1、导数及其应用跟踪知识梳理考点梳理：1导数的概念(1)函数 yf(x)在 xx 0 处的导数一般地，函数 yf (x) 在 xx 0 处的瞬时变化率是 limx 0 lim x 0 y x lim x 0lim x 0，我们称它为函数 yf (x)在 xx 0 处的导数，记作 f(x0)或 y|xx 0，即f（x0 x） f（x0） xf(x0) .lim x 0lim x 0 y x lim x 0lim x 0f（x0 x） f（x0） x(2)导数的几何意义函数 f(x)在 xx 0 处的导数就是曲线 yf(x)在点( x0，f (x0)处的切线的斜率(3)函数 f(x)的导函数称函数 f
2、(x) 为 f(x)的导函数0()(limffxlim x 02基本初等函数的导数公式(a0 且 a1)原函数 导函数f(x)c (c 为常数) f(x)0f(x)x n(nQ *) f(x)n x n-1(nQ *)f(x)sin x f(x)cos xf(x)cos x f(x)-sin xf(x)a x f(x)a x ln af(x) ex f(x) ex f(x) logax f(x) 1lnaf(x) ln x f (x) 来x3.导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x) g(x)f(x )g(x)(3) (g(x)0)f（x）g（x） f
3、（x）g（x） f（x）g（x）g（x）24. 函数的单调性与导数的关系已知函数 f(x)在某个区间内可导，则(1)如果 f(x)0，那么函数 yf (x)在这个区间内单调递增(2)如果 f(x)0，那么函数 yf (x)在这个区间内单调递减(3)若 f(x)0 恒成立，则 f(x)在这个区间内是常函数5. 函数极值的概念函数 yf (x)在点 xa 的函数值 f(a)比它在点 xa 附近其他点的函数值都小， f(a)0；而且在点 xa 附近的左侧 f(x)0 ，右侧 f(x)0 ，则点 a 叫做函数 yf(x)的极小值点，f(a )叫做函数 yf (x)的极小值函数 yf (x)在点 xb
4、的函数值 f(b)比它在点 x b 附近其他点的函数值都大，f (b)0；而且在点 xb 附近的左侧 f(x)0 ，右侧 f(x)0 ，则点 b 叫做函数 yf(x)的极大值点，f(b )叫做函数 yf (x)的极大值极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值6函数的最值(1)在闭区间a， b上连续的函数 f(x)在a，b 上必有最大值与最小值(2)若函数 f(x)在 a，b上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在 a，b 上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f (b)为函数的最小值7极值与最值的区别与联系(1)区别函数的极值 函数的最
5、值函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点使函数取得最大值，最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点函数的极值 函数的最值函数的极值是通过比较极值点附近的函数值得出的函数的最值是通过比较整个定义区间内的函数值得出的来源:Z。xx。k.Com函数的极值可能不止一个，也可能一个也没有函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个来源:函数的极大值不一定大于函数的极小值 函数的最大值一定不小于函数的最小值(2)联系当连续函数在开区间内的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值8生活中的优化问题生活中的优化问题一
6、般涉及利润最大、效率最高、耗能最低、投资最少等最值问题在求实际问题的最大值、最小值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去核心能力必练一、选择题1 (2018 河南新乡二模,10)若函数 y= 在(1,+ ) 上单调递减 ,则称 f(x)为 P 函数.下列函(lnfx数中为 P函数的为 ( ) f(x)=1; f (x)=x;f (x)= ; f(x)= . 1A. B. C. D. 2 (2016 聊城模拟)已知函数 y=xf (x)的图象如图所示(其中 f (x)是函数 f(x)的导函数),则下面四个图象中,y =f(x)的图象大致是 ( )3已知函数 的导函数为 ，且满足
