1、数列的综合问题1删去正整数数列 1,2,3， 中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2 018 项是( )A2 062 B2 063C 2 064 D2 0652已知数列a n满足 010 的 n 的最小值为 ( )A60 B61 C121 D 1223已知数列a n满足 a11，a n1 a n2(nN *)，S n 为数列 an的前 n 项和，则( )A an2n1 BS nn2来源:C an2n1 DS n2n14数列a n满足 a1 ，a n (nN *)，若对 nN *，都有 k 成65 an 1 1an 1 1a1 1a2 1an立，则最小的整数 k 是( )A3 B4
2、C5 D65已知 f(n)表示正整数 n 的所有因数中最大的奇数，例如： 12 的因数有 1,2,3,4,6,12，则 f(12)3 ；21 的因数有 1,3,7,21，则 f(21)21，那么 (i)的值为( )100i 51fA2 488 B2 495 C2 498 D2 5006若数列a n满足 1 ，且 a15 ，则数列a n的前 100 项中，能被 5 整an 12n 5 an2n 3除的项数为( )A42 B40 C30 D 20来源:ZXXK7设 x1 是函数 f(x)a n1 x3a nx2a n2 x1(nN *)的极值点，数列a n满足 a1 1， a22， bnlog 2
3、an1 ，若x表示不超过 x 的最大整数，则2 018b1b2 2 018b2b3 2 018b2 018b2 019等于( )A2 017 B2 018C 2 019 D2 0208对于数列a n，定义 Hn 为 an的“ 优值”， 现在已知某数列a1 2a2 2n 1annan的 “优值 ”Hn2 n1 ，记数列a nkn的前 n 项和为 Sn，若 SnS5 对任意的 n 恒成立，则实数 k 的取值范围为_9已知数列a n的前 n 项和为 Sn，S n (an1) ，则(4 n2 1) 的最小值为43 (16an 1)_10已知数列a n的首项 a1a，其前 n 项和为 Sn，且满足 Sn
4、S n1 4n 2(n2，nN *)，若对 任意 nN *，a n2)，求函数 f(n)的最小1n a1 2n a2 3n a3 nn an值；(3)设 bn ，S n 表示数列 bn的前 n 项和，试问：是否存在关于 n 的整式 g(n)，使得1anS1S 2S 3S n1 (S n1) g(n)对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立？若存在，写出 g(n)的解析式，并加以证明；若不存在，请说明理由:Z|xx|k.Com来源:ZXXK12已知数列a n的首项为 1，S n 为数列a n的前 n 项和， Sn1 qS n1，其中q0， n N*.(1)若 2a2，a 3，a 22 成等差数列
5、，求数列 an的通项公式；(2)设双曲线 x2 1 的离心率为 en，且 e2 ，证明：e 1e 2e n .y2a2n 53 4n 3n3n 113.已知数列a n的前 n 项和 Sn 满足关系式 Snka n1 ，k 为不等于 0 的常数(1)试判断数列 an是否为等比数列；(2)若 a2 ，a 31.12求数列 an的通项公式及前 n 项和 Sn 的表达式；设 bnlog 2Sn，数列c n满足 cn b n2 nb，数列c n的前 n 项和为 Tn，1bn 3bn 4当 n1 时，求使 Tn10 的 n 的最小值为( )A60 B61 C121 D 122答案 B 来源:解析 由 a
6、8a 40，得 a 8，41 21 214a21所以 a 88(n1) 8 n，2n4a2n所以 2a 48n 4，(an 2an) 2n 4a2n所以 an 2 ，2an 2n 1即 a 2 an20，2n 2n 1所以 an ，22n 122n 12 2n 1 2n 1因为 010 得 11，2n 1所以 n60.3已知数列a n满足 a11，a n1 a n2(nN *)，S n 为数列 an的前 n 项和 ，则( )Aa n2n1 BS nn2C an2n1 DS n2n1答案 B解析 由题意得 a2a 12，a 3a 22，a 4a 32，an an 12，a 2a 1a 3a 2a
