1、2018 年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上1 （5 分）若复数 z 满足（1+i）z2（i 是虚数单位） ，则 z 的虚部为 2 （5 分）设集合 A2，4，Ba 2，2 （其中 a0） ，若 AB，则实数 a 3 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（2，4）到抛物线 y28x 的准线的距离为 4 （5 分）一次考试后，从高三（1）班抽取 5 人进行成绩统计，其茎叶图如图
2、所示，则这五人成绩的方差为 5 （5 分）如图是一个算法流程图，若输入值 x0，2，则输出值 S 的取值范围是 6 （5 分）欧阳修在卖油翁中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿” ，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径 4 厘米，中间有边长为 1 厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计） ，则油恰好落入孔中的概率是 第 2 页（共 27 页）7 （5 分）已知函数 f（x ）sin（ x+） （02 ）在 x2 时取得最大值，则 &nbs
3、p; 8 （5 分）已知公差为 d 的等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 ，则 9 （5 分）在棱长为 2 的正四面体 PABC 中，M ，N 分别为 PA，BC 的中点，点 D 是线段 PN 上一点，且 PD2DN ，则三棱锥 PMBD 的体积为 10 （5 分）设ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c 且 acosBbcosA c，则 11 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：（x+1） 2+y22，点 A（2，0） ，若圆C 上存在点 M，满足 MA2+MO210，
4、则点 M 的纵坐标的取值范围是 12 （5 分）如图，扇形 AOB 的圆心角为 90，半径为 1，点 P 是圆弧 上的动点，作点P 关于弦 AB 的对称点 Q，则 的取值范围为 13 （5 分）已知函数 ，若存在实数 abc，满足 f（a）f（b）f（c ） ，则 af（a） +bf（b）+cf（c）的最大值是 14 （5 分）已知 a，b 为正实数，且（ab） 24（ab） 3，则 的最小值为 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要
5、的文字说明、证明过程或演算步骤15 （15 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，ADB90，CBCD，点 E 为棱 PB 的中点（1）若 PBPD，求证：PCBD；（2）求证：CE平面 PAD第 3 页（共 27 页）16 （15 分）在ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设ABC 的面积为S，且 （1）求B 的大小；（2）设向量 （sin2A，3cosA） ， （3，2cosA） ，求 的取值范围17 （15 分）如图（ 1）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（2）所示的数学模型索塔 AB，CD 与桥面 AC 均垂直，通过测量知两索塔的高
6、度均为 60m，桥面 AC 上一点 P 到索塔 AB，CD 距离之比为 21：4，且 P 对两塔顶的视角为 135（1）求两索塔之间桥面 AC 的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数 a） ，且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数 b） 问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值18 （15 分）如图，椭圆 的离心率为 ，焦点到相应准线的距离为 1，点 A，B，C 分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点 C 的直线 l 交椭圆于点D，交 x 轴于点 M（x 1，
7、0） ，直线 AC 与直线 BD 交于点 N（x 2，y 2） （1）求椭圆的标准方程；第 4 页（共 27 页）（2）若 ，求直线 l 的方程；（3）求证：x 1x2 为定值19 （15 分）已知函数 f（x ）x 3+ax2+bx+1，a，b R（1）若 a2+b0，当 a 0 时，求函数 f（x ）的极值（用 a 表示） ；若 f（ x）有三个相异零点，问是否存在实数 a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出 a 的值；若不存在，请说明理由；（2）函数 f（x ）图象上点 A 处的切线 l1 与 f（x）的图象相交于另一点 B，在点 B 处的切线为 l2，直线 l1，l 2 的斜率分
