1、12019 年 初 高 中 数 学 无 忧 衔 接 精 品 课 程祝你走好从初中到高中的第一步2 2019 年 初 高 中 数 学 无 忧 衔 接 精 品 课 程 本 教 程 的 宗 旨 ， 是 为 即 将 进 入 高 中 学 习 的 初 三 毕 业 生 在 学 习 能 力 上 作 一 次 提 升 。众 所 周 知 ， 学 生 的 学 习 能 力 是 学 习 绩 效 的 关 键 因 素 之 一 ， 而 学 习 能 力 的 形 成 至 少 与 以 下 三 个 方 面 正 相 关 。一 是 基 础 知 识 的 储 备 。 在 初 中 ， 学 生 已 经 储 备 了 课 本 所 要 求 的 学 科
2、知 识 ， 但 由 于 初 高 中 学 习 目 标 有 较大 的 差 异 ， 中 考 和 高 考 的 要 求 又 有 很 大 的 不 同 ， 所 以 学 生 会 在 众 多 知 识 点 的 深 化 、 拓 展 、 活 用 上 显 得 不 足 。本 教 程 将 这 些 问 题 逐 一 疏 理 ， 进 行 精 当 的 讲 解 和 系 统 的 训 练 ， 从 而 强 化 基 础 知 识 的 储 备 。二 是 灵 活 运 用 学 科 思 想 方 法 。 本 教 程 在 进 行 知 识 点 衔 接 的 同 时 ， 特 别 关 注 学 科 思 想 方 法 的 提 炼 和 活 化 ，这 是 学 习 能 力
3、形 成 的 核 心 因 素 。 当 学 生 面 对 问 题 时 ， 能 多 角 度 地 找 破 解 之 策 ， 离 不 开 学 科 思 想 方 法 活 化 了的 支 撑 。三 是 良 好 的 学 习 习 惯 。 这 里 的 “良 好 ”指 的 是 被 优 化 的 个 人 学 习 习 惯 。 比 如 ， 就 学 习 而 言 ， “懂 ”是 第 一个 层 次 ， 需 要 老 师 的 解 惑 ;“会 ”是 第 二 个 层 次 ， 需 要 自 主 的 尝 试 和 探 究 ， 以 求 问 题 的 解 决 ;“悟 ”是 第 三 个 层次 ， 问 题 解 决 后 的 审 视 与 反 思 ， 往 往 会 给
4、我 们 带 来 更 灵 活 更 完 美 的 解 法 ， 抑 或 提 炼 出 解 决 问 题 的 心 得 、 真经 ! 这 一 习 惯 的 养 成 ， 无 疑 将 从 根 本 上 提 升 学 生 的 学 习 能 力 。本 教 程 的 特 点 之 一 ： 适 用 于 集 体 教 学 的 教 材 ， 也 适 合 于 学 生 自 学 ， 所 有 的 例 题 都 给 出 比 较 完 整 的 解 答 ，对 某 些 例 题 进 行 归 纳 提 升 。特 点 之 二 ： 在 内 容 编 写 上 都 源 于 初 中 教 材 ， 但 又 高 于 初 中 教 材 ， 是 高 中 阶 段 的 必 备 知 识 。特 点
5、 之 三 ： 本 教 程 短 小 精 当 ， 用 较 短 的 时 间 就 能 完 成 学 习 ， 使 学 生 做 好 进 入 高 中 学 习 必 要 的 知 识 、 能力 和 心 理 的 准 备 ， 而 不 占 用 学 生 过 多 的 自 由 活 动 时 间 ， 让 学 生 愉 快 地 度 过 假 期 。3目 录专 题 01 数 和 式 的 运 算 之 绝 对 值 与 乘 法 公 式 4专 题 02 数 和 式 的 运 算 之 比 例 、 齐 次 式 与 二 次 根 式 8专 题 03 分 解 因 式 （ 一 ） 14专 题 04 分 解 因 式 （ 二 ） 18专 题 05 一 元 二 次
6、方 程 （ 一 ） 21专 题 06 一 元 二 次 方 程 （ 二 ） 27专 题 07 方 程 与 方 程 组 的 解 法 30专 题 08 一 元 二 次 函 数 的 图 像 和 性 质 33专 题 09 一 元 二 次 函 数 的 三 种 表 示 方 式 40专 题 10 一 元 二 次 函 数 的 简 单 应 用 43专 题 11 一 元 二 次 函 数 的 最 值 问 题 47专 题 12 一 元 二 次 不 等 式 的 解 法 51专 题 13 一 次 函 数 、 正 比 例 函 数 、 反 比 例 函 数 的 图 像 和 性 质 . 56专 题 14 平 行 线 分 线 段 成
