1、1专题 02 函数的概念与基本初等函数 I1 【2019 年高考全国卷文数】已知 ，则0.20.32log.,abcA abc B abC D【答案】B【解析】 22log0.l10,a.201,b即.30,c,c则 b故选 B【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小2【2019 年高考全国卷文数】设 f(x)为奇函数，且当 x0 时，f (x)= ，则当 x0，且 a1)的图象可能是1xya12log)ax【答案】D【解析】当 时，函数 的图象过定点 且单调递减，则函数 的图象过定点01axya(0,1)1xya且
2、单调递增，函数 的图象过定点 且单调递减，D 选项符合；(,1)1log2a,2当 时，函数 的图象过定点 且单调递增，则函数 的图象过定点 且单调递减，axy(0,)1xya(0,1)函数 的图象过定点 且单调递增，各选项均不符合.1log2ay1,2）综上，选 D.【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论 的不同取值范围，认识函数的单调性.a9【2019 年高考全国卷文数】设 是定义域为 R 的偶函数，且在 单调递减，则fx0,A （log 3 ） （ ） （ ） f14f32f235B （log 3 ） （ ） （ ）f14f
3、23f32C （ ） （ ） （log 3 ） f2f23f14D （ ） （ ） （log 3 ）f3f32f【答案】C【解析】 是定义域为 的偶函数， fxR331(log)(l4)ff，223033log4l1,l4又 在(0 ，+)上单调递减，fx ，23323(log4)fff即 .23231log4fff故选 C【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案10 【2019 年高考天津文数】已知函数 若关于 x 的方程2,01,()1.xf恰有两个互异的实数解，则 a 的取值范围为1()()4fxa
4、RA B59, 59,4C D ,14,1【答案】D6【解析】作出函数 的图象，2,01,()1xf以及直线 ，如图，4yx关于 x 的方程 恰有两个互异的实数解，1()()4fxaR即为 和 的图象有两个交点，()yf平移直线 ，考虑直线经过点 和 时，有两个交点，可得 或 ，14x(1,2), 94a5考虑直线 与 在 时相切， ，()yaRyx214ax由 ，解得 （ 舍去），210a1所以 的取值范围是 .59,4故选 D.【名师点睛】根据方程实数根的个数确定参数的取值范围，常把其转化为曲线的交点个数问题，特别是其中一个函数的图象为直线时常用此法.11 【2019 年高考浙江】已知 ，
5、函数 若函数,abR32,0()1(),0xfax恰有 3 个零点，则()yfxAa0 Ca1，b1，b0 【答案】C7【解析】当 x0 时，y f（x） axbx axb（1 a）xb0，得 x ，=1则 yf（x）axb 最多有一个零点；当 x0 时，yf（x）ax b x3 （a+1）x 2+axaxb x3 （a+1）x 2b，=13 12 =13 12，2()a当 a+10，即 a1 时，y0，yf （x）ax b 在0 ，+）上单调递增，则 yf（x）axb 最多有一个零点，不合题意；当 a+10，即 a1 时，令 y0 得 x(a+1，+ ） ，此时函数单调递增，令 y0 得 x
6、 0，a+1 ） ，此时函数单调递减，则函数最多有 2 个零点.根据题意，函数 yf（x）axb 恰有 3 个零点函数 yf（x）ax b 在（，0）上有一个零点，在0，+）上有 2 个零点，如图： 0 且 ，1 013(+1)312(+1)(+1)2 0解得 b0，1a 0，b （a+1） 3， 16则 a1，b0.()fx2(0,2()1()fx2,01(1kg若在区间(0，9上，关于 x 的方程 有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是 .()fg【答案】12,34【解析】作出函数 ， 的图象，如图：()fxg10由图可知，函数 的图象与 的2()1()fx1()(2,34,56,7
7、8)gxxx图象仅有 2 个交点，即在区间(0，9 上，关于 x 的方程 有 2 个不同的实数根，)fg要使关于 的方程 有 8 个不同的实数根，x()fgx则 与 的图象有 2 个不同的交点，2()1,0f()2),(01kx由 到直线 的距离为 1，可得 ，解得 ，(,0)kxy2|3(0)4k两点 连线的斜率 ，(2,)13k ，34k综上可知，满足 在(0,9 上有 8 个不同的实数根的 k 的取值范围为 .()fxg1234，【名师点睛】本题考查分段函数，函数的图象，函数的性质，函数与方程，点到直线的距离，直线的斜率等，考查知识点较多，难度较大.正确作出函数 ， 的图象，数形结合求解