8、别为 k1，k 2，且 k24k 1，求 a，b 满足的关系式20 （15 分）已知等差数列a n的首项为 1，公差为 d，数列 bn的前 n 项和为 Sn，且对任意的 nN*，6S n9b na n2 恒成立（1）如果数列S n是等差数列，证明数列b n也是等差数列；（2）如果数列 为等比数列，求 d 的值；（3）如果 d3，数列c n的首项为 1，c nb nb n1 （n2） ，证明数列a n中存在无穷多项可表示为数列c n中的两项之和（附加题） 【选做题】在 21，22，23，24 四小题中只能选做两题，每小题 0 分，共计 20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
9、程或演算步骤选修 4-1：几何证明选讲21如图所示，AB 为O 的直径，AE 平分BAC 交O 于 E 点，过 E 作O 的切线交AC 于点 D，求证：ACDE第 5 页（共 27 页）选修 4-2：矩阵与变换22已知矩阵 的一个特征值为 3，求 M1 选修 4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 为参数） 以原点 O为极点，以 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为，已知圆心 C 到直线 l 的距离等于 ，求 a 的值选修 4-5：不等式选讲24已知实数 a，b，c 满足 a+2b+c1，a 2+b2+c21，求证： 【必做题】第 2
10、5 题、第 26 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤25甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为 ，乙、丙做对该题的概率分别为 m，n（ mn） ，且三位学生能否做对相互独立，设 X 为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X 0 1 2 3P a b（1）求 m，n 的值；（2）求 X 的数学期望26已知函数 （1）当 n2 时，若 ，求实数 A 的值；（2）若 f（2）m+（mN *，01） ，求证： （m +）1第 6 页（共 27 页）2018 年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷参考答案与试题解
11、析一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上1 （5 分）若复数 z 满足（1+i）z2（i 是虚数单位） ，则 z 的虚部为 1 【分析】把给出的等式两边同时乘以 ，然后运用复数的除法进行运算，分子分母同时乘以 1i整理后可得复数 z 的虚部【解答】解：由（1+i）z 2，得： 所以，z 的虚部为1故答案为1【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，此题是基础题2 （5 分）设集合 A2，4，Ba 2，2 （其中 a0） ，若 AB，则实数 a 2 【分析】根据 AB 即可
12、得出 a24，再由 a0 即可求出 a 的值【解答】解：A2，4，Ba 2，2 ，且 AB；a 24；又 a0；a2故答案为：2【点评】考查列举法表示集合的概念，以及集合相等的定义3 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（2，4）到抛物线 y28x 的准线的距离为 4 【分析】求出抛物线的准线方程，然后求解即可【解答】解：抛物线 y28x 的准线方程为：x 2，点 P（2，4）到抛物线 y28x 的准线的距离为：2+24故答案为：4【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力4 （5 分）一次考试后，从高三（1）班抽取 5 人进行成绩统计，其茎叶图如图所示，则这五人成绩的方差
13、为 20.8 第 7 页（共 27 页）【分析】根据茎叶图中的数据，计算平均数和方差即可【解答】解：根据茎叶图中的数据知，这五人成绩的平均数为 （78+82+84+84+92）84，方差为 s2 （7884） 2+（8284） 2+（8484） 2+（8484） 2+（9284） 220.8故答案为：20.8【点评】本题考查了平均数与方差的计算问题，是基础题5 （5 分）如图是一个算法流程图，若输入值 x0，2，则输出值 S 的取值范围是 0 ，1 【分析】由已知中的框图，结合二次函数的图象和性质，分析出给定分段函数的值域，可得答案【解答】解：当 x0，1）时，S1，当 x1，2时，S2xx