7、 比 例 定 理 及 三 角 形 的 “ 四 心 ” 60专 题 15 点 的 轨 迹 、 直 线 与 圆 、 圆 与 圆 的 位 置 关 系 684专 题 01 数 和 式 的 运 算 之 绝 对 值 与 乘 法 公 式一 、 知 识 点 精 讲（ 一 ） 绝 对 值 在 数 轴 上 ， 一 个 数 所 对 应 的 点 与 原 点 的 距 离 叫 做 该 数 的 绝 对 值 。 正 数 的 绝 对 值 是 他 本 身 ， 负 数 的 绝 对 值 是 他 的 相 反 数 ， 0的 绝 对 值 是 0， 即 ( 0)0( 0)( 0)a aa aa a 两 个 负 数 比 较 大 小 ， 绝 对
8、 值 大 的 反 而 小 两 个 绝 对 值 不 等 式 :| | ( 0)x a a a x a ； | | ( 0)x a a x a 或 x a(5)绝 对 值 的 几 何 意 义 :一 个 数 的 绝 对 值 ,是 数 轴 上 表 示 它 的 点 到 原 点 的 距 离 .(6)两 个 数 的 差 的 绝 对 值 的 几 何 意 义 :|a-b|表 示 在 数 轴 上 ,数 a 和 数 b 之 间 的 距 离 .二 、 典 例 精 析【 典 例 1】 化 简 下 列 各 式(1)|3x-2|; (2)|x+1|+|x-3|;【 答 案 】 见 解 析 【 答 案 】 见 解 析【 解
9、析 】 23 2,( )33 2 22 3 ,( )3x xx x x 【 解 析 】 2 2,( 1)1 3 4,( 1 3)2 2,( 3)x xx x xx x (3) 2 4 4x x ; (4) 4 24 4t t 【 答 案 】 见 解 析 【 答 案 】 见 解 析【 解 析 】 2 4 4x x = 2,( 2)2 2 ,( 2)x xx x x 【 解 析 】 4 24 4t t = 2 22 2t t 【 典 例 2】 解 下 列 方 程（ 1） 1 1x （ 2） 2 1 1x 【 解 析 】 （ 1） 1 1x 1 1 1 1 2 0x x x x 或 或（ 2）2 1
10、 1x 2 2 2 21 1 1 1 2 0 2 0x x x x x x 或 或 或【 典 例 3】 解 下 列 不 等 式(1) 2 3 2x 【 答 案 】 见 解 析 【 解 析 】 2 3 2x 1 52 2 3 2 1 2 5 2 2x x x 5(2) 1 3x x 4【 答 案 】 见 解 析 【 解 法 一 】 由 01x ， 得 1x ； 由 3 0x ， 得 3x ； 若 1x ， 不 等 式 可 变 为 ( 1) ( 3) 4x x ， 即 2 4x 4， 解 得 x 0， 又 x 1， x 0； 若 1 2x ， 不 等 式 可 变 为 ( 1) ( 3) 4x x
11、， 即 1 4， 不 存 在 满 足 条 件 的 x； 若 3x ， 不 等 式 可 变 为 ( 1) ( 3) 4x x ， 即 2 4x 4， 解 得 x 4 又 x3， x 4综 上 所 述 ， 原 不 等 式 的 解 为 x 0， 或 x 4【 解 法 二 】 如 图 1 1 1， 1x 表 示 x轴 上 坐 标 为 x的 点 P到 坐 标 为 1的 点 A之 间 的 距 离 |PA|， 即 |PA| |x 1|； |x 3|表 示 x轴 上 点 P到 坐 标 为 2的 点 B之 间 的 距 离 |PB|， 即 |PB| |x 3|所 以 ， 不 等 式 1 3x x 4的 几 何 意
12、 义 即 为|PA| |PB| 4 由 |AB| 2， 可 知 点 P 在 点 C(坐 标 为 0)的 左 侧 、 或 点 P在 点 D(坐 标 为 4)的 右 侧 x 0， 或 x 4【 典 例 4】 画 出 下 列 函 数 的 图 像(1) y x (2) 2 2y x x 【 答 案 】 见 解 析【 解 析 】6（ 二 ） 乘 法 公 式（ 1） 平 方 差 公 式 2 2 ( )( )a b a b a b ；（ 2） 完 全 平 方 公 式 2 2 2( ) 2a b a ab b （ 3） 立 方 和 公 式 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b ；（ 4） 立
