1、函数与导数热点问题（专项训练）1.已知函数 f(x)ln x ax 2x 有两个不同的零点，求实数 a 的取值范围.2.已知函数 f(x)2x 3ax 2bx3 在 x1 和 x2 处取得极值.(1)求 f(x)的表达式和极值；(2)若 f(x)在区间 m，m4上是单调函数，试求 m 的取值范围.3.已知函数 f(x)(ax 2x)e x，其中 e 是自然对数的底数，aR .(1)当 a0 时，解不等式 f(x)0；(2)当 a0 时，求整数 t 的所有值，使方程 f(x)x2 在t，t1上有解.4.(2019合肥一中质检)已知函数 f(x) .x aex(1)若 f(x)在区间 (，2)上为
2、单调递增函数，求实数 a 的取值范围；(2)若 a0，x 00 时，由 ln xax 2x0，得 a .x ln xx2令 r(x) ，则 r(x)的定义域为(0，).x ln xx2则 r(x) ，(1 1x)x2 （ln x x）2xx4 1 x 2ln xx3易知 r(1)0，当 00，r(x)是增函数，当 x1 时，r(x)0，x ln xx2r(x)maxr(1)1，所以 00，得 x2；令 f(x)0 时，解不等式 f(x)0；(2)当 a0 时，求整数 t 的所有值，使方程 f(x)x2 在t，t1上有解.解 (1)因为 ex0，(ax 2x )ex0，所以 ax2x 0.又因为
3、 a0，所以不等式化为 x 0.(x 1a)所以不等式 f(x)0 的解集为 . 1a，0(2)当 a0 时，方程即为 xexx2，由于 ex0，所以 x0 不是方程的解，所以原方程等价于 ex 10.令 h(x)e x 1，2x 2x因为 h(x)e x 0 对于 x(，0) (0，) 恒成立，2x2所以 h(x)在(，0)和(0 ，)内是单调递增函数，又 h(1)e30，h( 3)e 3 0，所以方程 f(x)x2 有且只有两个实数根，且分别在区间 1，2和 3，2上，所以整数t 的所有值为3，1.4.(2019合肥一中质检)已知函数 f(x) .x aex(1)若 f(x)在区间 (，2
4、)上为单调递增函数，求实数 a 的取值范围；(2)若 a0，x 00，当 xx0 时，(x)0，当 xx0 时，h(x)0 时，令 f(x)0，解得 x0.所以 f(x)在(0，)上单调递增；当 a0 时，显然无单调区间；当 a0，解得 x0，所以 f(x)在(0，)上单调递增.综上，当 a0 时，无单调区间；a0 时，单调递减区间为(，0)，单调递增区间为(0，).(2)令 a1，由(1) 可知 f(x)的最小值为 f(0)0，所以 f(x)0.所以 exx1( 当 x0 时取得“”).令 xn1，则 en1 n，所以 e0e1e2en1 123n，即 e n！，n（n 1）2两边进行 次方得(n！ ) 时，f(x)0，f( x)单调递增；当 x0，且 b0 ，即 b1 且 b ，12 12可得 b1，则有 ab2 ，即 ab 的取值范围是(，2).