1、等差数列跟踪知识梳理考纲解读：1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系考点梳理：1等差数列的定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示数学语言表达式：a n1 a nd (nN *，d 为常数)，或 ana n1 d (n2，d 为常数)来源:Z.xx.k.Com2等差数列的通项公式与前 n 项和公式(1)若等差数列 an的首项是 a1，公差是
2、 d，则其通项公式为 ana 1(n 1) d通项公式的推广：a na m(nm)d( m，nN *)(2)等差数列的前 n 项和公式Sn na 1 d(其中 nN *，a 1 为首项， d 为公差，a n 为第 n 项)n（ a1 an）2 n（ n 1）23等差数列及前 n 项和的性质(1)若 a， A，b 成等差数列，则 A 叫做 a，b 的等差中项，且 A a b2(2)若a n为等差数列，且 mnpq，则 ama na pa q(m，n ，p，q N *)(3)若a n是等差数列，公差为 d，则 ak，a km ，a k2m ，( k，mN *)是公差为 md 的等差数列(4)数列
3、Sm，S 2mS m，S 3mS 2m，也是等差数列(5)S2n1 (2n 1)a n.(6)若 n 为偶数，则 S 偶 S 奇 ；nd2若 n 为奇数，则 S 奇 S 偶 a 中 (中间项)4等差数列的前 n 项和公式与函数的关系Sn n2 n.d2 (a1 d2)数列a n是等差数列 SnAn 2Bn(A，B 为常数)5等差数列的前 n 项和的 最值 来源:在等差数列 an中，a 10，d0 ，则 Sn 存在最大值；若 a10 ，d0，则 Sn 存在最小值【必会结论】等差数列的常用性质(1)通项公式 的推广：a na m(nm) d(n，mN *)(2)若a n为等差数列，且 klmn (
4、k，l，m，nN *)，则 aka la ma n.若mn2p (m，n，p N *)，则 ama n2a p.(3)若a n是等差数列，公差为 d，则a 2n也是等差数列，公差为 2d.来源:Zxxk.Com(4)若a n， bn是等差数列，则pa nqb n也是等差数列(5)若a n是等差数列，公差为 d, 则 ak，a km ，a k2m ，(k ，mN *)是公差为 md 的等差数列(6)等差数列 an的前 n 项和为 Sn, 则 Sn，S 2nS n，S 3nS 2n 仍成等差数列，其公差为 n2d.核心能力必练一、选择题1 (2018 湖北荆州一模,5)在等差数列a n中,a 1=
5、1,a2+a6=10,则 a7= ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 2 (2018 河南濮阳二模,7)已知等差数列a n一共有 9 项, 前 4 项和为 3,最后 3 项和为 4,则中间一项的值为 ( ) A. B. C.1 D. 1720596673 (2018 河南信阳二模,9)九章算术是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等, 问各得几何?” 其意 思为“ 已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱, 甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同, 且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代一种质量单位),在这个问题中,甲
6、得 钱 ( ) A. B. C. D. 5324354设数列 是等差数列， 为其前 项和.若 ， ，则 （ nanS368S85a20）A B C D43674805设 是等差数列 的前 项和， ， ，则 （ ）nSna12a53a9SA B C D7254 726已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，若 ，则 的取值范围是（ nnS3645102a）A B C. D来源:Z+xx+k.Com,2,0,0,7已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 取最大值时，nanS27a68anS的值为（ ）nA3 B4 C5 D68设公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于（ nanS423
7、a74S）A B C7 D14741459 九章算术是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（ ）A8 B9 C10 D1110在等差数列 中， ， ，则此数列前 30 项和等na123a28930165a于（ ）A B C D81084079011已知等 差数列 满足 ，则有（ ）na12310aA B C D10a039a512 张丘建算经是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现.书中有这样一个问题，大意为：某女子 善于织
