1、2019 年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷一、填空题：本题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1 （5 分）已知集合 Ax|1x3） ，B （x|2x4） ，则 AB 2 （5 分）若复数 （i 为虚数单位） ，且实部和虚部相等，则实数 a 的值为 3 （5 分）某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为12，13 ） ，13，14） ，14 ，15） ，15，16） ，16 ，17） ，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组、 ，
2、第二组，第五组，如图市根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有 20 人，则第三组中人数为 4 （5 分）如图是某算法的伪代码，输出的结果 S 的值为 5 （5 分）现有 5 件相同的产品，其中 3 件合格，2 件不合格，从中随机抽检 2 件，则一件合格，另一件不合格的概率为 6 （5 分）等差数列a n中，a 410，前 12 项的和 S12 90，则 a18 的值为 7 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 是抛物线 y24x 与双曲线第 2 页（共
3、 30 页）1（b0）一个交点，若抛物线的焦点为 F，且 FA5，则双曲线的渐近线方程为 8 （5 分）若函数 f（x ）2sin（x+） （0，0 ）的图象经过点（ ） ，且相邻两条对称轴间的距离为 ，则 f（ ）的值为 9 （5 分）已知正四棱锥 PABCD 的所有棱长都为 2，则此四棱锥体积为 10 （5 分）已知函数 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f（x）x 23x，则不等式 f（x 1 ）x +4 的解集是 11 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中
4、，已知点 A（1，0） ，B（5，0） 若圆M：（x4） 2+（y m） 24 上存在唯一点 P，使得直线 PA，PB 在 y 轴上的截距之积为 5，则实数 m 的值为 12 （5 分）已知 AD 时直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高，点 P 在 DA 的延长线上，且满足 若 ，则 的值为 13 （5 分）已知函数 f（x ） 设 g（x）kx+1，且函数 yf（x）g（x ）的图象经过四个象限，则实数 k 的取值范围为 14 （5 分）在ABC 中，若 sinC2 cos AcosB，则 cos2A+c
5、os2B 的最大值为 二、解答题：本答题共 6 分，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内.15 （14 分）设向量 （cos，sin ） ， （cos ，sin） ，其中 0，0 ，且 + 与 相互垂直（1）求实数 的值；（2）若 ，且 tan2，求 tan的值16 （14 分）如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，ABAC，A 1CBC 1，AB 1BC 1，D，E分别是 AB1，BC 的中点求证：（1）DE平面 ACC1A1；（2）AE平面 BCC1B1；第 3 页（共 30 页）17 （14 分）某公园
6、内有一块以 O 为圆心半径为 20 米的圆形区域为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形 OAB 区域，其中两个端点 A，B 分别在圆周上；观众席为梯形 ABQP 内且在圆 O 外的区域，其中 APAB BQ，PAB QBA120，且 AB，PQ 在点 O 的同侧为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台 O 处的距离都不超过 60 米设问：对于任意 ，上述设计方案是否均能符合要求？18 （16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 的离心率为，且椭圆 C 短轴的一个顶点到一个焦点的距离等于 （1）求椭圆 C 的方程；（2）设经过点 P（