7、 4a 3a na n1 2(n1)，a na 12(n 1)，a n2n 1.a 11，a 23，a 35，a n2n1，a 1a 2a 3a n135 2n1 ，S n (12 n 1)n 2.n24数列a n满足 a1 ，a n (nN *)，若对 nN *，都有 k 成立，65 an 1 1an 1 1a1 1a2 1an则最小的整数 k 是( )A3 B4 C5 D6答案 C5已知 f(n)表示正整数 n 的所有因数中最大的奇数，例如： 12 的因数有 1,2,3,4,6,12，则f(12)3；21 的因数有 1,3,7,21 ，则 f(21)21，那么 (i)的值为( )100i
8、51fA2 488 B2 4 95 C2 498 D2 500答案 D解析 由 f(n)的定义知 f(n)f(2n)，且若 n 为奇数则 f(n) n，则 (i)f(1) f(2)f(100)100i 1f1 3 599f(2) f(4)f (100) f (1)f(2) f(50)50(1 99)22 500 (i)，50i 1f (i) (i) (i)2 500.100i 51f100i 1f50i 1f6若数列a n满足 1 ，且 a15 ，则数列a n的前 100 项中，能被 5 整除的an 12n 5 an2n 3项数为( )A42 B40 C30 D 20答案 B解析 数列a n满
9、足 1，an 12n 5 an2n 3即 1，且 1，an 12n 1 3 an2n 3 a121 3数列 是以 1 为首项， 1 为公差的等差数列，an2n 3 nan2n 3a n2n 23 n，由题意可知，项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10个位数 5 4 7来源 :ZXXK4 5来源 : 0 9 2 9 0每 10 项中有 4 项能被 5 整除，数列a n的前 100 项 中，能被 5 整除的项数为 40.7设 x1 是函数 f(x)a n1 x3a nx2a n2 x1(nN *)的极值点，数列a n满足 a1 1， a22， bnlog 2an1 ，若x表示不超过 x 的最
10、大整数，则2 018b1b2 2 018b2b3 2 018b2 018b2 019等于( )A2 017 B2 018C 2 019 D2 020答案 A解析 由题意可得 f(x)3 an1 x22a nxa n2 ，x1 是函数 f(x)的极值点，f(1)3 an1 2ana n2 0 ，即 an2 3a n1 2a n0.a n2 an1 2 ，(an 1 an)a 2a 11，a 3a 2212 ，a 4a 3222 2， ana n1 2 n2 ，以上各式累加可得 an2 n1 .b nlog 2an1 log 22nn. 2 018b1b2 2 018b2b3 2 018b2 01
11、8b2 0192 018(112 123 12 0182 019)2 018 2 018 2 017 .(1 12 019) 2 0182 019 12 019 2 017.2 018b1b2 2 018b2b3 2 018b2 018b2 0198对于数列a n，定义 Hn 为 an的“ 优值”，现在已知某数列a n的a1 2a2 2n 1ann“优值 ”Hn2 n1 ，记数列 ankn的前 n 项和为 Sn，若 SnS5 对任意的 n 恒成立，则实数 k的取值范围为_答案 73， 125解析 由题意可知 2 n1 ，a1 2a2 2n 1anna 12a 22 n1 ann2 n1 ，a1
12、 2a22 n2 an1 (n1)2 n，由，得 2n1 ann 2n1 (n 1)2 n(n2，n N *)，则 an2n2( n2)，又当 n 1 时，a 14，符合上式，a n2n2( nN *)，a n kn(2k)n2，令 bn(2k)n2，S nS5，b 50，b 60，解得 k ，73 125k 的取值范围是 .73， 1259已知数列a n的前 n 项和为 Sn，S n (an1)，则(4 n2 1) 的最小值为43 (16an 1)_答案 4解析 S n (an1)，S n 1 (an1 1)(n2)，43 43a nS nS n1 (ana n1 )，43a n4a n1