14、20，1 ，综上可得：若输入值 x0，2，则输出值 S 的取值范围是 0，1，故答案为：0，1【点评】本题以程序框图为载体，考查了分段函数的值域，难度中档6 （5 分）欧阳修在卖油翁中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿” ，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径 4 厘米，第 8 页（共 27 页）中间有边长为 1 厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计） ，则油恰好落入孔中的概率是 【分析】求出正方形的面积以及铜钱的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可【解答】解：正方形的面积 S111，铜钱的半径为 2，
15、则铜钱的面积 S2 24 ，则油恰好落入孔中的概率 P ，故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，求出对应的面积是解决本题的关键7 （5 分）已知函数 f（x ）sin（ x+） （02 ）在 x2 时取得最大值，则 【分析】把 x2 代入 f（x）求得 f（x ） ，利用三角函数的图象与性质求得 的值【解答】解：函数 f（x ）sin（ x+）的周期为 T 2，x2 时 f（x）sin（2+ ）sin 取得最大值，由 02 ，得 故答案为： 【点评】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题8 （5 分）已知公差为 d 的等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 ，则
16、 2 第 9 页（共 27 页）【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【解答】解： ，10a 1+ d4（5a 1+ d） ，化为：2a 1d0则 2故答案为：2【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9 （5 分）在棱长为 2 的正四面体 PABC 中，M ，N 分别为 PA，BC 的中点，点 D 是线段 PN 上一点，且 PD2DN ，则三棱锥 PMBD 的体积为 【分析】由题意画出图形，由已知条件求出 D 到平面 PAB 的距离，把三棱锥 PMBD的体积转化为三棱锥 DPBM 的体积求解【解答】解：如图：PA
17、BC 为正四面体，且棱长为 2，C 在底面 PAB 的射影为底面三角形 PAB 的外心 O，也是重心，则 BM ，BO ， ，又 N 为 BC 的中点，PD2DN，D 到面 PAB 的距离为 ，而 ， 故答案为： 第 10 页（共 27 页）【点评】本题考查棱柱、棱锥及棱台的体积，考查学生的空间想象能力和思维能力，训练了等积法在求多面体体积中的应用，是中档题10 （5 分）设ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c 且 acosBbcosA c，则 4 【分析】先根据正弦定理得到 sinAcosBsin BcosA sinC，再由两角和与差的正弦公式进行化简可得到 sinAco
18、sB4sin BcosA，然后转化为正切的形式可得到答案【解答】解：由 acosBbcosA c 及正弦定理可得sinAcosBsinBcos A sinC，即 sinAcosBsin BcosA sin（A +B） ，即 5（sinAcosBsinBcos A）3（sin AcosB+sinBcosA） ，即 sinAcosB4sinBcos A，因此 tanA4tanB，所以 4故答案为：4【点评】本题主要考查正弦定理的应用和切化弦的基本应用三角函数的公式比较多，要注意公式的记忆和熟练应用11 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：（x+1） 2+y22，点 A（2，0） ，
19、若圆C 上存在点 M，满足 MA2+MO210，则点 M 的纵坐标的取值范围是 【分析】设出 M 的坐标，由 MA2+MO210 可得 M 的轨迹，联立 求得交点坐标，则点 M 的纵坐标的取值范围可求【解答】解：如图，设 M（x，y） ，第 11 页（共 27 页）由 MA2+MO2 10，得（x2） 2+y2+x2+y210，（x1） 2+y24，联立 ，解得 或 点 M 的纵坐标的取值范围是 故答案为： 【点评】本题考查直线与圆、圆与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题12 （5 分）如图，扇形 AOB 的圆心角为 90，半径为 1，点 P 是圆弧 上的动点
