1、数列的综合应用跟踪知识梳理考纲解读：1.理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式及其应用.2了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.3会用数列的等差关系或等比关系解决实际问题.考点梳理：一、等差数列和等比数列比较等差数列 等比数列定义 1na常数 1na常数通项公式 1()nd )0(11qann判定方法(1)定义法；(2)中项公式法： 212nnanNa为等差数列；(3)通项公式法：npq( ,为常数, nN) a为等差数列；(4)前 n 项和公式法： 2SAB( ,为常数, N) na为等差数列；(5) n为等比数列，且 0n，那么数列 l
2、ogan ( ，且 1a)为等差数列(1)定义法(2)中项公式法： 21nna ( 0a) 为等比数列(3)通项公式法： ncq ( ,均是不为0 的常数， N)n为等比数列(4) na为等差数列 aA( n总有意义)为等比数列性质(1)若 m， n， p， qN，且，则mnpqaa来源:Z.xx.k.Com(2 ) ()d(3) 232,nnnSS， 仍成等差数列(1)若 m， n， p， qN，且，则 mnpqaA(2) nqa(3)等比数列依次每 项和( 0nS)，即 232,nnS，仍成等比数列前 n 项和 11()()22nnaSd1q时， 1an；当 q时，Sn)(或 nnS.二数
3、列求和1. 等差数列的前 n和的求和公式： 11()()22nnad.2等比数列前 项和公式一般地，设等比数列 123,na 的前 项和是 nS123na ，当1q时， qSnn)(或 1aqS；当 时， 1n（错位相减法）.3. 数列前 项和重要公式：（1） 1nk23n 2)1(（2 ） 1()nk5（3 ） 31nk 233)1(2n（4 ） 21nk )(622等差数列中， mnnSd；等比数列中， mnqS.核心能力必练一、选择题1 (2018 河北唐山二模,8)设a n是任意等差数列,它的前 n 项和、前 2n 项和与前 4n 项和分别为 X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是 ( )
4、 A.2X+Z=3Y B.4X+Z=4Y C.2X+3Z=7Y D.8X+Z=6Y 2 (2017 河南洛阳 3 月模拟,7) 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,.该数列的特点是:前两个数都是 1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列a n称为“斐波那契数列”,则(a 1a3- )2(a2a4 - )(a3a5- )(a2015a2017- )= ( ) 242016A.1 B.-1 C.2 017 D.-2 0173已知数列 满足 ， ，则 （ ）n12*1()nnaN1232017aaA B
5、6 C. D2624若数列 满足 ，则称 为“梦想数列” ，已知正项数列 为“ 梦想na120nananb数列” ，且 ，则 （ ）123b678bA4 B16 C32 D645已知正项数列 中， ， ， ，则 （ ）na12a221nna6aA B C D168 46若数列 满足 ， 且 ，na1 12325325lgnnaan 15a则数列 的第 100 项为（ ）nA2 B3 C D1lg92lg97 数列 满足 ，对任意的 都有 ，则na1nN1nna（ ）122016.A B C D20156201674032174032178定义： 为 个正数 ， ， 的“ 均倒数”若已知正数数列
6、12npp 1pnp的前 项的“ 均倒数”为 ，又 ，则 （ ）na4nab12310bbA B C D11209已知正项数列 中， ， ， ， ，na12a221nna1nnba记数列 的前 项和为 ，则 的值是 （ ）nbnS3A. B. C. D.394210若数列 满足 ， 且 ，则数列 的前 100 项中，能被 5na1253nna15na整除的项数为（ ）A42 B40 C30 D2011已知数列 的前项 和 ，则数列 的前 项和为（ ）nanSn21naA B C D)32()3( )1(312n12已知数列 满足 ， ，若na11N*2nna， ，且数列 是单调递增数列，则实数
