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2018年江苏省南京市高考数学三模试卷(含答案解析)

1、2018 年江苏省南京市高考数学三模试卷一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)1 (5 分)集合 Ax| x2+x 60 ,Bx|x 240 ,则 AB     2 (5 分)已知复数 z 的共轭复数是 若 z(2i)5,其中 i 为虚数单位,则 的模为      3 (5 分)某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况,随机抽取了 500 名学生,他们的每天在校平均开销都不低于 20 元且不超过 60 元,其频率分布直方图如图所示,则其中每天在校平均开销在50,60

2、元的学生人数为      4 (5 分)根据如图所示的伪代码,可知输出 S 的值为     5 (5 分)已知 A,B,C 三人分别在连续三天中值班,每人值班一天,那么 A 与 B 在相邻两天值班的概率为     6 (5 分)若实数 x,y 满足 ,则 的取值范围为     7 (5 分)已知 , 是两个不同的平面,l ,m 是两条不同的直线,有如下四个命题:第 2 页(共 32 页)若 l ,l,则 ;     若 l, ,则 l;若 l ,l,则 ;    

3、若 l, ,则 l其中真命题为     (填所有真命题的序号) 8 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 1(a0,b0)的一个焦点到一条渐近线的距离为 2a,则该双曲线的离心率为     9 (5 分)若等比数列a n的前 n 项和为 Sn,n N*,且 a11,S 63S 3,则 a7 的值为     10 (5 分)若 f(x )是定义在 R 上的周期为 3 的函数,且 f(x) ,则 f(a+1)的值为     11 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 M:x 2+y26x4y+80 与

4、 x 轴的两个交点分别为 A,B ,其中 A 在 B 的右侧,以 AB 为直径的圆记为圆 N,过点 A 作直线 l 与圆 M,圆 N 分别交于 C,D 两点若 D 为线段 AC 的中点,则直线 l 的方程为     12 (5 分)在ABC 中,AB3,AC 2,D 为边 BC 上一点,若 5, ,则 的值为     13 (5 分)若正数 a,b,c 成等差数列,则 + 的最小值为     14 (5 分)已知 a,bR,e 为自然对数的底数,若存在 b3e,e 2,使得函数 f(x )e xax b 在 1,3上存在零点,则 a

5、的取值范围为     二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内)15 (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,锐角 , 的顶点为坐标原点 O,始边为 x 轴的正半轴,终边与单位圆 O 的交点分别为 P,Q 已知点 P 的横坐标为 ,点 Q 的纵坐标为 (1)求 cos2的值;(2)求 2 的值第 3 页(共 32 页)16 (14 分)如图,在三棱锥 PABC 中,PA ,其余棱长均为 2,M 是棱 PC 上的一点,D,E 分别为棱 AB, BC 的中点(1)求证:平面 PBC平面 ABC;

6、(2)若 PD平面 AEM,求 PM 的长17 (14 分)如图,公园里有一湖泊,其边界由两条线段 AB,AC 和以 BC 为直径的半圆弧组成,其中 AC 为 2 百米,AC BC,A 为 若在半圆弧 ,线段 AC,线段AB 上各建一个观赏亭 D,E ,F,再修两条栈道 DE,DF,使 DEAB,DF AC记CBD ( ) (1)试用 表示 BD 的长;(2)试确定点 E 的位置,使两条栈道长度之和最大18 (16 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 1(ab0)经过点第 4 页(共 32 页)P( , ) ,离心率为 已知过点 M( ,0)的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B

7、 两点(1)求椭圆 C 的方程;(2)试问 x 轴上是否存在定点 N,使得 为定值若存在,求出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由19 (16 分)已知函数 f(x )2x 33ax 2+3a2(a0) ,记 f'(x)为 f(x)的导函数(1)若 f(x)的极大值为 0,求实数 a 的值;(2)若函数 g(x)f(x)+6x,求 g(x)在0,1 上取到最大值时 x 的值;(3)若关于 x 的不等式 f(x)f'(x )在 , 上有解,求满足条件的正整数 a 的集合20 (16 分)若数列a n满足:对于任意 nN*,a n+|an+1a n+2|均为数列 an中的项,则称数

