1、2018 年江苏省南京市高考数学三模试卷一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1 （5 分）集合 Ax| x2+x 60 ，Bx|x 240 ，则 AB 2 （5 分）已知复数 z 的共轭复数是 若 z（2i）5，其中 i 为虚数单位，则 的模为 3 （5 分）某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了 500 名学生，他们的每天在校平均开销都不低于 20 元且不超过 60 元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在50，60
2、元的学生人数为 4 （5 分）根据如图所示的伪代码，可知输出 S 的值为 5 （5 分）已知 A，B，C 三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么 A 与 B 在相邻两天值班的概率为 6 （5 分）若实数 x，y 满足 ，则 的取值范围为 7 （5 分）已知 ， 是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题：第 2 页（共 32 页）若 l ，l，则 ； 若 l， ，则 l；若 l ，l，则 ；
3、若 l， ，则 l其中真命题为 （填所有真命题的序号） 8 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 1（a0，b0）的一个焦点到一条渐近线的距离为 2a，则该双曲线的离心率为 9 （5 分）若等比数列a n的前 n 项和为 Sn，n N*，且 a11，S 63S 3，则 a7 的值为 10 （5 分）若 f（x ）是定义在 R 上的周期为 3 的函数，且 f（x） ，则 f（a+1）的值为 11 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 M：x 2+y26x4y+80 与
4、 x 轴的两个交点分别为 A，B ，其中 A 在 B 的右侧，以 AB 为直径的圆记为圆 N，过点 A 作直线 l 与圆 M，圆 N 分别交于 C，D 两点若 D 为线段 AC 的中点，则直线 l 的方程为 12 （5 分）在ABC 中，AB3，AC 2，D 为边 BC 上一点，若 5， ，则 的值为 13 （5 分）若正数 a，b，c 成等差数列，则 + 的最小值为 14 （5 分）已知 a，bR，e 为自然对数的底数，若存在 b3e，e 2，使得函数 f（x ）e xax b 在 1，3上存在零点，则 a
5、的取值范围为 二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，锐角 ， 的顶点为坐标原点 O，始边为 x 轴的正半轴，终边与单位圆 O 的交点分别为 P，Q 已知点 P 的横坐标为 ，点 Q 的纵坐标为 （1）求 cos2的值；（2）求 2 的值第 3 页（共 32 页）16 （14 分）如图，在三棱锥 PABC 中，PA ，其余棱长均为 2，M 是棱 PC 上的一点，D，E 分别为棱 AB， BC 的中点（1）求证：平面 PBC平面 ABC；
6、（2）若 PD平面 AEM，求 PM 的长17 （14 分）如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段 AB，AC 和以 BC 为直径的半圆弧组成，其中 AC 为 2 百米，AC BC，A 为 若在半圆弧 ，线段 AC，线段AB 上各建一个观赏亭 D，E ，F，再修两条栈道 DE，DF，使 DEAB，DF AC记CBD （ ） （1）试用 表示 BD 的长；（2）试确定点 E 的位置，使两条栈道长度之和最大18 （16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 1（ab0）经过点第 4 页（共 32 页）P（ ， ） ，离心率为 已知过点 M（ ，0）的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B