8、布，后一天比前一天织得快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布 尺，一个月（按 305天计算）总共织布 尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（ ）390A 尺 B 尺 C 尺 D 尺82916293291213已知等差数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则 中nanS17018S1712,Sa最大的项为（ ）A B C. D6Sa7a8a9Sa14已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则使得 取最小nnS154927Sn值时的 为 （ ）A B C. D 或1676715已知等差数列 中， ， ，记 ，则na37108a14a12nnSa（ ）13SA78 B152 C 156 D
9、16816若 是等差数列，首项 ， ， ，则使前 项和na10a21607a20167an成立的最大正整数 是（ ）0SnA B C D21674340317等差数列 中， 为前项 和，已知 ，且 ，则nanS2016a21620S等于（ ）1aA B C D 206201543018若数列 是等差数列，则称数列 为“ 等方差数列” ，给出以下判断：2n na常数列是等方差数列；若数列 是等方差数列，则数列 是等差数列；na2n若数列 是等方差数列， 则数列 是等方差数列；a若数列 是等方差数列，则数列 也是等方差数列，其中正确的序号为（ ）n 2nA. B. C. D.二、填空题19设等差数
10、列 的前 项和为 ，若 ， ，则当 取最小值时，nanS1a46anS等于_.n20设 是等差数列，若 ，则 .n45629S21已知数列 为等差数列， 为 的前 项和，若 ， ，则anSa215a34的取值范围是 4S22在等差数列 中， ，则该数列的前 14n34568146项和为 23设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 的最大值为 nanS405S4a三、解答题24已知等差数列 的前 项和为 ， ，且 ， .nn1nbS28b532S（1 ）求数列 na， 的通项公式；b（2 ）求证： .123n25已知正项数列 的前 项和为 ，且 是 1 与 的等差中项nSnna（1 ）求数列
11、的通项公式；na（2 ）设 为数列 的前 项和，证明： （ ） nT12n213nT*N26设等差数列 的前 项和为 ，且 .anS565a（1 ）求 的通项公式；n（2 ）若不等式 对所有的正整数 都成立，求实数 的取值范28714nnSkank围.27已知数列 na为等差数列， ，公差 ，且 .350d215a（1 ）求数列 的通项公式以及它的前 n 项和 ；nS（2 ）若数列 满足 ， 为数列 的前 项和，求 ；nb1nnaTnbnT（3 ）在（2 ）的条件下，若不等式 nnT)1(8恒成立，求实数 的取值N范围.等差数列跟踪知识梳理考纲解读：1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通
12、项公式与前 n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系考点梳理：1等差数列的定义如果一个数列从第 2 项起，每一 项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通 常用字母 d 表示数学语言表达式：a n1 a nd (nN *，d 为常数)，或 ana n1 d (n2，d 为常数)2等差数列的通项公式与前 n 项和公式(1)若等差数列 an的首项是 a1，公差是 d，则其通项公式为 ana 1(n 1) d通项公式的推广：a na m(nm)d( m，nN
13、 *)(2)等差数列的前 n 项和公式Sn na 1 d(其中 nN *，a 1 为首项， d 为公差，a n 为第 n 项)n（ a1 an）2 n（ n 1）23等差数列及前 n 项和的性质(1)若 a， A，b 成等差数列，则 A 叫做 a，b 的等差中项，且 A a b2(2)若a n为等差数列，且 mnpq，则 ama na pa q(m，n ，p，q N *)(3)若a n是等差数列，公差为 d，则 ak，a km ，a k2m ，(k ，mN *)是公差为 md 的等差数列(4)数 列 Sm，S 2mS m，S 3mS 2m，也是等差数列(5)S2n1 (2n 1)a n.(6)
14、若 n 为偶数，则 S 偶 S 奇 ；nd2若 n 为奇数，则 S 奇 S 偶 a 中 (中间项)4等差数列的前 n 项和公式与函数的关系Sn n2 n.d2 (a1 d2)数列a n是等差数列 SnAn 2Bn(A，B 为常数)5等差数列的前 n 项和的 最值在等差数列 an中，a 10，d0 ，则 Sn 存在最大值；若 a10 ，d0，则 Sn 存在最小值【必会结论】等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a na m(n m)d(n ，mN *)(2)若a n为等差数列，且 kl mn (k，l，m，nN *)，则 aka la ma n.若mn2p (m，n，p N *)，则 ama
