1、2019 年山东省聊城市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1 （5 分）设集合 Ax| x22x ，Bx|1x 4 ，则 AB（ ）A （，4） B0，4 C （1，2 D （1，+）2 （5 分）已知 a，bR，ai ，则 a+bi 的共轭复数为（ ）A2i B2+i C2i D2+i3 （5 分）对于实数 a，b，c， “ab”是“ac 2bc 2”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4 （5 分）已知
2、Sn 为等差数列a n的前 n 项和，若 S416 ，S 5S 3+24，则 a6（ ）A4 B12 C18 D205 （5 分）已知函数 则 f（2019）（ ）A2 B C2 De +46 （5 分）1927 年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘 3 加 1，如果它是偶数，对它除以 2，这样循环，最终结果都能得到1有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域” ，这大概与其蕴含的“奇偶归一”思想有关如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则输出 i 的值为（ ）A8 B7 C6
3、D5第 2 页（共 26 页）7 （5 分）已知 展开式中前三项的二项式系数的和等于 22，则展开式中的常数项为（ ）A B C D8 （5 分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图，侧视图都是两个正方形，俯视图为一个圆及圆中互相垂直的半径，则该几何体的体积为（ ）A B C D29 （5 分）函数 的图象大致为（ ）ABCD10 （5 分）将函数 ysin2x 的图象向右平移 （ 0）个单位后与 ysin2x 的图象重合，则 的最小值为（ ）A B C D第 3 页（共 26 页）11 （5 分）已知抛物线 C：y 24x 的焦点为 F，过 F
4、 的直线与抛物线 C 交于 A、B 两点，若以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切于 P（m ，2） ，则|AB|（ ）A10 B8 C6 D412 （5 分）已知 f ，若g +x，方程 g（ax）x 0 有且只有一个根，则 a 的取值范围是（ ）A B （， C （0， D （，0 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）13 （5 分）已知实数 x，y 满足 则 zy 2 x 的最小值是 14 （5 分）已知向量 （m ，1） ， （4，m ） ， | | |，则 m 15 （5 分）
5、已知 O 为坐标原点， F 为椭圆 的右焦点，过点 F 的直线在第一象限与椭圆 C 交与点 P，且POF 为正三角形，则椭圆 C 的离心率为 16 （5 分）对于数列 的“优值” 已知某数列a n的“优值”H n2 n+1，记数列a nkn的前 n 为 Sn，若 SnS 5 对任意的nN*，恒成立，则实数 k 的取值范围为 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60分.17 （12 分）如图在ABC
6、 中，D 是边 BC 上一点，AB AC，BD1，sin CAD 3sinBAD（1）求 DC 的长；（2）若 AD2，求ABC 的面积第 4 页（共 26 页）18 （12 分）如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，E 为 CD 的中点，以 AE 为折痕把ADE 折起，使点 D 到达点 P 的位置，且PAB60 （1）求证：平面 PEC平面 PAB；（2）求二面角 PAE B 的余弦值19 （12 分）已知以椭圆 的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为 4 的正方形（1）求椭圆 E 的方程；（2）直线 l：y kx+m（km 0）与椭圆 E 交于异于椭圆顶点的 A，B 两点，O
7、 为坐标原点，直线 AO 与椭圆 E 的另一个交点为 C 点，直线 l 和直线 AO 的斜率之积为 1，直线BC 与 x 轴交于点 M若直线 BC，AM 的斜率分别为 k1，k 2，试判断 k1+2k2 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由20 （12 分）某企业生产一种产品，从流水线上随机抽取 100 件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图（如图 1）：第 5 页（共 26 页）规定产品的质量指标值在65，75）的为劣质品，在75 ， 105）的为优等品，在105，115|的为特优品，销售时劣质品每件亏损 1 元，优等品每件盈利 3 元，特优品每件盈利 5 元以这 100 件