7、 两点（1）求椭圆 C 的方程；（2）试问 x 轴上是否存在定点 N，使得 为定值若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由19 （16 分）已知函数 f（x ）2x 33ax 2+3a2（a0） ，记 f'（x）为 f（x）的导函数（1）若 f（x）的极大值为 0，求实数 a 的值；（2）若函数 g（x）f（x）+6x，求 g（x）在0，1 上取到最大值时 x 的值；（3）若关于 x 的不等式 f（x）f'（x ）在 ， 上有解，求满足条件的正整数 a 的集合20 （16 分）若数列a n满足：对于任意 nN*，a n+|an+1a n+2|均为数列 an中的项，则称数
8、列a n为“T 数列” （1）若数列a n的前 n 项和 Sn2n 2，n N*，求证：数列 an为“T 数列” ；（2）若公差为 d 的等差数列a n为“T 数列” ，求 d 的取值范围；（3）若数列a n为“T 数列” ，a 11，且对于任意 nN*，均有 an a n+1，求数列a n的通项公式【选做题】在 21、22、23、24 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修 4-1：几何证明选讲CABMN（第 21A 题图）21 （10 分）在ABC 中，AC AB，M 为边 AB 上一点，AMC 的外接圆
9、交 BC 边于点N，BN2AM ，求证：CM 是ACB 的平分线第 5 页（共 32 页）选修 4-2：矩阵与变换22 （10 分）已知矩阵 A ，B ，若直线 l：xy+20 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到直线 l1，求直线 l1 的方程选修 4-4：坐标系与参数方程23在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P（2， ） ，圆心 C 为直线 sin（ ）与极轴的交点，求圆 C 的极坐标方程选修 4-5：不等式选讲24已知 a，b，c（0，+） ，且 a+b+c1，求 + + 的最大值【必做题】第 25 题、第 26 题，每题 10 分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明
10、、证明过程或演算步骤25 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：y 2 2px（p0）的焦点为 F，点A（1， a） （a0）是抛物线 C 上一点，且 AF2（1）求 p 的值；（2）若 M，N 为抛物线 C 上异于 A 的两点，且 AMAN记点 M，N 到直线 y2 的距离分别为 d1，d 2，求 d1d2 的值26 （10 分）已知 fn（x ） x（x+1）（x+i 1） ，g n（x） +x（x+1 ）（x+ n1） ，其中 xR，nN*且 n2第 6 页（共 32 页）（1）若 fn（1）7g n（1） ，求 n 的值；（2）对于每一个给定的正整数 n，求关于 x 的
11、方程 fn（x）+g n（x）0 所有解的集合第 7 页（共 32 页）2018 年江苏省南京市高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1 （5 分）集合 Ax| x2+x 60 ，Bx|x 240 ，则 AB 3，2，2 【分析】求出 A 与 B 中方程的解集分别确定出 A 与 B，找出两集合的并集即可【解答】解：Ax| x2+x6 03，2 ，Bx|x 2 40 2，2则 AB3，2，2故答案为：3，2，2【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键2
12、 （5 分）已知复数 z 的共轭复数是 若 z（2i）5，其中 i 为虚数单位，则 的模为 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【解答】解：z（2i）5 ，其中 i 为虚数单位，z（2i） （2+ i）5（2+i） ，z2+i则| | |z| 故答案为： 【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3 （5 分）某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了 500 名学生，他们的每天在校平均开销都不低于 20 元且不超过 60 元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在50，60 元的学生人数为 150 第
