1、2019 年山东省济宁市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （3 分）复数 z 的共轭复数是（ ）A1+i B1i C1+i D1i2 （3 分）设集合 Ax|log 2x0，B x|13 x27，则（ RA）B（ ）A （0，1） B （1，3 C （1，3） D1 ，3）3 （3 分）下列结论正确的是（ ）A若命题 p：xR，x 2+x10，则p： x0R，x 02+x0+10B若 a，bR，则 2a2 b 是 a2b 2 的充要条件C若 pq 是真命题，则 p 一定是真命题Dn N，n 22 n4
2、 （3 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bsin（A+ ）asinB，则角 A 等于（ ）A B C D5 （3 分）若变量 x，y 满足 ，则目标函数 z4 x（ ） y 的最大值为（ ）A B C4 D166 （3 分）某程序框图如图所示，若输出 S2，则判断框中 M 为（ ）Ak7？ Bk7？ Ck8？ Dk 8？7 （3 分）已知 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，且 f（x+4）f（x） ；当 x（0，2）时，f（x）x 2+lnx，则 f（2019）（ ）第 2 页（共 24 页）A1 B0 C1
3、 D28 （3 分）将函数 f（x ）sinxcosx 的图象向右平移 个单位后得到函数 g（x）的图象，若对于任意 xR 都有 g（+x ）g（x） ，则 tan2（ ）A B C D9 （3 分）已知直线 l 过抛物线 C：y 23x 的焦点 F，交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于点P，若 ，则|AB|（ ）A3 B4 C6 D810 （3 分）某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A41 B48 C51 D16411 （3 分）已知 a，b 为正实数，直线 yxa+2 与曲线 ye x+b1 相切，则
4、的最小值为（ ）A1 B2 C4 D812 （3 分）在ABC 中，B30，BC ，AB2，D 是边 BC 上的点，B，C 关于直线 AD 的对称点分别为 B， C，则BBC 面积的最大值为（ ）A B C D二、填空题13 （3 分）若（ ） n 的展开式中各项的二项式系数之和为 64，则展开式中的常数项为 14 （3 分）在ABC 中， 2 ，AB1，AC 2，BAC 60，则 15 （3 分）若从区间0，2内随机取两个数，则这两个数之积大于 2 的概率为 第 3 页（共 24 页）
5、16 （3 分）已知双曲线 C： 1（a0，b0）的右焦点为 F，以 F 为圆心，以|OF|为半径的圆交双曲线 C 的右支于 P，Q 两点（O 为坐标原点） ，OPQ 的一个内角为 60，则双曲线 C 的离心率为 三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a32，S 6 15（）求数列a n的通项公式；（）若从数列a n中依次取出第 1 项，笫 2 项，第 4 项，第 8 项，第 2n1 项，按原来的顺序组成一个新的数列b n，求数列b n的前 n 项和 Tn18如图，在直角梯形 ABED 中，AB
6、DE ，ABBE ，且 AB2DE2BE，点 C 是 AB 中点，现将ACD 沿 CD 折起，使点 A 到达点 P 的位置（）求证：平面 PBC平面 PEB；（）若 PE 与平面 PBC 所成的角为 45，求平面 PDE 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值19有一片产量很大的水果种植园，在临近成熟时随机摘下某品种水果 100 个，其质量（均在 1 至 11kg）频数分布表如下（单位：kg）：分组 1，3） 3，5） 5，7） 7，9） 9，11）频数 10 30 40 15 5以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率（）由种植经验认为，种植园内的水果质量 X 近似服从正态分布