8、产品的质量指标值位于各区间的频率代替产品的质量指标值位于该区间的概率（1）求每件产品的平均销售利润；（2）该企业为了解年营销费用 x（单位：万元）对年销售量 y（单位：万件）的影响，对近 5 年年营销费用 xi 和年销售量 yi（i 1，2，3，4，5 ）数据做了初步处理，得到如图 2 的散点图及一些统计量的值ui vi （u i ）（v i ）（u i ） 216.30 23.20 0.81 1.62表中 uilnx i，v ilny i， ui， vi根据散点图判断，yax b 可以作为年销售量 y（万件）关于年营销费用 x（万元）的回归方程求 y 关于 x 的回归方程；用所求的回归方程估
9、计该企业应投人多少年营销费，才能使得该企业的年收益的预报值达到最大？（收益销售利润营销费用，取 e3.0120）附：对于一组数据（u 1，v 1） ， （u 2，v 2） ， （u n，v n）其回归直线 v+u 均斜率和第 6 页（共 26 页）截距的最小二乘估计分别为 ， 21 （12 分）已知函数 有两个极值点（1）求 a 的取值范围；（2）x 1，x 2（x 1x 2）f（x ）的两个极值点，证明： 2lnx1+lnx20（二）选考题：共 10 分，请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）在直
10、角坐标系 xOy 中，曲线 （ 为参数） 以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为（1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；（2）若曲线 C 与直线 l 交于 A，B 两点，点 P（1，0） ，求 的值选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知函数 f（x ）2|x +1| x2|（1）求不等式 f（x ）3 的解集；（2）若 xa， 1， （其中 a1） ，f（x ）|xa| 恒成立，求实数 a 的取值范围第 7 页（共 26 页）2019 年山东省聊城市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题
11、 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1 （5 分）设集合 Ax| x22x ，Bx|1x 4 ，则 AB（ ）A （，4） B0，4 C （1，2 D （1，+）【分析】先分别求出集合 A，B，由此能求出 AB【解答】解：集合 Ax| x22x x|0x 2 ，B x|1x4，ABx|0 x40，4故选：B【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2 （5 分）已知 a，bR，ai ，则 a+bi 的共轭复数为（ ）A2i B2+i C2i D2+i【分析】利用复数代数形式的乘除
12、运算化简，再由复数相等的条件求得 a，b，则答案可求【解答】解：ai ，a2，b1a+bi 的共轭复数为 2i故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题3 （5 分）对于实数 a，b，c， “ab”是“ac 2bc 2”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】不等式的基本性质， “ab”“ac 2bc 2”必须有 c20 这一条件【解答】解：主要考查不等式的性质当 C0 时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边故选：B第 8 页（共 26 页）【点评】充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件
13、4 （5 分）已知 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，若 S416 ，S 5S 3+24，则 a6（ ）A4 B12 C18 D20【分析】由题意易得数列的公差和首项，进而可得 a6【解答】解：由 S416，S 5S 3+24，可得可得 a12，d4，则 a62+5418，故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式和求和公式，属于基础题5 （5 分）已知函数 则 f（2019）（ ）A2 B C2 De +4【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得 f（2019）f （2017）f（1） ，进而求出 f（1）的值，即可得答案【解答】解：根据题意，函数 ，则 f（2