13、 方 差 公 式 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b ；（ 5） 三 数 和 平 方 公 式 2 2 2 2( ) 2( )a b c a b c ab bc ac ；（ 6） 两 数 和 立 方 公 式 3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b ；（ 7） 两 数 差 立 方 公 式 3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b 【 典 例 5】 分 解 下 列 因 式（ 1） 3 1x 【 答 案 】 见 解 析 【 解 析 】 3 21 ( 1)( 1)x x x x （ 2） 3 1x 【 答 案 】 见 解 析 【 解 析 】
14、3 21 ( 1)( 1)x x x x 【 典 例 6】 计 算 ： 2 2( 1)( 1)( 1)( 1)x x x x x x 【 答 案 】 见 解 析 【 解 析 】 2 2 3 3 6( 1)( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1) 1x x x x x x x x x 【 典 例 7】 已 知 ： 3 31, 3x y x y xy 求 的 值 .【 答 案 】 见 解 析 【 解 析 】 3 3 2 2 2 2 23 ( )( ) 3 2 ( ) 1x y xy x y x xy y xy x xy y x y 【 典 例 8】 已 知 ： 3 3 313 1 0, .x x
15、 x x 求 的 值【 答 案 】 见 解 析 【 解 析 】 3 3 1 0x x 3 2 23 21 1 1 1 1 13 ( )( 1 ) ( )( ) 3 18x x x x x xx x x x x x 【 典 例 9】 设 3 32 3 2 3, ,2 3 2 3x y x y 求 的 值 .【 答 案 】 见 解 析 【 解 析 】 3 3 2 22 22 3 2 3 2 3 2 3, , 14, 1, ( )( )2 3 2 3 2 3 2 3( )( ) 3 14(14 3) 2702x y x y xy x y x y x xy yx y x y xy 三 、 对 点 精
16、练1.下 列 叙 述 正 确 的 是 ( )A.若 |a|=|b|,则 a=b B.若 |a|b|,则 ab C.若 a0, 2 2 2 2 2 2 29 16 25 (5 )a b k k k k c 此 三 角 形 为 直 角 三 角 形 。【 典 例 2】 已 知 ABC 中 ,有 AB ACAD AE ,求 证 ： AD AEDB EC【 答 案 】 见 解 析【 解 析 】 由 图 AB AC AB AD AC AE BD EC AD AEAD AE AD AE AD AE BD EC 【 典 例 3】 已 知 a cb d求 证 ： （ 1） a b c db d （ 2） a b
17、 c db d （ 3） a c a cb d b d 【 答 案 】 见 解 析【 解 析 】 （ 1） 1 1a c a c a b c db d b d b d （ 2） 1 1a c a c a b c db d b d b d （ 3） 设 a c kb d ， 则 ( ), +a c b d ka bk c dk kb d b d ， a c a cb d b d 【 典 例 4】 已 知 ： 1a b ,且 1 2b a ， 求 ,a b【 答 案 】 见 解 析 【 解 析 】 11 2 1 2 33 23bb a a b a 【 典 例 5】 已 知 ： : : 1:2:3x
18、 y z ， 求 3 2 33x yz zxyz 的 值 .【 答 案 】 见 解 析 【 解 析 】 设 ,x k 则 2 , 3 ,y k z k 3 2 3 3 2 33 2 (3 ) 3(3 ) 322 3 3x yz z k k k kxyz k k k 【 典 例 6】 已 知 2 ( 0)y x x （ 1） 求 2 223x xy yxy y 的 值 （ 2） 求 证 ： 2 23 02x xy y 【 答 案 】 见 解 析 【 解 析 】 （ 1） 22 22 21 3( ) ( )3 16( )y yx xy y x xy yxy y x x （ 2） 2 2 2 23