7、N（， 2） ，其中 近似为样本平均数 ， 24请估计该种植园内水果质量在（5.5，9.5）内的百分比；（）现在从质量为1，3） ， 3，5） ，5，7）的三组水果中，用分层抽样方法抽取 8 个水果，再从这 8 个水果中随机抽取 2 个若水果质量在1，3） ，3 ，5） ，5，7）的水果第 4 页（共 24 页）每销售一个所获得的利润分别为 2 元，4 元，6 元，记随机抽取的 2 个水果总利润为 Y元，求 Y 的分布列和数学期望附：若 服从正态分布 N（， 2） ，则 P（+）0.6827，P（2+2）0.954520在平面直角坐标系中，若 （x+ ） ， （x ） ，且| |+| |4（）
8、求动点 M（x，y）的轨迹 C 的方程；（）设（）中曲线 C 的左、右顶点分别为 A、B ，过点（1，0）的直线 l 与曲线 C交于两点 P，Q（不与 A，B 重合） 若直线 PB 与直线 x4 相交于点 N，试判断点A，Q，N 是否共线，并说明理由21已知函数 f（x ）xa（lnx） 2，aR（）当 a1，x1 时，试比较 f（x）与 1 的大小，并说明理由；（）若 f（x）有极大值，求实数 a 的取值范围；（）若 f（x）在 xx 0 处有极大值，证明：1f （x 0） 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） （）以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为
9、极轴建立极坐标系，求曲线 C 的极坐标方程；（）若射线 与曲线 C 有两个不同的交点 A，B，求 的取值范围23已知函数 f（x ）|x 1|+|x+2|，记 f（x）的最小值为 m（）解不等式 f（x ）5；（）若正实数 a，b 满足 ，求证： 2m第 5 页（共 24 页）2019 年山东省济宁市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （3 分）复数 z 的共轭复数是（ ）A1+i B1i C1+i D1i【分析】化简复数，即可得其共轭复数【解答】解：化简可得复数 z 1+i，复数 z 的共轭复数为：1i故选
10、：B【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及共轭复数，属基础题2 （3 分）设集合 Ax|log 2x0，B x|13 x27，则（ RA）B（ ）A （0，1） B （1，3 C （1，3） D1 ，3）【分析】根据题意，求出集合 A、B，进而由补集定义求出 RA，进而计算其交集即可得答案、【解答】解：根据题意，Ax|log 2x0（0，1 ，B（ 0，3） ，则 RA（，0（1，+） ，则（ RA）B（1，3） ；故选：C【点评】本题考查集合的交并补的混合运算，涉及对数与指数不等式的求解，属于基础题3 （3 分）下列结论正确的是（ ）A若命题 p：xR，x 2
11、+x10，则p： x0R，x 02+x0+10B若 a，bR，则 2a2 b 是 a2b 2 的充要条件C若 pq 是真命题，则 p 一定是真命题Dn N，n 22 n【分析】A 选项全称命题的否定为特称命题；B 选项充要条件必须满足“2 a2 b”与“a2b 2”可互相推导，C 选顶 pvq 为真命题，则 p 或 q 一真即可；D 选项中特称命题第 6 页（共 24 页）是否成立只需找特例【解答】解：A 选项中，p 应为x oR，x o2+xo+10；B 选项中， “2a2 b”是“a 2b 2”的既不充分也不必要条件，C 选项中，pvq 是真命题，则 p 是真命题或 q 是真命题，D 选项
12、中，存在 n3 时，n 22 n 成立，故选：D【点评】本题考察常用逻辑用语的常考点，包括命题的真假性的判断，全称命题与特称命题的否定，命题的充分必要关系，且或非命题的真假性4 （3 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bsin（A+ ）asinB，则角 A 等于（ ）A B C D【分析】已知边角关系式，利用正弦定理把边化角，即可求出角 A【解答】解：由正弦定理得，sinBsin （A+ ）sinAsinB，sinB0，sin（A+ ） sinA，即 sinA cosA，tanA ，0A，A 故选：B【点评】本题主要考察了正弦定理的应用边角互化利用
13、 a2RsinA，b2RsinB化简已知边角关系即可5 （3 分）若变量 x，y 满足 ，则目标函数 z4 x（ ） y 的最大值为（ ）A B C4 D16【分析】作出可行域，再求目标函数 z4 x（ ） y（即 t2xy ）的最优解，代入求最值第 7 页（共 24 页）【解答】解：由线性约束条件 ，画出可行域，如下图所示阴影部分所示由目标函数 z4 x（ ） y2 2xy ，令 t2xy ，则 y2xt，令 t0，作出直线 y2x，并作出一系列平行线，则在点 A（2，0）处，t2xy 取得最大值为 4，故 z4 x（ ） y 的最大值为 16故选：D【点评】本题考查简单的线性规