14、019）f（2017）f（1） ，又由 f（1）e 0+12；故选：A【点评】本题考查分段函数的求值计算，关键是分析函数的解析式，属于基础题6 （5 分）1927 年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘 3 加 1，如果它是偶数，对它除以 2，这样循环，最终结果都能得到1有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域” ，这大概与其蕴含的“奇偶归一”思想有关如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则输出 i 的值为（ ）第 9 页（共 26 页）A8 B7 C6 D5【分析】根据程序框图进行模拟运算即可【解答】
15、解：a3，a1 不满足，a 是奇数满足，a10，i2，a10，a1 不满足，a 是奇数不满足，a5，i3，a5，a1 不满足，a 是奇数满足，a16，i4，a16，a1 不满足，a 是奇数不满足，a8，i5，a8，a1 不满足，a 是奇数不满足，a4，i6，a4，a1 不满足，a 是奇数不满足，a2，i7，a2，a1 不满足，a 是奇数不满足，a1，i8，a1，a1 满足，输出 i8 ，故选：A【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，利用模拟运算法是解决本题的关键比较基础7 （5 分）已知 展开式中前三项的二项式系数的和等于 22，则展开式中的常数项为（ ）A B C D【分析】
16、由展开式二项式系数的运算得： 22，又 nN+解得：n6，由展开式通项公式得：T r+1 （ ） 6r （x 2） r（1） r（ ） 6r x3r6 ，令3r60，解得 r2，则展开式中的常数项为：（1） 2（ ） 4 ，得解【解答】解：由题意有 22，第 10 页（共 26 页）又 nN+解得：n6，由二项式 展开式通项得：T r+1 （ ） 6r （x 2） r（1） r（ ）6r x3r6 ，令 3r60，解得 r2，则展开式中的常数项为：（1） 2（ ） 4 ，故选：A【点评】本题考查了展开式二项式系数及展开式通项公式，属中档题8 （5 分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图，侧视
17、图都是两个正方形，俯视图为一个圆及圆中互相垂直的半径，则该几何体的体积为（ ）A B C D2【分析】由已知中的三视图可得：该几何体为一个长方体与半球的组合体，进而可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体为两个圆柱的组合体；上面的圆柱去掉部分的组合体，底面半径为：1，圆柱的高为 1，故体积 V ，故选：C第 11 页（共 26 页）【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，难度不大，属于基础题9 （5 分）函数 的图象大致为（ ）ABCD【分析】利用函数的奇偶性得到图象关于原点对称，利用 f（ ）f （ ） ，进行排除即可【解答】解：f（x ） f（x
18、）则函数 f（x）是奇函数，排除 C，分母 2+cosx0，则当 0x 时，sinx0，则 f（x）0，排除 D，f（ ） f（ ） ，则 B 不满足条件故选：A【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和函数值的对应性，利用排除法是解决本题的关键10 （5 分）将函数 ysin2x 的图象向右平移 （ 0）个单位后与 ysin2x 的图象重合，则 的最小值为（ ）第 12 页（共 26 页）A B C D【分析】利用三角函数的图象平移关系建立方程求出 的值即可【解答】解：ysin2x 的图象向右平移 （ 0）个单位后得到 ysin2（x）sin（2x2）与 ysin
19、2xsin（2x +）的图象重合，则2 +2k，即 k，当 0 时，当 k1 时， 取得最小值，故选：D【点评】本题主要考查三角函数的图象变换，结合三角函数的性质建立方程是解决本题的关键比较基础11 （5 分）已知抛物线 C：y 24x 的焦点为 F，过 F 的直线与抛物线 C 交于 A、B 两点，若以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切于 P（m ，2） ，则|AB|（ ）A10 B8 C6 D4【分析】利用抛物线的性质，求出 AB 中的纵坐标，设出直线 l 的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求解直线的斜率，然后利用圆的性质求解|AB| 即可【解答】解：抛物线 y24x