7、，则 （ fxfx21lnfxfx1f）A B C De1 e4曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）xy,eA. B. C. D.29e2 2e12e5已知直线 是曲线 的切线，则实数 （ ）yaxlnyxaA. B. C. D.1212e1e21e6点 是曲线 上任意一点，则点 到直线 的最短距离为（ PlnyxP20xy）A. B. C. D.332327若点 是曲线 上任意一点，则点 到直线 距离的最小值为（ PlnyxP2yx）A1 B C D2238已知函数 的最大值为 ，则 等于（ ）2(1)()3ffxx)(afA B C D164418439已知定义在 上的函数
8、 满足：函数 的图象关于直线 对Ryfxyfx1x称，且当 时， （ 是函数 的导函数）成立若,0x0ff， ， ，则 的大小关1sinsi2afln2lbf 1122logl4cf,abc系是（ ）A B C Dbcaccabc10设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 ，使得e21xfx10x，则 的取值范围是（ ）0fxaA B C D3,12e3,2e43,2e4,11 设函数 ，若 是 的极大值点，则 的取值范围为（ 21lnfxaxb1xfa）A B1,0 1,C D0,12设函数 （ ） ，若不等式 有解，则实数3()e)exxf a2()fx的最小值为（ ）aA B C D1e12
9、e1e21e13已知 ，若 在区间 上只有一个极值点，则 的取值范围为aR()xafx0, a（ ）A B C. D. 01a1a14已知函数 的图象上存在不同的两点 ，使得曲线2,01xf ,AB在这两点处的切线重合，则实数 的取值范围是（ ）yfxaA B C D1,42,12,4,2,15已知定义在 上的函数 ，满足 ：（1 ） ；（2）,0xf0xf（其中 是 的导函数） ，则 的取值范围为（ ）xffx2ff1fA. B. C. D.21,e21,ee,23,二、解答题16 (2018 广东肇庆二模 ,21)已知函数 f(x)=xln x+(1-k)x+k,kR . (1)当 k=1
10、 时,求函数 f(x)的单调区间 ; (2)当 x1 时, 求使不等式 f(x)0 恒成立的 k 的最大整数值. 17已知函数 2ln1fp（1 ）讨论函数 的单调性；fx（2 ）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围；pfkk（3 ）证明： *1ln23nN18已知函数 （ ） ()4l1fxaxaR（1 ）若 ，求 值；02（2 ）若存在 ，使函数 的图象在点 和点 处的035(1,)x()fx0(,)xf01(,)fx切线互相垂直，求 的取值范围 ；来源:a（3 ）若函数 在区间 上有两个极值点，则是否存在实数 ，使 对任()fx(,)m()f意的 恒成立？若存在，求出 的取值范围，若不存
11、在，说明理由1,m19已知函数 （ 为常数， 是自然对数的底数）在点 处取极值.lnexkfe1x（1 ）求 的值及函数 的单调区间；k()f（2 ）设 ，其中 为 的导函数，证明：对任意 ，gxfxf 0x.2()e20已知函数 ()ln()fxmxR（1 ）若曲线 过点 ，求曲线 在点 处的切线方程；来源:ZXXKy1,P()yfxP（2 ）求函数 在区间 上的最大值；()fxe（3 ）若函数 有两个不同的零点 ， ，求证： 1x221ex21已知函数 ，其图象在 处的切线与直线 垂直，函数lnfxa0y21gxb（）求实数 的值；（）设 是函数 的两个极值点，若 ，求 的最小122,xg
12、x72b12gx值导数及其应用跟踪知识梳理考点梳理：1导数的概念(1)函数 yf(x)在 xx 0 处的导数一般地，函数 yf( x)在 xx 0 处的瞬时变化率是 limx 0 lim x 0yx lim x 0 lim x 0，我们称它为函数 yf(x)在 xx 0 处的导数，记作 f(x0)或 y|xx 0，即f（x0 x） f（x0）xf(x0) .limx 0 lim x 0yx lim x 0 lim x 0f（x0 x） f（x0）x(2)导数的几何意义函数 f(x)在 xx 0 处的导数就是曲线 yf(x)在点( x0，f (x0)处的切线的斜率(3)函数 f(x)的导函数称函
13、数 f(x) 为 f(x)的导函数0()(limffxlimx 02基本初等函数的导数公式(a0 且 a1)原函数 导函 数f(x)c (c 为常数) f(x)0f(x)x n(nQ *) f(x)n x n-1(nQ *)f(x)sin x f(x)cos xf(x)cos x f(x)-sin xf(x)a x f(x)a x ln af(x) ex f(x) ex f(x) logax f(x) 1lnaf(x) ln x f(x) x3.导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x) g(x)f(x )g(x)(3) (g(x)0)f（x）g（x）