14、划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题6 （3 分）某程序框图如图所示，若输出 S2，则判断框中 M 为（ ）Ak7？ Bk7？ Ck8？ Dk 8？【分析】先运行程序，结合数列裂项法 化简每步所求 S，直到S2 时判断 k 的值【解答】解：当 k1 时，S 1；当 k2 时，S + ；第 8 页（共 24 页）当 k3 时，S 1；当 k4 时，S1+ 2 1；当 k5 时，S 1+ 1；当 k8 时，S 12，即 k8 时程序结束，此时 k8，故选：B【点评】本题是程序框图的常考题之一，已知输出值求条件框的判断条件时，需先运行程序，属于基础题7 （3 分）已知 f（x ）是定
15、义在 R 上的奇函数，且 f（x+4）f（x） ；当 x（0，2）时，f（x）x 2+lnx，则 f（2019）（ ）A1 B0 C1 D2【分析】根据题意，由 f（x +4）f（x）可得 f（x）是周期为 4 的周期函数，据此可得f（2019）f（1） ，结合函数的奇偶性与解析式分析可得 f（1）的值，即可得答案【解答】解：根据题意，f（ x）满足 f（x+4）f （x） ，则 f（x）是周期为 4 的周期函数，则 f（2019）f（1+5054）f（1） ，又由 f（x）为奇函数，则 f（1）f （1） ，又由当 x（0， 2）时，f（x ） x2+lnx，则 f（1）1，则
16、f（2019）f（1）f（1）1；故选：A【点评】本题主要考查函数的奇偶性及周期性的综合应用，关键是分析函数的周期，属于基础题8 （3 分）将函数 f（x ）sinxcosx 的图象向右平移 个单位后得到函数 g（x）的图象，若对于任意 xR 都有 g（+x ）g（x） ，则 tan2（ ）A B C D【分析】先由平移变换求出函数 g（x）的解析式，再根据 g（+x）g（x ） ，所以g（x）的图象关于 x 对称，则求出 g（x）的对称轴即可得 的值，再代入即可求tan2第 9 页（共 24 页）【解答】解：由 f（x ）sinxcosx 的图象向右平移 个单位后得到函数g（x）
17、又因为 g（+x ）g（ x） ，所以 g（x）的图象关于 x 对称令 ，得 x ，kz ，k z则 tan2tan tan 故选：C【点评】本题综合考察三角函数的图象与性质及三角函数的平移变换，其中需注意：（1、ysin x 的图象向左移动 （0）个单位长度后得到 ysin （x+）的图象；（2、若对于任意 x 都有 f（a+x）f（ax ） ，则 f（x）的对称轴为 xa9 （3 分）已知直线 l 过抛物线 C：y 23x 的焦点 F，交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于点P，若 ，则|AB|（ ）A3 B4 C6 D8【分析】先求出抛物线的焦点及准线，由向量关系可得
18、F 是 AP 的中点，再利用三角形中位线求出点 A 到准线的距离，从而求出 A 的坐标，进而确定直线 AF 的方程，再联立直线与抛物线方程求出两交点横坐标之和，代入焦点弦|AB| x 1+x2+p 求值【解答】解：如下图所示：不妨设 A 在第一象限，由抛物线 C：y 23x 可得 F（ ，0） ，准线 DP：x因为 ，所以 F 是 AP 的中点则 AD2CF3所以可得 A（ ， ）则 KAF ，所以直线 AP 的方程为：y （x ）联立方程 整理得：x 2 x+ 0所以 x1+x2 ，则| AB|x 1+x2+p + 4故选：B第 10 页（共 24 页）【点评】本题主要考查抛物线
19、的图象与性质属中档题10 （3 分）某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A41 B48 C51 D164【分析】先由三视图还原几何体，再求其外接球的半径即可求表面积【解答】解：由三视图可得该几何体为三棱锥，其中，DAAB ，BCAB，ABAD 4，BC 3CD 的中点 E 到所有顶点的距离相等，E 为外接球球心 ，外接球半径为：r ，则表面积为：4r 241 第 11 页（共 24 页）故选：A【点评】本题主要考查由三视图还原几何体的形状及锥体外接球的表面积的求法，是中档题11 （3 分）已知 a，b 为正实数，直线 yxa+2 与曲线 y
