1、 离散型随机变量及分布列跟踪知识梳理考纲解读：1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；2.了解超几何分布，并能解决简单的实际问题.考点梳理：1.离散型随机变量来源:ZXXK随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x 2，x i，x n，X 取每一个值xi(i 1， 2，n)的概率 P(Xx i)p i，则表X x1 x2 xi xnP p1 p2 pi pn称为离散型随机变量 X 的概率分布列.(2)离
2、散型随机变量的分布列的性质：p i0(i1，2，n) ；p 1p 2p n1.3.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量 X 服从两点分布，其分布列为:其中 pP( X1)称为成功概率 .(2)超几何分布：在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则P(Xk) ，k0，1，2，m，其中 mminM， n，且nN，MN，n，M，NN *，称随机变量 X 服从超几何分布.X 0 1 mP 核心能力必 练一、选择题1(2019 菏泽联考)一盒中有 12 个乒乓球，其中 9 个新的、 3 个旧的，从盒中任取 3 个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数 X
3、 是一个随机变量，则 P(X4) 的值为( )A. B. C. D.1220 2755 27220 21552已知随机变量 的分布列如下表，则 （ ）X(5)E13P0.6.40.A. 1.32 B. 1.71 C. 2.94 D. 7.643设随机变量 的概率 分布如下表，则 （ ）X(|2|1)X134P6m1A B C D7121251264设 的分布列如下表，则 等于( )p1 0 1iP231pA0 B C D不确定1365若随机变量 的分布列如下表，则当 时，实数 x 的取值范围是（ ）()0.8Px210 1 2 3P0.1来源:Zxxk.Com 0.2 0.2 0.3 0.1
4、0.1Ax 2 B16）= 19某老师从课本上抄录一个随机变量 的概率分布列如下表：请甲同学计算 的数学期望，尽管“ ”处完全无法看清，且两个“ ”处字迹模糊，但能断定! ?这两个“ ”处的数值相同， 据此，该同学给出了正确答案为 ? 20若随机变量 的分布列如下表， 则 的最小值为 X2ba012P31ab21某一射手射击所得的环数 的分布列如下表，则此射手“射击一次命中环数7” 的概率为_ 4 5 6 7 8 9 10P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.2222若离散型随机变量 的分布列如下表，则常数 c 的值为 _. 0 1P 9c2c 38c23已知 ，
5、 ，与随机变量 相关的三个概率的值分别是 、12x01()Px和 ，则 的最 大值为_()P123()4x三、解答题24一个袋中装有大小相同的球 10 个，其中红球 8 个，黑球 2 个，现从袋中有放回地取球，每次随机取 1 个.求：（1 ）连续取两次都是红球的概率；（2 ）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，取球次数最多不超过 4次，求取球次数 的概率分布列及期望.25某公司即将推出一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了 50 名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60 分，说明购买意愿弱；若得分不低于 60 分，说
6、明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示.（1 ）根据茎叶图中的数据完成 列联表，并判断是否有 95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？购买意愿强 购买意愿弱 合计2040 岁大于 40 岁合计（2 ）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取 5 人，从这 5 人 中随机抽取 2人进行采访，记抽到的 2 人中年龄大于 40 岁的市民人数为 ，求 的分布列和数学期望.附： .26某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲，乙两个抽奖方案供员工选择.方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为 ，第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续
7、进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得 500 元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得 1000 元；若未中奖，则所获得奖金为 0 元.方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为 ，每次中奖均可获得奖金 400 元.(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 （元）的分布列；(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？27 2016 年 1 月 1 日起全国统一实施全面的两孩政策.为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取 70 后 80 后作为调查对象，随机调查了 100 人并对调查结果进行统计，7
