1、1专题 03 导数及其应用1【2019 年高考全国卷文数】曲线 y=2sinx+cosx 在点(，-1)处的切线方程为A B 10xy210yC D2 【答案】C【解析】 cosin,yx2cosin2,xy则 在点 处的切线方程为 ，即 2sin(1)(1)()yx210xy故选 C【名师点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养采取导数法，利用函数与方程思想解题学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程2【2019 年高考全国卷文数】已知曲线 在点（1，
2、ae）处的切线方程为 y=2x+b，则elnxyA Ba=e，b=1e1ab，C D ， 1【答案】D【解析】 eln1,xya切线的斜率 ， ，|2xk1ea将 代入 ，得 .(1,)2yb,b故选 D【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有 a，b 的等式，从而求解，属于常考题型.3【2019 年高考浙江】已知 ，函数 若函数,abR32,0()1(),0xfax恰有 3 个零点，则()yfxAa0 2Ca1，b1，b0 【答案】C【解析】当 x0 时，y f（x） axbx axb（1 a）xb0，得 x ，=1则 yf（x）axb 最多有一个零点；当 x0 时
3、，yf（x）ax b x3 （a+1）x 2+axaxb x3 （a+1）x 2b，=13 12 =13 12，2()a当 a+10，即 a1 时，y0，yf （x）ax b 在0 ，+）上单调递增，则 yf（x）axb 最多有一个零点，不合题意；当 a+10，即 a1 时，令 y0 得 x(a+1，+ ） ，此时函数单调递增，令 y0 得 x 0，a+1 ） ，此时函数单调递减，则函数最多有 2 个零点.根据题意，函数 yf（x）axb 恰有 3 个零点函数 yf（x）ax b 在（，0）上有一个零点，在0，+）上有 2 个零点，如图： 0 且 ，1 013(+1)312(+1)(+1)2
4、0解得 b0，1a 0，b （a+1） 3， 16则 a1，b0，则当 时， ；当 时， 故 在(,),3()0fx,3a()0fx()fx9单调递增，在 单调递减；(,0),3a0,3a若 a=0， 在 单调递增；(fx,)若 a0)令 ，解得： .()0 00A B(,2) (2,+)C D(0,2) (2,+)【答案】A【解析】令 =()(),()=()()2 0()(2)2 ()(2)故 ,即 xC D 【答案】D【解析】依题意，得 ， ， .3lnla1lneb3l2n8c令 ，所以 .()=ln ()=1ln2所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，() (0,) (,+)所以
5、，且 ，即 ，()max=()=1= (3)(8) 所以 .故选 D.【名师点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，构造出函数 是解题的关键，lnxf属于中档题.21 【安徽省毛坦厂中学 2019 届高三校区 4 月联考数学】已知 ，若关于 的不等式()=+1 恒成立，则实数 的取值范围是()(1)=0 ()0当 时， ，即 ，1 ()1故选 D.【名师点睛】本题考查利用导数求函数的最值，不等式恒成立问题，分离参数是常见的方法，属于中档题.22 【辽宁省丹东市 2019 届高三总复习质量测试】若 是函数1x的极值点，则 的值为321()()3fxaxaaA-2 B3C-2 或 3 D-3
6、 或 2【答案】B【解析】 ，32 2213( 3)(1)fxaxafxxaxa由题意可知 ，即 或 ，()0f 2(1)03当 时， ，3a2 2389()1xaxaxx当 或 时， ，函数单调递增；当 时， ，函数单调递减，1x9()f0f显然 是函数 的极值点；x当 时， ，2a2222() 3(11) (afxxx 所以函数 是 上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去.xR故 .3故选 B【名师点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数的问题.本题易错的地方是求出 的值，没有通过单a调性来验证 是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点.1x23 【黑龙江
7、省大庆市第一中学 2019 届高三下学期第四次模拟（最后一卷)考试】已知奇函数 是定义fx在 上的可导函数，其导函数为 ，当 时，有 ，则不等式Rfx022fxfx的解集为2018+42xfx20A B,2016- 2016,C D,8【答案】A【解析】设 ，2gxf因为 为 上的奇函数，fR所以 ，22xfxf即 为 上的奇函数g对 求导，得 ，x2fgfxx而当 时，有 ，020f故 时， ，即 单调递增，xxx所以 在 上单调递增，gR则不等式 即 ，2018+420xfxf 218+042xfxf即 ，即 ，2gxg所以 ，解得 .0182016x故选 A.【名师点睛】本题考查构造函数
8、解不等式，利用导数求函数的单调性，函数的奇偶性，题目较综合，有一定的技巧性，属于中档题.24 【重庆西南大学附属中学校 2019 届高三第十次月考数学】曲线 在点 处的21()lnfxx(1)f，切线与直线 垂直，则 _.10axya【答案】 2【解析】因为 ，所以 ，21()lnfxx()ln1fx21因此，曲线 在点 处的切线斜率为 ，21()lnfxx(1)f， (1)2kf又该切线与直线 垂直，所以 .0ay2a故答案为 .12【名师点睛】本题主要考查导数在某点处的切线斜率问题，熟记导数的几何意义即可求解，属于常考题型.25 【河南省新乡市 2019 届高三下学期第二次模拟考试数学】已