20、，作点P 关于弦 AB 的对称点 Q，则 的取值范围为 1，1 【分析】以 O 为坐标原点， OA 为 x 轴，OB 为 y 轴建立坐标系，设POA，则 P 的坐标为（cos ，sin ） ，0 90，求得 A，B 的坐标和直线 AB 的方程，由对称求得 Q 的坐标，运用向量数量积的坐标表示，以及三角函数的变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到所求范围【解答】解：根据题意，以 O 为坐标原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴建立坐标系，如图：设POA，则 P 的坐标为（ cos，sin） ，090，A（1，0） ，B （0，1） ，直线 AB 的方程为 x+y1，第 12 页（共
21、 27 页）设 Q（m，n） ，由 （cos +m）+ （sin +n）1， 1，解得 m1sin ，n1cos，即 Q（1sin ，1cos ） ，cos（1sin ）+sin（1cos）sin +cos 2sincos，令 tsin+cos sin（ +45） ，由 +4545，135 ，sin（+45） ，1，t sin（+45）1， ，又 2sincost 21，t 2+t+1（t ） 2+ 在 t1， 递减，可得 t1，取得最大值 1，t 时，取得最小值 1 ，则 的范围是 1， 1故答案为： 1，1【点评】本题考查向量数量积的计算，关键是设出 P 的坐标，进而推出 Q 的坐标，考查
22、换元法的运用，以及正弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题13 （5 分）已知函数 ，若存在实数 abc，满足 f（a）f（b）f（c ） ，则 af（a） +bf（b）+cf（c）的最大值是 2e 212 【分析】根据 f（x ）的函数图象判断 a，b，c 的关系即范围，用 c 表示出 af（a）+bf（b）+cf（ c） ，根据函数单调性求出最大值【解答】解：作出 f（x ）的函数图象如图所示：存在实数 abc，满足 f（a）f（b）f （c） ，a+b6，第 13 页（共 27 页）af（a）+bf（b）+ cf（c）（a+b+c）f（c ）（c6） lnc，由函数图象可知： ce 2，
23、设 g（c）（c 6）lnc，则 g（c）lnc+1 ，显然 g（c）在（ ，e 2上单调递增，g（e）2 0，g（e 2）3 0，g（c）在（ ，e 2上存在唯一一个零点，不妨设为 c0，在 g（c）在（ ，c 0）上单调递减，在（c 0，e 2上单调递增，又 g（ ） （ 6）0，g（e 2）2（e 26）0，g（c）的最大值为 g（e 2）2e 212故答案为：2e 212【点评】本题考查了分段函数的图象，考查函数单调性的判断与最值计算，属于中档题14 （5 分）已知 a，b 为正实数，且（ab） 24（ab） 3，则 的最小值为 【分析】直接利用代数式的恒等变换和基本不等
24、式求出结果【解答】解：已知 a，b 为正实数，且（ab） 24（ab） 3，则：（a+b） 24（ab） 3+4ab，所以： 2 故答案为：2 【点评】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，基本不等式的应用二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必第 14 页（共 27 页）要的文字说明、证明过程或演算步骤15 （15 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，ADB90，CBCD，点 E 为棱 PB 的中点（1）若 PBPD，求证：PCBD；（2）求证：CE平面 PAD【分析】 （1）取 BD 的中点 O，连结 CO，PO 推导出 BDCO，BDPO 从
25、而 BD平面 PCO由此能证明 PCBD（2）由 E 为 PB 中点，连 EO，则 EOPD ，从而 EO 平面 PAD，推导出 COAD ，从而 CO平面 PAD进而平面 CEO平面 PAD，由此能证明 CE平面 PAD【解答】证明：（1）取 BD 的中点 O，连结 CO，PO，因为 CDCB，所以CBD 为等腰三角形，所以 BDCO因为 PBPD ，所以PBD 为等腰三角形，所以 BDPO又 POCOO，所以 BD平面 PCO因为 PC平面 PCO，所以 PCBD 解：（2）由 E 为 PB 中点，连 EO，则 EOPD ，又 EO平面 PAD，所以 EO平面 PAD由ADB90，以及 B
26、DCO，所以 COAD ，又 CO平面 PAD，所以 CO平面 PAD又 COEOO，所以平面 CEO平面 PAD，而 CE平面 CEO，所以 CE 平面 PAD第 15 页（共 27 页）【点评】本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查函数与方程思想，考查函数与方程思想，是中档题16 （15 分）在ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设ABC 的面积为S，且 （1）求B 的大小；（2）设向量 （sin2A，3cosA） ， （3，2cosA） ，求 的取值范围【分析】 （1）根据题意，由三角形的面积公式可得 ，变形可得所