8、0 后不打算生二胎的占全部调查人数的 ，80 后打算生二胎的占全部被调查人数的，100 人中共有 75 人打算生二胎.（1 ）根据调查数据，判断是否有 以上把握认为“ 生二胎与年龄有关”，并说明理由；（2 ）以这 100 人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率估计概率，若从该市 70 后公民中（人数很多）随机抽取 3 位，记其中打算生二胎 的人数为 ，求随机变量 的分布列，数学期望 和方差 .参考公式：0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（ ，其中 ）28第 届夏季奥林
9、匹克运动会将于 2016 年 8 月 5 日21 日在巴西里约热内卢举行.下表31是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）.第 届伦敦0第 届北京29第 届雅典2第 届悉尼27第 届亚特兰26大中国 3851381俄罗斯 242273226（1 ）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可） ；（2 ）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等） ，规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一
10、个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为 ，丙猜中国代表团的概率为 ，三人各自猜哪个代表团4535的结果互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为 ，求 的X分布列及数学期望 .EX29某校高三年级有 400 人，在省普通高中学业水平考试中，用简单随机抽样的方法抽取容量为 50 的样本，得到数学成绩的频率分布直方图 （如图）.（1 ）求第四个小矩形的高；（2 ）估计该校高三年级在这次考试中数学成绩在 120 分以上的学生大约有多少人？（3 ）样本中，已知成绩在 内的学生中有三名女生，现从成绩在 内的140,5 140,5学生中选取 3 名学生进行学习经验推广交流，设有 名女生被
11、选取，求 的分布列和数XX学期望.30为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛，现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为 100 分）进行统计，制成如下频率分布表分数(分数段) 频数(人数) 频率60,79x8)y0.38,91620)zs合计 p（1 ）求出上表中的 的值；,xyzsp（2 ）按规定，预赛成绩不低于 90 分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概
12、率；记高一（2）班在决赛中进入前三位的人数为 ，求 的分布列和数学期望X离散型随机变量及分布列跟踪知识梳理考纲解读：1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；2.了解超几何分布，并能解决简单的实际问题.考点梳理：1.离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x 2，x i，x n，X 取每一个值xi(i 1，2，n)的概率 P(Xx i)p i，则表X x1 x2 xi xnP p1 p2 p
13、i pn称为离散型随机变量 X 的概率分布列.(2)离散型随机变量的分布列的性质：p i0(i1，2，n) ；p 1p 2p n1.3.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量 X 服从两点分布，其分布列为:其中 pP( X1)称为成功概率 .(2)超几何分布：在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则P(Xk) ，k0，1，2，m ，其中 mmin M， n，且nN，MN，n ，M，NN *，称随机变量 X 服从超几何分布.X 0 1 mP 核心能力必练一、选择题1(2019 菏泽联考)一盒中有 12 个乒乓球，其中 9 个新的、 3 个旧的，从盒
14、中任取 3 个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量，则 P(X4) 的值为( )A. B. C. D.1220 2755 27220 2155【答案】C【解析】X 4 表示从盒中取了 2 个旧球，1 个新球，故 P(X4) .272202已知随机变量 的分布列如下表，则 （ ）(5)EX3P0.16.40.A. 1.32 B. 1.71 C. 2.94 D. 7.64【答案】D【解析】 ，20.16.430.12()EX ，故选 D.25+7563设随机变量 的概率分布如下表，则 （ ）(|)PX12346m1A B C D712125126【答案】C【解析】由所有概率
15、和为 ，可得 ，所以 .4m15(|)3642PXPX故选 C.4设 的分布列如下表，则 等于( )p1 0 1iP231pA0 B C D不确定136【答案】C【解析】由题意得 ， ，故选 C2p15若随机变量 的分布列如下表，则当 时，实数 x 的取值范围是（ ）()0.8Px10 1 2 3P0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1Ax 2 B16）= 【答案】 5【解析】由题意得，24681023451PXPXPXaa， ， .15a1(2)5k 3(6)(8)(0)19某老师从课本上抄录一个随机变量 的概率分布列如下表：请甲同学计算 的数学期望，尽管“ ”处完全无法看清，且两个