19、3= 1+ ( ) ( ) 02 2 y yx xy y x x x 左 右1 0（ 二 ） 二 次 根 式一 般 地 ， 形 如 ( 0)a a 的 代 数 式 叫 做 二 次 根 式 根 号 下 含 有 字 母 、 且 不 能 够 开 得 尽 方 的 式 子 称 为 无 理 式 . 例如 23 2a a b b ， 2 2a b 等 是 无 理 式 ， 而 2 22 12x x ， 2 22x xy y ， 2a 等 是 有 理 式 1 分 母 （ 子 ） 有 理 化把 分 母 （ 子 ） 中 的 根 号 化 去 ， 叫 做 分 母 （ 子 ） 有 理 化 为 了 进 行 分 母 （ 子
20、） 有 理 化 ， 需 要 引 入 有 理 化 因 式 的 概 念 两个 含 有 二 次 根 式 的 代 数 式 相 乘 ， 如 果 它 们 的 积 不 含 有 二 次 根 式 ， 我 们 就 说 这 两 个 代 数 式 互 为 有 理 化 因 式 ， 例 如 2 与2 ， 3 a 与 a ， 3 6 与 3 6 ， 2 3 3 2 与 2 3 3 2 ， 等 等 一 般 地 ， a x 与 x ， a x b y与 a x b y ， a x b 与 a x b 互 为 有 理 化 因 式 分 母 有 理 化 的 方 法 是 分 母 和 分 子 都 乘 以 分 母 的 有 理 化 因 式 ，
21、 化 去 分 母 中 的 根 号 的 过 程 ； 而 分 子 有 理 化 则 是 分 母 和 分子 都 乘 以 分 母 的 有 理 化 因 式 ， 化 去 分 子 中 的 根 号 的 过 程在 二 次 根 式 的 化 简 与 运 算 过 程 中 ， 二 次 根 式 的 乘 法 可 参 照 多 项 式 乘 法 进 行 ， 运 算 中 要 运 用 公 式( 0, 0)a b ab a b ； 而 对 于 二 次 根 式 的 除 法 ， 通 常 先 写 成 分 式 的 形 式 ， 然 后 通 过 分 母 有 理 化 进 行 运 算 ；二 次 根 式 的 加 减 法 与 多 项 式 的 加 减 法 类
22、 似 ， 应 在 化 简 的 基 础 上 去 括 号 与 合 并 同 类 二 次 根 式 2 二 次 根 式 2a 的 意 义（ 1） 2a a , 0, 0.a aa a （ 2） 2( ) ,( 0)a a a （ 3） ,( 0, 0)ab a b a b （ 4） ,( 0, 0)b b a ba a 【 典 例 7】 将 下 列 式 子 化 为 最 简 二 次 根 式 ：（ 1） 12b； （ 2） 2 ( 0)a b a ； （ 3） 64 ( 0)x y x 【 答 案 】 见 解 析 【 解 析 】 （ 1） 12 2 3b b ； （ 2） 2 ( 0)a b a b a b
23、 a ；（ 3） 6 3 34 2 2 ( 0)x y x y x y x 【 典 例 8】 计 算 ： 3 (3 3) 【 答 案 】 见 解 析 【 解 析 】解 法 一 ： 3 (3 3) 33 3 3 (3 3)(3 3)(3 3) 3 3 39 3 3( 3 1)6 3 12 解 法 二 ： 3 (3 3) 33 3 33( 3 1) 13 1 3 1( 3 1)( 3 1) 3 12 1 1【 典 例 9】 试 比 较 下 列 各 组 数 的 大 小 ：（ 1） 12 11 和 11 10 ； （ 2） 26 4 和 2 2 6 .【 答 案 】 见 解 析【 解 析 】 （ 1）
24、 12 11 ( 12 11)( 12 11) 112 11 1 12 11 12 11 ，11 10 ( 11 10)( 11 10) 111 10 1 11 10 11 10 ，又 12 11 11 10 ， 12 11 11 10 （ 2） 2 2 6 (2 2 6)(2 2 6) 22 2 6 ,1 2 2 6 2 2 6 + + + 又 4 2 2， 6 4 6 2 2， 26 4 2 2 6 .【 典 例 10】 化 简 ： 2019 2020( 3 2) ( 3 2) 【 答 案 】 见 解 析 【 解 析 】 2019 2020( 3 2) ( 3 2) 2019 2019(
25、3 2) ( 3 2) ( 3 2) 2019( 3 2) ( 3 2) ( 3 2) 20191 ( 3 2) 3 2 【 典 例 11】 化 简 ： （ 1） 9 4 5 ； （ 2） 2 21 2(0 1)x xx 【 答 案 】 见 解 析 【 解 析 】 （ 1） 原 式 5 4 5 4 2 2( 5) 2 2 5 2 2(2 5) 2 5 5 2 （ 2） 原 式 = 21( )x x 1x x ， 0 1x ， 1 1 xx ， 所 以 ， 原 式 1 xx 【 典 例 12】 已 知 3 2 3 2,3 2 3 2x y ， 求 2 23 5 3x xy y 的 值 【 答 案
