1、三角恒等变换与解三角形1 tan 70tan 50 tan 70tan 50的值为( )3A. B. C D333 33 32在ABC 中，若原点到直线 xsin Aysin Bs in C0 的距离为 1，则此三角形为( )A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D不能确定3在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b ，c ，acos Bbcos A2 ccos C，c ，且7ABC 的面积为 ，则ABC 的周长为( ) 来332A1 B2 来源:Zxxk.Com7 7C 4 D57 74已知 为锐角，则 2tan 的最小值为( )3tan 2A1 B2 C. D.2 35已知 2s
2、in 1cos ，则 tan 等于( )A 或 0 B. 或 043 43C D.43 436在锐角ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b ， c，且满足( ab )(sin Asin B)(cb)sin C，若 a ，则 b2c 2 的取值范围是( )3A(3,6 B(3,5) C(5,6 D5,6来源7设ABC 内切圆与外接圆的半径分别为 r 与 R.且 sin Asin Bsin C23 4，则 cos C_；当 BC1 时，ABC 的面积等于_8如图，在ABC 中，BC 2，ABC ，AC 的垂直平分线 DE 与 AB，AC 分别交 于 D，E3两点，且 DE ，则 BE2
3、_.629在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 cos A ，sin B cos C，并且23 5a ，则ABC 的面积为_ _来源:Z,xx,k.Com210如图，在ABC 中，D 为边 BC 上一点，AD 6，BD3 ，DC 2.(1)如图 1，若 ADBC，求BAC 的大小；(2)如图 2，若ABC ，求ADC 的面积411已知函数 f(x) cos sin cos 2 .3 (32 x) (x 2) (2 x) 12(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)已知在ABC 中，A ，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 f(A)1，a 2，求ABC 面积的最大
4、值12已知函数 f(x) sin xcos xcos 2x(0)的最小正周期为 .323(1)求 的值；(2)在ABC 中， sin B，sin A，sin C 成等比数列，求此时 f(A)的值域13.已知函数 f(x) sin xcos xsin 2x.3(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，角 A 的平分线交 BC 于点 D，f(A) ， AD BD2 ，求 cos C. 32 214.在某自然保护区，野生动物保护人员历经数年追踪，发现国家一级重点保护动物貂熊的活动区为如图所示的五边形 ABECD 内，保护人员为了研究该动物生存
5、条件的合理性，需要分析貂熊的数量与活动面积的关系，保护人员在活动区内的一条河的一岸通过测量获得如下信息：A，B，C，D，E 在同一平面内，且 ACD 90，ADC60，ACB15，BCE 105，CEB45，DCCE1 km.(1)求 BC 的长；(2)野生动物貂熊的活动区 ABECD 的面积约为多少？( 1.732，结果保留两位小数)315.在ABC 中，内角 A，B， C 的对边分别为 a，b，c，已知 b2a 2ccos B.(1)求角 C 的大小；(2)求 cos Asin 的最大值，并求出取得 最大值时角 A，B 的值.3 (B 3)15.设函数 f(x)sin xcos xsin
6、2 (xR)，(x 4)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c.若 f 0 ，c 2 ，求ABC 面积(C2)的最大值.17.在ABC 中，内角 A，B， C 的对边分别为 a，b，c，且 m(2 ac ， cos C)，n(b ，cos B)，mn.来源:Zxxk.Com(1)求角 B 的大小；(2)若 b 1，当 ABC 的面积取得最大值时，求ABC 内切圆的半径.三角恒等变换与解三角形1 tan 70tan 50 tan 70tan 50的值为( )3A. B. C D333 33 3答案 D解析 因为 tan 120 ，ta