7、 的取1()N*nnb1bnb值范围为（ ）A B C D223313已知正项数列 的前 项和为 ，当 时， ， 且 ，nanS2211nnaSa设 ，则 等于（ ）12log6nbbA B C D343414已知数列 的通项为 ，我们把使乘积 为整数的na1log2na123naa叫做“优数”，则在 内所有“优数”的和为（ ）n(0,216A1024 B2012 C2026 D203615已知数列 的通项公式为 ，其前 项和为 ，将数列 的前 项抽去na5nannSna4其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列 的前 项，记 前 项和为 ，b3bnT若存在 ，使对任意 ，总有 恒成立，则实
8、数 的取值范围是（ mNnmST）A. B. C. D. 233216已知数列 满足 在直线 上，如果函数na11,nPaN10xy，则函数 的最小值为（ ）f12.,2n fnA. B. C. D.347151217 数列 满足 ，对任意的 都有 ，则na1Nnan1（ ）201621A B C D57432017432017618已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则满足 的 的最nanS1anS2nS小值为（ ）A B C D4567二、填空题19 若数列 满足 ，则 等于_na*1152,3,23naaN2016a20已知数列 的前 项和为 ， ，则 的最小值为 nnS4n24nna2
9、1已知数列 满足 ，且 ，设 ，则数列na1342nna112nb的前 50 项和为 1nb22数列 满足 ，且数列 的前 项和为 ，若na112342naananS实数 满足对于任意 都有 ，则 的取值范围是 *N2nS23用 表示不超过 的最大整数，例如 ， ， 已知数列xx31.32满足 ， ，则 na121nna122016aa24已知数列 与 满足 ，若nbnnbN且 对一切 恒成立，则实数 的取19,3nabN363n值范围是_.三、解答题25 (2018 河南信阳二模 ,17)已知数列a n的前 n 项和为 Sn,且 a1=2,2Sn=(n+1)2an-n2an+1,数列b n满
10、足 b1=a1,nbn+1=anbn. (1)求数列 an和b n的通项公式; (2)若数列 cn满足 cn=an+bn(nN *),求数列c n的前 n 项和 Tn.26设数列 的前 项和为 ，且对任意正整数 ，满足 1,S120naS（1 ）求数列 的通项公式；n（2 ）设 ，求数列 的前 项和 2banbnT27已知数列 中， ，且点 在直线 上n1*1,PaN10xy(1)求数列 的通项公式；a(2)若函数 （ ，且 ） ，求函数 的最123nfnnaa2nfn小值；(3)设 ， 表示数列 的前 项和，试问：是否存在关于 的整式 ，使得nbanSnb g对于一切不小于 2 的自然数 恒
11、成立？若存在，写出123S1ng n的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由来源:gn28设数列 的前 项之积为 ，且 nanT*21log,nN（1 ）求数列 的通项公式；（2 ）设 ，数列 的前 项和为 若对任意的 ，总有*1nbaNnbnS*n，求实数 的取值范围1S29设各项均为正数的 数列 的前 项和为 ，且 满足：nanSn.2 2*330 nnSSN，（1 ）求 的值；来源:ZXXK1a（2 ）求数列 的通项公式；n（3 ）设 ，求数列 的前 项和 .13bnbnT30已知数列 的前 项和为 .na(1)2S（1 ）求数列 的通项公式；（2 ）设 为数列 的前 项和，其中 ，求
12、 ；nTnb12nabSnT（3 ）若存在 ，使得 成立，求出实数 的取值范围.NnTa3数列的综合应用跟踪知识梳理考纲解读：1.理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式及其应用.2了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.3会用数列的等差关系或等比关系解决实际问题.考点梳理：一、等差数列和等比数列比较等差数列 等比数列定义 1na常数 1na常数通项公式 1()nd )0(11qann判定方法(1)定义法；(2)中项公式法： 212nnanNa为等差数列；(3)通项公式法：npq( ,为常数, nN) a为等差数列；(4)前 n 项和公式法：