13、，又 a1S 1 (a11)，43a 14，a n是首项为 4，公比为 4 的等比数列，a n4 n，(4 n2 1) (16an 1) (4n16 1)(164n 1)2 224，4n16 164n当且仅当 n2 时取“” 来源:Z*xx*k.Com10已知数列a n的首项 a1a，其前 n 项和为 Sn，且满足 SnS n1 4 n2(n2，nN *)，若对任意 nN *， an2)，求函数 f(n)的最小值；1n a1 2n a2 3n a3 nn an(3)设 bn ，S n 表示数列b n的前 n 项和，试问：是否存在关于 n 的整式 g(n)，使得1anS1S 2S 3S n1 (
14、 Sn1)g( n)对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立？若存在，写出 g(n)的解析式，并加以证明；若不存在，请说明理由解 (1)点 P(an，a n1 )在直线 xy10 上，即 an1 a n1，且 a11，数列 an是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，a n1( n1)1n(nN *)(3)b n Sn1 ，1n 12 13 1nS nS n1 (n2)，1n即 nSn (n1)S n1 S n1 1，(n1)S n1 (n2)S n2 S n2 1 ，2S 2S 1S 11 ，nS n S1S 1 S2S n1 n1 ，S 1S 2 Sn1 nS nn 来源 :(S n1)
15、n(n2)，g(n)n .12已知数列a n的首项为 1，S n 为数列a n的前 n 项和， Sn1 qS n1，其中 q0，nN *.(1)若 2a2，a 3，a 22 成等差数列，求数列 an的通项公式；(2)设双曲线 x2 1 的离心率为 en，且 e2 ，证明：e 1e 2e n .y2a2n 53 4n 3n3n 1(1)解 由已知 Sn1 qS n1，得 Sn2 qS n1 1 ，两式相减得到 an2 qa n1 ，n1. 又由S2qS 11 得到 a2qa 1，故 an1 qa n 对所有 n1 都成立所以，数列 an是首项为 1，公比为 q 的等比数列从而 anq n1 .由
16、 2a2， a3，a 22 成等差数列，可得 2a33a 2 2，即 2q2 3q2 ，则(2 q1)( q2) 0 ，由已知，q 0，故 q2.所以 an2 n1 (nN *)(2)证明 由(1)可知，a nq n1 .所以双曲线 x2 1 的离心率y2a2nen .1 a2n 1 q2n 1由 e2 ，解得 q .1 q253 43因为 1q 2(k1) q2(k1) ，所以 qk1 (kN *)1 q2k 1于是 e1e 2e n1q q n1 .qn 1q 1故 e1e 2e n .4n 3n3n 113.已知数列a n的前 n 项和 Sn 满足关系式 Snka n1 ，k 为不等于
17、0 的常数(1)试判断数列 an是否为等比数列；(2)若 a2 ，a 31.12求数列 an的通项公式及前 n 项和 Sn 的表达式；设 bnlog 2Sn，数列c n满足 cn b n2 nb，数列c n的前 n 项和为 Tn，当1bn 3bn 4n1 时，求使 Tn0，因为 nN *且 n1，故 n9，从而最小正整数 n 的值是 10.14已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 Snn2(a n2)(nN *)(1)证明：数列 an1为等比数列；(2)若 bna nlog2(an1)，数列b n的前 n 项和为 Tn，求 Tn.(1)证明 S nn2(a n2)，当 n2 时，S n
18、1 (n1)2(a n1 2) ，两式相减，得 an12a n2a n1 ，a n2a n1 1 ，a n1 2(a n1 1)， 2(n2)(常数)an 1an 1 1又当 n 1 时，a 112( a12) ，得 a13 ，a 112，数列 an1是以 2 为首项，2 为公比的等比数列(2)解 由(1)知，a n122 n1 2 n，a n2 n1 ，又 bna nlog2(an1) ，b nn(2 n1) ，T nb 1b 2b 3b n(1222 232 3n 2n)(123 n)，设 An1222 232 3( n1)2 n1 n2 n，则 2An 12222 3( n 1)2nn2 n1 ，两式相减，得A n22 22 32 nn2 n1 n2 n1 ，21 2n1 2A n(n 1)2 n1 2.又 123n ，nn 12T n(n 1)2 n1 2 (nN *)nn 12