7、2，0）的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，点 Q（m，0） 若对任意直线 l 总存在点 Q，使得 QAQB，求实数 m 的取值范围；设点 F 为椭圆 C 的左焦点，若点 Q 是FAB 的外心，求实数 m 的值第 4 页（共 30 页）19 （16 分）已知函数 （1）当 a2 时，求函数 f（ x）的图象在 x1 处的切线方程；（2）若对任意 x1，+ ） ，不等式 f（x）0 恒成立，求 a 的取值范围；（3）若 f（x）存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求 a 的取值范围20 （16 分）已知数列a n各项均为正数，且对任意 nN*，都有（1）若 a1，2a 23a 3 成等
8、差数列，求 的值；（2） 求证：数列 an为等比数列；若对任意 nN*，都有 ，求数列a n的公比 q 的取值范围【选做题】在 21、22、23 三小题中只能选做 2 题，每小题 0 分，共计 20 分，请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修 4-2：矩阵与变换21已知矩阵 A ， ， （1）求 a，b 的值；（2）求 A 的逆矩阵 A1 选修 4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程 （t 为参数） ，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，点 P 是曲线 C 上的任意一点求点 P 到直线 l 的距离的最大值选修 4-5：
9、不等式选讲23解不等式：|2x 1|x2【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共 20 分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写第 5 页（共 30 页）出文字说明、证明过程或演算步骤.24如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口 A 开始到出口 B，每遇到一个岔路口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的现有甲、乙、丙、丁共 4 名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口 A 的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口 B 中，设点 C 是其中的一个交叉路口点（1）求甲经过点 C 的概率；（2）设这 4 名游客中恰有 X 名游客都是经过点 C，求随机变量
10、X 的概率分别和数学期望25平面上有 2n（n3，n N*）个点，将每一个点染上红色或蓝色从这 2n 个点中，任取 3 个点，记 3 个点颜色相同的所有不同取法总数为 T（1）若 n3，求 T 的最小值；（2）若 n4，求证： 第 6 页（共 30 页）2019 年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1 （5 分）已知集合 Ax|1x3） ，B （x|2x4） ，则 AB x|1x4 【分析】利用并集定义直接求解【解答】解：集合 Ax|1x3） ，B（x
11、 |2x4） ，ABx|1 x4故答案为：x|1x 4【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2 （5 分）若复数 （i 为虚数单位） ，且实部和虚部相等，则实数 a 的值为 2 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由 ，得 zi（a+2i） 2+ai，又复数 的实部和虚部相等，a2故答案为：2【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3 （5 分）某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为12，13 ） ，13，14） ，14 ，15） ，15，
12、16） ，16 ，17） ，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组、 ，第二组，第五组，如图市根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有 20 人，则第三组中人数为 18 第 7 页（共 30 页）【分析】由频率分布直方图得第一组与第二组的频率和为 0.4，由第一组与第二组共有20 人，得到样本单元数 n 50，再由第三组的频率为 0.36，能求出第三组中人数【解答】解：由频率分布直方图得：第一组与第二组的频率和为：1（0.36+0.16+0.08）0.4 ，第一组与第二组共有 20 人，样本单元数 n 50，第三组的频率为 0.36，第三组中人数为 500.3618故答案为：18