13、2SAB( ,为常数, N) na为等差数列；(5) n为等比数列，且 0n，那么数列 logan ( ，且 1a)为等差数列(1)定义法(2)中项公式法： 21nna ( 0a) 为等比数列(3)通项公式法： ncq ( ,均是不为0 的常数， N)n为等比数列(4) na为等差数列 aA( n总有意义)为等比数列性质(1)若 m， ， p， qN，且n，则mpqaa(2) ()nd(3) 232,nnSS， 仍成等差数列(1)若 m， n， p， qN，且，则 mnpqaA(2) nqa(3)等比数列依次每 项和( 0nS)，即 232,nnS，仍成等比数列前 n 项和 11()()nna
14、d1q时， 1an；当 q时，qaSnn1)(或 1naqS.二数列求和1. 等差数列的前 n和的求和公式： 11()()22nnad.2等比数列前 项和公式一般地，设等比数列 123,na 的前 项和是 nS123na ，当1q时， qSnn)(或 1aqS；当 时， 1n（错位相减法）.3. 数列前 项和重要公式：（1） 1nk23n 2)1(（2 ） 1()nk5（3 ） 31nk 233)1(2n（4 ） 21nk )(622等差数列中， mnnSd；等比数列中， mnqS.核心能力必练一、选择题1 (2018 河北唐山二模,8)设a n是任意等差数列,它的前 n 项和、前 2n 项和
15、与前 4n 项和分别为 X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是 ( ) A.2X+Z=3Y B.4X+Z=4Y C.2X+3Z=7Y D.8X+Z=6Y 【答案】D2 (2017 河南洛阳 3 月模拟,7) 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,.该数列的特点是:前两个数都是 1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列a n称为“斐波那契数列”,则(a 1a3- )2(a2a4 - )(a3a5- )(a2015a2017- )= ( ) 242016A.1 B.-1 C.2 017 D.-2 017【答
16、案】B【解析】 a 1a3- =12-12=1,a2a4- =13-22=-1,a3a5- =25-32 =1,34,a2 015a2 017- =1, 06(a 1a3- )(a2a4- )(a3a5- )(a2 015a2 017- )=11 008(-1)1 007=-1.故选 B. 4063已知数列 满足 ， ，则 （ ）n1*1()nnN1232017aaA B6 C. D262【答案】D【解析】 ，同理， ，11212,3nnaa3451,2,.2aa， .故选 A.4n50123412320172341,a4若数列 满足 ，则称 为“梦想数列” ，已知正项数列 为“梦想na1na
17、n nb数列” ，且 ，则 （ ）123b678bA4 B16 C32 D64【答案】C 来源:Zxxk.Com【解析】依题意有 ，故 是公比为 的等比数列，故 是公比为 的等12nnana121nb2比数列，所以 是公比为 的等比数列，因此 .nb 5678123bq5已知正项数列 中， ， ， ，则 （ ）a12a2nna6aA B C D168 4【答案】D 来源:Z#xx#k.Com6若数列 满足 ，且 ，na1 12325325lgnnaan 15a则数列 的第 100 项为（ ）23naA2 B3 C D1lg92lg9【答案】B【解析】由 可得1 12535lnnaan ，记 ，
18、有 ，由累加法得)lg(3251nannb1lg()nbn，数列 的第 项为 .来源:lbna103lg7 数列 满足 ，对任意的 都有 ，则n1N1nna（ ）122016.aaA B C D57403217403217【答 案】D【解析】 ， ，则 ，1nnanana，故选 D122016114032. .230678定义： 为 个正数 ， ， 的“ 均倒数”若已知正数数列12npp 1p2np的前 项的“ 均倒数”为 ，又 ，则 （ ）na4nab12310bbA B C D1120【答案】C9已知正项数列 中， ， ， ， ，na12a221nna1nnba记数列 的前 项和为 ，则
