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2019年高考数学(含解析)之平面向量及其应用

1、平面向量及其应用1在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线, (2,4), (1,3),则 ( )AB AC DA A(2,4) B(3,5)C (1,1) D(1,1)2在等腰梯形 ABCD 中, 2 ,M 为 BC 的中点,则 ( )AB CD AM A. B 12AB 12AD 34AB 12AD C. D. 34AB 14AD 12AB 34AD 3已知向量 , ,则ABC( )BA (12, 32) BC ( 32, 12)A30 B45 来源:C 60 D1204将 (1,1)绕原点 O 逆时针方向旋转 60得到 ,则 ( )OA OB OB A. B. 来源:Z。xx。k.

2、Com(1 32 , 1 32 ) (1 32 , 1 32 )C. D.( 1 32 , 1 32 ) ( 1 32 , 1 32 )5 ABC 外接圆的半 径等于 1,其圆心 O 满足 ( ),| | |,则向量 在AO 12AB AC AO AC BA 方向上的投影等于( ) BC A B32 32C. D3来源:Z#xx#k.Com326已知 A,B ,C 是圆 O 上的不同的三点,线段 CO 与线段 AB 交于点 D,若 OC OA (R,R),则 的取值范围是 ( )OB A(0,1) B(1 , )C (1, D(1,0)27已知非零向量 m,n 满足 4|m|3| n|,cos

3、m,n ,若 n(t mn),则实数 t 的13值为( )A4 B4 来源:Zxxk.ComC. D94 948如图 33,BC,DE 是半径为 1 的圆 O 的两条直径, 2 ,则 等于( )BF FO FD FE 图 33A B34 89C D14 499设向量 a( a1,a 2),b(b 1,b 2),定义一种向量积:a b(a 1,a 2)(b1,b 2)(a 1b1,a 2b2)已知向量 m ,n ,点 P 在 ycos x 的图象上运动,点 Q 在(12, 4) (6, 0)yf(x)的图象上运动,且满足 mOP n(其中 O 为坐标原点),则 yf(x) 在区间OQ 上的最大值

4、是( ) 6, 3A4 B2C 2 D22 310已知平面向量 a 与 b 的夹角为 ,a(1, ),| a2b|2 ,则|b| _.3 3 311已知非零向量 与 满足 0, 且| |2 ,点 D 是ABC 中 BCAB AC (AB |AB |AC |AC |)BC AB AC 3边的中点,则 _.AB BD 12在如图 32 所示的方格纸中,向量 a,b,c 的起点和终点均在格点(小正方形顶点) 上,若 c 与 xayb(x,y 为非零实数) 共线,则 的值为_ xy来源:图 3213已知向量 与 的夹角为 120,且| |3,| |2.若 ,且 ,AB AC AB AC AP AB A

5、C AP BC 则实数 的值为_14已知点 O 是 边长为 1 的正三角形 ABC 的中心,则 _ _.OB OC 15设向量 a( sin x,sin x),b(cos x,sin x),x .3 0, 2(1)若|a|b|,求 x的值;(2)设函数 f(x)ab ,求 f(x)的最大值16已知向量 a,b 满足|a| 2,|b|1,且对一切实数 x,| ax b|ab|恒成立,则 a,b 夹角的大小为_ _17已知在ABC 中,AB 4,AC 6,BC ,其外接圆的圆心为 O,7则 _.AO BC 18已知非零向量 a,b,c 满足| a|b| |ab|, ca,cb ,则 的最大值为23

6、 |c|a|_1在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线, (2,4), (1,3),则 ( )AB AC DA A(2,4) B(3,5)C (1,1) D(1,1)【答案】C 【解析】 (2,4)(1,3)(1,1)DA CB AB AC 2在等腰梯形 ABCD 中, 2 ,M 为 BC 的中点,则 ( )AB CD AM A. B 12AB 12AD 34AB 12AD C. D. 来34AB 14AD 12AB 34AD 【答案】B 【解析】因为 2 ,所以 2 .又 M 是 BC 的中点,所以AB CD AB DC ( ) ( ) ( ) ,故选 B.AM 12AB AC 12

7、AB AD DC 12AB AD 12AB 34AB 12AD 3已知向量 , ,则ABC( )BA (12, 32) BC ( 32, 12)A30 B45C 60 D12 0【答案】A 【解析】因为 , ,所以 .又因为 BA (12, 32) BC ( 32, 12) BA BC 34 34 32 BA | | |cosABC11cosABC ,所以 cosABC .又 0ABC180,所以BC BA BC 32ABC 30.故选 A.4将 (1,1)绕原点 O 逆时针方向旋转 60得到 ,则 ( )OA OB OB A. B.(1 32 , 1 32 ) (1 32 , 1 32 )C

8、. D.( 1 32 , 1 32 ) ( 1 32 , 1 32 )5 ABC 外接圆的半径等于 1,其圆心 O 满足 ( ),| | |,则向量 在AO 12AB AC AO AC BA 方向上的投影等于( ) BC A B32 32C. D3来源:32【答案】C 【解析】由 ( )可知 O 是 BC 的中点,即 BC 为外接圆的直径,所以AO 12AB AC | | | | |.又因为| | |1 ,故OAC 为等边三角形,即 AOC60,由圆OA OB OC AO AC 周角定理可知ABC30 ,且| | ,所以 在 方向上的投影为AB 3 BA BC | |cosABC cos 30