13、【点评】本题考查第三组人数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算能力，是基础题4 （5 分）如图是某算法的伪代码，输出的结果 S 的值为 16 【分析】模拟算法的运行，即可得出输出的 S 值【解答】解：根据算法的伪代码知，该程序运行后输出的是S1+3+5+716故答案为：16第 8 页（共 30 页）【点评】本题考查了伪代码与程序运行问题，是基础题5 （5 分）现有 5 件相同的产品，其中 3 件合格，2 件不合格，从中随机抽检 2 件，则一件合格，另一件不合格的概率为 【分析】分别求出基本事件的总数和要求事件包含的基本事件的个数，根据古典概型的概率计算
14、公式即可得出【解答】解：从 5 件产品中任意抽取 2 有 10 种抽法，其中一件合格、另一件不合格的抽法有 6 种根据古典概型的概率计算公式可得一件合格，另一件不合格的概率 P 故答案为 【点评】熟练掌握古典概型的概率计算公式和排列与组合的计算公式是解题的关键6 （5 分）等差数列a n中，a 410，前 12 项的和 S12 90，则 a18 的值为 4 【分析】由等差数列的通项公式及前 n 项和公式求出首先和公差，进一步可得结果【解答】解： ， ，a 18a 1+17d13174故答案为：4【点评】本题考查了等差数列的通项公式及前 n 项和公式，属基础题7 （5 分）在平面直角坐标系 xO
15、y 中，已知点 A 是抛物线 y24x 与双曲线1（b0）一个交点，若抛物线的焦点为 F，且 FA5，则双曲线的渐近线方程为 y x 【分析】求出 A 的坐标，代入双曲线方程求出 b，然后求解双曲线的渐近线方程【解答】解：抛物线 y24x 的焦点为 F，且 FA5，可得 F（1，0）则 A（4，4） ，点 A 是抛物线 y24x 与双曲线 1（b0）一个交点，a2，可得 ，解得 b ，第 9 页（共 30 页）所以双曲线的渐近线方程为：y x故答案为：y x【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力8 （5 分）若函数 f（x ）2sin（x+） （0，0 ）的图象经过点（
16、 ） ，且相邻两条对称轴间的距离为 ，则 f（ ）的值为 【分析】根据函数 f（x ）的图象与性质求出 T、 和 的值，写出 f（x）的解析式，求出 f（ ）的值【解答】解：函数 f（x ）2sin（x+）图象相邻两条对称轴间的距离为 ， ，解得 T ， 2 ；又函数 f（x）的图象过点（ ） ，2sin（2 +）2， + +2k，kZ；又 0 ， ，f（x）2sin（2x + ） ；f（ ）2sin（2 + ）2cos 故答案为： 【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题9 （5 分）已知正四棱锥 PABCD 的所有棱长都为 2，则此四棱锥体积为
17、 【分析】画出图形，直接由已知结合棱锥体积公式求解【解答】解：棱锥的棱长都为 2，四棱锥 PABCD 为正四棱锥，则 AO ，在 Rt POA 中，可得 PO ，棱锥 PABCD 体积 VPABCD 22 第 10 页（共 30 页）故答案为： 【点评】本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题10 （5 分）已知函数 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f（x）x 23x，则不等式 f（x 1 ）x +4 的解集是 （4，+） 【分析】首先，根据函数 f（ x）是奇函数，求解当 x0 时，函数的解析式，然后，分别令 x10 和
18、x10 两种情形进行讨论，求解不等式的解集【解答】解：函数 f（x ）是奇函数，令 x0，则x 0，f（x） （x） 2+3xx 2+3xf （x） ，f（x）x 23x， ，当 x10，即 x1，f（x1） （x1） 23（x1）x 2x +2，f（x1） x+4，x 22（舍去）当 x10，即 x1，f（x1）（ x1） 23（x1）x 25x +4，f（x1） x+4x 24x0x0 或 x4，又 x1，x4故答案为：（4，+） 【点评】本题重点考察了函数为奇函数，且解析式为分段函数问题，不等式的性质等知识，考查比较综合，属于中档题第 11 页（共 30 页）11 （5 分）在平面直角坐
19、标系 xOy 中，已知点 A（1，0） ，B（5，0） 若圆M：（x4） 2+（y m） 24 上存在唯一点 P，使得直线 PA，PB 在 y 轴上的截距之积为 5，则实数 m 的值为 或 【分析】根据题意，设 P 的坐标为（a，b） ，据此求出直线 PA、PB 的方程，即可得求出两直线 y 轴上的截距，分析可得（ ）（ ）5，变形可得 b2+（a2）29，即可得 P 的轨迹方程为（x2） 2+y29，据此分析可得圆 M 与（x 2） 2+y29有且只有一个公共点，即两圆内切或外切或圆（x2） 2+y29 与圆 M（x 4）2+（ym） 24 相交与点 B，据此分别分析可得 m
