1、三角恒等变换跟踪知识梳理考纲解读：1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的恒等 变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）考点梳理：1. 两角和与差的三角函数公式的应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式C() ： cos()coscos sin sin；C() ： cos()coscos_ si n_sin；S() ：sin()sincoscos sin；S() ：sin
2、()sin_cos_ cossin ；T() ：tan( ) ；tan tan 1 tan tan T() ：tan( ) .tan tan 1 tan tan 变形公式：tan tan tan( )(1tantan)；来源:Z#xx#k.Com4sin(2cosin.函数 f()acos bsin (a，b 为常数) ，可以化 为 f() sin() 或 f()a2 b2 cos()，其中 可由 a，b 的值唯一确定a2 b22. 二倍角公式的运用公式的应用二倍角的正弦、余弦、正切公式：S2：sin 22sin_cos_；C2： cos 2cos 2sin 22cos 2112sin 2；T
3、2： tan 2 .2tan 1 tan2变形公式：cos2 ，sin 21 cos 22 1 cos 221 sin 2(sin cos )2,1sin 2 (sin cos )2核心能力必 练一、选择题1 (2018 山西长治二模,6)已知 sin = , ,则 cos 的值为 ( ) 1026A. B. C. D. 4304310431034102 (2018 河南濮阳一模,5)设 090,若 sin(75+2)=- ,则 sin(15+)sin(75-)= ( ) 5A. B. C.- D.- 来源:Zxxk.Com1021023 (2018 河北百校联盟 4 月联考 ,6)已知 是第
4、四象限角,且 sin = ,则435tan = ( ) 4A. B.- C.- D. 3344 (2018 广东七校 3 月联考,6) 已知 sin +cos =- ,则 cos = ( ) 636A.- B. C.- D. 232135如图，圆 与 轴的正半轴的交点为 ，点 ， 在圆 上，点 的坐标为 ，OxABCOB1,2点 位于第一象限， ，若 ，则 （ CAC5sinco223s）A B C D2555256若 ，则 的值为（ ）13tan,t24sin24A B C D255102107若 ，则 （ ）13sincosincoA B C 或 1 D 或31338已知不等式 对于 恒成
5、立，则实数262sincos044xxm ,x的取值范围是（ ）mA B C D,22,2,9若 ，则 等于（ ）sinco12tanA. B. C. D.3434434310若 ，则 （ ）tan= 2cosinA. B.1 C. D.95 57511已知 ，则 等于（ ）2coscos46xxcosxA. B. C. D.33131312已知 ， ，则（ ）sin2cosin2siniA Bcos2 22cossC D 013已知 ， ，则 的值为（ ）csin(si1)5(,)2tan()4A B C D17372314已知直线 的斜率为 2，在 轴上的截距为 1，则:tata0lxyy
6、（ ）tan()A B C D1来源:Z|xx|k.Com73735715已知 ， ，且 ， ，sin(1,)2sin(2,1)0OABsin，则 （ ）sinco0kkA B C 或 D以上都不对22216若 ，则在 中，正数的个数cscos()77n nSN1021,S是（ ）A.16 B.72 C.37 D.10017 和 是方程 的两根，则 之间的关系是（ ）tant()420xpq,pqA B10pq1C D18已知角 终边与单位圆 的交点为 ，则 （ ）21xy,2ysin2A B C D12 3119式子 的最小值为（ ）221cosinRA B C D343432320已知角
7、均为锐角,且 ,则 的值为（ ）10sin,5cosA B C D 或3444二、填空题21已知 为锐角，若 ，则 _3sin65cos2622已知 ，则 _.来源:学&1ta201tancs223 ，则 sin64x2inicos2633xx24已知 ，则 _ta234si5cosin6625若 ，则 的值为10tan,t422icos4_三、解答题26已知 ，且 (,)223sinco（1 ）求 的值；cos（2 ）若 ， ，求 的值.3in()5(0,)2sin27已知向量 与 为共线向量，且 .cos,1i,1mxm,02（1 ）求 的值； （2 ）求 的值 .sinsnico28 （