20、的焦点为 F（1，0） ，过 F 点的直线 l 与抛物线相交于 A，B两点，以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，以 AB 为直径的圆过点（1，2） ，可知AB 的中点的纵坐标为：2，直线 l 的方程为：y kxk，则 ，可得 ky24y4k 20，则 AB 中点的纵坐标为： 2，解得 k1，圆的圆心坐标（3，2） 所以|AB |2（3+1）8故选：B【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题12 （5 分）已知 f ，若g +x，方程 g（ax）x 0 有且只有一个根，则 a 的取值范围是（ ）第 13 页（共 26 页）A
21、 B （， C （0， D （，0 【分析】由已知求得 f（0） ，把原函数求导后可得 f（1 ）e ，求得函数解析式，代入g +x，把方程 g（ax）x 0 有且只有一个根，转化为 a 有且只有一个实数根，令 h（x） ，利用导数研究单调性，再数形结合得答案【解答】解：由 ，得 f（0）f （1）e 1 f（x）xf（0）+f（1）e x1 f（1）1f（1）e 1 +f（1） ，f（1）e 则 f（0）ee 1 1则 f（x） g +xe x由 g（ax）x0，得 eaxx0，即 eaxx，当 x0 时，方程显然无解；x0，两边取对数，得 axlnx ，则 a ，令 h（x） ，则 h（x
22、） 当 x（0，e）时，h（x）0，当 x（e，+）时，h（x）0，h（x）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+）上单调递减，又当 x0 +时，h（x），当 x+时，h（x）0作出函数 h（x）的图象如图：由图可知，若方程 g（ax）x0 有且只有一个根，则 a 的取值范围是（，0第 14 页（共 26 页） 故选：D【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）13 （5 分）已知实数 x，y 满足 则 zy 2 x 的最小值是 1 【分析】画出可行域，由 zy2x，则 y2x
23、+z，由它在 y 轴的截距最小，得到 z 最小【解答】解：由已知得到平面区域如图：由 zy2x，则 y2x+z，由它在 y 轴的截距最小，得到 z 最小，由图可知当直线过 A（1，1）时，z 最小，所以最小值为 1211；故答案为：1【点评】本题考查了简单线性规划问题；只要正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值即可，属于中档题14 （5 分）已知向量 （m ，1） ， （4，m ） ， | | |，则 m 2 【分析】直接利用向量的数量积的运算法则，化简求解即可【解答】解：向量 （m， 1） ， （4，m ） ， | | |，可得 4m+m ，解得 m2，m2（舍去）故答案为：2第 15
24、 页（共 26 页）【点评】本题考查平面向量的数量积的应用，是基本知识的考查15 （5 分）已知 O 为坐标原点， F 为椭圆 的右焦点，过点 F 的直线在第一象限与椭圆 C 交与点 P，且POF 为正三角形，则椭圆 C 的离心率为 【分析】由于|OF|为半焦距 c，利用等边三角形性质，即可得点 P 的坐标，代入椭圆标准方程即可得椭圆的离心率【解答】解：椭圆上存在点 P 使POF 为正三角形，设 F 为右焦点，|OF|c，P 在第一象限，点 P 的坐标为（ ， c）代入椭圆方程得： ，e ，即 + 1，e（0，1）解得 e 1故答案为： 【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的几何性质，椭
25、圆的离心率的定义及其求法，属基础题16 （5 分）对于数列 的“优值” 已知某数列a n的“优值”H n2 n+1，记数列a nkn的前 n 为 Sn，若 SnS 5 对任意的nN*，恒成立，则实数 k 的取值范围为 【分析】本题可根据优值 Hn 的特点构造数列 bn：令 bn2 n1 an，nN*然后可通过先求出数列b n的通项公式来求出数列a n的通项公式，再可根据数列a n的通项公式写出数列a nkn的前 n 为 Sn 和 S5 的表达式，根据 SnS 5 写出不等式，然后考虑将 n与 k 分离开来，得出关于 n 的表达式单调性及最值问题，由此可得 k 的取值范围【解答】解：由题意，可知
26、：对于数列a n：第 16 页（共 26 页）2 n+1 可构造数列b n：令 bn2 n1 an，n N*设数列b n的前 n 项和为 Tn nN*当 n1 时， ；当 n 2 时， bnT nT n1 n2 n+1（n1）2 n（n+1）2 n由，可得： ，n N* 2（n+1） ，n N*数列a n是以 4 为首项，2 为公差的等差数列对于数列a nkn：Sn（a 1k）+（a 22k ）+ +（a nnk）（a 1+a2+an）（1+2+ n）k4n+n 2+3n 4015k由题意：对任意的 nN*，都有 SnS 5 恒成立n 2+3n 4015knN*整理，得：当 n5 时， ；当