7、n 70 tan 501 tan 70tan 50 3即 tan 70tan 50 tan 70tan 50 .3 32在ABC 中，若原点到直线 xsin Aysin Bsin C0 的距离为 1，则此三角形为( )A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D不能确定答案 A解析 由已知可得， 1，|sin C|sin2A sin2Bsin 2Csin 2Asin 2B，c 2a 2b 2，故ABC 为直角三角形3在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b ，c ，acos Bbcos A2 ccos C，c ，且7ABC 的面积为 ，则ABC 的周长为( )332A1 B27 7C
8、4 D57 7答案 D解析 在ABC 中，a cos Bbcos A2 ccos C，则 sin Acos Bsin Bcos A2sin Ccos C，即 sin(AB) 2sin Ccos C，sin(AB) sin C0，cos C ，C ，12 3由余弦定理可得，a 2b 2c 2ab，即(ab )23abc 27，又 S absin C ab ，ab 6 ，来源:Z+xx+k.Com12 34 332(ab )27 3ab25 ，a b5，ABC 的周长为 abc 5 .74已知 为锐角，则 2tan 的最小值为( )3tan 2A1 B2 C. D.2 3答案 D方法二 为锐角，s
9、in 0，cos 0，2tan 3tan 2 2sin cos 3cos 2sin 2 4sin2 3cos 22sin cos sin2 3cos22sin cos 2 ，12(sin cos 3cos sin ) 12 sin cos 3cos sin 3当且仅当 ，sin cos 3cos sin 即 时等号成立故选 D.35已知 2sin 1cos ，则 tan 等于( )A 或 0 B. 或 043 43C D.43 43答案 A解析 因为 2sin 1cos ，所以 4sin cos 1 2sin 2 ，2 2 (1 2sin22) 2解得 sin 0 或 2cos sin ，即
10、tan 0 或 2，2 2 2 2又 tan ，2tan21 tan22当 tan 0 时，tan 0；2当 tan 2 时，tan .2 436在锐角ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b ， c，且满足( ab )(sin Asin B)(cb)sin C，若 a ，则 b2c 2 的取值范围是( )3A(3,6 B(3,5) C(5,6 D5,6来源:Zxxk.Com答案 C解析 (ab)(sin Asin B)( cb)sin C，由正弦定理得(ab)( ab)(cb) c， 来源:Z。xx。k.Com即 b2c 2a 2bc ，cos A ，b2 c2 a22bc bc2
11、bc 12又 A(0，)，A ，BC .3 23又ABC 为锐角三角形，Error! BD，所以 为锐角，从而 cos .1 sin2144因此 sinADCsin sin cos cos sin ( 4) 4 4 .22( 24 144) 1 74所以ADC 的面积 S ADDCsinADC12 62 (1 )12 1 74 32 711已知函数 f(x) cos sin cos 2 .3 (32 x) (x 2) (2 x) 12(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)已知在ABC 中，A ，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 f(A)1，a 2，求ABC 面积的最大值解 (1)f
12、(x) cos sin cos 2 sin xcos xsin 2x3 (32 x) (x 2) (2 x) 12 3 12 sin 2x cos 2xsin .32 12 (2x 6)令 2k 2x 2k (kZ )，2 6 2得 k xk (kZ )，6 3所 以 f(x)的单调递增区间为 (kZ)k 6， k 3(2)由(1)知 f(A)sin 1 ，(2A 6)因为 A(0，)，所以 2A ，6 ( 6， 116)所以 2A ，所以 A .6 2 3在ABC 中，由余弦定理得 a2b 2c 22bccos A，又 a2，则 4b 2c 2bc 2bcbc bc，即 bc4，当且仅当 b
13、c2 时，等号成立所以ABC 面积的最大值为SABC bcsin A 4 .12 12 32 312已知函数 f(x) sin xcos xcos 2x(0)的最小正周期为 .323(1)求 的值；(2)在ABC 中， sin B，sin A，sin C 成等比数列，求此时 f(A)的值域解 (1)f (x) sin 2x (cos 2x1)32 12sin ，(2x 6) 12因为函数 f(x)的最小正周期为 T ，22 23所以 .32(2)由(1)知 f(x)sin ，(3x 6) 12易得 f(A)sin .(3A 6) 12因为 sin B，sin A，sin C 成等比数列，所以