8、 1）已知 ，且 ，求 ；1co63（2 ）已知 ， 都是锐角，且 ， ，求 .5cos10cos29已知函数 ， 1()2sin()36fxxR（1 ）求 的值；54（2 ）设 ， ， ，求 的值,0,210(3)fa6(32)5fcos()30如图，在平面直角坐标系 中，以 为顶点， 轴的非负半轴为始边作两个锐角xOyx，它们的终边分别与单位圆交于 两点已知 的横坐标分别为 ,AB, 23,105xxk.Com（1 ）求 的值； （2 ） 求 的大小22sinicos6三角恒等变换跟踪知识梳理考纲解读：1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、
9、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）考点梳理：1. 两角和与差的三角函数公式的应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式C() ： cos()coscos sin sin；C() ： cos()coscos_ sin_ sin；S() ：sin()sincoscos sin；S() ：sin()sin_cos_ cossin ；T() ：tan( ) ；tan tan 1 tan tan T() ：tan( )
10、.tan tan 1 tan tan 变形公式：tan tan tan( )(1tantan)；来源:Z#xx#k.Com4sin(2cosin.函数 f()acos bsin (a，b 为常数) ，可以化 为 f() sin() 或 f()a2 b2 cos()，其中 可由 a，b 的值唯一确定a2 b22. 二倍角公式的运用公式的应用二倍角的正弦、余弦、正切公式：S2：sin 22sin_cos_；C2： cos 2cos 2sin 22cos 2112sin 2；来源:T2： tan 2 .2tan 1 tan2变形公式：cos2 ，sin 21 cos 22 1 cos 221sin
11、2(sin cos )2,1sin 2 (sin cos )2核心能力必练一、选择题1 (2018 山西长治二模,6)已知 sin = , ,则 cos 的值为 ( ) 1026A. B. C. D. 430431043103410【答案】A2 (2018 河南濮阳一模,5)设 090,若 sin(75+2)=- ,则 sin(15+)sin(75-)= ( ) 5A. B. C.- D.- 102102【答案】B【解析】因为 090,所以 7575+2255. 又因为 sin(75+2)=- 0,所以 18075+2255,角 75+2 为第三象限角,所以 cos(75+352)=- ，所以
12、 sin(15+)sin(75-)=sin(15+)cos(15+)= sin(30+2)= sin(75+2)45 1212-45= sin(7 5+2)cos 45-cos(75+2)sin 45= = ,故选 B. 1 34503 (2018 河北百校联盟 4 月联考 ,6)已知 是第四象限角,且 sin = ,则35tan = ( ) 4A. B.- C.- D. 334【答案】B解法: + = ,sin =cos = , 2435又 2k- 2k,kZ,2k- + 2k+ ,kZ, cos = ,sin = ,tan = = ,45454sin4co3tan =-tan =- . 3
13、4 (2018 广东七校 3 月联考,6) 已知 sin +cos =- ,则 cos = ( ) 636A.- B. C.- D. 23213【答案】C【解析】由 sin +cos =- ,得 sin + cos +cos =- ,即 sin + cos 6321323=- , 来源:Zxxk.Com3亦 即 sin =- ,sin =- .3313cos =sin =sin =- ,故选 C. 6265如图，圆 与 轴的正半轴的交点为 ，点 ， 在圆 上，点 的坐标为 ，OxABCOB1,2点 位于第一象限， ，若 ，则 （ CAC5sinco223s）A B C D 来源255525【答
14、案】D6若 ，则 的值为（ ）13tan,t24sin24A B C D25510210【答案】D【解析】 ， ， ，13tan,t2423sincoi43sinco ， ，故 ， ，4253cos4 ，故选 D.2sinsin2107若 ，则 （ ）13icosicoA B C 或 1 D 或31313【答案】A【解析】由 ，可得 ，两边平方，得13sincosinco3sinco，解得 或 由题意，22i 1s1知 ，且 ， ，所以 ，故选1si,1ssi0csicA8已知不等式 对于 恒成立，则实数262sincos044xxm ,3x的取值范围是（ ）mA B C D,22,2,【答案