27、以 由同角三角函数的基本关系式分析可得答案；（2）根据题意，由数量积的坐标计算公式可得 3 sin（2A ） ，进而结合三角函数的性质可得答案【解答】解：（1）由题意，ABC 中，有 ，则有 ，变形可得 ，所以 因为 sinB0，所以 cosB0，所以 又 0B，所以 （2）由向量 （sin2A，3cosA） ， （3，2cosA） ，则有 由（1）知 ，所以 ，所以 所以 所以 所以 即取值范围是 【点评】本题考查三角形中的几何计算，涉及向量数量积的计算以及三角函数的恒等变形的应用，关键是17 （15 分）如图（ 1）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（2）所示
28、的数学模型索塔 AB，CD 与桥面 AC 均垂直，通过测量知两索塔的高度均为 60m，桥面 AC 上一点 P 到索塔 AB，CD 距离之比为 21：4，且 P 对两塔顶第 16 页（共 27 页）的视角为 135（1）求两索塔之间桥面 AC 的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数 a） ，且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数 b） 问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值【分析】 （1）设 AP21t，CP4t ， （t0） ，APB，CPD，运用正切函数的定
29、义和两角和的正切公式，解方程即可得到 t，可得 AC 的长；（2）设 APx，点 P 处的承重强度之和为 L（x ） 由反比例定义可得函数 L（x） ，运用导数求得单调区间，进而得到所求最小值【解答】解：（1）设 AP21t ，CP 4t ， （t0） ，记APB ， CPD，则 ，由 tan（+ ）tan45 1，化简得 7t2125t3000，解得 t20 或 t （舍去） ，所以 ACAP+PC2520500答：两索塔之间的距离 AC 500 米（2）设 APx，点 P 处的承重强度之和为 L（x ） 则 L（x）60 + ，x （0，500） ，即 L（x）60ab + ，x （0，5
30、00） ，第 17 页（共 27 页）记 t（x） + ，t（x） + ，令 t（x）0 ，解得 x250，当 x（0，250 ） ，t（x ） 0，t （x）单调递减；当 x（250，500 ） ，t（x ） 0，t （x）单调递增，所以 x250 时，t（x）取到最小值，L（x）也取到最小值 答：两索塔对桥面 AC 中点处的 “承重强度”之和最小，且最小值为 【点评】本题考查解三角形在实际问题中的运用，考查函数的最值的求法，注意运用导数求出单调区间，考查化简变形运算能力，属于中档题18 （15 分）如图，椭圆 的离心率为 ，焦点到相应准线的距离为 1，点 A，B，C 分别为椭圆的左顶点、右
31、顶点和上顶点，过点 C 的直线 l 交椭圆于点D，交 x 轴于点 M（x 1，0） ，直线 AC 与直线 BD 交于点 N（x 2，y 2） （1）求椭圆的标准方程；（2）若 ，求直线 l 的方程；（3）求证：x 1x2 为定值【分析】 （1）由椭圆的离心率为 ，焦点到对应准线的距离为 1可得： ，c1，a 2b 2+c2，解出即可得出（2）由（1）知 C（0，1） ，设 D（x 0，y 0） ，由 ，得 2y01，y 0 ，代入椭圆方程得： + 1，解得 x0即可得出 l 的方程（3）设 D 坐标为（x 3，y 3） ，由 C（0，1） ，M（x 1，0）可得直线 CM 的方程：yx+1，与
32、椭圆方程联立椭圆方程解出可得直线 BD 的方程，直线 AC 方程，联立解出第 18 页（共 27 页）即可得出【解答】 （1）解：由椭圆的离心率为 ，焦点到对应准线的距离为 1可得： ， c1，a 2b 2+c2，解得 a ，c1b椭圆的标准方程为： +y21（2）解：由（1）知 C（0， 1） ，设 D（x 0，y 0） ， ，得 2y01，y 0 ，代入椭圆方程得： + 1，解得 x0 D ，l 的方程为：y x+1（3）证明：设 D 坐标为（x 3，y 3） ，由 C（0，1） ，M（x 1，0）可得直线 CM 的方程：y x+1，联立椭圆方程得： ，解得 x3 ，y 3 由 B（ ，0
