1、解析几何热点问题（专项训练）1.已知椭圆 P 的中心 O 在坐标原点、焦点在 x 轴上，且经过点 A(0，2 )，离心率为 .312(1)求椭圆 P 的方程；(2)是否存在过点 E(0，4)的直线 l 交椭圆 P 于点 R，T，且满足 ？若存在，求OR OT 167直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 .2.(2019郑州质检)已知圆 O：x 2y 24，点 F(1，0)，P 为平面内一动点，以线段 FP 为直径的圆内切于圆 O，设动点 P 的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C 的方程；(2)M，N 是曲线 C 上的动点，且直线 MN 经过定点 .问：在 y 轴上是否存在定点 Q，(0，12)
2、使得MQO NQO？若存在，请求出定点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.3.已知椭圆 C： 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1(1，0) ，F 2(1，0)，点 Ax2a2 y2b2在椭圆 C 上.(1，22)(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)是否存在斜率为 2 的直线，使得当该直线与椭圆 C 有两个不同交点 M，N 时，能在直线y 上找到一点 P，在椭圆 C 上找到一点 Q，满足 ？若存在，求出直线的方程；53 PM NQ 若不存在，说明理由.4.(2019青岛质检)在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，圆 O 交 x 轴于点 F1，F 2，交 y 轴于点 B1，B 2，以 B1，B
3、2 为顶点，F 1，F 2 分别为左、右焦点的椭圆 E，恰好经过点 .(1，22)(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)设经过点( 2，0)的直线 l 与椭圆 E 交于 M，N 两点，求F 2MN 的面积的最大值.5.(2019重庆二诊)椭圆 E： 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1(1，0) ，F 2(1，0)，x2a2 y2b2左、右顶点分别为 A1，A 2，P 为椭圆 E 上的动点(不与 A1，A 2 重合)，且直线 PA1 与 PA2 的斜率的乘积为 .34(1)求椭圆 E 的方程；(2)过点 F2 作两条互相垂直的直线 l1 与 l2(均不与 x 轴重合) 分别与椭圆 E 相交于A，
4、B，C ，D 四点，线段 AB，CD 的中点分别为 M，N，求证：直线 MN 过定点，并求出该定点的坐标.6.(2018洛阳二模)如图所示，已知圆 G：( x2) 2y 2 是椭圆 T： 1(0b0)，x2a2 y2b2由题意得 b2 ，e ，3ca 12a2c，b 2a 2c 23c 2，c2，a4，椭圆 P 的方程为 1.x216 y212(2)假设存在满足题意的直线 l，易知当直线 l 的斜率不存在时， 0 得(32k )264(34k 2)0，解得 k2 .14x 1x 2 ，x 1x2 ，32k3 4k2 163 4k2y 1y2(kx 14)(kx 24) k 2x1x24k(x
5、1x 2)16，故 x1x2y 1y2 16 ，163 4k2 16k23 4k2 128k23 4k2 167解得 k21.由解得 k1 ，直线 l 的方程为 y x4.故存在直线 l：x y40 或 xy40 满足题意.2.(2019郑州质检)已知圆 O：x 2y 24，点 F(1，0)，P 为平面内一动点，以线段 FP 为直径的圆内切于圆 O，设动点 P 的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C 的方程；(2)M，N 是曲线 C 上的动点，且直线 MN 经过定点 .问：在 y 轴上是否存在定点 Q，(0，12)使得MQO NQO？若存在，请求出定点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)
6、设 PF 的中点为 S，切点为 T，连接 OS，ST，则|OS|SF| |OT|2.取 F(1，0) ，连接 FP，则|FP| |FP|2(|OS| SF|) 4.所以点 P 的轨迹是以 F，F 为焦点、长轴长为 4 的椭圆，其中，a2，c1，所以b2a 2c 2413.所以曲线 C 的方程为 1.x24 y23(2)假设存在满足题意的定点 Q.设 Q(0，m )，当直线的斜率存在时直线 MN 的方程为ykx ，M (x1，y 1)，N(x 2，y 2).12联立得方程组x24 y23 1，y kx 12. )消去 y 并整理，得(3 4k 2)x24kx110.由题意知 0，x 1x 2 ，
7、x 1x2 . 4k3 4k2 113 4k2由MQO NQO，得直线 MQ 与直线 NQ 的斜率之和为 0， y1 mx1 y2 mx2 kx1 12 mx1 kx2 12 mx2 0，2kx1x2 (12 m)（x1 x2）x1x22kx 1x2 (x1x 2)(12 m)2k 0， 113 4k2 (12 m) 4k3 4k2 4k（m 6）3 4k2当 k0 时，m6，所以存在定点(0 ，6)，使得MQONQO；当 k0 时，定点(0，6)也符合题意.易知直线 MN 的斜率不存在时，定点 Q(0，6)也符合题意.存在符合题意的定点 Q，且定点 Q 的坐标为(0，6).综上，存在定点(0
8、，6)使得MQONQO .3.已知椭圆 C： 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1(1，0) ，F 2(1，0)，点 Ax2a2 y2b2在椭圆 C 上.(1，22)(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)是否存在斜率为 2 的直线，使得当该直线与椭圆 C 有两个不同交点 M，N 时，能在直线y 上找到一点 P，在椭圆 C 上找到一点 Q，满足 ？若存在，求出直线的方程；53 PM NQ 若不存在，说明理由.解 (1)设椭圆 C 的焦距为 2c，则 c1，因为 A 在椭圆 C 上，(1，22)所以 2a|AF 1| AF2|2 ，2则 a ，b 2a 2c 21.2故椭圆 C 的方程为 y 21.