27、n5 时， 令 f（x） ， （x1 且 x5） 则：f（x） 0第 17 页（共 26 页）f（x）在（1 ，5）和（5，+）上均为单调递减函数当 n5 时，kf（4） 当 n5 时，kf（6） 故答案为： 【点评】本题主要考查通过观察理解新定义的能力，采用构造新数列的方法求出已知数列的通项公式，然后进行参变量的分离以及采用函数思想来判断数列单调性取最值问题本题属偏难题三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60分.17 （12 分）如图在ABC 中，D
28、 是边 BC 上一点，AB AC，BD1，sin CAD 3sinBAD（1）求 DC 的长；（2）若 AD2，求ABC 的面积【分析】 （1）由已知利用正弦定理，可得 ， ，结合已知可求 DC3BD3（2）由已知利用余弦定理，可得4+1+221cosADC4+9223cos ADC，解得 cosADC ，可求ADC60，利用三角形的面积公式即可计算得解【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1）在ABD 中，由正弦定理，可得： ，1 分第 18 页（共 26 页）在ADC 中，由正弦定理可得： ，2 分因为 ABAC， sinADB sinADC，BD 1，sin CAD3sinBAD，所以
29、 DC3BD35 分（2）在ABD 中，由余弦定理，可得：AB 2AD 2+BD22ADBDcos ADB，在ADC 中，由余弦定理，可得：AC 2AD 2+DC22ADDCcosADC，因为 ABAC， AD2，BD1，DC3，cos ADB cosADC，所以 4+1+221cosADC4+9223cos ADC，解得 cosADC ，所以 ADC60，10 分所以 SABC （BD+DC）ADsinADC 2 12 分【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18 （12 分）如图，四边形 ABCD 是边长为 2
30、 的正方形，E 为 CD 的中点，以 AE 为折痕把ADE 折起，使点 D 到达点 P 的位置，且PAB60 （1）求证：平面 PEC平面 PAB；（2）求二面角 PAE B 的余弦值【分析】 （1）折起后 PEPA，且 PAAB，推导出PAB 是正三角形，PEPB，从而PE平面 PAB，由此能证明平面 PEC平面 PAB（2）取 AB 中点 F，连结 PF，EF ，则 ABPF，ABEF，推导出 AB平面 PEF，从而平面 PEF平面 ABCE，在平面 PEF 内作 POEF 于 O 点，则 PO平面 ABE，以O 点为原点，OF 为 x 轴，在平面 ABCD 内过点 O 作 AB 的平行线
31、为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 PAEB 的余弦值【解答】证明：（1）四边形 ABCD 是正方形，折起后 PEPA，且 PAAB，PAB 60，PAB 是正三角形，PBPA，第 19 页（共 26 页）正方形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，EAEB，PAE PBE，EPBEPA，PEPB ，PAPBP，PE平面 PAB，PE 平面 PEC，平面 PEC平面 PAB解：（2）取 AB 中点 F，连结 PF，EF ，则 ABPF，ABEF，PFEFF，则 AB平面 PEF，又 AB平面 ABCE，平面 PEF平面 ABCE，在平面 PEF 内作 PO
32、EF 于 O 点，则 PO平面 ABE，以 O 点为原点，OF 为 x 轴，在平面 ABCD 内过点 O 作 AB 的平行线为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，在PEF 中，PF ，PE1，EF2，PO ，EO ，P（0，0， ） ，E（ ，0，0） ，A（ ，1，0） ， （ ） ， （2，1，0） ，设平面 PAE 的一个法向量 （x，y，z） ，则 ，取 x1，得 （1，2， ） ，平面 ABE 的法向量 （0，0，1） ，设二面角 PAE B 的平面角为 ，则 cos 二面角 PAE B 的余弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查利用法向量求二面角的余弦值的大小，考