20、e x+b1 相切，则 的最小值为（ ）A1 B2 C4 D8【分析】直线与曲线相切，则切点在直线与曲线上，且切点处的导数相等，求出 a，b的关系，再利用基本不等式求所求分式的最值【解答】解：由 yx a+2 得 y1；由 ye x+b1 得 yye x+b；因为直线 yxa+2 与曲线 ye x+b1 相切，令 ex+b1，则可得 xb，代入 ye x+b1 得 y0；所以切点为（b，0） 则ba+20，所以 a+b2故 （a+b） （ ）1+ + 1+2 2，当且仅当 ab1 时等号成立，此时取得最小值 2故选：B【点评】本题主要考查导数的意义及基本不等式的综合应用关于直线与曲
21、线相切，求未知参数的问题，一般有以下几步：1、分别求直线与曲线的导函数；2、令两导数相等，求切点横坐标；3、代入两方程求参数关系或值12 （3 分）在ABC 中，B30，BC ，AB2，D 是边 BC 上的点，B，C 关于直线 AD 的对称点分别为 B， C，则BBC 面积的最大值为（ ）A B C D【分析】由题意可知ABC 为直角三角形，建立直角坐标系，求直线 AD，EB 的方程，再求点 B 到直线 AD，及点 C 到直线 BE 的距离，则可求BBC 面积，再讨论其最大值【解答】解：由 B30，BC ，AB2，可得ABC 为直角三角形，且 C90则以 C 为原点，CA 为 x
22、轴，CB 为 y 轴建立如下图所示直角坐标系则 A（1，0） ，B（0， ） ，C （0，0） ，设 D（0，） ， （0 ） ，则直线 AD：y（x 1） ，即 x+y0，第 12 页（共 24 页）过点 B 作直线 AD 的垂线，与 AD 交于点 E，则| BE| ；又因为直线 BE：y ，即 ，此时 C 到直线 BE 的距离为：h ，所以 BB ，C 到 BB的距离为 h ，则所求面积 S ，因为 S ，所以当 时，S0；当 时，S0；所以当 时，S max ，故选：A【点评】本题是一道综合题，主要利用转化思想，其中需要熟悉直线方程的求解及点到直线的距离；分析最大值时可利用求
23、导数，判断单调性求最值二、填空题13 （3 分）若（ ） n 的展开式中各项的二项式系数之和为 64，则展开式中的常数项为 60 第 13 页（共 24 页）【分析】各项的二项式系数之和为 64，可得 2n64，求 n，再利用通项公式即可求常数项【解答】解：各项的二项式系数之和为 64，2 n64，即 n6；通项公式 令 ，解得 r2展开式中常数项为 故答案为：60【点评】本题考查二项式定理的应用，熟记二项式的通项公式是关键，是基础题14 （3 分）在ABC 中， 2 ，AB1，AC 2，BAC 60，则 2 【分析】把 、 作为已知向量表示出 、 ，再求数量积即可【解答】解： ， + + （
24、 ） + （ ）（ ） + 12 + 222故答案为：2【点评】本题综合考查向量的加减法运算及数量积注意当模已知及两向量夹角已知时，可把这两个向量作为已知向量来表示其他向量，进而求未知向量的数量积问题15 （3 分）若从区间0，2内随机取两个数，则这两个数之积大于 2 的概率为 【分析】由两个数之积大于 2 先求直角坐标系中满足条件的点所构成的面积，再除以所有点构成的总面积求概率【解答】解：设这两个数为 x，y，则 x，y0，2，且 xy2，令 xy2，则 y ，则可作出如下图所示图象第 14 页（共 24 页）要使 xy2，则 x，y 必须在曲线的上方故曲线上方与正方形的共同部
25、分的面积为： ，则所求概率为： 故答案为： 【点评】本题主要考查几何概型的应用，考查利用定积分求曲边梯形的面积，是中档题16 （3 分）已知双曲线 C： 1（a0，b0）的右焦点为 F，以 F 为圆心，以|OF|为半径的圆交双曲线 C 的右支于 P，Q 两点（O 为坐标原点） ，OPQ 的一个内角为 60，则双曲线 C 的离心率为 【分析】由双曲线的对称性及OPQ 的一个内角为 60，可得OPQ 为等边三角形，进而求点 P 的坐标，再由 P 在双曲线上，代入双曲线方程，由 b2c 2a 2 代入化简即可求离心率 e【解答】解：如图所示 OP OQ，且OPQ 的一个内角
26、为 60，则OPQ 为等边三角形，所以 OPPQ，设圆与 x 轴交于 G，连接 PF，PG ，则OPG90 ，由POG 30 ，可得OGP60，可得 PGPFFGc ，由 OG2c，可得 OP c，PQ c 即 PH c，第 15 页（共 24 页）可得 OH c，故 P（ c， c） ，又因为 P 为双曲线上一点，所以 1，由 b2c 2a 2，e ，且 e1，可得9e416e 2+4 0，解得 e2 ，解得 e ，故答案为： 【点评】本题主要考查双曲线的性质，是一道综合的题目解决本类题目关键是要数形结合分析题意，从图中挖掘条件三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17已