19、的值是（ ）nbnS3A. B. C. D.3942【答案】D【解析】 ，数列 为等差数列，首项为 1，公差为221nna2na，又 ， ，213 3（ ） 032n，故1 12nnban132n，474323 3nS n 则 .故选 D10若数列 满足 ， 且 ，则数列 的前 100 项中，能被 5na1253nna15na整除的项数为（ ）A42 B40 C30 D20【答案】B【解析】数列 满足 ，即 ，又 ，na1253nna112()3nna123a数列 是以 为首项， 为公差的等差数列， ， ，列23 nn表如下：项 1345678910个位数 547092每 项中有 项能被 整除
20、，数列 的前 项中，能被 整除的项数 ，故选0na154B11已知数列 的前项 和 ，则数列 的前 项和为（ ）naSn21naA B C D)32()3( )(312n【答案】A12已知数列 满足 ， ，若na11N*2nna， ，且数列 是单调递增数列，则实数 的取1()N*nnb1bnb值范围为（ ）A B C D2233【答案】B【解析】因为数列 满足 ， ，所以 ，化为na11N*2nna12na，所以数列 是等比数列，首项为 ，公比为 ，所以12()nnan 1，所以 ，因为 且数列 是单调递n1()1nnba()2n1bnb增数列，所以 ，所以 ，化简得 ，因为数列1nn 1为单
21、调递增数列，所以 ，故选 B213已知正项数列 的前 项和为 ，当 时， ，且 ，nanS2211nnaSa设 ，则 等于（ ）12log6nbbA B C D3434【答案】A14已知数列 的通项为 ，我们把使乘积 为整数的na1log2na123naa叫做“优数”，则在 内所有“优数”的和为（ ）n(0,26A1024 B2012 C2026 D2036【答案】C【解析】 ，1log2na 12231lg34l4log2n n，要使 为整数，则 ，2lg2llog1nn2logn2kn内的所有正整数分别为 ，所有“优数”的和为(0,6 310, 92310422()2615已知数列 的通项
22、公式为 ，其 前 项和为 ，将数列 的前 项抽na5nannSna4去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列 的前 项，记 前 项和为 ，b3bnT若存在 ，使对任意 ，总有 恒成立，则实数 的取值范围是（ mNnmST）A. B. C. D. 2332【答案】D16已知数列 满足 在直线 上，如果函数na11,nPaN10xy，则函数 的最小值为（ ）f12.,2nfnA. B. C. D.3471512【答案】C【解 析】将 的坐标代入直线方程，有 ，所以 是首项为 ，公差为 的等P1nana1差数列，所以 ，故 ，na.2f，1.23f nff，所以 单调递增，故最小1102nnnf
23、n值为 .71f17 数列 满足 ，对任意的 都有 ，则naNann1（ ）201621A B C D574320174320176【答案】B【解析】 ， ， ，所以当 时，1a1nna 11nan 2n，112nnn21 1 时也成立， ，则 的前 项和,nnaa2nna，1112.23nS ，故选 B.12201640327aa18已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则满足 的 的最nnS1a12nS210nS小值为（ ）A B C D4567【答案】A二、填空题19若数列 满足 ，则 等于_na*1152,3,23naaN2016a【答案】 23【解析】 *1 321342 121,3,
24、na aaa4532，2a.134567820163612 2,323aaaa20已知数列 的前 项和为 ， ，则 的最小值为 nanS413na241nna【答案】 421已知数列 满足 ，且 ，设 ，则数列na1342nna112nab的前 50 项和为 1nb【答案】 502【 解析】由 得 123nna，即 12nna，数列134nna是 以 为首项， 为公差的等差数列，则 ，n2 32n，则 ，143ab1431nb14n .1250150222数列 满足 ，且数列 的前 项和为 ，若na112342naananS实数 满足对于任意 都有 ，则 的取值范围是 *N2nS【答案】 43