26、 】 见 解 析 【 解 析 】 2 23 2 3 2 ( 3 2) ( 3 2) 103 2 3 2x y ，3 2 3 2 13 2 3 2xy ， 2 2 2 23 5 3 3( ) 11 3 10 11 289x xy y x y xy 【 典 例 13】 化 简 ： 2 26 9 4 4x x x x 【 答 案 】 见 解 析 【 解 析 】 2 2 2 2 2 1,( 3)6 9 4 4 ( 3) ( 2) +3+ 2 5,( 3 2)2 1,( 2)x xx x x x x x x x xx x 1 2三 、 对 点 精 练1.已 知 : 2 23 2 0x xy y ,则 x
27、y _.【 答 案 】 见 解 析 【 解 析 】 2 2 23 2 0 ( ) 3( ) 2 0 ( 1)( 2) 0 1 2.x x x x x xx xy y y y y y y y 或2.若 ,+ + +ba b c kb c a c a 则 k _【 答 案 】 见 解 析 【 解 析 】 1.+ + +b ( ) ( ) ( ) 2a b c a b ckb c a c a b c a c a b 3.已 知 三 角 形 的 三 边 之 比 为 5 12 13， 求 证 :此 三 角 形 为 直 角 三 角 形 .【 答 案 】 见 解 析【 解 析 】 证 明 ： 设 三 角 形
28、 的 三 边 分 别 为 a , b , c , a b c =5 12 13 ,设 a =5k , b =12k , c =13k ,k0, 2 2 2 2 2 2 225 144 169 (13 )a b k k k k c 此 三 角 形 为 直 角 三 角 形 。4.已 知 ： 2 25 6 0,x xy y 求 2 32x yx y 的 值 .【 答 案 】 见 解 析 【 解 析 】2 2 25 6 0 ( ) 5( ) 6 0 ( 1)( 6) 0 1 6.2( ) 32 3 95 .2 132( ) 1 x x x x x xx xy y y y y y y yxx y yxx
29、 y y 或或5.已 知 : 1:2,x y 求 2 22 23 4+x xy yx y 的 值 .【 答 案 】 见 解 析 【 解 析 】 22 22 2 2( ) 3( ) 43 4 11+ 5( ) 1x xx xy y y yxx y y 6.已 知 ： 2 2 2,( 0, 0, 0).a b c a b c （ 1） 1, .2b ca a 求 的 值（ 2） 1,2b ca a 求 的 取 值 范 围 .【 答 案 】 见 解 析 【 解 析 】 （ 1）2 2 2 2 2 2 3 31=( ) ( ) ( ) ,( 0, 0) .4 2b c c ca b c a ca a
30、a a 由（ 2） 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 31=( ) ( ) ( ) 1-( ) -( ) - 1-( )2 4 430, 0, 0, 0 .2b c c b b b ba b c a a a a a a aca b c a 由 ， ， ， ，7.已 知 ： 2 2 2+ = ,( 0, 0, 0).a b c a b c （ 1） 2, .c ba a 求 的 值 （ 2） 2,c ba a 求 的 取 值 范 围 .1 3【 答 案 】 见 解 析 【 解 析 】 （ 1） 2 2 2 2 2 2+ = 1+( ) =( ) ( ) 1,( 0, 0) 1.b c b
31、 ba b c a ba a a a 由（ 2） 2 2 2 2 2 2 2 21 ( ) =( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 0, 0, 0,1. b c b c c ba b c a b ca a a a a aba 由 -1， ， ，8. 已 知 : : 2:3:4,a b c 求 2 2 22a b cab 的 值 .【 答 案 】 见 解 析 【 解 析 】 2 2 2 2 2 24 9 16 1: : 2:3:4, 2 , 3 , 4 , .2 2 2 3 4a b c k k ka b c a k b k c k ab k k 设 则9. 已 知 1,( 0)x a aa