9、知函数 在 上单调递增，()=e 1,2则 的取值范围是_.【答案】 (,e【解析】由题意知 在 上恒成立，则 ，()=0 1,2 ()令 ， ，知 在 上单调递增，()= 1exgx() 1,2则 的最小值为 ，() (1)=故 .故答案为 .(,e【名师点睛】对于恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于 0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.26 【广东省深圳市高级中学 2019 届高三适应性考试（6 月）数学】已知函数 若方程2,0()exf恰有两个不同的实数根 ，则 的最大值是_2(
10、)fxa12,x12x【答案】 3ln【解析】作出函数 的图象如图所示，fx22由 ，可得 ， 即 ，2fxa(),1fxaa不妨设 ，则 ，1221e令 ，则 ，()at12,lntxt，12lntx令 ，则 ，()ltgt42()tgt当 时， ， 在 上单调递增；18t0tt1,8当 时， ， 在 上单调递减，g()当 时， 取得最大值，为 .tt()ln23lg故答案为 .3ln2【名师点睛】本题主要考查方程的根与图象交点的关系，考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的极值与最值，属于难题.求函数 的极值与最值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导fx数 ；（3）解方程 求出函数
11、定义域内的所有根；（4）判断 在 的根fx 0,f fx0f左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减） ，那么 在 处取极大值，如果左负右正（左0 fx0减右增） ，那么 在 处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该点处取得极值也是最值；fx0（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点处的函数值与极值的大小.27 【山东省烟台市 2019 届高三 3 月诊断性测试（一模）数学】已知函数 ， .421()fxaxR（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；a()fx2,()f23（2）设函数 ，其中 是自然对数的底数，讨论2()e()xgxafe2.718.的单调性并判断有无极值，有极值时求出
12、极值()x【答案】 （1） ；610xy（2）当 时， 在 上单调递增，无极值；当 时， 在 和a()g,)0a()gx,)a单调递增，在 单调递减，极大值为 ，极小值为(,),a2e()24ag.2e()4ga【解析】 （1）由题意 ，所以当 时， ， ，3(fxa1(2)f()6f因此曲线 在点 处的切线方程是 ，)y2,)6yx即 .60x（2）因为 ，2()e()xgxaf所以 e(2x ，23()()(exax令 ，则 ，ehh令 得 ，()0x1当 时， ， 单调递减，,()0x()当 时， ， 单调递增，()xh所以当 时， ，1min(1)x也就说，对于 恒有 .R0当 时，
13、，0a2()(gxahx在 上单调递增，无极值；()x,当 时，令 ，可得 ()0xx当 或 时， ， 单调递增，xa2()(0gahx()g24当 时， ， 单调递减，ax()0gx()因此，当 时， 取得极大值 ；()2e)(2)4aga当 时， 取得极小值 .xa()gx2)()ea综上所述：当 时， 在 上单调递增，无极值；0(),)当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减，agx,a(,)(,)a函数既有极大值，又有极小值，极大值为 ，2e()(2)4a极小值为 .2()aga【名师点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题28
14、 【陕西省 2019 届高三第三次联考数学】已知函数 ， ， .()=()=2 （1）求函数 的极值点；()（2）若 恒成立，求 的取值范围.()() 【答案】 （1）极大值点为 ，无极小值点.（2） .1 1【解析】 （1） 的定义域为 ， ，lnfxa(0,+) ()=1当 时， ，0 ()=10所以 在 上单调递增，无极值点；() (0,+)当 时，解 得 ，解 得 ，0 ()=10 01所以 在 上单调递增，在 上单调递减，() (0,1) (1,+)所以函数 有极大值点，为 ，无极小值点.()1（2）由条件可得 恒成立，ln20(0)25则当 时， 恒成立，0 ln令 ，则 ，()=
15、ln(0) ()=12ln2令 ，()=12ln(0)则当 时， ，所以 在 上为减函数.0 ()=210 (1,+) ()0所以 在 上单调递增，所以 ，() 1,+) ()=(1)=21所以 .21（2）当 时， .=1 ()=+(0)则 ，()=1(+1)+1=(+1)(1)令 ，()=1则 ，()=120 (1)0 (0)=0 0=10当 时， ， ；当 时， ， .(0,0) ()0 ()0 (0,+) ()0 1 ()(1)所以当 或 时，直线 与曲线 ， 有且只有两个公共点. 2e13e4 =6e3 = ()=23e 2 , 4即当 或 时，函数 在区间 上有两个零点 .2e13e4 =6e3 () 2 , 4【名师点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值) 问题求解.（3）转化为两熟悉的函数图象问题，从而构建不等式求解.29