27、知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a32，S 6 15（）求数列a n的通项公式；（）若从数列a n中依次取出第 1 项，笫 2 项，第 4 项，第 8 项，第 2n1 项，按原来的顺序组成一个新的数列b n，求数列b n的前 n 项和 Tn【分析】 （）由等差数列的通项公式及前 n 项和公式代入求 a1，d，即可求通项公式an；（）先求数列b n的通项公式，再利用分组求和法求前 n 项和【解答】解：（）设等差数列a n的公差为 d，a 32， S615可得 a1+2d2，6a 1+15d15，第 16 页（共 24 页）解得 a10，d1，则 ann1；（）由题意知 bna 2 n
28、1 1，前 n 项和 Tn（1+2+4+ +2n1 ）n n2 n1n【点评】本题主要考查等差数列的通项公式及前 n 项和公式，以及分组求和法题目较为简单，难度较小18如图，在直角梯形 ABED 中，AB DE ，ABBE ，且 AB2DE2BE，点 C 是 AB 中点，现将ACD 沿 CD 折起，使点 A 到达点 P 的位置（）求证：平面 PBC平面 PEB；（）若 PE 与平面 PBC 所成的角为 45，求平面 PDE 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值【分析】 （）先证 EB平面 PBC，由线面垂直证明面面垂直；（）先找垂直关系后建立空间直角坐标系，利用向量法求出两面的法向量，进而求所
29、成二面角的余弦值【解答】 （）证明：ABDE，AB2DE，点 C 是 AB 中点，CBED，CBED，则四边形 BCDE 为平行四边形，CDEB ，又 EBAB，CDAB，CDPC，CDBC，则 CD平面 PBC，EB平面 PBC，又EB 平面 PEB，平面 PBC平面 PEB；（）由（）知 EB平面 PBC，第 17 页（共 24 页）EPB 即为 PE 与平面 PBC 所成的角，得EPB 45，EB平面 PBC，EBPB，则PBE 为等腰直角三角形，得 EBPBBCPC，故PBC 为等边三角形，取 BC 的中点 O，连结 PO，则 POBC ，EB平面 PBC，又 EB平面 EBCD，平面
30、 EBCD平面 PBC，又 PO平面 PBC，PO平面 EBCD，以 O 为坐标原点，过点 O 与 BE 平行的直线为 x 轴，CB 所在的直线为 y 轴，QP 所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系如图，设 BC2，则 B（0，1，0） ，E（2，1，0） ，D（2，1，0） ，P（0，0， ） ，从而 ， ，设平面 PDE 的一个法向量为 ，则由 ，令 z2，得 ，又平面 PBC 的一个法向量 ，则 cos ，平面 PDE 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值为 【点评】本题是一道立体几何综合题，考查面面垂直的证明及二面角的求解其中需注意：证明面面垂直，需先找线面垂直，即先证明其中一个平面
31、内的一条直线垂直于另一平面内的两条相交直线；求解二面角的步骤：一是先建立空间直角坐标系，求出所需点或所求两面内的向量的坐标；二是求两平面的法向量；三是利用法向量研究二面角的余弦值第 18 页（共 24 页）19有一片产量很大的水果种植园，在临近成熟时随机摘下某品种水果 100 个，其质量（均在 1 至 11kg）频数分布表如下（单位：kg）：分组 1，3） 3，5） 5，7） 7，9） 9，11）频数 10 30 40 15 5以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率（）由种植经验认为，种植园内的水果质量 X 近似服从正态分布 N（， 2） ，其中 近似为样本平均数 ， 24请估
