为概率（1）计算该公司未来 3 天内恰有 2 天揽件数在 101400 之间的概率；（2） 估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用目前前台有工作人员 3 人，每人每天揽件不超过 150 件，工资 100 元公司正在考虑是否将前台工作人员裁减 1 人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？【分析】 （1）样本中包裹
40、件数在 101400 之间的天数为 48，频率 ，可估计概率为 ，未来 3 天中，包裹件数在 101400 之间的天数 X 服从二项分布 ，由此能求出该公司未来 3 天内恰有 2 天揽件数在 101400 之间的概率（2） 列表求出样本中快递费用及包裹件数，由此能求出样本中每件快递收取的费用的平均值揽件数每增加 1，可使前台工资和公司利润增加 5 元，将题目中的天数转化为频率，得若不裁员，则每天可揽件的上限为 450 件，公司平均每日利润的期望值为260531001000 元；若裁员 1 人，则每天可揽件的上限为 300 件，公司平均每日利润的期望值为 23552100975 元，从而公司将前
41、台工作人员裁员 1 人对提高公司利润不利【解答】解：（1）样本中包裹件数在 101400 之间的天数为 48，频率 ，故可估计概率为 ，未来 3 天中，包裹件数在 101400 之间的天数 X 服从二项分布，第 22 页（共 26 页）即 ，故所求概率为 ；（2） 样本中快递费用及包裹件数如下表：包裹重量（单位：kg）1 2 3 4 5快递费（单位：元） 10 15 20 25 30包裹件数 43 30 15 8 4故样本中每件快递收取的费用的平均值为（元） ，故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为 15 元根据题意及（2） ，揽件数每增加 1，可使前台工资和公司利润增加（元） ，将题目
42、中的天数转化为频率，得包裹件数范围 0100 101200 201300 301400 401500包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450天数 6 6 30 12 6频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1若不裁员，则每天可揽件的上限为 450 件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450实际揽件数 Y 50 150 250 350 450频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1EY 500.1+1500.1+2500.5+3500.2+4500.1260故公司平均每日利润的期望值为 260531001000（元） ；若裁员
43、 1 人，则每天可揽件的上限为 300 件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450实际揽件数 Z 50 150 250 300 300频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1第 23 页（共 26 页）EY 500.1+1500.1+2500.5+3000.2+3000.1235故公司平均每日利润的期望值为 23552100975（元）因 9751000，故公司将前台工作人员裁员 1 人对提高公司利润不利【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法及应用，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中
44、档题21 （12 分）已知函数 f（x ）lnxxm （m R） （1）若函数 f（x ）有两个零点，求 m 的取值范围；（2）证明：当 m3 时，关于 x 的不等式 f（x）+（x 2）e x0 在 上恒成立【分析】 （）可得 mlnx x令 g（x）lnxx ，可得 g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+）单调递减，则 mg（1）1 即可，（）f（x）+（x2）e x0，可得 m（x2）e x+lnxx设 h（x）（x 2）ex+lnxx，x . ， ，设 ，0存在 x0（ ，1） ， （x 0）0，即 ，x 0lnx 0 12（ ，又 412（3 即可【解答】解：（）令 f（x ）ln
45、xxm 0，m lnxx令 g（x）lnxx g（ x） 1 x（0，1）时， g（x）0，x（1，+）时，g（x）0，g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+）单调递减，且 x0 时，g（x ），x +时，g（x），要使函数 f（x ）有两个零点，则 mg（1）1 即可，m 的取值范围的取值范围为：（ ，1） （）f（x）+（x2）e x0，m（x2）e x+lnxx 设 h（x）（x 2）e x+lnxx ，x.，设 ， 0第 24 页（共 26 页）（x）在 上单调递增，而 0，（1）e10x 0（ ，1 ） ，（x 0）0，即 ，x 0lnx 0h（x）在（ ）单调递增，在（x 0，1
46、）单调递减 12（ ， ，412（ 3m3 时，关于 x 的不等式 f（x）+（x 2）e x0 在 上恒成立【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，属于中档题请考生在 22、23 两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2sin +2acos（a0） ；直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，直线 l 与曲线 C 分别交于 M，N 两点（1）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；（2）若点 P 的极坐标为（2， ） ，求 a 的值【分析】 （1）由 2sin +2acos， （ 0） ，得 22 sin+2acos