1、函数与导数热点问题（解题指导）三年考情分析热点预测 真题印证 核心素养导数与函数的性质2017，21；2018，21；2017，21；2018，21数学运算、逻辑推理导数与函数的零点 2018，21(2) ；2018江苏，19 数学运算、直观想象导数在不等式中的应用2017，21；2017，21；2016，20；2018，21数学运算、逻辑推理审题答题指引1.教材与高考对接导数在不等式中的应用【题根与题源】 (选修 22 P32 习题 1.3B 组第 1 题(3)(4)利用函数的单调性证明下列不等式，并通过函数图象直观验证.(3)ex1x(x0)；(4)ln x0).【试题评析】 1.问题源于
2、求曲线 ye x 在(0，1) 处的切线及曲线 yln x 在(1，0) 处的切线，通过观察函数图象间的位置关系可得到以上结论，可构造函数 f(x)e xx1 与 g(x)xln x1 对以上结论进行证明.2.两题从本质上看是一致的，第(4)题可以看作第(3)题的推论.在第(3)题中，用“lnx”替换“x” ，立刻得到 x1ln x(x0 且 x1)，进而得到一组重要的不等式链： exx1x1ln x(x0且 x1).3.利用函数的图象(如图)，不难验证上述不等式链成立.【教材拓展】 试证明： exln x2.【探究提高】 1.法一中关键有三点：(1)利用零点存在定理，判定极小值点 x0 ；(
3、2) 确定(12，1)ex ，x 0ln x 0 的关系；(3) 基本不等式的利用.1x02.法二联想经典教材习题结论，降低思维难度，优化思维过程，简洁方便.【链接高考】 (2017全国卷)已知函数 f(x)ln xax 2(2a1) x.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 ax1，设 tf(x 1)f(x 2)(a2)( x1x 2)，试证明 t0.函数与导数热点问题（解题指导）三年考情分析热点预测 真题印证 核心素养导数与函数的性质2017，21；2018，21；2017，21；2018，21数学运算、逻辑推理导数与函数的零点 2018，21(2) ；2018江苏，19 数学运算、直观
4、想象导数在不等式中的应用 2017，21；2017，21；2016 数学运算、逻辑推理，20；2018，21审题答题指引1.教材与高考对接导数在不等式中的应用【题根与题源】 (选修 22 P32 习题 1.3B 组第 1 题(3)(4)利用函数的单调性证明下列不等式，并通过函数图象直观验证.(3)ex1x(x0)；(4)ln x0).【试题评析】 1.问题源于求曲线 ye x 在(0，1) 处的切线及曲线 yln x 在(1，0) 处的切线，通过观察函数图象间的位置关系可得到以上结论，可构造函数 f(x)e xx1 与 g(x)xln x1 对以上结论进行证明.2.两题从本质上看是一致的，第(
5、4)题可以看作第(3)题的推论.在第(3)题中，用“lnx”替换“x” ，立刻得到 x1ln x(x0 且 x1)，进而得到一组重要的不等式链： exx1x1ln x(x0且 x1).3.利用函数的图象(如图)，不难验证上述不等式链成立.【教材拓展】 试证明： exln x2.证明 法一 设 f(x)e xln x (x0)，则 f(x)e x ，令 (x)e x ，1x 1x则 (x)e x 0 在(0， )恒成立，1x2所以 (x)在(0，)单调递增，即 f(x)e x 在(0 ，)上是增函数，1x又 f(1)e10，f 2x0 时， f(x)0；当 02，x 0 .1x0 (12，1)故
6、 exln x 2.法二 注意到 ex1x(当且仅当 x0 时取等号)，x1ln x(当且仅当 x1 时取等号) ，e xx 11xln x，故 exln x2.【探究提高】 1.法一中关键有三点：(1)利用零点存在定理，判定极小值点 x0 ；(2) 确定(12，1)ex ，x 0ln x 0 的关系；(3) 基本不等式的利用.1x02.法二联想经典教材习题结论，降低思维难度，优化思维过程，简洁方便.【链接高考】 (2017全国卷)已知函数 f(x)ln xax 2(2a1) x.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 a0，故 f(x)在(0，)上单调递增，若 a0；(0， 12a)当 x
7、时，f(x )0；x(1 ，)时，g(x)0 时，g(x)0，从而当 a0.当 x0 时，g( x)g(ln 2)22ln 20，f(x)在0，)上单调递增，f (x)f (0)1.(2)解 若 f(x)在 (0，)上只有一个零点，即方程 exax 20 在(0，)上只有一个解，由 a ，令 (x) ，x (0，)，exx2 exx2(x) ，令 (x)0，解得 x2.ex（x 2）x3当 x(0 ，2)时，(x)0.(x) min (2) .a .e24 e24【探究提高】1.利用导数研究函数的零点主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养.考查的主要形式：(1)求函数的零点、图象交点的个
8、数；(2)根据函数的零点个数求参数的取值或范围.2.导数研究函数的零点常用方法：(1)研究函数的单调性、极值，利用单调性、极值、函数零点存在定理来求解零点问题；(2)将函数零点问题转化为方程根的问题，从而同解变形为两个函数图象的交点，运用函数的图象性质求解.【尝试训练】 已知三次函数 f(x)x 3bx 2 cxd(a，b，cR) 过点(3， 0)，且函数 f(x)在点(0 ，f (0)处的切线恰好是直线 y0.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)设函数 g(x)9x m1，若函数 yf (x)g(x)在区间 2，1上有两个零点，求实数 m的取值范围.解 (1)f(x)3x 22bx c，由
9、已知条件得，解得 b3，cd0，f(3) 27 9b 3c d 0，f(0) c 0，f(0) d 0， )所以 f(x)x 33x 2.(2)由已知条件得，f (x)g( x)x 33x 29xm1 在2，1 上有两个不同的零点，可转化为 ym 与 yx 33x 29x 1 的图象有两个不同的交点；令 h(x)x 33 x29x1，h(x)3x 26x 9，x 2，1，令 h(x)0 得2x 1；令 h(x)x1，设 tf(x 1)f(x 2)(a2)( x1x 2)，试证明 t0.(1)解 f(x) 的定义域为 (0，)，f(x) 1 .1x2 ax x2 ax 1x2()若 a2，则 f
10、(x)0，当且仅当 a2，x1 时 f(x)0，所以 f(x)在(0，)上单调递减.()若 a2，令 f(x)0 得，x 或 x .a a2 42 a a2 42当 x 时，f(x)0.(a a2 42 ，a a2 42 )所以 f(x)在 ， 上单调递减，(0，a a2 42 ) (a a2 42 ， )在 上单调递增.(a a2 42 ，a a2 42 )(2)证明 由(1)知，f(x)存在两个极值点时，当且仅当 a2.由于 f(x)的两个极值点 x1，x 2 满足 x2ax10，所以 x1x21.又因 x2x10，所以 x21.又 tf(x 1)f(x 2)(a2)( x1x 2) (x 1 x2)a(ln x1 ln x2)( a2)(x 1x 2)1x1 1x2a a .(lnx1x2 x1 x2) (1x2 2ln x2 x2)设 (x) x2ln x，x1.1x由第(1)问知， (x)在(1，)单调递减，且 (1)0，从而当 x(1 ，)时，(x )0.1x2