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2019年高考数学(含解析)之三角恒等变换(跟踪知识梳理)

1、三角恒等变换跟踪知识梳理考纲解读:1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的恒等 变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆)考点梳理:1. 两角和与差的三角函数公式的应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式C() : cos()coscos sin sin;C() : cos()coscos_ si n_sin;S() :sin()sincoscos sin;S() :sin

2、()sin_cos_ cossin ;T() :tan( ) ;tan tan 1 tan tan T() :tan( ) .tan tan 1 tan tan 变形公式:tan tan tan( )(1tantan);来源:Z#xx#k.Com4sin(2cosin.函数 f()acos bsin (a,b 为常数) ,可以化 为 f() sin() 或 f()a2 b2 cos(),其中 可由 a,b 的值唯一确定a2 b22. 二倍角公式的运用公式的应用二倍角的正弦、余弦、正切公式:S2:sin 22sin_cos_;C2: cos 2cos 2sin 22cos 2112sin 2;T

3、2: tan 2 .2tan 1 tan2变形公式:cos2 ,sin 21 cos 22 1 cos 221 sin 2(sin cos )2,1sin 2 (sin cos )2核心能力必 练一、选择题1 (2018 山西长治二模,6)已知 sin = , ,则 cos 的值为 ( ) 1026A. B. C. D. 4304310431034102 (2018 河南濮阳一模,5)设 090,若 sin(75+2)=- ,则 sin(15+)sin(75-)= ( ) 5A. B. C.- D.- 来源:Zxxk.Com1021023 (2018 河北百校联盟 4 月联考 ,6)已知 是第

4、四象限角,且 sin = ,则435tan = ( ) 4A. B.- C.- D. 3344 (2018 广东七校 3 月联考,6) 已知 sin +cos =- ,则 cos = ( ) 636A.- B. C.- D. 232135如图,圆 与 轴的正半轴的交点为 ,点 , 在圆 上,点 的坐标为 ,OxABCOB1,2点 位于第一象限, ,若 ,则 ( CAC5sinco223s)A B C D2555256若 ,则 的值为( )13tan,t24sin24A B C D255102107若 ,则 ( )13sincosincoA B C 或 1 D 或31338已知不等式 对于 恒成

5、立,则实数262sincos044xxm ,x的取值范围是( )mA B C D,22,2,9若 ,则 等于( )sinco12tanA. B. C. D.3434434310若 ,则 ( )tan= 2cosinA. B.1 C. D.95 57511已知 ,则 等于( )2coscos46xxcosxA. B. C. D.33131312已知 , ,则( )sin2cosin2siniA Bcos2 22cossC D 013已知 , ,则 的值为( )csin(si1)5(,)2tan()4A B C D17372314已知直线 的斜率为 2,在 轴上的截距为 1,则:tata0lxyy

6、( )tan()A B C D1来源:Z|xx|k.Com73735715已知 , ,且 , ,sin(1,)2sin(2,1)0OABsin,则 ( )sinco0kkA B C 或 D以上都不对22216若 ,则在 中,正数的个数cscos()77n nSN1021,S是( )A.16 B.72 C.37 D.10017 和 是方程 的两根,则 之间的关系是( )tant()420xpq,pqA B10pq1C D18已知角 终边与单位圆 的交点为 ,则 ( )21xy,2ysin2A B C D12 3119式子 的最小值为( )221cosinRA B C D343432320已知角

7、均为锐角,且 ,则 的值为( )10sin,5cosA B C D 或3444二、填空题21已知 为锐角,若 ,则 _3sin65cos2622已知 ,则 _.来源:学&1ta201tancs223 ,则 sin64x2inicos2633xx24已知 ,则 _ta234si5cosin6625若 ,则 的值为10tan,t422icos4_三、解答题26已知 ,且 (,)223sinco(1 )求 的值;cos(2 )若 , ,求 的值.3in()5(0,)2sin27已知向量 与 为共线向量,且 .cos,1i,1mxm,02(1 )求 的值; (2 )求 的值 .sinsnico28 (