33、查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题第 20 页（共 26 页）19 （12 分）已知以椭圆 的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为 4 的正方形（1）求椭圆 E 的方程；（2）直线 l：y kx+m（km 0）与椭圆 E 交于异于椭圆顶点的 A，B 两点，O 为坐标原点，直线 AO 与椭圆 E 的另一个交点为 C 点，直线 l 和直线 AO 的斜率之积为 1，直线BC 与 x 轴交于点 M若直线 BC，AM 的斜率分别为 k1，k 2，试判断 k1+2k2 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由【分析】 （1）根据题意可得 ，解得 a24，b
34、 22，即可求出椭圆的方程（2）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ， （x 1y10，x 2y20） ，则 C（x 1，y 1） ，根据韦达定理和斜率公式，即可求出 k1+2k20【解答】解：（1）椭圆 的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为 4 的正方形， ，解得 a24，b 22，椭圆方程为 + 1（2）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ， （x 1y10，x 2y20） ，则 C（x 1， y1） ，则 kAD ，联立 ，消 y 可得（1+2k 2）x 2+4km+2m24 0，x 1+x2 ，y 1+y2 k（x 1+x2）+2m 第 21 页（共
35、26 页）k 1 ，直线 BC 的方程为：y +y1 （x 1+x2） ，令 y0，由 y10，可得 x 3x 1，M（3x 1，0） ，k 2 ，k 1+2k2 +2 0，k 1+2k20【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力20 （12 分）某企业生产一种产品，从流水线上随机抽取 100 件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图（如图 1）：规定产品的质量指标值在65，75）的为劣质品，在75 ， 105）的为优等品，在105，115|的为特优品，销售时劣质品每件亏损 1 元，优等品每件盈利 3 元，特优品每件盈利 5 元以这 100
36、件产品的质量指标值位于各区间的频率代替产品的质量指标值位于该区间的概率（1）求每件产品的平均销售利润；（2）该企业为了解年营销费用 x（单位：万元）对年销售量 y（单位：万件）的影响，对近 5 年年营销费用 xi 和年销售量 yi（i 1，2，3，4，5 ）数据做了初步处理，得到如第 22 页（共 26 页）图 2 的散点图及一些统计量的值ui vi （u i ）（v i ）（u i ） 216.30 23.20 0.81 1.62表中 uilnx i，v ilny i， ui， vi根据散点图判断，yax b 可以作为年销售量 y（万件）关于年营销费用 x（万元）的回归方程求 y 关于 x
37、的回归方程；用所求的回归方程估计该企业应投人多少年营销费，才能使得该企业的年收益的预报值达到最大？（收益销售利润营销费用，取 e3.0120）附：对于一组数据（u 1，v 1） ， （u 2，v 2） ， （u n，v n）其回归直线 v+u 均斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， 【分析】 （1）设每件产品的销售利润为 X，则 X 的可能取值为：1，3，5，把频率看作概率，再由期望公式求解；（2） 由 yax b，得 lnylna+blnx，邻 ulnx，vlny，clna，则 vc+bu，由表格中数据得 与 ，可得回归方程 v3.01+0.5u，进一步得到回归方程为 y20x 0.5；设年收
38、益为 z 万元，则 z 3yx320x 0.2x，令 tx 0.5，利用换元法求最值【解答】解：（1）设每件产品的销售利润为 X，则 X 的可能取值为：1，3，5，由频率分布直方图可得产品为劣质品、优等品、特优品的概率分别为 0.05、0.85、0.1，P（X1）0.05，P （X 3）0.85，P（X 5）0.1则 E（X）（1）0.05+30.85+50.13（元） ，即每件产品的平均销售利润为 3 元；（2） 由 yax b，得 lnylna+blnx，邻 ulnx，vlny，clna，则 vc+bu，第 23 页（共 26 页）由表格中数据得， ，则 v3.01+0.5u，即 lny3
39、.01+0.5lnxln（e 3.01x0.5） e 3.0120，y 20x 0.5故回归方程为 y20x 0.5；设年收益为 z 万元，则 z 3yx320x 0.2x令 tx 0.5，则 z60tt 2 （t30） 2+900当 t30，即 x900 时，z 由最大值为 900即该企业应投人 900 万元营销费，才能使得该企业的年收益的预报值达到最大 900 万元【点评】本题考查回归方程的求法，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题21 （12 分）已知函数 有两个极值点（1）求 a 的取值范围；（2）x 1，x 2（x 1x 2）f（x ）的两个极值点，证明： 2lnx1+lnx