13、 8 页（共 32 页）【分析】由频率分布直方图，得每天在校平均开销在50，60 元的学生所点的频率为0.3，由此能求出每天在校平均开销在50，60 元的学生人数【解答】解：由频率分布直方图，得：每天在校平均开销在50，60元的学生所点的频率为：1 （0.01+0.024+0.036 ）100.3每天在校平均开销在50， 60元的学生人数为 5000.3150故答案为：150【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题4 （5 分）根据如图所示的伪代码，可知输出 S 的值为 7 【分析】模拟伪代码的运行过程，
14、即可得出程序运行后输出的 S 值【解答】解：模拟伪代码的运行过程知，该程序运行如下；S1，I1；S1+23，I 4；S3+25，I 7；S5+27，I 10；终止循环，输出 S7故答案为：7【点评】本题考查了程序语言的应用问题，是基础题5 （5 分）已知 A，B，C 三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么 A 与 B 在相邻两天值班的概率为 【分析】先求出基本事件总数 n 6，再求出 A 与 B 在相邻两天值班包含的基本事件个数 m 4，由此能求出 A 与 B 在相邻两天值班的概率第 9 页（共 32 页）【解答】解：A，B，C 三人分别在连续三天中值班，每人值
15、班一天，基本事件总数 n 6，A 与 B 在相邻两天值班包含的基本事件个数 m 4，A 与 B 在相邻两天值班的概率 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题6 （5 分）若实数 x，y 满足 ，则 的取值范围为 ，2 【分析】由约束条件作出可行域，再由 的几何意义，即可行域内的动点与定点 O 连线的斜率求解【解答】解：由实数 x，y 满足 作出可行域如图，联立 ，解得 A（1，2） 的几何意义为可行域内的动点与定点 O 连线的斜率，k OA 2由 解得 B（ ， ）k OB 则 的取值范围是 ，2
16、故答案为： ，2第 10 页（共 32 页）【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题7 （5 分）已知 ， 是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题：若 l ，l，则 ； 若 l， ，则 l；若 l ，l，则 ； 若 l， ，则 l其中真命题为 （填所有真命题的序号） 【分析】 ，根据线面垂直的性质和面面平行的定义判断命题正确；，根据线面、面面垂直的定义与性质判断命题错误；，根据线面平行的性质与面面垂直的定义判断命题正确；，根据线面、面面平行与垂直的性质判断命
17、题错误【解答】解：对于，当 l ，l 时，根据线面垂直的性质和面面平行的定义知 ，正确；对于 ，l ， 时，有 l 或 l，错误；对于 ，l ，l 时，根据线面平行的性质与面面垂直的定义知 ，正确；对于 ，l ， 时，有 l 或 l 或 l或 l 与 相交，错误综上，以上真命题为 故答案为： 【点评】本题考查了利用符号语言表示的线面、面面垂直与平行的应用问题，是基础题8 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 1（a0，b0）的一个焦点到第 11 页（共 32 页）一条渐近线的距离为 2a，则该双曲线的离心率为 【分析】由已知中双曲线的焦点到其渐近线的距离等
18、于实轴长，通过渐近线、离心率等几何元素，沟通 a，b，c 的关系，即可求出该双曲线的离心率【解答】解：焦点到渐近线的距离等于半实轴长， 2a，b2a，e 故答案为： 【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质，双曲线的渐近线与离心率存在对应关系，通过 a，b，c 的比例关系可以求离心率，也可以求渐近线方程9 （5 分）若等比数列a n的前 n 项和为 Sn，n N*，且 a11，S 63S 3，则 a7 的值为 4 【分析】设等比数列a n的公比为 q，n N*，且 a11， S63S 3，q1 时，不满足S63S 3q1，可得： ，化简再利用通项公式即可得出【解答】解：设等比数列a n的公比