9、x22(2)椭圆 C 上不存在这样的点 Q，理由如下：设直线的方程为 y2x t，M( x1，y 1)，N (x2，y 2)，P ，Q( x4，y 4)，MN 的中点为(x3，53)D(x0，y 0)，由 消去 x 得 9y22ty t 280，y 2x t，x22 y2 1，)所以 y1y 2 ，且 4t 236(t 28)0，2t9故 y0 ，且3b0) ，焦距为 2c，则 bc，x2a2 y2b2a 2b 2c 22b 2，椭圆 E 的标准方程为 1.x22b2 y2b2椭圆 E 经过点 ， 1，解得 b21.(1，22) 12b212b2椭圆 E 的标准方程为 y 21.x22(2)点
10、(2，0)在椭圆 E 外，直线 l 的斜率存在.设直线 l 的斜率为 k，则直线 l：yk (x2).设 M(x1，y 1)， N(x2，y 2).由 消去 y，得(12k 2)x28k 2x8k 220.y k（x 2），x22 y2 1)x 1x 2 ，x 1x2 ， 8k21 2k2 8k2 21 2k264k 44(12k 2)(8k22)0，解得 0k 2b0)的左、右焦点分别为 F1(1，0) ，F 2(1，0)，x2a2 y2b2左、右顶点分别为 A1，A 2，P 为椭圆 E 上的动点(不与 A1，A 2 重合)，且直线 PA1 与 PA2 的斜率的乘积为 .34(1)求椭圆 E
11、 的方程；(2)过点 F2 作两条互相垂直的直线 l1 与 l2(均不与 x 轴重合) 分别与椭圆 E 相交于A，B，C ，D 四点，线段 AB，CD 的中点分别为 M，N，求证：直线 MN 过定点，并求出该定点的坐标.(1)解 设 P(x0，y 0)(y00)，则 1.整理，得 x a 2 .20由题意，得 .y0x0 a y0x0 a 34整理，得 x a 2 y .204320 y ，4320又 y00，即 a2 b2.43c1，a 2b 2c 2，a 24，b 23.故椭圆 E 的方程为 1.x24 y23(2)证明 设直线 AB：yk (x1)(k0)，A(x 1，y 1)，B( x
12、2，y 2).由 得(4k 23)x 28k 2x4k 2120.y k（x 1），3x2 4y2 12，)x 1x 2 .8k24k2 3x M ，x1 x22 12 8k24k2 3 4k24k2 3y Mk( xM1) .3k4k2 3用 替换点 M 坐标中的 k，1k可得 xN ，y N .43k2 4 3k3k2 4若直线 AB 关于 x 轴对称后得到直线 AB，直线 CD 关于 x 轴对称后得到直线 CD，线段AB，CD的中点分别为 M，N，则直线 MN与直线 MN 关于 x 轴对称.若直线 MN 经过定点，则该定点一定是直线 MN与 MN 的交点，该交点必在 x 轴上.设该交点为
13、 T(s，0)，则 ( sx M，y M)，MT (x Mx N，y My N).NM 由 ，得 s .MT NM xNyM xMyNyM yN代入点 M，N 的坐标并化简，得 s .47经过的定点为 .(47，0)6.(2018洛阳二模)如图所示，已知圆 G：( x2) 2y 2 是椭圆 T： 1(00，AB 与圆 G 切于点 D，BC 交 x 轴于点 H，连接 DG，如图.(83，y0)由题意得ADGAHB，即 ，GDAG HBAB得 .解得 y .236 20 59点 B 在椭圆 T 上，(83，y0) 1，解得 b21.64916 4959b2故椭圆 T 的标准方程为 y 21.x21
14、6(2)直线 EF 与圆 G 相切.理由如下：设过点 M(0，1)与圆 G：(x2) 2y 2 相切的直线的方程为 kxy 10，则 ，49 23 |2k 1|1 k2即 32k236k50.(*)设 MF，ME 的斜率分别为 k1，k 2，且 k1，k 2 为方程(*)的根，则 k1k 2 ，k 1k2 .98 532将 kxy10 代入 y 2 1，x216消去 y 并整理，得(16 k21)x 232kx0，解得 x 或 x0.32k16k2 1设 F(x1，k 1x11)，E(x 2，k 2x21)，则 x1 ，x 2 .直线 EF 的斜率 kEF .k2x2 k1x1x2 x1 k1 k21 16k1k2 34从而直线 EF 的方程为 y 1 .34将 32k 36k 15 代入上式并化简，得 y x .2134 73则圆心(2，0) 到直线 EF 的距离 d .|32 73|1 916 23故直线 EF 与圆 G 相切.