8、是解题的关键()fxg因素.16 【云南省玉溪市第一中学 2019 届高三第二次调研考试数学】函数 的零点所在的一个区()23xf间是A （-2，-1 ） B （-1,0）C （0,1） D （ 1,2）【答案】B11【解析】易知函数 在定义域上单调递增且连续，()23xf且 ， ，f(0)=10，2()60f10所以由零点存在性定理得，零点所在的区间是（-1,0）.故选 B.【名师点睛】本题考查函数的单调性和零点存在性定理，属于基础题.17 【云南省玉溪市第一中学 2019 届高三第二次调研考试数学】下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是(0,)A B3xy 1ln|yxC D|
9、2 cos【答案】B【解析】易知 ， ， 为偶函数，1ln|yx|2xycos在区间 上， 单调递减， 单调递增， 有增有减.(0,)l| |2xycosyx故选 B.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.18 【山东省德州市 2019 届高三第二次练习数学】设函数 ，则2log1,04,xf3f2log3fA9 B11C13 D15【答案】B【解析】函数 ，2log1,04,xf =2+9=112l23og2(3)llff故选 B【名师点睛】本题考查分段函数、函数值的求法，考查对数函数的运算性质，是基础题1219 【山东省济宁市 2019 届高三二模数学】已知 是定义在 上的
10、周期为 4 的奇函数，当 时，() (0,2)，则 ()=2+ (2019)=A B01C1 D2【答案】A【解析】由题意可得： .(2019)=(50541)=(1)=(1)=(12+1)=1故选 A【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20 【黑龙江省哈尔滨市第三中学 2019 届高三第二次模拟数学】函数 的单调减区2()log(34)fxx间为A B(,1)3(,)2C D3,2 (4,)【答案】A【解析】函数 ，2log34fxx则 或 ，2340()10x1x故函数 的定义域为 或 ，f4x由 是单调递增函数，可知函数 的单调
11、减区间即 的单调减区间，2logyxfx234yx当 时，函数 单调递减，3(,)234yx结合 的定义域，可得函数 的单调减区间为 .fx2log34fx,1故选 A.【名师点睛】本题考查了复合函数的单调性，要注意的是必须在定义域的前提下，去找单调区间.21 【山东省烟台市 2019 届高三 3 月诊断性测试（一模）数学】若函数 是定义在 上的奇函数，()fxR，当 时， ，则实数1()4f0x2()log()fxm13A B01C1 D2【答案】C【解析】 是定义在 上的奇函数， ，()fxR1()4f且 时， ，02log()xm ，21l 14f m故选 C【名师点睛】本题主要考查函数
12、奇偶性的应用，以及已知函数值求参数的方法，熟记函数奇偶性的定义即可，属于常考题型.22 【北京市房山区 2019 届高三第一次模拟测试数学】关于函数 ，下列说法错误的是()=A 是奇函数 B 在 上单调递增() () (,+)C 是 的唯一零点 D 是周期函数=0 () ()【答案】D【解析】 ，则 为奇函数，故 正确；()=()=+=() () 由于 ，故 在 上单调递增，故 正确；()=10 () (,+) 根据 在 上单调递增， ，可得 是 的唯一零点，故 正确；() (,+) (0)=0 =0 () 根据 在 上单调递增，可知它一定不是周期函数，故 错误.() (,+) 故选 D.【名
13、师点睛】本题考查函数性质的综合应用，关键是能够利用定义判断奇偶性、利用导数判断单调性、利用单调性判断零点.23 【河南省郑州市 2019 届高三第三次质量检测数学】我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数 的图象大致是41xf14A BC D【答案】D【解析】因为函数 ， ，41xf44()()1xxf f所以函数 不是偶函数，图象不关于 y 轴对称，故排除 A、B 选项；()fx又因为 所以 ，92563,4,7ff(3)4f而选项 C
14、在 时是递增的，故排除 C.0x故选 D.【名师点睛】本题考查了函数的图象和性质，利用函数的奇偶性和取特值判断函数的图象是解题的关键，属于基础题.24 【四川省百校 2019 届高三模拟冲刺卷】若函数 的大致图象如图所示，则 的解析式可以yfxfx是15A BexfexfC Df f【答案】C【解析】当 x0 时，f（x），而 A 中的 f（x）0，排除 A；当 x0 时，f（ x）0，而选项 B 中 x0 时， 0， ex选项 D 中， 0，排除 B，D，exf故选 C【名师点睛】本题考查了函数的单调性、函数值的符号，考查数形结合思想，利用函数值的取值范围可快速解决这类问题 25 【天津市北
