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2019年高考数学(含解析)之三角函数与解三角形热点问题(专项训练)

1、三角函数与解三角形热点问题(专项训练)1.已知函数 f(x)sin x 2 sin23x(1)求 f(x)的最小正周期;(2)求 f(x)在区间 上的最小值 .0,232.(2019济南调研)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 asin A4bsin B,ac (a2b 2c 2).5(1)求 cos A 的值;(2)求 sin(2BA)的值.3.已知函数 f(x)sin 2xcos 2x2 sin xcos x(xR ).3(1)求 f(x)的最小正周期;(2)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f(A)2,c5,cos B ,求ABC

2、中线 AD 的长.174.(2018湘中名校联考)已知函数 f(x)cos x(cos x sin x).3(1)求 f(x)的最小值;(2)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 f(C)1,S ABC ,c ,求334 7ABC 的周长.5.已知ABC 中内角 A,B ,C 的对边分别为 a,b,c,向量 m(2sin B, ),n(cos 32B,2 cos1),B 为锐角且 mn .(1)求角 B 的大小;(2)如果 b2,求 SABC 的最大值 .6.(2019上海徐汇区二模)已知 a,b,c 分别是ABC 内角 A,B,C 的对边,且满足(abc)(sin Bs

3、in Csin A)bsin C.(1)求角 A 的大小;(2)设 a ,S 为ABC 的面积,求 S cos Bcos C 的最大值.3 3三角函数与解三角形热点问题(专项训练)1.已知函数 f(x)sin x 2 sin23x(1)求 f(x)的最小正周期;(2)求 f(x)在区间 上的最小值 .0,23解 (1)因为 f(x)sin x cos x3 32sin ,(x 3) 3所以 f(x)的最小正周期为 2.(2)因为 0x ,所以 x .23 3 3当 x ,即 x 时,f(x) 取得最小值.3 23所以 f(x)在区间 上的最小值为 f .0,23 (23) 32.(2019济南

4、调研)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 asin A4bsin B,ac (a2b 2c 2).5(1)求 cos A 的值;(2)求 sin(2BA)的值.解 (1)由 asin A4bsin B,及 ,得 a2b.asin A bsin B由 ac (a2b 2c 2),5及余弦定理,得 cos A .b2 c2 a22bc 55acac 55(2)由(1),可得 sin A ,代入 asin A4bsin B,255得 sin B .asin A4b 55由(1)知,A 为钝角,所以 cos B .1 sin2B255于是 sin 2B2sin Bcos

5、B ,cos 2B12sin 2B ,45 35故 sin(2BA )sin 2Bcos Acos 2Bsin A .45 ( 55) 35 255 2553.已知函数 f(x)sin 2xcos 2x2 sin xcos x(xR ).3(1)求 f(x)的最小正周期;(2)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f(A)2,c5,cos B ,求ABC 中线 AD 的长.17解 (1)f(x) cos 2x sin 2x2sin .3 (2x 6)T . 函数 f(x)的最小正周期为 .22(2)由(1)知 f(x)2sin ,(2x 6)在ABC 中 f(A)2,si

6、n 1,(2A 6)2A ,A .又 cos B ,sin B ,6 2 3 17 437sin Csin(AB) ,32 17 12 437 5314在ABC 中,由正弦定理 ,得 ,csin C asin A 55314 a32a7,BD .72在ABD 中,由余弦定理得,AD2AB 2BD 22ABBD cos B5 2 25 ,(72)2 72 17 1294因此ABC 的中线 AD .12924.(2018湘中名校联考)已知函数 f(x)cos x(cos x sin x).3(1)求 f(x)的最小值;(2)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 f(C)1,S

7、 ABC ,c ,求334 7ABC 的周长.解 (1)f(x) cos x (cos x sin x)cos 2x sin xcos x sin 2x sin .3 31 cos 2x2 32 12 (2x 6)当 sin 1 时,f(x)取得最小值 .(2x 6) 12(2)f(C) sin 1, sin ,12 (2C 6) (2C 6) 12C(0,), 2C ,2C ,C .6 (6,136) 6 56 3S ABC absin C , ab3.12 334又(ab) 22abcos 72ab ,3(ab) 216,即 ab4,abc4 ,7故ABC 的周长为 4 .75.已知ABC

8、 中内角 A,B ,C 的对边分别为 a,b,c,向量 m(2sin B, ),n(cos 32B,2 cos1),B 为锐角且 mn .(1)求角 B 的大小;(2)如果 b2,求 SABC 的最大值 .解 (1)mn,2sin B cos 2B,(2cos2B2 1) 3sin 2B cos 2B,即 tan 2B .3 3又B 为锐角,2B(0 ,),2B ,B .23 3(2)B ,b2,3由余弦定理 b2a 2c 22ac cos B,得 a2c 2ac40.又 a2c 22ac,代入上式,得 ac4,故 SABC acsin B ac ,12 34 3当且仅当 ac2 时等号成立,

9、即 SABC 的最大值为 .36.(2019上海徐汇区二模)已知 a,b,c 分别是ABC 内角 A,B,C 的对边,且满足(abc)(sin Bsin Csin A)bsin C.(1)求角 A 的大小;(2)设 a ,S 为ABC 的面积,求 S cos Bcos C 的最大值.3 3解 (1)(ab c )(sin Bsin Csin A )bsin C,根据正弦定理,知(ab c)(bca) bc ,即 b2c 2a 2bc .由余弦定理,得 cos A .b2 c2 a22bc 12又 A(0,),所以 A .23(2)根据 a ,A 及正弦定理323得 2,bsin B csin C asin A 332b2sin B,c 2sin C.S bcsin A 2sin B2sin C sin Bsin C.12 12 32 3S cos Bcos C sin Bsin C cos Bcos C3 3 3 cos(BC ).3故当 BC 时,S cos Bcos C 取得最大值 .6 3 3