15、】B9若 ，则 等于（ ）sinco12tanA. B. C. D.34344343【答案】B【解析】由 可得 ，则 ，故选 B.sinco12tan49162tan10若 ，则 （ ）ta=34 siA. B.1 C. D.95 3575【答案】A【解析】 ，解得 ，1tantan()42tan.故选 A.22 2cosicoscosi2149t511已知 ，则 等于（ ）2s46xxsxA. B. C. D.331313【答案】A12已知 ， ，则（ ）sin2cosin2siniA Bc 2cosC Ds2s 0【答案】C【解析】 ，所以 ， 2sinco2sin1si4in221sin
16、4i， ，故选 C.12(1)co13已知 ， ，则 的值为（ ）sisi)5(,)2ta()A B C D73723【答案】A【解析】由 ，可得 ，又 ，2cos2in(si1)553sin(,)2故 ，所以 ，故 .5443tata()471ta14已知直线 的斜率为 2，在 轴上的截距为 1，则: 0lxyy（ ）tan()A B C D1737357【答案】D【解析】根据题意 得 ，则1tan2,t故选 D()tt3tan()1115已知 ， ，且 ， ，sin(,)2Asin(2,1)B0OABsin，则 （ ）sinco0kkA B C 或 D以上都不对222【答案】C16若 ，则
17、在 中，正数的个数2coscos()77n nSN1021,S是（ ）A.16 B.72 C.37 D.100【答案】C【解析】由题意知， 的周期为 ， 为正数，nS1412345,S为负数， 的值为零，又 ，所以78910213,S6,S07中，正数的个数是 ，故选 C. 21 572317 和 是方程 的两根，则 之间的关系是（ ）tant()4xpq,pqA B0pq10C D1【答案】C【解析】依题意有 ，tan,tan44pq化简得 ， ，故 .2ta12taq1,0pq18 已知角 终边与单位圆 的交点为 ，则 （ ）21xy,2ysin2A B C D 来源:Zxxk.Com12
18、 31【答案】B19式子 的最小值为（ ）221cosinRA B C D3434323【答案】C【解析】 ，当且仅当 ，22221cosin4sico22sincos即 时，等号成立，故选 A24kZ20已知角 均为锐角,且 ,则 的值为（ ）103sin,52cosA B C D 或3444【答案】C【解析】因为 ， ，所以 ，022又 ， ，所以 ， ，5cos310sin5sin10cos所以 ，062iicoi又 ，所以 .24二、填空题21已知 为锐角，若 ，则 _3sin65cos26【答案】 245【解析】cos6cos2()sin2()sin()cos()666.342522
19、已知 ，则 _.1tan201tan2cos【答案】201623 ，则 1sin64x25sinsincos2633xx【答案】 3【解析】 ，51sinsin664xx，2225iicos3 6，所以原式= .27coscos1in68xxx31624已知 ，则 _tan234sicos35coin66【答案】 【解析】42sincossincos3335coin66tan1325若 ，则 的值为10tan,t342 2sincos4_【答案】0三、解答题26已知 ，且 (,)223sinco（1 ）求 的值；cos（2 ）若 ， ，求 的值.3in()5(0,)2sin【答案】 （1） （
20、 2） 641【解析】 （1）因为 ，所以 ， 23sinco412sinco31sin因为 ，所以 .(,)22sin927已知向量 与 为共线向量，且 .cos,1i,13mxmn,02（1 ）求 的值； （2 ）求 的值 .sins2ico【答案】 （1） （2）371【解析】 （1） 与 为共线向量， ，mn2cos1sin03即 .2sinco3（2 ） ， ，21isinco97sin29 ，又 ，216sincoi,0a ， ， .i04sinco3sin27co128 （ 1）已知 ，且 ，求 ；1co6（2 ）已知 ， 都是锐角，且 ， ，求 .5cos10cos【答案】 （
21、1） （2 ）3634【解析】 （1） 26， ， ，cos63sin3cos6.2cisi6629已知函数 ， 1()2sin()36fxxR（1 ）求 的值；54（2 ）设 ， ， ，求 的值,0,20()1fa6(32)5fcos()【答案】 （1） （2） 65【解析】 （1） .()sin()sin4344f（2 ） ，012i 2i36f，6()sin(3)sin()cos5f ， ， ，sin13co52251cos1i()3，故 2234is() 6()cosins530如图，在平面直角坐标系 中，以 为顶点， 轴的非负半轴为始边作两个锐角xOyx，它们的终边分别与单位圆交于 两点已知 的横坐标分别为 ,AB, 23,105（1 ）求 的值； （2 ）求 的大小22sinicos6【答案】 （1） （2）534（2 ）由题意得， ， ，34,5B4tan3 ，47tant3tan 11又 是锐角， ， .,04