15、辰区 2019 届高考模拟考试数学】已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调() 0,+)递增，则三个数 ， ， 的大小关系为=(313)=(1218) =(20.6)A B C D 【答案】C【解析】 ， ， ，2=39(313)(20.6) 故选 C.【名师点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小的问题，关键是能够利用奇偶性将自变量变到同一单调区间内，再通过指数、对数函数的单调性，利用临界值确定自变量的大小关系.26 【宁夏银川一中 2018 届高三第二次模拟考试数学】已知不等式 对于 恒2+22 1,2,2,3成立，则 的取值范围是16A B1,+) 1,4)C D1,+) 1,6【答
16、案】C【解析】不等式 对于 恒成立，等价于 对于2+22 1,2,2,3 2()2恒成立，1,2,2,3令 ，则 ， 在 上恒成立，= 13 22 1,3， 时， ，=22+=2(14)2+18 =1 =1，1故 的取值范围是 . 1,+)故选 C【名师点晴】本题主要考查二次函数的性质以及不等式恒成立问题，不等式恒成立问题的常见解法：分离参数， 恒成立，即 ，或 恒成立，即 ；() ()() ()数形结合， 的图象在 图象的上方；()()，则 =() =()讨论最值， 或 恒成立.()0 ()027 【北京市朝阳区 2019 届高三第二次（5 月)综合练习（二模）数学】已知函数 ，若函2,()
17、xaf数 存在零点，则实数 a 的取值范围是()fxA B,0,1C D1 0【答案】D【解析】函数 的图象如图：2,()xaf17若函数 存在零点，则实数 a 的取值范围是（0，+） ()fx故选 D【名师点睛】本题考查分段函数，函数的零点，考查数形结合思想以及计算能力28 【山东省烟台市 2019 届高三 5 月适应性练习（二）数学】已知函数 的定义域为 ,()yfxR为偶函数，且对 ，满足 .若 ，则不等式)1(xf 12x012xff(3)1f的解集为2logA B,8 )8,1(C D10,(,)2(,)(,)【答案】A【解析】因为对 ，满足 ，所以 当 时，是单调递减函数，12x0
18、12xff ()yfx1又因为 为偶函数，所以 关于直线 对称，所以函数 当 时，是单)(f ()yf()fx调递增函数，又因为 ，所以有 ，(3)f当 ，即当 时，2log1x02x；2log(1lo1g,2)ff xxf当 ，即当 时，2lxx18，222log1log(3)log38,2xfxfx xf综上所述：不等式 的解集为 .2l1f,故选 A【名师点睛】本题考查了抽象函数的单调性、对称性、分类讨论思想.对于 来说，设定义域为 ， ， ，()yfxIDI1212,xx若 ，则 是 上的增函数；221211()00)fxfff ()yfD若 ，则 是 上的减函数.221211()()
19、()fffxfxx()fx29 【重庆西南大学附属中学校 2019 届高三第十次月考数学】已知 是偶函数， 在2()fx上单调递减， ，则 的解集是2， (0)f(23)0fxA B()(3， ， ()，C D2， 2()3， ，【答案】D【解析】因为 是偶函数，所以 的图象关于直线 对称，(2)fx()fx2x因此，由 得 ，040又 在 上单调递减，则 在 上单调递增，()fx2， ()fx2,所以，当 即 时，由 得 ，所以 ，30x30(3)(4fxf234x解得 ；x当 即 时，由 得 ，所以 ，解得 ，230(23)0fx(23)(0fxf230x23x因此， 的解集是 .()fx
20、， ，故选 D.19【名师点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，不等式的求解，先根据函数的奇偶性得到函数在定义域上的单调性，从而分类讨论求解不等式.30 【山东省德州市 2019 届高三第二次练习数学】已知定义在 R 上的函数 在区间 上单调递fx0，增，且 的图象关于 对称，若实数 a 满足 ，则 a 的取值范围是1yfx1x2logfaA B0,4 1,4C D1, ,【答案】C【解析】根据题意， 的图象关于直线 对称，则函数 的图象关于 轴对称，即1yfx1xfxy函数 为偶函数，fx又由函数 在区间 上单调递增，0，可得 ，则 ，2log|faf2log|a即 ，解得 ，2l14即 a
21、的取值范围为 .,故选 C【名师点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查对数不等式的解法.31 【陕西省西安市 2019 届高三第三次质量检测数学】若定义在 上的函数 满足 且 () (+2)=()时， ，则方程 的根的个数是1,1 ()=| ()=3|A B4 5C D6 7【答案】A【解析】因为函数 满足 ，所以函数 是周期为 的周期函数.() (+2)=() () 2又 时， ，所以函数 的图象如图所示.1,1 ()=| ()20再作出 的图象，如图，=3|易得两函数的图象有 个交点，4所以方程 有 个根()=3| 4故选 A【名师点睛】本题考查函数与方程，函数的零点、方程的根、函