32、计该种植园内水果质量在（5.5，9.5）内的百分比；（）现在从质量为1，3） ， 3，5） ，5，7）的三组水果中，用分层抽样方法抽取 8 个水果，再从这 8 个水果中随机抽取 2 个若水果质量在1，3） ，3 ，5） ，5，7）的水果每销售一个所获得的利润分别为 2 元，4 元，6 元，记随机抽取的 2 个水果总利润为 Y元，求 Y 的分布列和数学期望附：若 服从正态分布 N（， 2） ，则 P（+）0.6827，P（2+2）0.9545【分析】 （）先求平均值，再分析数据所在范围，求正态分布概率；（）由分层抽样求出抽取的样本，再确定总利润 Y 的取值，求出对应的概率即可【解答】解：（） +
33、105）5.5，由正态分布知，P（5.5X 9.5）P （+2 ） P（2 +2） 0.95450.47725该种植园内水果质量在（5.5，9.5）内的百分比为 47.725%；（）由题意知，从质量在1，3） ，3 ，5） ，5，7）的三组水果中抽取的个数分别为1，3，4，Y 的取值为 6，8，10，12则 P（Y 6） ；P（Y 8） ；第 19 页（共 24 页）P（Y 10） ；P（Y 12） Y 的分布列为：Y 6 8 10 12pE（Y） 【点评】本题主要考查正态分布及随机变量 Y 的分布列和数学期望本题有两个易错点，一是正态分布的三个概率公式中数据的范围是由平均值与标准差确定，注意
34、不是方差；二是列分布列时应全面考虑，把所有可能情况都列出来，再求出对应的概率，是中档题20在平面直角坐标系中，若 （x+ ） ， （x ） ，且| |+| |4（）求动点 M（x，y）的轨迹 C 的方程；（）设（）中曲线 C 的左、右顶点分别为 A、B ，过点（1，0）的直线 l 与曲线 C交于两点 P，Q（不与 A，B 重合） 若直线 PB 与直线 x4 相交于点 N，试判断点A，Q，N 是否共线，并说明理由【分析】 （）由| |+| |4，得点到两定点的距离之和为常数，可得动点轨迹为椭圆；（）分类讨论直线 l 的方程，斜率不存在时可直接求出所需点的坐标；斜率存在时则先设出直线方程，联立直线
35、方程与椭圆方程求出交点关系，再求出点 N，利用 kAQ，k AN的关系判断即可【解答】解：（）设 F1（ ，0） ，F 2（ ，0） ，则| |+| | |MF 1|+|MF2|4|F 1F2|动点 M（x，y）的轨迹是以 F1（ ） ，F 2（ ）为焦点的椭圆，设其方程为 + 1， （ab0） ，则 2a4，2c2 ，即 a2，c ，b 2a 2c 21动点 M（x，y）的轨迹 C 的方程为 1第 20 页（共 24 页）（） 当直线 l 的斜率不存在时，l ：x1，不妨设 P（1， ） ，Q （1， ） ，直线 PB 的方程为 y （x 2） ，令 x4，得 N（4， ） k AQk AN
36、 点 A，Q，N 共线当直线 l 的斜率存在时，设 l：yk（x1） ，设 P（x 1，y 1） ，Q（x 2，y 2） 由 ，消 y 得（1+4k 2）x 28k 2x+4k240，由题意知0 恒成立，故 x1+x2 ，x 1x2 ，直线 PB 的方程为 y ，令 x4，得 N（4， ） k AQ kAN ，上式中的分子：3k（x 12） （x 21）k（x 2+2） （x 11）2kx 1x25k（x 1+x2）+8k2k 5k （ ）+8k 0k AQ kAN，点 A，Q，N 共线综上可知，点 A，Q，N 共线【点评】圆锥曲线综合题是高考常考题型，难度较大，一般解题思路是：（1）先设出未
37、知的点与直线方程；（2）联立直线与圆锥曲线方程，并进行消元化简，得到关于 x或 y 的一元二次方程形式；（3）利用韦达定理求出两横坐标（或纵坐标）的关系；（4）再探讨所求问题与上述所得 x 或 y 的关系式的关系，进而解决所求问题21已知函数 f（x ）xa（lnx） 2，aR（）当 a1，x1 时，试比较 f（x）与 1 的大小，并说明理由；（）若 f（x）有极大值，求实数 a 的取值范围；（）若 f（x）在 xx 0 处有极大值，证明：1f （x 0） 第 21 页（共 24 页）【分析】第（）问把 a1 代入后求 f（x ）的导数，分析导数的情况，求 f（x）在（1，+）上的最小值，再与
38、 1 比较；第（）问先求 f（x ）的导数，令 h（x）x2alnx， （x0） ，利用 h（x）的单调性讨论其取值范围，进而判断 f（ x）是否有极大值；第（）问先由（）的结论 alnx0 求出 f（x 0） ，再构建新函数 p（x）x ；，判断 p（x ）在（1，e ）的单调性即可【解答】解：（）当 a1，x1 时，函数 f（x）x（lnx） 2，x1f（x）1 2（lnx ） ，令 g（x）x2lnx，x1，则：g（x）12 ，当 x（1，2）时， g（x）0，g（x）单调递减，当 x（2，+）时，g（x）0，g（x）单调递增；g（x）g（2）22ln20，即：f（x）0；f（x）在（1