15、n2a p.(3)若a n是等差数列，公差为 d，则a 2n也是等差数列，公差为 2d.来源:Zxxk.Com(4)若a n， bn是等差数列，则pa nqb n也是等差数列(5)若a n是等差数列，公差为 d, 则 ak，a km ，a k2m ，(k ，mN *)是公差为 md 的等差数列(6)等差数列 an的前 n 项和为 Sn, 则 Sn，S 2nS n，S 3nS 2n 仍成等差数列，其公差为 n2d.核心能力必练一、选择题1 (2018 湖北荆州一模,5)在等差数列a n中,a 1=1,a2+a6=10,则 a7= ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 【答案】A2 (20
16、18 河南濮阳二模,7)已知等差数列a n一共有 9 项, 前 4 项和为 3,最后 3 项和为 4,则中间一项的值为 ( ) A. B. C.1 D. 172059667【答案】D【解析】设等差数列a n的公差为 d，由题意得 解得 所以中间一1463,2ad13,27.6a项为 a5=a1+4d= ，故选 D376423 (2018 河南信阳二模,9)九章算术是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等, 问各得几何?” 其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱, 甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同, 且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各
17、得多少钱?”(“钱”是古代一种质量单位),在这个问题中,甲得 钱 ( ) A. B. C. D. 532435【答案】C4设数列 是等差数列， 为其前 项和.若 ， ，则 （ nanS368S85a20）A B C D3674【答案】C【解析】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，由题意得na1d解得1165328(),2,add12,4a所以 ，故选 C2019()75设 是等差数列 的前 项和， ， ，则 （ ）nSna12a53a9SA B C D7254472【答案】B【解析】设公差为 ，因为 ，所以d53a，所以2642)(3411 da，故选 B.7899 S6已知等差数列 的前 项和
18、为 ，且 ，若 ，则 的取值范围是（ nanS364a510S2a）A B C. D,2,0,0,【答案】A【解析】设公差为 ，由 得 ，即 ，则由d364a2234ad24da得 ，解得 .故选 A.510S1525810aa7已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 取最大值时，nnS2768nS的值为（ ）nA3 B4 C5 D6【答案】C【解析】设等差数列的公差为 ，则 解得 ，所以d17,26ad19,2ad，故当 时， 取最大值 ，故1nSa22()0(5)n5nnS5选 C.源:Z|xx|k.Com8设公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于（ nanS423a74
19、S）A B C7 D1474145【答案】C【解析】 ，故选 C.742,2,2 117471434 aaSaa则9 九章算术是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（ ）A8 B9 C10 D11【答案】B10在等差数列 中， ， ，则此数列前 30 项和等na123a28930165a于（ ）A B C D810840790【答案】B【解析】由 得 ，由 得 ，所以此数列前123a21a28930165a29a项和 .故选 B3030S10()()()8411已知等差数列 满足
20、，则有（ ）n12310A B C D10a10a390a5【答案】C【解析】根 据等差数列的性质，可知 ，1021050251aaa所以 ，故选 C10210395aa12 张丘建算经是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现.书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织得快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布 尺，一个月（按 305天计算）总共织布 尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（ ）390A 尺 B 尺 C 尺 D 尺82916232912【答案】B13已知等差数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则