25、【解析】由 ，可得11232naa，两式相减得12313n（ ） 2n（ ），又 时， ，所以 所以na（ ） 1a21(),nn012nS，在 时单调递增，可得 ，122 2312nn n （ ） （ ） 3n由题意可得 解得 .2,4323用 表示不超过 的最大整数，例如 ， ， 已知数列xx31.2.32满足 ， ，则 na121nna122016aa【答案】 02 4已知数列 与 满足 ，若nb11nnbN且 对一切 恒成立，则实数 的取19,3nabN363a值范围是_.【答案】 ,18【解析】将 代入 ，化简得 ，故13,nnb112nnaba143nna1nna212 4392n
26、a ，故 可化为 .当 时， ，当363n8n803n时， ，当 时， ，当 时，180n4n1329n5， 时， 单调递减，所以当 时为最大值，34279n583nf 4n故 .18三、解答题25 (2018 河南信阳二模 ,17)已知数列a n的前 n 项和为 Sn,且 a1=2,2Sn=(n+1)2an-n2an+1,数列b n满足 b1=a1,nbn+1=anbn. (1)求数列 an和b n的通项公式; (2)若数列 cn满足 cn=an+bn(nN *),求数列c n的前 n 项和 Tn.【答案】 （1）b n=2n （2） Tn=2n+1+n2+n-2(2)cn=an+bn=2n
27、+2n, 数列 cn的前 n 项和 Tn= + =2n+1+n2+n-2. ()2(1)n26设数列 的前 项和为 ，且对任意正整数 ，满足 na1,nSa120naS（1 ）求数列 的通项公式；na（2 ）设 ，求数列 的前 项和 2bnbnT【答案】 （1） （2）1na16349nn【解析】 （1）因为 ，10nS所以当 时， ， 2n2a两式相减得 ，即 11nn1120,2nnnaa又当 时， ，即 220S*(N)所以 是以首项 ，公比 的等比数列，na1q所以数列 的通项公式为 n12nna27已知数列 中， ，且点 在直线 上na1*1,nPaN10xy(1)求数列 的通项公式
28、；(2)若函数 （ ，且 ） ，求函数 的最123nfnana2nfn小值；(3)设 ， 表示数列 的前 项和，试问：是否存在关于 的整式 ，使得nbnSnb g对于一切不小于 2 的自然数 恒成立？若存在，写出123S1ng n的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由gn【答案】(1) (2) (3) ，证明见解析na56n)(【解析】(1) 点 在直线 上， ，又 ，1,nP10xy1na1a数列 是以 为首项， 为公差的等差数列， .n ()(2) ，nf 21)(，21132nn1111(1)(222nnfnfn，302是单调递增的，故 的最小值是 )(nf )(nf 65)2(f2
29、8设数列 的前 项之积为 ，且 nanT*21log,nN（1 ）求数列 的通项公式；（2 ）设 ，数列 的前 项和为 若对任意的 ，总有*1nbaNnbnS*n，求实数 的取值范围1S【答案】(1) (2)12n2【解析】 （1）由 ，得 ，所以*2log,nTN12nT，*21,nT所以 1122 1*21 ,2nnnna n又 ，所以 .01T1*,naN（2 ）由 ，得 ，12nnb21nnnS所以 ，11 12n nn nS因为对任意的 ，所以 取值范围是 .*,2nN,229设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且 满足：nanSn.2 2*330 nnSSN，（1 ）求 的值；1
30、a（2 ）求数列 的通项公式；na（3 ）设 ，求数列 的前 项和 .13bnbnT【答案】 （1） （2） （3）aa234n【解析】 （1）由 可得，2*0 nnSSN，又 ，所以 .2 211330S1a13（3 ）由（2 ）可得 ，13nnab ，1232313nn nT ，413n ，23413nT即 ，1234113 3nn n 112323nn .4nnT30已知数列 的前 项和为 .a(1)2nS（1 ）求数列 的通项公式；n（2 ）设 为数列 的前 项和，其中 ，求 ；nTnb12nabSnT（3 ）若存在 ，使得 成立，求出实数 的取 值范围.NnTa3【答案】 （1） （2） （ 3）na2(1)n1,2【解析】 （1）当 时， ，nnS()n当 时， 也符合上式， ，n1aSa解法二： ， 2()1()(1)22nbnn 1()()2nn 111262()(2)nTnn.3(1)(1)（3 ） 存在 ，使得 成立，存在 ，使得*nNnTa*nN成立 ，2(3)(1)即 ， ，2()nmax2(1)n而 ，当 或 时取等号，(1)(3)n2的取值范围为 . 1,2