19、为 q，n N*，且 a1 1，S 63S 3，q1 时，不满足 S63S 3q1，可得： ，化为：q 3+13，即 q32，a 7q 64故答案为：4【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10 （5 分）若 f（x ）是定义在 R 上的周期为 3 的函数，且 f（x） ，则 f（a+1）的值为 2 【分析】由题意可得 f（0） f（3） ，解得 a0，由分段函数求得 f（1） 第 12 页（共 32 页）【解答】解：f（x ）是定义在 R 上的周期为 3 的函数，且 f（x） ，可得 f（0）f（3） ，即有 a18+180，则
20、f（a+1）f （1）1+1 2，故答案为：2【点评】本题考查函数的周期性和运用，考查运算求解能力，属于基础题11 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 M：x 2+y26x4y+80 与 x 轴的两个交点分别为 A，B ，其中 A 在 B 的右侧，以 AB 为直径的圆记为圆 N，过点 A 作直线 l 与圆 M，圆 N 分别交于 C，D 两点若 D 为线段 AC 的中点，则直线 l 的方程为 x +2y40 【分析】根据题意，在圆 M 的方程中，令 y0 可得 x2 6x+80，解可得 x 的值，即可得 A、B 的坐标，分析可得圆 N 的方程，同时设直线 l 的方程为 yk（x4） ，设
21、C（m，n） ，据此可以设出 D 的坐标，由圆的性质分析可得 BCAB2，综合可得，解可得 m、n 的值，由直线的斜率公式计算可得 k的值，将 k 的值代入直线 l 的方程，即可得答案【解答】解：根据题意，圆 M：x 2+y26x4y+80 中，令 y0，即 x26x+80，解可得 x2 或 x4，又由 A 在 B 的右侧，则 A（4，0） ，B（2，0） ，以 AB 为直径的圆记为圆 N，则圆 N 的方程为（x3） 2+y21，即 x2+y26x+80，直线 l 过点 A，则直线 l 的方程为 yk （x4） ，设 C（m，n） ，又由若 D 为线段 AC 的中点，则 C 的坐标为（ ， ）
22、 ，连接 BC、BD，而 D 为线段 AC 的中点，则 BCAB2，第 13 页（共 32 页）则有 ，解可得 m ，n ，又由直线 l 过点 A，则 k ，则直线 l 的方程为：y （x4） ，即 x+2y40，故答案为：x+2y 40【点评】本题考查直线与圆的位置关系以及直线与圆的方程的应用，关键是求出圆 N 的方程12 （5 分）在ABC 中，AB3，AC 2，D 为边 BC 上一点，若 5， ，则 的值为 3 【分析】根据题意，设 t，由平面向量基本定理可以设 m +n ，其m+n1 ，由向量数量积的计算公式可得 （m +n ）m 2+n 9m+ nt5， （m +n ）mt+4n ，
23、结合m+n1 解可得 t 的值，分析 t 的符号，即可得答案【解答】解：根据题意，设 t，如图所示，在ABC 中，D 为边 BC 上一点，则设 m +n ，其 m+n1，若 5， ，则有 （m +n ）m 2+n 9m +nt5， （m +n ）mt+4n ，又由 m+n1，解可得 t3 或 ，又由 ，则DAC 为钝角，则BAC 也是钝角，则必有 t0，故 t3；则 的值为 3第 14 页（共 32 页）故答案为：3【点评】本题考查向量数量积的计算以及向量的基本定理，属于中档题13 （5 分）若正数 a，b，c 成等差数列，则 + 的最小值为 【分析】由正数 a，b，c 成等差数
24、列，得 ，代入 中消去 b，通分化为 ，并在分式分母和分子中同时除以 c2，令 ，将分式化为，再次换元 xt 7，代入分式后分子分母同时除以 x，最后利用基本不等式可求出最小值【解答】解：由于正数 a、b、c 成等差数列，则 ， ，分式中，分子分母同时除以 c2，并令 ，得原式 ，令 xt 7，显然当 x0 时，原式取得最小值，即原式 ，当且仅当 ，第 15 页（共 32 页）即当 ，等号成立，因此， 的最小值为 故答案为： 【点评】本题考察基本不等式求最值，问题的关键在于对代数式的化简，以及根据代数式的结构进行合理的变形，属于中等题14 （5 分）已知 a，bR，e 为自然对数的底数，若存在
25、 b3e，e 2，使得函数 f（x ）e xax b 在 1，3上存在零点，则 a 的取值范围为 e2，4e 【分析】令 g（x）e xax ，求出 g（x ）在1 ，3上的最小值，令 gmin（x）e 2 即可【解答】解：令 f（x ）0 可得 be xax，令 g（x）e xax ，x 1，3，则 bg（x ）在1 ，3上有解，（1）当 a0 时，g（x）为增函数，g（x）g（1）e a0，又 b3e， e 2，bg（x）在1，3上无解，不符合题意；（2）当 a0 时，g（x）e xa，令 g（x）0 可得 xlna，g（x）在（，lna）上单调递减，在（lna ，+）上单调递