8、 1)已知 ,且 ,求 ;1co63(2 )已知 , 都是锐角,且 , ,求 .5cos10cos29已知函数 , 1()2sin()36fxxR(1 )求 的值;54(2 )设 , , ,求 的值,0,210(3)fa6(32)5fcos()30如图,在平面直角坐标系 中,以 为顶点, 轴的非负半轴为始边作两个锐角xOyx,它们的终边分别与单位圆交于 两点已知 的横坐标分别为 ,AB, 23,105xxk.Com(1 )求 的值; (2 ) 求 的大小22sinicos6三角恒等变换跟踪知识梳理考纲解读:1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、

9、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆)考点梳理:1. 两角和与差的三角函数公式的应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式C() : cos()coscos sin sin;C() : cos()coscos_ sin_ sin;S() :sin()sincoscos sin;S() :sin()sin_cos_ cossin ;T() :tan( ) ;tan tan 1 tan tan T() :tan( )

10、.tan tan 1 tan tan 变形公式:tan tan tan( )(1tantan);来源:Z#xx#k.Com4sin(2cosin.函数 f()acos bsin (a,b 为常数) ,可以化 为 f() sin() 或 f()a2 b2 cos(),其中 可由 a,b 的值唯一确定a2 b22. 二倍角公式的运用公式的应用二倍角的正弦、余弦、正切公式:S2:sin 22sin_cos_;C2: cos 2cos 2sin 22cos 2112sin 2;来源:T2: tan 2 .2tan 1 tan2变形公式:cos2 ,sin 21 cos 22 1 cos 221sin

11、2(sin cos )2,1sin 2 (sin cos )2核心能力必练一、选择题1 (2018 山西长治二模,6)已知 sin = , ,则 cos 的值为 ( ) 1026A. B. C. D. 430431043103410【答案】A2 (2018 河南濮阳一模,5)设 090,若 sin(75+2)=- ,则 sin(15+)sin(75-)= ( ) 5A. B. C.- D.- 102102【答案】B【解析】因为 090,所以 7575+2255. 又因为 sin(75+2)=- 0,所以 18075+2255,角 75+2 为第三象限角,所以 cos(75+352)=- ,所以

12、 sin(15+)sin(75-)=sin(15+)cos(15+)= sin(30+2)= sin(75+2)45 1212-45= sin(7 5+2)cos 45-cos(75+2)sin 45= = ,故选 B. 1 34503 (2018 河北百校联盟 4 月联考 ,6)已知 是第四象限角,且 sin = ,则35tan = ( ) 4A. B.- C.- D. 334【答案】B解法: + = ,sin =cos = , 2435又 2k- 2k,kZ,2k- + 2k+ ,kZ, cos = ,sin = ,tan = = ,45454sin4co3tan =-tan =- . 3

13、4 (2018 广东七校 3 月联考,6) 已知 sin +cos =- ,则 cos = ( ) 636A.- B. C.- D. 23213【答案】C【解析】由 sin +cos =- ,得 sin + cos +cos =- ,即 sin + cos 6321323=- , 来源:Zxxk.Com3亦 即 sin =- ,sin =- .3313cos =sin =sin =- ,故选 C. 6265如图,圆 与 轴的正半轴的交点为 ,点 , 在圆 上,点 的坐标为 ,OxABCOB1,2点 位于第一象限, ,若 ,则 ( CAC5sinco223s)A B C D 来源255525【答

14、案】D6若 ,则 的值为( )13tan,t24sin24A B C D25510210【答案】D【解析】 , , ,13tan,t2423sincoi43sinco , ,故 , ,4253cos4 ,故选 D.2sinsin2107若 ,则 ( )13icosicoA B C 或 1 D 或31313【答案】A【解析】由 ,可得 ,两边平方,得13sincosinco3sinco,解得 或 由题意,22i 1s1知 ,且 , ,所以 ,故选1si,1ssi0csicA8已知不等式 对于 恒成立,则实数262sincos044xxm ,3x的取值范围是( )mA B C D,22,2,【答案

15、】B9若 ,则 等于( )sinco12tanA. B. C. D.34344343【答案】B【解析】由 可得 ,则 ,故选 B.sinco12tan49162tan10若 ,则 ( )ta=34 siA. B.1 C. D.95 3575【答案】A【解析】 ,解得 ,1tantan()42tan.故选 A.22 2cosicoscosi2149t511已知 ,则 等于( )2s46xxsxA. B. C. D.331313【答案】A12已知 , ,则( )sin2cosin2siniA Bc 2cosC Ds2s 0【答案】C【解析】 ,所以 , 2sinco2sin1si4in221sin