33、） ，得直线 BD 的方程： y （x ） ，直线 AC 方程为：y x+1，联立得： x2 ，从而 x1x22 为定值【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、方程组的解法、向量运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题19 （15 分）已知函数 f（x ）x 3+ax2+bx+1，a，b R第 19 页（共 27 页）（1）若 a2+b0，当 a 0 时，求函数 f（x ）的极值（用 a 表示） ；若 f（ x）有三个相异零点，问是否存在实数 a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出 a 的值；若不存在，请说明理由；（2）函数 f（x ）图象上点 A
34、 处的切线 l1 与 f（x）的图象相交于另一点 B，在点 B 处的切线为 l2，直线 l1，l 2 的斜率分别为 k1，k 2，且 k24k 1，求 a，b 满足的关系式【分析】 （1）求出 f（x ） 3x2+2axa 2，由 a2+b 0，得 f（x ）3x 2+2axa 2，由此利用导数性质能求出 f（x）的极值当 a 0 时， b0，此时 f（x）x 3+1 不存在三个相异零点；当 a0 时，f （x ）的极小值为 f（a）1+a 3，f（x）的极大值为 f（ ）1 要使 f（x）有三个不同零点，则必须有（1+a 3） （1 ）0，即 a31 或 a3 由此能求出存在这样实数 a 满
35、足条件（2）设 A（m，f（m） ） ，B（ n，f（n） ） ，则 ， ，m 2+mn+n2+a（m +n）+b，由此可得 na2m ，从而能推导出a23b【解答】解：（1）函数 f（x）x 3+ax2+bx+1，a，bRf（x）3 x2+2axa 2，a 2+b0，f（x ）3x 2+2axa 2，令 f（x）0 ，解得 x ，或 xa由 a0 知，x （，a） ，f（x）0，f （x）单调递增，x（a， ） ， f（x ）0 ，f （x）单调递减，x（ ，+） ，f（x ）0 ，f （x）单调递增，f（x）的极大值为 f（a）1+a 3，f （x）的极小值为 f（ ）1 当 a 0 时，
36、 b0，此时 f（x）x 3+1 不存在三个相异零点；当 a0 时，与同理可得 f（x）的极小值为 f（a）1+a 3，f（x）的极大值为第 20 页（共 27 页）f（ ）1 要使 f（x）有三个不同零点，则必须有（1+a 3） （1 ）0，即 a31 或 a3 不妨设 f（x）的三个零点为 x1，x 2，x 3，且 x1x 2x 3，则 f（x 1）f（x 2）f（x 3）0，f（x 1） ，得（x 2x 1） （ ）+a（x 2x 1） （x 2+x1）a 2（x 2x 1）0，x 2x 10， + 0，同理 0，得 x2（x 3x 1）+（x 3x 1） （x 3+x1）+ a（x 3
37、x 1） 0，x 3x 10，x 2+x3+x1+a 0，又 x1+x32x 2， f（ ）0，即 ，即 1，存在这样实数 a 满足条件（2）设 A（m，f（m） ） ，B（ n，f（n） ） ，则 ， ，又 m 2+mn+n2+a（m+n）+b，由此可得 3m2+2am+bm 2+mn+n2+a（m+ n）+b，化简得 na2m，k 23（a2m ） 2+2a（ a2m ）+b12m 2+8am+a2+b，12m 2+8am+b+a24（3m 2+2am+b） ，a 23b【点评】本题考查函数的极值、实数值的求法，考查两数关系的判断，考查导数性质、等差数列、不等式性质等基础知识，考查函数与方
38、程思想，考查运算求解能力，是中档第 21 页（共 27 页）题20 （15 分）已知等差数列a n的首项为 1，公差为 d，数列 bn的前 n 项和为 Sn，且对任意的 nN*，6S n9b na n2 恒成立（1）如果数列S n是等差数列，证明数列b n也是等差数列；（2）如果数列 为等比数列，求 d 的值；（3）如果 d3，数列c n的首项为 1，c nb nb n1 （n2） ，证明数列a n中存在无穷多项可表示为数列c n中的两项之和【分析】 （1）由题意设数列S n是等差数列的公差为 d ，6S n9b na n2 和6Sn1 9b n1 a n1 2，求解b n也是等差数列；（2）
39、根据 6Sn9b na n2 和 6Sn1 9b n1 a n1 2，建立关系，数列 为等比数列，即可求解 d 的值；（3）借用（2）中的关系，求解b n的通项，c nb nb n1 （n2） ，可得 cn，即可证明【解答】解：（1）设数列S n的公差为 d，由 6Sn9b na n2，6Sn1 9b n1 a n1 2， （n2）得 6（ SnS n1 ）9 （b nb n1 ）（a na n1 ）等差数列a n的首项为 1，公差为 d，6d9（b nb n1 ）d所以：b nb n1 为常数，所以b n为等差数列（2）由 得 6bn9（b nb n1 ）d，即 3bn9b n1 +d，所以