20、的值，综合可得答案【解答】解：根据题意，设 P 的坐标为（a，b） ，直线 PA 的方程为 y （x +1） ，其在 y 轴上的截距为 ，直线 PB 的方程为 y （x 5） ，其在 y 轴上的截距为 ，若点 P 满足使得直线 PA，PB 在 y 轴上的截距之积为 5，则有（ ）（ ）5，变形可得 b2+（a2） 29，则点 P 在圆（x 2） 2+y29 上， （y 0）若圆 M：（x4） 2+（ym） 24 上存在唯一点 P，则圆 M 与（x2） 2+y29 有且只有一个公共点，即两圆内切或外切或圆（x2） 2+y29 与圆 M（x4） 2+（y m） 24 相交与点 B，若两圆内切或外切
21、，又由圆心距为 2，则两圆只能外切，则有 4+m225 ，解可得：m ，验证可得：连个圆的切点不是 A、B 点，故 m ，若圆（x2） 2+y29 与圆 M（x4） 2+（ym） 24 相交与点 B，则 B 在圆 M 上，则有（ 54 ） 2+m24，解可得 m ，综合可得：m 或 m ，故答案为： 或 【点评】本题考查轨迹的求法，涉及圆与圆的位置关系，关键是求出 P 的轨迹，属于综第 12 页（共 30 页）合题12 （5 分）已知 AD 时直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高，点 P 在 DA 的延长线上，且满足 若 ，则 的值为 2 【分析】利用 + ， + 代入已知中可求得| |2
22、 ，再根据数量积可得结果【解答】解：如图：（ + ） （ + + + ） 2 + + 2| | |+| | |cosBAD+| | |cosCAD2| | |+| | | +| | |2| | |+2| |22 | |+44 ，| | 2 ， （ + ）（ + ） 2+ + + | |2+| | |cosCAD+| | |cosBAD+0| |2+| | | +| | | |2+| | |+| | |（2 ） 2+（2 ） （ + ）2故答案为：2【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题第 13 页（共 30 页）13 （5 分）已知函数 f（x ） 设 g（x）kx+1，且函
23、数 yf（x）g（x ）的图象经过四个象限，则实数 k 的取值范围为 （9， ） 【分析】对 x 的符号分别进行讨论，判断 yf （x）g（x）的单调性，根据图象分别象限列不等式得出 k 的范围【解答】解：设 h（x）f（x）g（x） ，（1）当 x0 时，h（x ）x 3（12+k）x+2，h（x）3x 2（12+ k） ，当 12+k0 即 k12 时，h（x ）0 在（0，+ ）上恒成立，h（x）在（0，+）上单调递增，又 h（0）20，h（x）不经过第四象限，不符合题意，当 12+k0 即 k12 时，令 h（x ）0 可得 x ，当 0x 时，h（x）0，当 x 时，h
24、（x）0，h（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+）上单调递增当 x 时，h（x ）取得极小值 h（ ）2（1 （4+ ） ） h（x）的图象经过第四象限，2（1 （4+ ） ）0， 1，即 k9（2）当 x0 时，h（x ）|x+3|kx1 ，若 ，即 k1 时，则 h（x）在（，3上单调递减，在（ 3，0上单调递减，又 h（0）20，且 h（x）的图象经过第三象限，h（3）3（k+1）40，解得 k （舍） 若 ，即 k1 时，h（x）在（，3上单调递增，在（ 3，0上单调递增，第 14 页（共 30 页）又 h（0）2此时 h（x）的图象必经过第二和第三象限，复合题意若 ，即1k1 时
25、，h（x）在（，3上单调递减，在（ 3，0上单调递增，若 h（x）的图象经过第二和第三象限，则 3（k+1）40 或3（1k）+20，解得 k ，故1k 若1k0 即 k1，则 h（x ） ，显然 h（x）的图象经过第二和第三象限，复合题意；若 1k0 即 k1，则 h（x） ，显然 h（x）的图象不经过第四象限，不符合题意综上，k 的取值范围是：（9， ） 故答案为：（9， ） 【点评】本题考查了函数单调性的判断，考查函数极值计算，考查分类讨论思想的应用，属于中档题14 （5 分）在ABC 中，若 sinC2 cos AcosB，则 cos2A+cos2B 的最大值为 &nbs
26、p;【分析】直接利用三角函数关系是的恒等变换和同角三角函数关系式的应用及基本不等式的应用求出结果【解答】解：sinC2 cos AcosB，故：sin（A+B ）2cosAcosB，整理得：sinAcosB+cosAsinB2cos AcosB，则：tanA+tanB2所以：cos 2A+cos2B ， + ，第 15 页（共 30 页） ，由于（tanAtanB） 22tanAtanB+50，设 62tanAtanBt（t0） ，故： （当且仅当 t4 时等号成立） ，故答案为 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，同角三角函数关系式的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能