26、增，若 lna1，即 0ae ，则 g（x ）在1 ，3上单调递增，eag（x）e 33a，eae 2，解得 ae 2+e，舍去若 lna3，即 ae 3，则 g（x ）在1 ，3上单调递减，e 33ag（x ）e a，e 33ae 2，解得 a ，ae 3若 1 lna3，即 eae 3，则 g（x）在（1，lna ）上单调递减，在（ lna，3）上单调递增，f（1）ea b0 或 f（3）e 33ab0，解得 a4e；g（x）的最小值为 g（lna）aalna ，aalnae 2令 h（a）aalna（e ae 3） ，则 h（a）lna 0，第 16 页（共 32 页）h（a）在（e，e
27、 3）上单调递减，又 h（e 2）e 22e 2e 2不等式 aalnae 2h（a）h（e 2）e 2ae 3综上，ae 2故答案为：e 2，4e【点评】本题考查了函数单调性的判断与函数零点的关系，函数极值的计算，属于中档题二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，锐角 ， 的顶点为坐标原点 O，始边为 x 轴的正半轴，终边与单位圆 O 的交点分别为 P，Q 已知点 P 的横坐标为 ，点 Q 的纵坐标为 （1）求 cos2的值；（2）求 2 的值【分析】 （1）利
28、用三角函数的定义，求出 cos，然后利用二倍角公式求解即可（2）利用三角函数的定义，通过两角和与差的三角函数化简求解即可【解答】 （本小题满分 14 分）解：（1）因为点 P 的横坐标为 ，P 在单位圆上， 为锐角，所以 cos ，（2 分）所以 cos22cos 21 （4 分）（2）因为点 Q 的纵坐标为 ，所以 sin &nb
29、sp; （6 分）第 17 页（共 32 页）又因为 为锐角，所以 cos （8 分）因为 cos ，且 为锐角，所以 sin ，因此 sin22sincos ，（10 分）所以 sin（2 ） （12 分）因为 为锐角，所以 02又 cos20，所以 02 ，又 为锐角，所以 2 ，所以 2 （14 分）
30、【点评】本题考查二倍角公式以及三角函数的定义的应用，考查计算能力16 （14 分）如图，在三棱锥 PABC 中，PA ，其余棱长均为 2，M 是棱 PC 上的一点，D，E 分别为棱 AB， BC 的中点（1）求证：平面 PBC平面 ABC；（2）若 PD平面 AEM，求 PM 的长【分析】 （1）连结 PE由PBC 的边长为 2 的正三角形，E 为 BC 中点，可得PEBC，由勾股定理可得 PEAE再由线面垂直的判定可得 PE平面 ABC从而得到平面 PBC平面 ABC；（2）法一、连接 CD 交 AE 于 O，连接 OM可得 PD平面 AEM，再由线面平行的性质可得 PDOM ，则 ，由 D
31、，E 分别为 AB，BC 的中点，可得 O 为ABC 重心，则 ，第 18 页（共 32 页）从而得到 PM PC 法二、取 BE 的中点 N，连接 PN可得 DNAE由线面平行的判定可得 DN平面AEM结合 PD平面 AEM，得到平面 PDN平面 AEM由面面平行的性质可得MEPN，则 由 E，N 分别为 BC，BE 的中点，可得 ，从而得到PM PC 【解答】 （1）证明：如图，连结 PEPBC 的边长为 2 的正三角形，E 为 BC 中点，PEBC，且 PE ，同理 AE PA ，PE 2+AE2PA 2，则 PEAEPEBC，PEAE，BCAEE，AE，BC 平面 ABC，PE平面 A
32、BC又PE 平面 PBC，平面 PBC平面 ABC；（2）解法一、如图，连接 CD 交 AE 于 O，连接 OMPD平面 AEM，PD平面 PDC，平面 AEM平面 PDCOM，PDOM ，则 D，E 分别为 AB，BC 的中点，CDAEO ，O 为ABC 重心，则 ，PM PC 解法二、如图，取 BE 的中点 N，连接 PND，N 分别为 AB，BE 的中点，DNAE 又 DN平面 AEM，AE平面 AEM，DN平面 AEM又PD平面 AEM，DN平面 PDN，PD平面 PDN，DNPD D，平面 PDN平面 AEM又平面 AEM平面 PBCME，平面 PDN平面 PBCPN，第 19 页（