14、f（x）g（x） f（x）g（x）g（x）24. 函数的单调性与导数的关系已知函数 f(x)在某个区间内可导，则(1)如果 f(x)0，那么函数 yf (x)在这个区间内单调递增(2)如果 f(x)0，那么函数 yf (x)在这个区间内单调递减(3)若 f(x)0 恒成立，则 f(x)在这个区间内是常函数5. 函数极值的概念函数 yf (x)在点 xa 的函数值 f(a)比它在点 xa 附近其他点的函数值都小，f( a)0；而且在点 xa 附近的左侧 f(x)0 ，右侧 f(x)0 ，则点 a 叫做函数 yf(x)的极小值点，f(a )叫做函数 yf (x)的极小值函数 yf (x)在点 xb
15、 的函数值 f(b)比它在点 xb 附近其他点的函数值都大，f( b)0；而且在点 xb 附近的左侧 f(x)0 ，右侧 f(x)0 ，则点 b 叫做函数 yf(x)的极大值点，f(b )叫做函数 yf (x)的极大值 极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值6函数的最值(1)在闭区间a， b上连续的函数 f(x)在a，b 上必有最大值与最小值(2 )若函数 f(x)在a，b 上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b) 为函数的最大值；若函数f(x)在 a，b 上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值7极值与最值的区别与联系(1)区别函数的极值 函数
16、的最值函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点使函数取得最大值，最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点函数的极值 函数的最值函数的极值是通过比较极值点附近的函数值得出的函数的最值是通过比较整个定义区间内的函数值得出的来源:函数的极值可能不止一个，也可能一个也没有函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个函数的极大值不一定大于函数的极小值 函数的最大值一定不小于函数的最小值(2)联系当连续函数在开区间内的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值8生活中的优化问题生活中的优化问题一般涉及利润最大、效率最
17、高、耗能最低、投资最少等最值问题在求实际问题的最大值、最小值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去核心能力必练一、选择题1 (2018 河南新乡二模,10)若函数 y= 在(1,+)上单调递减,则称 f(x)为 P 函数.下列函数()lnfx中为 P 函数的为 ( ) f(x)=1; f (x)=x;f (x )= ;f(x)= . 1A. B. C. D. 【答案】B2 (2016 聊城模拟)已知函数 y=xf (x)的图象如图所示(其中 f (x)是函数 f(x)的导函数 ),则下面四个图象中,y =f(x)的图象 大致是 ( ) 来源:ZXXK【答案】C【解析】由题图知当
18、 01 时, xf (x)0,此时 f (x)0,函数 f(x)递增. 所以当 x=1 时,函数 f(x)取得极小值 . 当 x0,函数 f(x)递增, 当-10,此时 f (x)1 时, 求使不等式 f(x)0 恒成立的 k 的最大整数值. 【答案】 （1）单调递增区间为 ,单调递减区间为 （2）31e10,e【解析】(1)当 k=1 时, f(x)=xln x+1,f (x)=ln x+1, 由 f (x)0,得 x ; e由 f (x)0,此时函数 g(x)单调递增, g(x)在 x=x0 处有极小值(也是最小值 ), g(x) min=g(x0) =x0(3,4), 又 kg(x)恒成