27、力和转化能力，属于基础题型二、解答题：本答题共 6 分，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内.15 （14 分）设向量 （cos，sin ） ， （cos ，sin） ，其中 0，0 ，且 + 与 相互垂直（1）求实数 的值；（2）若 ，且 tan2，求 tan的值【分析】 （1）利用向量垂直，数量积为 0 以及平方关系式可得；（2）根据三角变换公式可得【解答】解：（1）由 + 与 互相垂直，可得（ + ）（ ） 2 20，所以 cos2+2sin210，又因为 sin2+cos21，所以（ 21）sin 20，因为 0 ，所以 sin20
28、，所以 210，又因为 0，所以 1（2）由（1）知 （cos，sin ） ，由 ，得 coscos+sinsin ，即cos（） ，因为 0 ，所以 0，所以 sin（ ） ，第 16 页（共 30 页）所以 tan（） ，因此 tantan（+） 【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题16 （14 分）如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，ABAC，A 1CBC 1，AB 1BC 1，D，E分别是 AB1，BC 的中点求证：（1）DE平面 ACC1A1；（2）AE平面 BCC1B1；【分析】 （1）连结 A1B，推导出四边形 AA1B1B 是平行四边形，DE A 1C
29、，由此能证明DE平面 ACC1A1（2）推导出 BC1平面 ADE，从而 AEBC 1，推导 AEBC，由此能证明 AE平面BCC1B1【解答】证明：（1）连结 A1B，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AA 1BB 1，且AA1BB 1，四边形 AA1B1B 是平行四边形，又D 是 AB1 的中点， D 是 BA1 的中点，在BA 1C 中，D 和 E 分别是 BA1 和 BC 的中点，DEA 1C，DE平面 ACC1A1，A 1C平面 ACC1A1，DE平面 ACC1A1解：（2）由（1）知 DEA 1C，A 1CDE D ，AB1，DE 平面 ADE，第 17 页（共 30 页）BC
30、1平面 ADE，AE 平面 ADE，AEBC 1，在ABC 中，AB AC，E 是 BC 的中点，AEBC ，AEBC 1，AEBC，BC 1BCB，AE平面 BCC1B1【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题17 （14 分）某公园内有一块以 O 为圆心半径为 20 米的圆形区域为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形 OAB 区域，其中两个端点 A，B 分别在圆周上；观众席为梯形 ABQP 内且在圆 O 外的区域，其中 APAB BQ，PAB Q
31、BA120，且 AB，PQ 在点 O 的同侧为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台 O 处的距离都不超过 60 米设问：对于任意 ，上述设计方案是否均能符合要求？【分析】过 O 作 OH 垂直于 AB，垂直为 H，在直角三角形 OHA 中，可求AH20cos， AB2AH40cos ，由图可知，点 P 处观众离点 O 处最远，在三角形OAP 中，由余弦定理，三角函数恒等变换的应用可得：OP 2800 sin（2+ ）第 18 页（共 30 页）+1600，由范围 （0， ） ，利用正弦函数的性质可求（ OP） max20 +20，由 20+2060，可求上述设计方案均能符合要求【解答】
32、（本题满分为 14 分）解：过 O 作 OH 垂直于 AB，垂直为 H，在直角三角形 OHA 中，OA 20，OAH，所以：AH20cos，因此： AB2AH 40cos ，4 分由图可知，点 P 处观众离点 O 处最远，5 分在三角形 OAP 中，由余弦定理可得：OP 2OA 2+AP22OAOPcos （ + ） ，7 分400+（40cos） 222040cos （ cos sin）400（6cos 2+2 sincos+1）400（3cos2+ sin2+4）800 sin（2+ ）+1600，10 分因为：（0， ） ，所以：2 时，即 时， （OP 2） max800 +1600，