22、数图象与 轴交点的横坐标之间是可以等价转化的.32 【广东省汕头市 2019 届高三第二次模拟考试（B 卷)数学】已知函数 ，21,0xf，设 为实数，若存在实数 ，使得 成立，则 的取值范围为2gxba2gbfabA B1, 37,C D37,2 ,42【答案】A【解析】因为 ，21,0xf所以当 时， 单调递增，故 ；0x2f 12xf当 时， ，1xf x当且仅当 ，即 时，取等号，x综上可得， .()2,+)又因为存在实数 ，使得 成立， ()+()=2所以只需 ，即 ，()2()()=22021解得 .12故选 A.【名师点睛】本题主要考查分段函数的值域，将存在实数 ，使得 成立，转
23、化为 ()+()=2是解题的关键，属于常考题型.()2()33 【云南省玉溪市第一中学 2019 届高三第二次调研考试数学】若 ，则 的定()log()fxx()fx义域为_.【答案】 1(,0)2【解析】要使函数有意义，需 ，120log()x解得 .102x则 的定义域为 .()f1(,)2【名师点睛】本题考查函数的定义域，属于基础题.34 【山东省滨州市 2019 届高三第二次模拟（5 月）考试数学】若函数 为偶()=2(2)+1()函数，则 _27+187=【答案】-2【解析】函数 为偶函数，则 ，() ()=()即： 恒成立，2(2)+1=2+(2)+1.2=0,=2则 .log27
24、+log187=227+278=2(2778)=214=2【名师点睛】本题主要考查偶函数的性质与应用，对数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.35 【湖南省长沙市第一中学 2019 届高三下学期高考模拟卷（一）数学】若函数 称为“准奇函数”，则()fx必存在常数 a，b，使得对定义域的任意 x 值，均有 ，已知 为准()2)fxab1xf22奇函数”，则 ab_.【答案】2【解析】由 知“准奇函数” 关于点 对称.()2)fxxb()fx),(ba因为 = 关于 对称，1f (1,)所以 ， ，ab则 .2故答案为 2.【名师点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查了函数图象
25、的对称性，属于基础题36 【甘肃、青海、宁夏 2019 届高三上学期期末联考数学】若函数的单调递增区间为 ，则 的最小值为21(0,)fxmnxn1,21mn_【答案】4【解析】由题意知函数 的图象的对称轴为 ，故 ，fx12nx1n则 ，1124nmmn当且仅当 时等号成立，从而 的最小值为 .1n4【名师点睛】利用二次函数的单调增区间求得 ，再由1mn，利用基本不等式可求最小值2nm37 【广东省深圳市深圳外国语学校 2019 届高三第二学期第一次热身考试数学】函数为奇函数，则实数 _21logaxfxa【答案】【解析】 函数 为奇函数， ，21logxfxfxf23即 ，0fxf则 ，即
26、 ，2211loglog0aaxx21log0ax，2x则 ，21a，则 .1当 时， ，a2logxfx则 的定义域为： 且 ，f01此时定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足题意；当 时， ，满足题意，1a21logxfx.=【名师点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求解函数解析式，根据条件建立方程关系是解决本题的关键，易错点是忽略定义域关于原点对称的前提，造成求解错误38 【东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)2019 届高三第三次模拟考试数学】若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是_()=2+1+1 ,0,0120+1=2 03实数 的取值范围是 (0,3故答
27、案为 (0,3【名师点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根据函数 在 上单调递增得到在定义域() (,+)的每一个区间上函数都要递增；二是要注意在分界点处的函数值的大小，这一点容易忽视，属于中档题2439 【河南省濮阳市 2019 届高三 5 月模拟考试数学】已知直线 与曲线 有三个不同的交点l31yx， ， ，且 ，则 _.1,Axy2,By3,Cxy|ABC31iii【答案】3【解析】由题意，函数 是奇函数，则函数 的图象关于原点对称，33yx所以函数 的函数图象关于点 对称，31yx(0,1)因为直线 与曲线 有三个不同的交点 ，且 ，l3x123,AxyBCxy|ABC所以点 为函数的对称点，即 ，且 两点关于点 对称，A(0,1)A,BC(0,)所以 ，1231230,xy于是 .31iii【名师点睛】本题主要考查了函数对称性的判定及应用，其中解答中根据函数的基本性质，得到函数图象的对称中心，进而得到点 为函数的对称点，且 两点关于点 对称是解答的关键，着重A,BC(0,1)考查了推理与运算能力，属于中档试题.