19、立, k g(x)min=x0,k 的最大整数值为 3. 17已知函数 2ln1fp（1 ）讨论函数 的单调性；fx（2 ）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围；pfkk（3 ）证明： *1ln23nN【答案】(1) 当 时， 在 上单调递增，当 时， 在 上单调pfx0,0pfx0,递减，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递01f,21p ,21p减 (2) (3)证明见解析k【解析】 （1） 的定义域为 ， ，fx0,221pxpfxx当 时， ，故 在 上单调递增；pfx,当 时， ，故 在 上单调递减； 00fxf0,当 时，令 ，解得 ，则当 时，1pf21px0,21px；当 时
20、， ，故 在 上单调递增，0fxx,21p0ff,p在 上单调递减 ,21p(3)证明：取 ，则 ，可得 ，取1,knxxlnn1l)1ln(，并将上述各不等式两边加起来可得 n,3 *23N18已知函数 （ ） 2()4lfxaxaR（1 ）若 ，求 值；0ff（2 ）若存在 ，使函数 的图象在点 和点 处的035(1,)2x()fx0(,)xf01(,)fx切线互相垂直，求 的取值范围；a（3 ）若函数 在区间 上有两个极值点，则是否存在实数 ，使 对任()fx(1,)m()fx意的 恒成立？若存在，求出 的取值范围，若不存在，说明理由1,m【答案】(1) (2) (3)存在，92a10,
21、)34ln2,)【解析】 （1）由 ，得()ff，(4ln1)(42ln1)02aa解得 9（2 ） 的定义域为 ， ，则 ，()fx(0,)42fxax0042fax，由题意得 ，即0012()4fa01()ff，00()()xx整理得 ，2 200116()8()50aa设 ，由 得 ，则 ，令0tx03(,)x(,3)t228650ta，则 在 上有零点，又22()865gtatgt,，所以 或 解得22()31(6)10a32,8()0ag3,()g或 ，所以 的取值范围是 当 时，208a21,1,x， ， 递减；()gx()0fx()f当 时， ， ， 递增；12(,)x()0gx
22、()fx()f当 时， ， ， 递减x结合可得 222()()4ln1fxfxaa极 大 值2224ln1， ，设 ，222l5xx2(,)24()ln5hxx，(,)则 ，所以 在 上递增，所以224(1)0xhx()hx2,)，又 ， ，所以2()()fh()74ln34ln0274ln,3l2fx又 ，所以存在 ，使 ，(1)0m()fxm故存在满足条件的 ， 的取值范围为 34ln2,19已知函数 （ 为常数， 是自然对数的底数）在点 处取极值.lnexkfe1x（1 ）求 的值及函数 的单调区间；k()f（2 ）设 ，其中 为 的导函数，证明：对任意 ，gxfxf 0x.2()e【答
23、案】 （1） ，增区间为 ，减区间为 （2）证明见解析k0,11,（2 ） ，lnlneexxgx当 时， 恒成立.1201当 时，要证 ，0x2ln1eexg只需证 ， 21lne1xx令 ，,0,h则 ，2l2lne,0,xx 因此，当 时， ， 单调递增；,ehx当 时， ， 单调递减.2x0x所以 的最大值为 ，故 . h22e12ln1ex当 时， ，01xx所以 ，22lneex所以 ，2l1xg因此对任意 ， . 02eg20已知函数 ()ln()fxmxR（1 ）若曲线 过点 ，求曲线 在点 处的切线方程；y1,P()yfxP（2 ）求函数 在区间 上的最大值；()fxe（3
24、）若函数 有两个不同的零点 ， ，求证： 1x221ex【答案】 （1） （2）当 时， ，当 时，yemmax()f1em，当 时， （3）证明见解析max()lnf 1ax()f【解析】 （1）因为点 在曲线 上，所以 ，解得 所以(,)Py1， 所以 ，所以切线的斜率为 0，所以切线()lnfx1,fx1()0f方程为 1y当 ，即 时， ，函数 在 上单调递减，则0m()0fx()fx1,eax()()ff综上，当 时， ；当 时， ；1emmax()1ef1mmax()ln1f当 时， axf即证明 ，122()ln令 ，则 ，于是证明 ，12xt(1)lnt令 （ ） ，(1)()
25、lntftt则 ，2240()()fttt故函数 在 上是增函数，f1,所以 ，即 成立，所以原不等式成立()0t(1)lnt21已知函数 ，其图象在 处的切线与直线 垂直，函数fxaxx20xy21gxb（）求实数 的值；（）设 是函数 的两个极值点，若 ，求 的最小122,xgx72b12gx值【答案】 （I） （II）a3ln24【解析】 （） ， ，lfxax1afx切线与直线 垂直， ， 20y2k 1设 ， ，12xttln02httt则 ， 在 上单调递减，221thttht ,1又 ， ，即 ，解得 或72b2514 22211 154xxt 2t，t， ， ，来源:Z+xx+k.Com01t2t 13ln24ht故所求的最小值是 3ln4