33、共 32 页）MEPN，则 E，N 分别为 BC，BE 的中点， ，则 PM PC 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题17 （14 分）如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段 AB，AC 和以 BC 为直径的半圆弧组成，其中 AC 为 2 百米，AC BC，A 为 若在半圆弧 ，线段 AC，线段AB 上各建一个观赏亭 D，E ，F，再修两条栈道 DE，DF，使 DEAB，DF AC记CBD （ ） （1）试用 表示 BD 的长；（2）试确定点 E 的位置，使两条栈道长度之和最大【分析】 （1）连结 DC求出A
34、 为 ，BC 为直径，BDC ，然后求解 BDBC cos2 cos （2）在BDF 中，利用正弦定理求出 DF4cos sin（ +） ，BF4cos 2，求出DEAF44cos 2，推出 DE+DF2 sin（2 ）+3，然后求解最大值【解答】 （本小题满分 14 分）解：（1）连结 DC第 20 页（共 32 页）在ABC 中，AC 为 2 百米，AC BC，A 为 ，所以CBA ，AB 4，BC 2 &nb
35、sp; （2 分）因为 BC 为直径，所以BDC ，所以 BDBC cos2 cos （4 分）（2）在BDF 中，DBF + ，BFD ，BD 2 cos，所以 ，所以 DF4cossin（ +） ，（6 分）且 BF4cos 2，所以 DEAF44cos 2， （8 分）所以 DE+DF44cos 2+4 cossin（ +） si
36、n2cos2+32 sin（2 ）+3 （12 分）因为 ，所以 2 ，所以当 2 ，即 时，DE +DF 有最大值 5，此时 E 与 C 重合 （13 分）答：当 E 与 C 重合时，两条栈道长度之和最大 （14 分）【点评】本题考查正弦定理以及三角函数基本关系式以及恒等变形的应用，考查计算能力18 （16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 1（ab0）经过点第 21 页（共 32 页
37、）P（ ， ） ，离心率为 已知过点 M（ ，0）的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点（1）求椭圆 C 的方程；（2）试问 x 轴上是否存在定点 N，使得 为定值若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 （1）由离心率 e ，推导出椭圆 C 的方程为 + 1再由椭圆C 经过点 P（ ， ） ，得 b21，由此能求出椭圆 C 的方程（2）设 N（n，0） ，当 l 斜率不存在时，A（ ，y） ，B（ ，y） ，则y21 ， （ n） 2 n 2 n ，当 l 经过左、右顶点时， （2n） （2n）n 24令 n2 n n 24，得 n4 由此能推导出在 x 轴上
38、存在定点 N（4，0） ，使得 为定值 12【解答】 （本小题满分 16 分）解：（1）离心率e ，c a，b a，（2 分）椭圆 C 的方程为 + 1椭圆 C 经过点 P（ ， ） ， + 1，解得 b21，椭圆 C 的方程为 +y21 （4 分）（2）设 N（n，0） ，当 l 斜率不存在时，A（ ，y） ，B（ ，y） ，第 22 页（共 32 页）则 y21 ，则 （ n） 2y 2（ n）2 n 2 n ，（6 分）当 l 经过左、右顶点时， （2n） （2n）n 24令 n2 n n 24，得 n4
39、（8 分）下面证明当 N 为（4，0）时，对斜率为 k 的直线 l：yk（x ） ，恒有 12设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由 ，消去 y，得（4k 2+1）x 2 k2x+ k240，x 1+x2 ，x 1x2 ，（10 分） （x 14） （x 24）+y 1y2（x 14） （x 24）+k 2（x 1 ） （x 2 ）（k 2+1）x 1x2（4+ k2） （ x1+x2）+16+ k2（12 分）（k 2+1） （4+ k2） +16+ k2 +16 +1612在 x 轴上存在定点 N（4，0） ，使得 为定值 12 （16 分）【点评】本题考查椭圆