33、即：（OP）max20 +20，12 分因为：20 +2060，所以：观众席内每一个观众到舞台 O 处的距离都不超过 60 米，13 分答：对于任意 ，上述设计方案均能符合要求 14 分【点评】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想的应用，属于中档题第 19 页（共 30 页）18 （16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 的离心率为，且椭圆 C 短轴的一个顶点到一个焦点的距离等于 （1）求椭圆 C 的方程；（2）设经过点 P（2，0）的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，点 Q（m，0）
34、 若对任意直线 l 总存在点 Q，使得 QAQB，求实数 m 的取值范围；设点 F 为椭圆 C 的左焦点，若点 Q 是FAB 的外心，求实数 m 的值【分析】 （1）依题意可得 ，解得即可求出椭圆方程，（2）设直线 l 的方程为 yk（x2） ，代入椭圆中，根据韦达定理，设 AB 的中点为 M（x 0，y 0） ，求出点 M 的坐标，再根据 QAQB 可得 QMl ，根据直线斜率的关系即可求出 m 的取值范围，Q 是 FAB 的外心，且 F（1，0） ，可得 QAQB QF，联立方程可得，根据韦达定理可得 x1+x24m，x 1x24m，即可求出 m 的值【解答】解：（1）依题意可得 ，解得
35、a22，b 21，故椭圆方程为 +y21第 20 页（共 30 页）（2）设直线 l 的方程为 yk（x2） ，联立 ，消去 y 整理得（2k 2+1）x 28 k2x+8k220，由（8k 2） 24（2k 2+1） （8k 22）0，解得 k ，设 A（x 1，y 2） ，B（x 2，y 2） ，x 1+x2 ，x 1x2 ，设 AB 的中点为 M（x 0，y 0） ，则有 x0 ，则 y0k （x 02） ，当 k0 时，QA QB，QM l，即 kQMl，即即 kQMl k1 ，解得 m ，当 k0 时，可得 m0，符合 m ，m ，由 0k 2 ，解得 0m ，Q 是FAB 的外心，
36、且 F（1，0） ，QAQB QF，设 A 或 B 点的坐标为（x ，y ）第 21 页（共 30 页）由 ，消去 y，可得 x24mx4m0，x 1，x 2 也是此时方程的两个根，x 1+x24m，x 1x24m， ，解得 k2m【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线的斜率，考查转化思想以及计算能力，考查了转化与化归思想，函数与方程的思想，属于中档题19 （16 分）已知函数 （1）当 a2 时，求函数 f（ x）的图象在 x1 处的切线方程；（2）若对任意 x1，+ ） ，不等式 f（x）0 恒成立，求 a 的取值范围；（3）若 f（x）存在极大值和极小值，且极大值小于极小值
37、，求 a 的取值范围【分析】 （1）代入 a 的值，根据 f（1） 以及 f（1） 0，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，结合函数恒成立确定 a 的范围即可；（3）通过讨论 a 的范围，结合函数的单调性结合函数的极值确定 a 的范围即可【解答】解：（1）a2 时，f（x ）lnx ，f（ x） ，则 f（1） ，又 f（1）0，故函数 f（x）在 x1 处的切线方程为 y （x1） ，即 x2y10；（2）f（x） lnx ，故 f（x） ，且 f（1）0，a0，1 2a1，第 22 页（共 30 页）当 4a24a 0 即 a1 时，f（x）0
38、 在（1，+）恒成立，故 f（x）在（1 ，+）递增，故 x1，+ ）时，f（x）f（1）0，故 a1 满足条件；当 4a24a 0 时，即 0a1 时，由 f（x）0 ，得 x112 （0，1） ，x 21+2 （1，+） ，当 x（1，x 2）时，f（x ）0，则 f（x）在（1，x 2）递减，故当 x（1，x 2）时，f（x ）f（1）0，这与 x1，+ ）时，f （x ）0 恒成立矛盾，故 0a1 不满足条件，综上，a 的范围是1，+） ；（3） 当 a 1 时，f（x）0 区间（0，+）恒成立，故 f（x）在（0 ，+）递增，故 f（x）不存在极值，故 a1 不满足条件，当 a1 时
39、，12a0，故函数 f（x）的定义域是（ 0，+） ，由 f（x）0 ，得 x112 （0，1） ，x21+2 （1，+） ，列表如下：x （ 0，x 1） x1 （x 1，x 2） x2 （x 2，+）f （x ） + 0 0 +f（ x） 递增 极大值 递减 极小值 递增由于 f（x）在（ x1，x 2）递减，此时极大值大于极小值，不合题意，故 a1 不满足条件；第 23 页（共 30 页）当 a 时，由 f（x ） 0，解得：x 2，列表如下：x （0，2） 2 （2，+）f（x） 0 +f（x ） 递减 极小值 递增此时 f（x）仅存在极小值，不合题意，故 a 时满足题意，当 0 a