14、sin2Asin Bsin C，所以 a2bc ，所以 cos A b2 c2 a22bc b2 c2 bc2bc (当且仅当 bc 时取等号)2bc bc2bc 12因为 0A，所以 0A ，所以 3A ，3 6 656所以 sin 1，12 (3A 6)所以1sin ，(3A 6) 1212所以 f(A)的值域为 .( 1， 1213.已知函数 f(x) sin xcos xsin 2x.3(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，角 A 的平分线交 BC 于点 D，f(A) ， AD BD2 ，求 cos C. 32 2解 (1)
15、f (x) sin xcos xsin 2x sin 2x cos 2x sin ，332 12 12 (2x 6) 12令 2k 2x 2k ，kZ，2 6 2解得 k xk ，kZ，6 3所以 f(x)的单调递增区间是 (kZ). 来源:Z&xx&k.Comk 6， k 314.在某自然保护区，野生动物保护人员历经数年追踪，发现国家一级重点保护动物貂熊的活动区为如图所示的五边形 ABECD 内，保护人员为了研究该动物生存条件的合理性，需要分析貂熊的数量与活动面积的关系，保护人员在活动区内的一条河的一岸通过测量获得如下信息：A，B，C，D，E 在同一平面内，且 ACD 90，ADC60，AC
16、B15，BCE 105，CEB45，DCCE1 km.(1)求 BC 的长；(2)野生动物貂熊的活动区 ABECD 的面积约为多少？( 1.732，结果保留两位小数)3解 (1)在BCE 中，CBE180BCECEB 180 105 45 30，由正弦定理 ，BCsinCEB CEsinCBE得 BC sinCEB sin 45 (km).CEsinCBE 1sin 30 2(2)依题意知，在 RtACD 中，ACDCtanADC 1tan 60 (km)，3又 sin 105sin(6045) ，6 24sin 15sin(6045) ，6 24所以活动区 ABECD 的面积 SS ACD
17、S ABC S BCE ACCD ACCBsin 1512 12 BCCEsin 105 1 1 1 1.87 (km2)，12 12 3 12 3 2 6 24 12 2 6 24 32故 野生动物貂熊的活动区 ABECD 的面积约为 1.87 km2.15.在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别 为 a，b，c，已知 b2a 2ccos B.(1)求角 C 的大小；(2)求 cos Asin 的最大值，并求出取得最大值时角 A，B 的值.3 (B 3)解 (1)b 2a2c cos B2 a 2c ，a2 c2 b22ac整理得 a2b 2c 2ab ，即 cos C ，12因为 0
18、C，所以 C .3(2)由(1)知 C ，则 BA ，3 3于是 cos Asin cos Asin(A )3 (B 3) 3 cos Asin A2sin ，3 (A 3)由 A B，得 0A ， A .23 23 3 3故当 A 时，2sin 取得最大值 2，此时 B .6 (A 3) 215.设函数 f(x)sin xcos xsin 2 (xR)，(x 4)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 f 0，c2，求ABC 面积的(C2)最大值.解 (1)函数 f(x)sin xcos x sin2 (xR )，(x 4)化简
19、可得 f(x) sin 2x sin 2x .12 121 cos(2x 2) 12令 2k 2x2k (kZ)，2 2则 k xk (kZ )，4 4即 f(x)的单调递增区间为 (kZ).k 4， k 4令 2k 2x2k (kZ)，2 32则 k xk (kZ )，4 34即 f(x)的单调递减区间为 (kZ).k 4， k 34(2)由 f 0 ，得 sin C ，(C2) 12又因为ABC 是锐角三角形，所以 C .6由余弦定理得 c2a 2b 22abcos C，将 c2，C 代入得 4a 2b 2 ab，6 3由基本不等式得 a2b 24 ab2ab，当且仅当 ab 时，等号成立
20、.3即 ab4(2 )，3所以 SABC absin C 4(2 ) 2 ，12 12 312 3即ABC 面积的最大值为 2 .317.在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b ，c ，且 m(2ac，cos C)，n(b ，cos B)，mn.(1)求角 B 的大小；(2)若 b 1，当ABC 的面积取得最大值时，求ABC 内切圆的半径.(2)由(1)得 B ，又 b1，在ABC 中，b 2a 2c 22 accos B，所以 12a 2c 2ac，即31 3ac(a c) 2.又(ac) 24ac，所以 13 ac4ac，即 ac1，当且仅当 ac 1 时取等号. 从而 SABC acsin B ac ，当且仅当 ac1 时，S ABC 取得最大值 .12 34 34 34设ABC 内切圆的半径为 r，由 SABC (abc )r，得 r .12 36