32、， 化 简 ： 2 22 2x xx x .【 答 案 】 见 解 析 【 解 析 】 2 22 2 2 2 2 2 2 2 4 44 22 2 2 2 2 2x x x x x x x x x xx x x x x x 2 1 11 1 ,( 1)( ) 1,( 1)2 2 1,(0 1)a aa aa a a aa a a aa 10. 已 知 3 52x ， 求 24 2 1xx x 的 值 .【 答 案 】 见 解 析【 解 析 】 3 5 1 3 5 2 3 5 3 5, 3,2 2 2 23 5x x x 24 2 2 221 1 1= .1 11 8+1 ( ) 1xx x x
33、xx x 11.计 算 ： 22 16 (2 5)3 2 5 【 答 案 】 见 解 析 【 解 析 】 22 1 1 2 56 (2 5) 2 2 5 2 ( 5 2) ( 5 2) 2.3 2 5 2 5 2 5 12.化 简 下 列 各 式（ 1） 8 28（ 2） 1 1 1 1+2 1 3 2 4 3 100 99 【 答 案 】 见 解 析【 解 析 】 （ 1） 2 28 28 ( 7) 2 7 1 7 1 7 1. （ 2） 1 1 1 1+ ( 2 1) ( 3 2) ( 4 3) ( 100 99) 10 1 9.2 1 3 2 4 3 100 99 1 4专 题 03 分
34、 解 因 式 （ 一 ）一 、 知 识 点 精 讲因 式 分 解 是 代 数 式 的 一 种 重 要 的 恒 等 变 形 ， 它 与 整 式 乘 法 是 相 反 方 向 的 变 形 .在 分 式 运 算 、 解 方 程 及 各 种 恒 等 变形 中 它 都 有 着 重 要 的 作 用 .因 式 分 解 的 方 法 较 多 ， 除 了 初 中 教 材 中 涉 及 到 的 提 取 公 因 式 法 和 运 用 公 式 法 (只 讲 平 方 差公 式 和 完 全 平 方 公 式 )外 ， 还 有 运 用 公 式 法 (立 方 和 、 立 方 差 公 式 )、 十 字 相 乘 法 、 分 组 分 解 法
35、 等 ， 主 要 方 法 有 ： 十字 相 乘 法 （ 重 中 之 重 ） 、 提 取 公 因 式 法 、 公 式 法 、 分 组 分 解 法 ， 另 外 还 应 了 解 求 根 法 及 待 定 系 数 法 因式 分 解 的 问 题 形 式 多 样 ， 富 有 综 合 性 与 灵 活 性 ， 因 此 ， 因 式 分 解 也 是 一 种 重 要 的 基 本 技 能 。二 、 典 例 精 析（ 一 ） 提 取 公 因 式 法【 典 例 1】 分 解 因 式 ：（ 1） 3 29 3 3x x x ； (2) 23 6 3x x 【 答 案 】 见 解 析 【 解 析 】 （ 1） 3 29 3 3
36、x x x = 3 2( 3 ) (3 9)x x x = 2( 3) 3( 3)x x x = 2( 3)( 3)x x （ 2） 2 2 23 6 3 3( 2 1) 3( 1)x x x x x （ 二 ） 公 式 法【 典 例 2】 分 解 因 式 ：(1) 38 x (2) 2 2 22x xy y z 【 答 案 】 见 解 析 【 解 析 】 (1) 3 28 (2 )( 2 4)x x x x (2) 2 2 2 2 22 ( ) ( )( ).x xy y z x y z x y z x y z （ 三 ） 分 组 分 解 法【 典 例 3】 分 解 因 式 ：(1)2 10
37、 5ax ay by bx (2) 3 2 1x x x 【 答 案 】 见 解 析 【 解 析 】 (1)2 10 5 2 ( 5 ) (5 ) (2 )( 5 )ax ay by bx a x y b y x a b x y (2) 3 2 2 21 ( 1) ( 1) ( 1)( 1).x x x x x x x x （ 四 ） 配 方 法【 典 例 4】 分 解 因 式 ：(1) 2 6 16x x (2) 2 22 3x xy y 【 答 案 】 见 解 析 【 解 析 】 (1) 2 26 16 ( 3) 25 ( 8)( 2)x x x x x 1 5(2) 2 2 2 22 3