39、 ，+）上单调递增f（x）f（1）1故当 a1，x1 时；f（x）1（）f（x ）12a（lnx） ，x0，令 h（x）x2alnx ，x0，则：g（x）12a ，当 a 0 时， f（x ）x 无极大值当 a 0 时， h（x）0，h（x）在（0，+）上单调递增；h（1）10，h（ ） 10，x1（ ，1 ） ，使得：h（ x1）0当 x（0，x 1）时，f（x）0，f（x）单调递减，当 x（x 1，+）时，f（x）0，f（x）单调递增，f（x）在 xx 1 处有极小值，f （x）无极大值当 a 0 时， h（x）在（0，2a）上单调递减，h（x）在（2a，+）上单调递增，f（x）有极大值，
40、第 22 页（共 24 页）h（2a）2a2aln2a2a （1ln 2a）0，即：a ，又 h（1）10，h（e）e2a0，x 0（ 1，e） ，使得：h（x 0）x 02alnx 00即：alnx 0 x0；当 x（0，x 0）时，f（x）0，f（x）单调递增，当 x（x 0，e）时，f（x）0，f（x ）单调递减，f（x）有极大值，综上所述，a ，（）证明：由（）可知：alnx 0 x0；f（x 0）x 0a（lnx 0） 2x 0 ， （1x 0e） ，设 p（x）x ， （1x 0e） ，则 p（x）1 0，p（x）在（1，e ）上单调递增，p（1）p（x）p（e ） ，即：1p（x
41、 ） ，故 1p（x 0） ，故答案为：（）a1，x1 时；f （x）1；（）a ， （）见证明；【点评】本题是一道函数的综合题，难度大，解题过程较为复杂，得多次求导，并分析与判断一般求解此类题目有以下几点思路：1、先求导函数；2、求出的导函数较为复杂，且分母取值确定时，可取分子定义为新函数，再次求新函数的导数，判断新函数的取值范围，进而求原函数的取值；3、注意有未知参数时一定要进行分类讨论22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） （）以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线 C 的极坐标方程；（）若射线 与曲线 C 有两个不同的交点 A
42、，B，求 的取值范围【分析】 （）将所给的参数方程消去参数 即可确定曲线的直角坐标方程，然后将直角坐标方程转化为极坐标方程即可；（）联立（）中的极坐标方程和直线的极坐标方程，结合韦达定理和参数的几何意第 23 页（共 24 页）义即可确定 + 的取值范围【解答】解：（）曲线 C 的直角坐标方程为（ x+1） 2+（y ） 21，即 x2+y2+2x2 +30，又 x2+y2 2，x cos，y sin曲线 C 的极坐标方程为 2+2（cos ）+30（）把 代入 0 得2+2（cos +30设 A（ 1，） ，B（ 2，）则 1+22（ ， 123所以 + + sin（ ） ，又射线 与曲线
43、C 有两个不同的交点 A，B， ， ， ）1， + ，的取值范围为（ ， ） 【点评】本题主要考查直角坐标与极坐标的互化，参数方程与普通方程的互化，参数方程的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力属中档题23已知函数 f（x ）|x 1|+|x+2|，记 f（x）的最小值为 m（）解不等式 f（x ）5；（）若正实数 a，b 满足 ，求证： 2m【分析】 （）由题意结合不等式的性质零点分段求解不等式的解集即可；（）首先确定 m 的值，然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式【解答】解：（）当 x1 时，f（x ）（x1）+（x+2）2x+15，即 x2，1x 2；当 2x1 时，f（x ）（1x）+（x+2）35，2x1；当 x2 时，f（x ）（1x）（x+2）2x15，第 24 页（共 24 页）即 x3，3x 2综上所述，原不等式的解集为x|3x2；（）f（x） |x1|+|x+2|（x 1）（x+2）|3，当且仅当2x1 时，等号成立f（x）的最小值 m3 ，即 ，当且仅当 即 3a2b 时，等号成立又 ，a ，b 时，等号成立 2m【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式及其应用，绝对值三角不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属中档题