40、20【分析】 （1）f（x ）的定义域为（0，+） ，f（x）lnxx+a，设 g（x）lnxx+a，则由题意得 g（x）在（0，+）内有两个变号零点，g（x），利用导数性质求出 g（x） maxg（1）a1，推导出 g（x）在（0，1）和（1，+）内分别有一个变号零点，由此能求出 a 的取值范围（2）f（x）的极值点 x1，x 2 就是 g（x）的零点，即 g（x 1）g（x 2）0，推导出x1（0，1） ，x 2（1，+） ，设 h（x ）g（x）g（ ）3lnxx+ ，x（0，1） ，则 ，由此利用导数性质能证明 2lnx1+lnx20【解答】解：（1）函数 有两个极值点f（x）的定义域
41、为（ 0，+） ，f（x）lnxx +a，设 g（x）lnxx +a，则由题意得 g（x ）在（0，+）内有两个变号零点，第 24 页（共 26 页）g（x） ，令 g（x）0，解得 0x 1，令 g（x）0，解得 x1，g（x）在（0，1 上单调递增，在1 ，+）上单调递减，g（x） maxg（1）a1，当 a1 时，g（x） max0，这时，g（x ）在（0，+ ）上没有变号零点，当 a1 时，e a （0，1） ，a a（1，+） ，g（e a ）0，g（e a）0，g（1）0，g（x）在（0，1）和（1，+）内分别有一个变号零点，综上，a 的取值范围是（1，+） 证明：（2）f（x ）
42、的极值点 x1，x 2 就是 g（x）的零点，即 g（x 1）g（x 2）0，g（x）在（0，1 单调递增，而在1 ，+）单调递减，且 x1x 2，x 1（0，1） ， x2（1，+ ） ，设 h（x）g（x ）g（ ）3lnx x+ ，x（0，1） ，则 ，x（0，1）时， x22x20，当 x（0，1 ）时，h（x）0，h（x）在（0，1上单调递减，又 h（1）0，当 x（0，1）时，h（x）0，g（x）g（ ） ，x 1（1，+） ，而 g（x）在（1，+）上单调递减， ，从而 1，2lnx 1+lnx20【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明、考查导数的性质、利用导数研
43、究函数的单调性与极值、最值问题等基础知识，考查分类讨论思想、化归与转化思想，考查运算求解能力，是难题（二）选考题：共 10 分，请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 （ 为参数） 以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为第 25 页（共 26 页）（1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；（2）若曲线 C 与直线 l 交于 A，B 两点，点 P（1，0） ，求 的值【分析】 （1）消去参数 可得曲线 C 的普通方程为
44、：（x1） 2+（y +1） 24，利用互化公式可将直线 l 的极坐标方程 cos（+ ） 化为直角坐标方程为xy10；（2）利用直线参数方程中参数 t 的几何意义可得【解答】解：（1）消去参数 可得曲线 C 的普通方程为：（ x1） 2+（y +1） 24，利用互化公式可将直线 l 的极坐标方程 cos（+ ） 化为直角坐标方程为xy10（2）点 P（1，0）在直线 l 上，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程化简得 t2+ t30，设点 A，B 所对应的参数分别为 t1，t 2，则 t1+t2 ，t 1t23，所以 + + 【点评】本题考
45、查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知函数 f（x ）2|x +1| x2|（1）求不等式 f（x ）3 的解集；（2）若 xa， 1， （其中 a1） ，f（x ）|xa| 恒成立，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）利用分类讨论法去掉绝对值，求出不等式 f（x）3 的解集即可；（2）xa，1时不等式等价于 2|x+1|（2x）xa，即 2|x+1|2a，解得x ，再转化为 a，且 1 ，从而求得 a 的取值范围第 26 页（共 26 页）【解答】解：（1）函数 f（x）2|x+1| x2| ；当 x2 时，不等式 f（x）3 化为 x+43，解得 x1，所以 x2；当1x2 时，不等式 f（x）3 化为 3x3，解得 x1，所以 1x2；当 x1 时，不等式 f（x）3 化为x43，解得 x7；综上所述，不等式 f（x ）3 的解集为 x|x7 或 x1；（2）xa，1时，不等式 f（x ）|xa| 等价于 2|x+1|（2x）xa，等价