40、方程的求法，考查使向量积为定值的定点是否存在的判断与证明，考查直线方程、向量的数量积、椭圆性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19 （16 分）已知函数 f（x ）2x 33ax 2+3a2（a0） ，记 f'（x）为 f（x）的导函数第 23 页（共 32 页）（1）若 f（x）的极大值为 0，求实数 a 的值；（2）若函数 g（x）f（x）+6x，求 g（x）在0，1 上取到最大值时 x 的值；（3）若关于 x 的不等式 f（x）f'（x ）在 ， 上有解，求满足条件的正整数 a 的集合【分析】 （1）求出 f'（x ）6x 26ax6x（
41、x a） 求出极值点，判断导函数的符号，得到单调性，求出极值，即可求出 a（2）g （x ）f （x ）+6 x2x 33ax 2+6x+3a2（a0） ，g（x ）6x 26ax+6 6（x 2ax+1 ） ，x0，1通过 当 0a2 时， 当 a2 时，判断函数的单调性求解最值（3）设 h （x）f （x ） f（x）2x 33（a+2 ）x 2+6ax+3a2，则 h （x）0 在， 有解，通过导函数判断单调性求出最小值，得到 a33a 26a+40设 t （a）a 33a 26a+4（a0） ，则 t（a）3a 26a6，判断函数的单调性，然后求解函数的零点个数，推出满足条件的正整数
42、a 的集合【解答】 （本小题满分 16 分）解：（1）因为 f （x ）2x 33ax 2+3a2（a0） ，所以 f'（x ）6x 26ax6x （x a） 令 f'（x）0，得 x0 或 a （2 分）当 x（， 0）时，f'（x ） 0，f （x）单调递增；当 x（0，a）时， f'（x ） 0，f （x）单调递减；当 x（a，+）时，f'（x）
43、0，f （x）单调递增故 f （x） 极大值 f （0）3a20，解得 a （4 分）（2）g （x）f （x）+6x2x 33ax 2+6x+3a2（a0） ，则 g（x）6x 26ax +66 （x 2ax+1） ，x 0，1当 0 a2 时，36（a 24）0，所以 g（x）0 恒成立，g （x）在0，1上单调递增，则 g （ x）取得最大值时 x 的值为 1 &nbs
44、p;（6 分）第 24 页（共 32 页）当 a 2 时， g（x）的对称轴 x 1，且36（a 24）0，g（1）6（2a）0，g（0）60，所以 g（x）在（0，1）上存在唯一零点 x0 当 x（0，x 0）时，g（x）0，g （x）单调递增，当 x（x 0，1）时，g（x）0，g （x）单调递减，则 g （x）取得最大值时 x 的值为 x0 （8 分）综上，当 0a2 时，g （x）取得最大值时 x 的值为 1；当 a2 时，g （x）取得最大值时 x 的值为 （9 分）（3）设 h （x）f （x）f（
45、x ）2x 33（a+2）x 2+6ax+3a2，则 h （x）0 在 ， 有解 （10 分）h（x）6 x2（a+2）x+a6 （x ） 2 ，因为 h（x）在（ ， ）上单调递减，所以 h（x）h（ ） a20，所以 h （x）在（ ， ）上单调递减，所以 h（ ）0，即 a33a 26a+40 （12 分）设 t
46、（a）a 33a 26a+4（ a0） ，则 t（a）3a 2 6a6，当 a（0，1+ ）时，t（a）0，t （a）单调递减；当 a（1+ ， +）时，t （a）0，t（a）单调递增因为 t （0）40，t （1）40，所以 t （a）存在一个零点 m（0，1） ，（14 分）因为 t （4）40，t （5）240，所以 t （a）存在一个零点 n（4，5） ，所以 t （a）0 的解集为m ，n ，故满足条件的正整数 a 的集合为1，2，3，4 （16 分）第 25 页（共 32 页）【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值与最值的求法，考查构造法以及转化思想的应用、分类讨论思想的应用，难度比较大20 （16 分）若数列a n满足：对于任意 nN*，a n+|an+1a n+2|均为数列 an中的项，则称数列a n为“T 数列” （1）若数列a n的前 n 项和 Sn2n 2，n N*，求证：数列 an为“T 数列” ；（2）若公差为 d 的等差数列a n为“T 数列” ，求 d 的取值范围；（3）若数列a n为“T 数列” ，a 11，且对于任意 nN*，均有 an a n+1，求数列a n的通项公式【分析】 （1）推导出 an4n2，从而 an+|an+1a n+2|4n2+44（n+1）2 为数列