40、： 3+ 是与 n 无关的常数，所以 1 或 为常数第 22 页（共 27 页）当 10 时，d3，符合题意；当 为为常数时，在 6Sn9b na n2 中令 n1，则 6a19b 1a 12又 a11，解得 b11所以 此时 3+ 1，解得 d6；综上，d3 或 d6（3）当 d3 时，a n3n2，由（2）得数列 为等比数列是以 为首项，公比为 3 的等比数列，所以即当 n2 时，c nb nb n1 3 n1当 n1 时，也满足上式，所以 cn3 n1 设 anc ic j，则 3n23 i1 +3j1 ，即 3n3 i1 +3j1 2如果 i2，因为 3n 为 3 的倍数， 3i1 +
41、3j1 为 3 的倍数，所以 2 也为 3 的倍数，矛盾所以 i1，则 3n3+3 j1 ，即 n1+3 j2 （j 2，3，4）故得数列a n中存在无穷多项可表示为数列c n中的两项之和【点评】本题考查了等比数列的通项公式与前 n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题（附加题） 【选做题】在 21，22，23，24 四小题中只能选做两题，每小题 0 分，共计 20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修 4-1：几何证明选讲第 23 页（共 27 页）21如图所示，AB 为O 的直径，AE 平分BAC 交O 于 E 点，过 E 作O 的切线交AC 于点
42、 D，求证：ACDE【分析】连接 OE，由 ED 是 O 切线，得到 OEED ，由 OAOE，推导出得到EADOEA，从而 OEAC ，由此能证明 ACDE【解答】证明：连接 OE，因为 ED 是 O 切线，所以 OEED 因为 OAOE ，所以OAE OEA 又因为 AB 为O 的直径，AE 平分BAC 交O 于 E 点，所以OAEEAD ，所以EADOEA ，所以 OEAC，故 ACDE【点评】本题考查两直线垂直的证明，考查圆、切线性质等基础知识，是中档题选修 4-2：矩阵与变换22已知矩阵 的一个特征值为 3，求 M1 【分析】根据矩阵特征的性质：|EM|0，即可求得 x 值，求得 M
43、，根据二阶矩阵的求法，即可求得 M1 【解答】解：由题意可知：|EM|0，即 0，得（2） （ x）40 的一个解为 3，代入得 x1，第 24 页（共 27 页）M ，则|M|6，M 1 【点评】本题考查矩阵特征值的求法，二阶矩阵逆矩阵的求法，考查转化思想，属于基础题选修 4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 为参数） 以原点 O为极点，以 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为，已知圆心 C 到直线 l 的距离等于 ，求 a 的值【分析】圆 C 的参数方程消去参数 t，得到圆的普通方程，求出直线 l 的直角坐标方程，依题意，圆心
44、C 到直线 l 的距离等于 ，由此利用点到直线的距离公式能求出 a【解答】解：圆 C 的参数方程为 为参数） 圆 C 消去参数 t，得到圆的普通方程为（x3） 2+（y+2） 24，由 ，得 cos+sina0，所以直线 l 的直角坐标方程为 x+ya0依题意，圆心 C 到直线 l 的距离等于 ，即 ，解得 a1 或 a3【点评】本题考查实数值的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题选修 4-5：不等式选讲24已知实数 a，b，c 满足 a+2b+c1，a 2+b2+c21，求证： 【分析】对于“积和结构”或“平方和结构” ，通常
45、构造利用柯西不等式求解即可【解答】证明：因为 a+2b+c1，a 2+b2+c21，所以 a+2b1c，a 2+b21c 2由柯西不等式：（1 2+22） （a 2+b2）（a+2 b） 2，第 25 页（共 27 页）5（1c 2）（1c ） 2，整理得，3c 2c 20，解得 c 1所以 c1【点评】柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构” ，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造【必做题】第 25 题、第 26 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤25甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为 ，乙、丙做对该题的概率分别为 m，n（ mn） ，且三位学生能否做对相互独立，设 X 为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X 0 1 2 3P a b（1）求 m，n 的值；（2）求 X 的数学期望【分析】 （1）根据相互独立事件的概率公式列方程组求出 m，n；（2）求出 a，b 的值，再计算 E（X） 【解答】解：（1）由题意，得 ，又 mn，解得 m ，n （2）由题意，a + + ，b1 ，E（X）0 +1 +2 +3