38、 ( ) (2 ) ( 3 )( ).x xy y x y y x y x y （ 五 ） 拆 项 添 项 法【 典 例 5】 分 解 因 式 ：(1) 3 23 4x x (2) 3 2 1x x 【 答 案 】 见 解 析【 解 析 】 (1) 3 2 3 2 2 2 23 4 2 4 ( 2) ( 2)( 2) ( 2) ( 1)x x x x x x x x x x x (2) 3 3 2 1 5 1 52 1 1 ( 1)( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1)( )( ).2 2x x x x x x x x x x x x x x x （ 六 ） 求 根 公 式法【 典 例
39、 6】 分 解 因 式 ：(1) 2 1x x (2) 22 3 1x x 【 答 案 】 见 解 析 【 解 析 】 (1) 2 1 5 1 51 ( )( )2 2x x x x (2) 2 3 17 3 172 3 1 ( )( )4 4x x x x （ 七 ） 十 字 相 乘 法 （ ）（ ） 一 元 二 次 三 项 式 2 ( )x p q x pq 型 式 子 的 因 式 分 解我 们 来 讨 论 2 ( )x p q x pq 这 类 二 次 三 项 式 的 因 式 分 解 ， 这 类 式 子 在 许 多 问 题 中 经 常 出 现 ， 它 的 特 点 是 ： 二 次 项 系
40、数 是 1； 常 数 项 是 两 个 数 之 积 ； 一 次 项 系 数 是 常 数 项 的 两 个 因 数 之 和 .对 这 个 式 子 先 去 括 号 ， 得 到 2 2( )x p q x pq x px qx pq ， 于 是 便 会 想 到 继 续 用 分 组 分 解 法 分 解 因 式 ， 即2 ( ) ( ) ( )( )x px qx pq x x p q x p x p x q .因 此 2 ( ) ( )( )x p q x pq x p x q .运 用 这 个 公 式 ， 可 以 把 某 些 二 次 项 系 数 为 1 的 二 次 三 项 式 分 解 因 式 。【 典
41、例 7】 分 解 因 式 ：(1)2 3 2x x (2) 2 20x x (3) 2 5 12x x (4) 2 11 24x x 【 答 案 】 见 解 析 【 解 析 】 (1) 2 3 2 ( 1)( 2)x x x x (2) 2 20 ( 4)( 5)x x x x (3) 2 5 11 ( 2)( )2 2x x x x (4) 2 11 24 ( 8)( 3)x x x x 1 6（ ） 一 元 二 次 三 项 式 2ax bx c 型 式 子 的 因 式 分 解我 们 知 道 ， 21 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2( )( ) ( )a x c a x c a
42、a x a c a c x c c 反 过 来 ， 就 得 到21 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2( ) ( )( )a a x a c a c x c c a x c a x c .我 们 发 现 ， 二 次 项 的 系 数 a分 解 成 1 2a a ， 常 数 项 c 分 解 成 1 2c c ，并 且 把 1 2 1 2, , ,a a c c 排 列 如 图 ：这 里 按 斜 线 交 叉 相 乘 再 相 加 ， 就 得 到 1 2 2 1a c a c ， 如 果 它 正 好 等 于 2ax bx c 的 一 次 项 系 数 b， 那 么 2ax bx c 就 可以 分 解 成 1 1 2 2( )( )a x c a x c (其 中 1 1,a c 位 于 上 图 上 一 行 ， 2 2,a c 位 于 下 一 行 .像 这 种 借 助 画 十 字 交 叉 线 分 解 系 数 ，从 而 帮 助 我 们 把 二 次 三 项 式 分 解 因 式 的 方 法 ， 通 常 叫 做 十 字 相 乘 法 .必 须 注 意 ， 分 解 因 数 及 十 字 相 乘 都 有 多 种 可 能 情况 ， 所 以 往 往 要 经 过 多 次 尝 试 ， 才 能 确 定 一 个 二 次 三 项 式 能 否 用 十 字 相 乘 法 分 解 .【