40、时，函数 f（x）的定义域是（0，12a） （12a，+） ，且 0x 112 12a，x 21+2 12a，列表如下：x （0，x 1） x1 （x 1，12a）（12a，x2）x2 （x 2， +）f（x） + 0 0 +f（x） 递增 极大值 递减 递减 极小值 递增故 f（x）存在极大值 f（x 1）和极小值 f（x 2） ，此时 f（x 1） f（x 2）lnx 1 lnx 2+ ln ，0x 112ax 2，故 ln 0，x 1x 20，x 11+2a0，x 21+2a0，故 f（x 1）f（x 2）0，即 f（x 1）f （x 2） ，故 0a 满足题意，综上，a 的范围是（0，
41、 ） 【点评】本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题第 24 页（共 30 页）20 （16 分）已知数列a n各项均为正数，且对任意 nN*，都有（1）若 a1，2a 23a 3 成等差数列，求 的值；（2） 求证：数列 an为等比数列；若对任意 nN*，都有 ，求数列a n的公比 q 的取值范围【分析】 （1）由已知数列递推式得 ，因此 a1，a 2，a 3 成等差数列，设公比为 t，再由 a1，2a 2，3a 3 成等差数列列式求得 t 值，则 的值可求；（2） 由 ，得 ，两式相除得： ，进一步得到 ，两式再相除，得，可得 ，n2
42、，nN*，结合（1）知，由此可得数列a n为等比数列；当 0 q2 时，由 n1 时，可得 0a 11，求得数列通项公式，得到，可得 0q2 满足条件；然后说明 q2 时，不等式不成立，即可求得公比 q 的取值范围为【解答】 （1）解： ， ，因此 a1，a 2，a 3 成等差数列，设公比为 t，a 1，2a 2，3a 3 成等差数列，4a 2a 1+3a3，即 ，于是 4t1+3t 2，解得 t1 或 t 1 或 ；（2） 证明： ， ，第 25 页（共 30 页）两式相除得： ，即 （*） ，由（*）得： （*） ，两式相除得： ，即 ， ，即 ，n2，n N*，由（1）知， ， ，n N
43、*，即数列a n为等比数列；解：当 0q 2 时，由 n1 时，可得 0a 11， ，因此， ，0q2 满足条件；当 q2 时，由 ，得 ，整理得 q2，0a 11，a 1q+10，因此， （q1）2 n，即 ，由于 1，因此 n ，与任意 nN*恒成立矛盾q2 不满足条件综上，公比 q 的取值范围为（0，2【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了利用数列的函数特性证明数列不等式，属难题【选做题】在 21、22、23 三小题中只能选做 2 题，每小题 0 分，共计 20 分，请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修 4-2：矩阵与变换21已知矩阵 A
44、 ， ， 第 26 页（共 30 页）（1）求 a，b 的值；（2）求 A 的逆矩阵 A1 【分析】本题第（1）题可先用矩阵乘法算出 AB，然后根据矩阵相等的概念与 AB 进行比较即可得到 a，b 的值；第（2）题可先设 A1 然后根据逆矩阵公式AA1 E 计算出 a、b、c 、d 的值，即可得到 A1 【解答】解：（1）由题意，可知：ABA B ，解得： （2）由（1） ，可知：A 由题意，可设 A1 则由逆矩阵公式 AA1 E ，可得： ，即： ，解得： A 1 【点评】本题第（1）题主要考查矩阵乘法的计算及矩阵相等的概念；第（2）题主要考查根据逆矩阵公式求一个矩阵的逆矩阵本题属基础题选修
45、 4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程 （t 为参数） ，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，点 P 是曲线 C 上的任意一点求点 P 到直线 l 的距离的最大值第 27 页（共 30 页）【分析】先点到直线距离，再根据三角函数的性质求出最大值【解答】解：直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，消去 t 可得直线 l 的普通方程为： y+20，设 P（cos， sin） ，则点 P 到直线 l 的距离 d ，取 时， cos（ + ）1，此时 d 取最大值所以距离 d 的最大值为 【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲23解不等式：|2x 1|x2【分析】通过讨论 x 的范围，求出不等式的解集即可【解答】解：当 x 时，有 2x1x 2，解得：x3，当 x 时，有 12x x 2 ，解得：x ，综上，不等式的解集是x| x3 或 x 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道常规题【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共 20 分.请在答题卡指定