16、4i, ,故选 C.12(1)co13已知 , ,则 的值为( )sisi)5(,)2ta()A B C D73723【答案】A【解析】由 ,可得 ,又 ,2cos2in(si1)553sin(,)2故 ,所以 ,故 .5443tata()471ta14已知直线 的斜率为 2,在 轴上的截距为 1,则: 0lxyy( )tan()A B C D1737357【答案】D【解析】根据题意 得 ,则1tan2,t故选 D()tt3tan()1115已知 , ,且 , ,sin(,)2Asin(2,1)B0OABsin,则 ( )sinco0kkA B C 或 D以上都不对222【答案】C16若 ,则

17、在 中,正数的个数2coscos()77n nSN1021,S是( )A.16 B.72 C.37 D.100【答案】C【解析】由题意知, 的周期为 , 为正数,nS1412345,S为负数, 的值为零,又 ,所以78910213,S6,S07中,正数的个数是 ,故选 C. 21 572317 和 是方程 的两根,则 之间的关系是( )tant()4xpq,pqA B0pq10C D1【答案】C【解析】依题意有 ,tan,tan44pq化简得 , ,故 .2ta12taq1,0pq18 已知角 终边与单位圆 的交点为 ,则 ( )21xy,2ysin2A B C D 来源:Zxxk.Com12

18、 31【答案】B19式子 的最小值为( )221cosinRA B C D3434323【答案】C【解析】 ,当且仅当 ,22221cosin4sico22sincos即 时,等号成立,故选 A24kZ20已知角 均为锐角,且 ,则 的值为( )103sin,52cosA B C D 或3444【答案】C【解析】因为 , ,所以 ,022又 , ,所以 , ,5cos310sin5sin10cos所以 ,062iicoi又 ,所以 .24二、填空题21已知 为锐角,若 ,则 _3sin65cos26【答案】 245【解析】cos6cos2()sin2()sin()cos()666.342522

19、已知 ,则 _.1tan201tan2cos【答案】201623 ,则 1sin64x25sinsincos2633xx【答案】 3【解析】 ,51sinsin664xx,2225iicos3 6,所以原式= .27coscos1in68xxx31624已知 ,则 _tan234sicos35coin66【答案】 【解析】42sincossincos3335coin66tan1325若 ,则 的值为10tan,t342 2sincos4_【答案】0三、解答题26已知 ,且 (,)223sinco(1 )求 的值;cos(2 )若 , ,求 的值.3in()5(0,)2sin【答案】 (1) (

20、 2) 641【解析】 (1)因为 ,所以 , 23sinco412sinco31sin因为 ,所以 .(,)22sin927已知向量 与 为共线向量,且 .cos,1i,13mxmn,02(1 )求 的值; (2 )求 的值 .sins2ico【答案】 (1) (2)371【解析】 (1) 与 为共线向量, ,mn2cos1sin03即 .2sinco3(2 ) , ,21isinco97sin29 ,又 ,216sincoi,0a , , .i04sinco3sin27co128 ( 1)已知 ,且 ,求 ;1co6(2 )已知 , 都是锐角,且 , ,求 .5cos10cos【答案】 (

21、1) (2 )3634【解析】 (1) 26, , ,cos63sin3cos6.2cisi6629已知函数 , 1()2sin()36fxxR(1 )求 的值;54(2 )设 , , ,求 的值,0,20()1fa6(32)5fcos()【答案】 (1) (2) 65【解析】 (1) .()sin()sin4344f(2 ) ,012i 2i36f,6()sin(3)sin()cos5f , , ,sin13co52251cos1i()3,故 2234is() 6()cosins530如图,在平面直角坐标系 中,以 为顶点, 轴的非负半轴为始边作两个锐角xOyx,它们的终边分别与单位圆交于 两点已知 的横坐标分别为 ,AB, 23,105(1 )求 的值; (2 )求 的大小22sinicos6【答案】 (1) (2)534(2 )由题意得, , ,34,5B4tan3 ,47tant3tan 11又 是锐角, , .,04