21、 中nanS17018S1712,Sa最大的项为（ ）A B C. D6Sa7a8a9Sa【答案】D【解析】 ，1790Sa18910(), 0(1,23,9)0i idaa0,2,17(,23,7),(1,2,7)i ii SSiS ，又 最大. 来源:Z#xx#k.Com1S29129,aa 14已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则使得 取最小nnS154927SnS值时的 为 （ ）A B C. D 或16767【答案】B【解析】由等差数列的 性质，可得 ，1533214aa，所以 ，所以数列199 19()276aS5532ad的通项公式为 ，令n3()7()ndn1n，解得 ，
22、所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，00a2所以使得 取最小值时的 为 ，故选 BnS615已知等差数列 中， ， ，记 ，则na37108a14a12nnSa（ ）13A78 B152 C 156 D168【答案】C 【解析】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，则na1d，3710112698ada，联立，得14374.162, 567Sad16若 是等差数列，首项 ， ， ，则使前 项和na102107a20167an成立的最大正整数 是（ ）0nSnA B C D21620174032403【答案】C17等差数列 中， 为前项 和，已知 ，且 ，则nanS2016a201620S等
23、于（ ）1aA B C D 206201543【答案】C【解析】 因为 ，故 是以 为首项， 为公差的等差数列，所以12nSdanS1a2d，解得 ，又20d2016 1,04.18若数列 是等差数列，则称数列 为“ 等方差数列” ，给出以下判断：2nana常数列是等方差数列；若数列 是等方差数列，则数列 是等差数列；n 2n若数列 是等方差数列，则数列 是等方差数列；aa若数列 是等方差数列，则数列 也是等方差数列，其中正确的序号为（ ）n 2nA. B. C. D.【答案】B 二、填空题19设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则当 取最小值时，nanS1a46anS等于_.n【答案】 6
24、【解析】 4128621()naddS当 时， 取最小值.2(6)3n6nnS20设 是等差数列，若 ，则 .na45621a9S【答案】63【解析】由 得 ，所以 .45621571995()632a21已知数列 为等差数列， 为 的前 项和，若 ， ，则nanS24a的取值范围是 4S【答案】 6,18【解析】由 ，25a342323423()9()aaSa.4S,22在等差数列 中， ，则该数列的前 14n345681463a项和为 【答案】 21【解析】由 得 ，345681463aaa4136a， .41111()()22S23设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 的最大值为 n
25、nS405S4【答案】三、解答题24已知等差数列 的前 项和为 ， ，且 ， .nanS1nb258ab32S（ 1）求数列 n， 的通项公式；b（2 ）求证： .123n【答案】 （1） ， （2 ）详见解析nanb【解析】 （1）设等差数列 的公差为 . ， ， ，nd1nbS258ab32S解得 ， .115,28543,ad13,2.ad12n2nb（2 ） 12+12435nb n.131334522n25已知正项数列 的前 项和为 ，且 是 1 与 的等差中项nanSnna（1 ）求数列 的通项公式；（2 ）设 为数列 的前 项和，证明： （ ） nT12na213nT*N【答案】
26、 （1） （2）证明见解析【解析】 （1）由 是 1 与 的等差中项，得 ，即 ，nSn21nnSa241nSa则当 时， ，当 时， ， ，na14()n 1()()0是以 为首项， 为公差的等差数列，即 源:Z_xx_k.Com10,2,nn 2n26设等差数列 的前 项和为 ，且 .anS5625a（1 ）求 的通项公式；n（2 ）若不等式 对所有的正整数 都成立，求实数 的取值范28714nnSkank围.【答案】 （1） （2）34na294k【解析】 （1）设公差为 ，则 ， .d111552adad1 3ad， 的通项公式为 .na3n（2 ） ，则 ，又 .2S28737nSn
27、43na所以原不等式可化为 ，当 为奇数时， ；当 为偶数时，91k 91kn，91kn ，当且仅当 时取等号， 当 为奇数时， 的最小值为 7；当917n3nn91n为偶数时， 时， 取最小值 ， . 491294274k27已知数列 na为等差数列， ，公差 ，且 .35a0d215a（1 ）求数列 的通项公式以及它的前 n 项和 ；nS（2 ）若数列 满足 ， 为数列 的前 项和，求 ；nb1nnaTnbnT（3 ）在（2 ）的条件下，若不等式 )1(8恒成立，求实数 的取值N范围.【答案】 （1） （2 ）（3）21,nnaS1nT)21,(（3 ） 当 为偶数时，要使不等式 恒成立，n)(8只需不等式 恒 成立即可， 7)(8n ，等号在 时取得， ，2n225当 为奇数时，要使不等式 恒成立，nnT)1(8N只需不 等式 恒成立即可， )1(8 随 的增大而增大， 时， 取得最小值 ， .n2n2621综合可得 的取值范围是 .)1,(