8、列a n为“T 数列” (1)若数列a n的前 n 项和 Sn2n 2,n N*,求证:数列 an为“T 数列” ;(2)若公差为 d 的等差数列a n为“T 数列” ,求 d 的取值范围;(3)若数列a n为“T 数列” ,a 11,且对于任意 nN*,均有 an a n+1,求数列a n的通项公式【选做题】在 21、22、23、24 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修 4-1:几何证明选讲CABMN(第 21A 题图)21 (10 分)在ABC 中,AC AB,M 为边 AB 上一点,AMC 的外接圆

9、交 BC 边于点N,BN2AM ,求证:CM 是ACB 的平分线第 5 页(共 32 页)选修 4-2:矩阵与变换22 (10 分)已知矩阵 A ,B ,若直线 l:xy+20 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到直线 l1,求直线 l1 的方程选修 4-4:坐标系与参数方程23在极坐标系中,已知圆 C 经过点 P(2, ) ,圆心 C 为直线 sin( )与极轴的交点,求圆 C 的极坐标方程选修 4-5:不等式选讲24已知 a,b,c(0,+) ,且 a+b+c1,求 + + 的最大值【必做题】第 25 题、第 26 题,每题 10 分,共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明

10、、证明过程或演算步骤25 (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C:y 2 2px(p0)的焦点为 F,点A(1, a) (a0)是抛物线 C 上一点,且 AF2(1)求 p 的值;(2)若 M,N 为抛物线 C 上异于 A 的两点,且 AMAN记点 M,N 到直线 y2 的距离分别为 d1,d 2,求 d1d2 的值26 (10 分)已知 fn(x ) x(x+1)(x+i 1) ,g n(x) +x(x+1 )(x+ n1) ,其中 xR,nN*且 n2第 6 页(共 32 页)(1)若 fn(1)7g n(1) ,求 n 的值;(2)对于每一个给定的正整数 n,求关于 x 的

11、方程 fn(x)+g n(x)0 所有解的集合第 7 页(共 32 页)2018 年江苏省南京市高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)1 (5 分)集合 Ax| x2+x 60 ,Bx|x 240 ,则 AB 3,2,2  【分析】求出 A 与 B 中方程的解集分别确定出 A 与 B,找出两集合的并集即可【解答】解:Ax| x2+x6 03,2 ,Bx|x 2 40 2,2则 AB3,2,2故答案为:3,2,2【点评】此题考查了并集及其运算,熟练掌握并集的定义是解本题的关键2

12、 (5 分)已知复数 z 的共轭复数是 若 z(2i)5,其中 i 为虚数单位,则 的模为 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【解答】解:z(2i)5 ,其中 i 为虚数单位,z(2i) (2+ i)5(2+i) ,z2+i则| | |z| 故答案为: 【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题3 (5 分)某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况,随机抽取了 500 名学生,他们的每天在校平均开销都不低于 20 元且不超过 60 元,其频率分布直方图如图所示,则其中每天在校平均开销在50,60 元的学生人数为 150   第

13、 8 页(共 32 页)【分析】由频率分布直方图,得每天在校平均开销在50,60 元的学生所点的频率为0.3,由此能求出每天在校平均开销在50,60 元的学生人数【解答】解:由频率分布直方图,得:每天在校平均开销在50,60元的学生所点的频率为:1 (0.01+0.024+0.036 )100.3每天在校平均开销在50, 60元的学生人数为 5000.3150故答案为:150【点评】本题考查频率分布直方图的应用,考查频数的求法,考查频率分布直方图等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题4 (5 分)根据如图所示的伪代码,可知输出 S 的值为 7 【分析】模拟伪代码的运行过程,

14、即可得出程序运行后输出的 S 值【解答】解:模拟伪代码的运行过程知,该程序运行如下;S1,I1;S1+23,I 4;S3+25,I 7;S5+27,I 10;终止循环,输出 S7故答案为:7【点评】本题考查了程序语言的应用问题,是基础题5 (5 分)已知 A,B,C 三人分别在连续三天中值班,每人值班一天,那么 A 与 B 在相邻两天值班的概率为    【分析】先求出基本事件总数 n 6,再求出 A 与 B 在相邻两天值班包含的基本事件个数 m 4,由此能求出 A 与 B 在相邻两天值班的概率第 9 页(共 32 页)【解答】解:A,B,C 三人分别在连续三天中值班,每人值