16、“ ”处字迹模糊，但能断定! ?这两个“ ”处的数值相同，据此，该同学给出了正确答案为 ? 【答案】 3【解析】设 则 ，1(1)(0),2Px(5),(3)12Pxx253.Ex20若随机变量 的分布列如下表， 则 的最小值为 X2ba012P31ab【答案】 92【解析】 ，=3ab22221().99ababab， ，21某一射手射击所得的环数 的分布列如下表，则此射手“射击一次命中环数7” 的概率为 _ 4 5 6 7 8 9 10P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22【答案】0.88【解析】根据题中分布列，得 P(=7)0.09，P(=8)0.28，
17、P(=9) 0.29，P (=10)0.22，所以 P(7)0.09+0.28+0.29+0.220.88.22若离散型随机变量 的分布列如下表，则常数 c 的值为 _. 0 1P 9c2c 38c【答案】 31【解析】由离散型随机变量分布列的性质，得 9c2c+3 8c=1 且 09c2c 1，03 8c1，解得 c= .23已知 ， ，与随机变量 相关的三个概率的值分别是 、12x01()Px和 ，则 的最大值为 _()P123()4Px【答案】 64【解析】 ， ，又 ，12()()x14,0)三、解答题24一个袋中装有大小相同的球 10 个，其中红球 8 个，黑球 2 个，现从袋中有放
18、回地取球，每次随机取 1 个 .求：（1 ）连续取两次都是红球的概率；（2 ）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，取球次数最多不超过 4次，求取球次数 的概率分布列及期望 .【答案】 （1） （2）分布列见解析，【解析】 （1）连续取两次都是红球的概率 .（2 ） 的可能取值为 1,2,3,4， ， ， .的概率分布列为1 2 3 4则 .25某公司即将推出一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机 抽取了 50 名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60 分，说明购买意愿弱；若得分不低于 60 分，说明购买意愿强，调查结果用茎
19、叶图表示如图所示.来源:Z,xx,k.Com（1 ）根据茎叶图中的数据完成 列联表，并判断是否有 95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？购买意愿强 购买意愿弱 合计2040 岁大于 40 岁合计（2 ）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取 5 人，从这 5 人中随机抽取 2 人进行采访，记抽到的 2 人中年龄大于 40 岁的市民人数为 ，求 的分布列和数学期望.附： .【答案】 （1）表格见解析，没有 95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关 （2）X 的分布列见解析，期望为 【解析】 （1）由题中茎叶图可得：购买意愿强 购买意愿弱 合计2040 岁 20 8 28大
20、于 40 岁 10 12 22合计 30 20 50由列联表可得： ，所以没有 95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关（2 ）购买意愿弱的市民共有 20 人，抽样比例为 ，所以年龄在 2040 岁的抽取了 2 人，年龄大于 40 岁的抽取了 3 人，则 X 的可能取值为 0，1，2，所以分布列为X 0 1 2P数学期望为 26某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲，乙两个抽奖方案供员工选择.方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为 ，第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得 50
21、0 元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工须进行第二次抽奖，且在 第二次抽奖中，若中奖，则获得 1000 元；若未中奖，则所获得奖金为 0 元.方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为 ，每次中奖均可获得奖金 400 元.(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 （元）的分布列；(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？【答案】 （1）详见 解析 （2）选甲方案 来源【解析】 （ 1） ，,所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 （元）的分布列为0 500 1000(2)由（1 ）可知，选择方案甲进行抽奖所获得奖金 的均值，选择方案乙进行抽奖中奖次数 ，则 ，抽奖所获
22、奖金 的均值 ，故选择方案甲较划算.27 2016 年 1 月 1 日起全国统一实施全面的两孩政策.为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取 70 后 80 后作为调查对象，随机调查了 100 人并对调查结果进行统计，70 后不打算生二胎的占全部调查人数的 ，80 后打算生二胎的占全部被调查人数的 ，100 人中共有 75 人打算生二胎.（1 ）根据调查数据，判断是否有 以上把握认为“ 生二胎与年龄有关”，并说明理由；（2 ）以这 100 人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率估计概率，若从该市 70 后公民中（人数很多）随机抽取 3 位，记其中打算生二胎的人数为 ，求随机变量 的