9、 ,故选 C.BA 3 326已知 A,B ,C 是圆 O 上的不同的三点,线段 CO 与线段 AB 交于点 D,若 OC OA (R,R),则 的取值范围是 ( )OB A(0,1) B(1 , )C (1, D(1,0)2【答案】B 【解析】由题意可得 k k k (01,即 的取值范围是(1,),故选 B.1k7已知非零向量 m,n 满足 4|m|3| n|,cosm,n ,若 n(t mn),则实数 t 的13值为( )A4 B4C. D94 94【答案】B 【解析】n (tmn) ,n(t mn) 0,即 tmn|n| 20 ,t|m |n|cosm,n|n| 20.又 4|m|3|

10、 n|,t |n|2 | n|20 ,34 13解得 t4.故选 B.8如图 33,BC,DE 是半径为 1 的圆 O 的两条直径, 2 ,则 等于( )BF FO FD FE 图 33A B34 89C D14 49【答案】B 【解析】 2 ,圆 O 的半径为 1,BF FO | | ,FO 13 ( )( ) 2 ( ) 201 .FD FE FO OD FO OE FO FO OE OD OD OE (13) 899设向量 a(a 1,a 2),b( b1,b 2),定义一种向量积: ab( a1,a 2)(b1,b 2)(a 1b1,a 2b2)已知向量 m ,n ,点 P 在 yco

11、s x 的图象上运动,点 Q 在(12, 4) (6, 0)yf(x)的图象上运动,且满足 mOP n(其中 O 为坐标原点),则 yf(x) 在区间OQ 上的最大 值是( ) 6, 3A4 B2C 2 D22 3【答案】A 【解析】因为点 P 在 ycos x 的图象上运动,所以设点 P 的坐标为(x 0,cos x0),设 Q 点的坐标为(x ,y),则 m n( x,y) (x0,cos x0) (x,y )OQ OP (12, 4) (6, 0)Error!(12x0 6, 4cos x0)即Error! y4cos ,(2x 3)即 f(x) 4cos ,(2x 3)当 x 时,6,

12、 3由 x 2x 02x ,6 3 3 23 33所以 cos 124cos 4,12 (2x 3) (2x 3)所以函数 yf (x)在区间 上的最大值是 4,故选 A.6, 310已知平面向量 a 与 b 的夹角为 ,a(1, ),| a2b|2 ,则|b| _.3 3 3【答案】2 【解析】由题意得 |a| 2,则| a2b| 2| a|24|a|b|cos a ,b12 324|b| 22 242cos |b|4|b |212,解得| b|2(负舍 )311已知非零向量 与 满足 0, 且| |2 ,点 D 是ABC 中 BCAB AC (AB |AB |AC |AC |)BC AB

13、AC 3边的中点,则 _.AB BD 12在如图 32 所示的方格纸中,向量 a,b,c 的起点和终点均在格点(小正方形顶点) 上,若 c 与 xayb(x,y 为非零实数) 共线,则 的值为_ xy图 32【答案】65【解析】设 e1,e 2 为水平方向(向右)与竖直方向( 向上)的单位向量,则向量ce 12e 2,a 2e 1e 2,b2e 12e 2,由 c 与 xayb 共线,得 c (x ay b),e 12e 22 (xy)e 1(x2y) e2,Error!Error! 则 的值为 .xy 6513已知向量 与 的夹角为 120,且| |3 ,| |2.若 ,且 ,AB AC A

14、B AC AP AB AC AP BC 则实数 的值为_【答案】 712【解析】 , 0,AP BC AP BC ( ) 0 ,AB AC BC 即( )( ) 2 2 0.AB AC AC AB AB AC AB AC AC AB 向量 与 的夹角为 120,| |3 ,| | 2,AB AC AB AC (1)32cos 12094 0,解得 .71214已知点 O 是边长为 1 的正三角形 ABC 的中心,则 _.OB OC 【答案】 16【解析】ABC 是正三角形, O 是其中心,其边长 ABBC AC 1 ,AO 是BAC 的平分线,且 AO , ( )( ) 211cos 33 O

15、B OC AB AO AC AO AB AC AO AC AO AB AO 60 1cos 30 1cos 30 2 . 33 33 ( 33) 1615设向量 a( sin x,sin x),b(cos x, sin x),x .3 0, 2(1)若|a|b|,求 x 的值;(2)设函数 f(x)ab ,求 f(x)的最大值来源:Z_xx_k.Com解 (1)由|a| 2( sin x)2(sin x)24sin 2 x,3|b|2(cos x)2(sin x)21,及|a |b|,得 4sin2x1.4 分又 x ,从而 sin x ,0, 2 12所以 x .6 分6(2)f(x)ab

16、sin xcos xsin 2 x3 sin 2x cos 2x 来源:32 12 12sin ,9 分(2x 6) 12当 x 时,sin 取最大值 1.3 0, 2 (2x 6)所以 f(x)的最大值为 .12 分3216已知向量 a,b 满足|a| 2,|b|1,且 对一切实数 x,|axb|ab|恒成立,则 a,b 夹角的大 小为_来源:ZXXK解析:|axb| ab| 恒成立a 22x abx 2b2a22abb 2 恒成立x 22a bx12ab0恒成立, 4(ab)24(1 2ab)0 (ab1) 20,ab1,cos a,b ,又a,b0,故 a 与 b 的夹角的大小为 .ab|a|b| 12 23答案: 2317已知在ABC 中,AB 4,AC 6,BC ,其外接圆的圆心为 O,7则 _.AO BC 18已知非零向量 a,b,c 满足| a|b| |ab|, ca,cb ,则 的最大值为23 |c|a|_解析:设 a, b,则 ab.OA OB BA 非零向量 a,b,c 满足|a|b| |ab|,OAB 是等边三角形设 c,OC 则 ca, c b. ca,cb ,AC BC 23点 C 在ABC 的外接圆上,当 OC 为ABC 的外接圆的直径 时, 取得最大值,为 .|c|a| 1cos 30 233答案:233