23、分布列，数学期望 和方差 .参考公式：0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（ ，其中 ）【答案】 （1）有 以上把握认为 “生二胎与年龄有关” （2）分布列见解析，期望为 ，方差为【解析】由题意得年龄与生二胎的列联表如下：生二胎 不生二胎 合计70 后 30 15 4580 后 45 10 55合计 75 25 100所以 ，所以有 以上把握认为“生二胎与年龄有关”. （2 ）由已知得该市 70 后“生二胎”的概率为 ，且 所以 ，故 的分布列为：0 1 2 3所以 .2
24、8第 届夏季奥林匹克运动会将于 2016 年 8 月 5 日21 日在巴西里约热内卢举行.下表31是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）.第 届伦敦0第 届北京29第 届雅典2第 届悉尼27第 届亚特兰26大中国 3851381俄罗斯 242273226（1 ）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可） ；（2 ）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等） ，规定甲、乙、丙必须在
25、两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为 ，丙猜中国代表团的概率为 ，三人各自猜哪个代表团4535的结果互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为 ，求 的X分布列及数学期望 .EX【答案】 （1）茎叶图见解析， 中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值，俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散 （2）分布列见解析， 15【解析】 （1）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下：通过茎叶图可以看出，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值；俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌
26、数比较分散.（2 ） 由已知得 的可能取值为 ，X0,123，420515PAPBC224343191C15XAB， 21243436255125PABCP，2438351X故 的分布列为： 023P2159561485.296480135EX29某校高三年级有 400 人，在省普通高中学业水平考试中，用简单随机抽样的方法抽取容量为 50 的样本，得到数学成绩的频率分布直方图（如图）.（1 ）求第四个小矩形的高；（2 ）估计该校高三年级在这次考试中数学成绩在 120 分以上的学生大约有多少人？（3 ）样本中，已知成绩在 内的学生中有三名女生，现从成绩在 内的140,5 140,5学生中选取 3
27、 名学生进行学习经验推广交流，设有 名女生被选取，求 的分布列和数XX学期望.【答案】(1) (2) (3)分布列见解析，0.28032【解析】 （1）由题图可知，第四个小矩形的高为.(3.12)08（2 ）因为样本中，数学成绩在 120 分以上的频率为 ，1(0.2)10.7所以通过样本估计总体（将频率看作概率） ，可估计该校高三年级在这次考试中数学成绩在120 分以上的学生大约有 （人）.40.728（3 ）由频率分布直方图可知，样本中成绩在 内的学生共 有140,5（人）.由题设知这 6 人恰好是 3 男 3 女，因为 的所有可能取值为0.1256 X0、1 、2、3，且 ， ， ，36
28、C1()20PX1236C9()0PX2136C9()0P.36()所以 的分布列为：XX0123P1209120所以 的数学 期望为 .X 3EX30为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛，该 竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预 赛为笔试，决赛为技能比赛，现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为 100 分）进行统计，制成如下频率分布表分数(分数段) 频数(人数) 频率60,79x8)y0.38,91620)zs合计 p（1 ）求出上表中的 的值；,xyzsp（2 ）按规定，预赛成绩不低于 90 分的选手参加决赛，参加决赛的选 手
29、按照抽签方式决定出场顺序已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；记高一（2）班在决赛中进入前三位的人数为 ，求 的分布列和数学期望X【答案】 （1） ， ， ， ， （2） 分布列0.8x19y6z0.12s5p710见解析，【解析】 （1）由题意知， ， ， ， ， .5.32p9.8x 9y6z2s（2 ）由（1 ）知，参加决赛的选手共有 6 人，设“ 甲不在第一位，乙不在第六位”为事件 ，A则 ，所以甲不在第一位，乙不在第六位的概率为 5146A70P 710随机变量 的可能值为 0,1,2，X， ， ，346C105PX12436C5PX21436C5PX0 1 2所以 1310255EX