15、班一天,基本事件总数 n 6,A 与 B 在相邻两天值班包含的基本事件个数 m 4,A 与 B 在相邻两天值班的概率 p 故答案为: 【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题6 (5 分)若实数 x,y 满足 ,则 的取值范围为 ,2  【分析】由约束条件作出可行域,再由 的几何意义,即可行域内的动点与定点 O 连线的斜率求解【解答】解:由实数 x,y 满足 作出可行域如图,联立 ,解得 A(1,2) 的几何意义为可行域内的动点与定点 O 连线的斜率,k OA 2由 解得 B( , )k OB 则 的取值范围是 ,2

16、故答案为: ,2第 10 页(共 32 页)【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法,是中档题7 (5 分)已知 , 是两个不同的平面,l ,m 是两条不同的直线,有如下四个命题:若 l ,l,则 ;     若 l, ,则 l;若 l ,l,则 ;     若 l, ,则 l其中真命题为  (填所有真命题的序号) 【分析】 ,根据线面垂直的性质和面面平行的定义判断命题正确;,根据线面、面面垂直的定义与性质判断命题错误;,根据线面平行的性质与面面垂直的定义判断命题正确;,根据线面、面面平行与垂直的性质判断命

17、题错误【解答】解:对于,当 l ,l 时,根据线面垂直的性质和面面平行的定义知 ,正确;对于 ,l , 时,有 l 或 l,错误;对于 ,l ,l 时,根据线面平行的性质与面面垂直的定义知 ,正确;对于 ,l , 时,有 l 或 l 或 l或 l 与 相交,错误综上,以上真命题为 故答案为: 【点评】本题考查了利用符号语言表示的线面、面面垂直与平行的应用问题,是基础题8 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 1(a0,b0)的一个焦点到第 11 页(共 32 页)一条渐近线的距离为 2a,则该双曲线的离心率为    【分析】由已知中双曲线的焦点到其渐近线的距离等

18、于实轴长,通过渐近线、离心率等几何元素,沟通 a,b,c 的关系,即可求出该双曲线的离心率【解答】解:焦点到渐近线的距离等于半实轴长, 2a,b2a,e 故答案为: 【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质,双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过 a,b,c 的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程9 (5 分)若等比数列a n的前 n 项和为 Sn,n N*,且 a11,S 63S 3,则 a7 的值为 4 【分析】设等比数列a n的公比为 q,n N*,且 a11, S63S 3,q1 时,不满足S63S 3q1,可得: ,化简再利用通项公式即可得出【解答】解:设等比数列a n的公比

19、为 q,n N*,且 a1 1,S 63S 3,q1 时,不满足 S63S 3q1,可得: ,化为:q 3+13,即 q32,a 7q 64故答案为:4【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式及其求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题10 (5 分)若 f(x )是定义在 R 上的周期为 3 的函数,且 f(x) ,则 f(a+1)的值为 2 【分析】由题意可得 f(0) f(3) ,解得 a0,由分段函数求得 f(1) 第 12 页(共 32 页)【解答】解:f(x )是定义在 R 上的周期为 3 的函数,且 f(x) ,可得 f(0)f(3) ,即有 a18+180,则

20、f(a+1)f (1)1+1 2,故答案为:2【点评】本题考查函数的周期性和运用,考查运算求解能力,属于基础题11 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 M:x 2+y26x4y+80 与 x 轴的两个交点分别为 A,B ,其中 A 在 B 的右侧,以 AB 为直径的圆记为圆 N,过点 A 作直线 l 与圆 M,圆 N 分别交于 C,D 两点若 D 为线段 AC 的中点,则直线 l 的方程为 x +2y40 【分析】根据题意,在圆 M 的方程中,令 y0 可得 x2 6x+80,解可得 x 的值,即可得 A、B 的坐标,分析可得圆 N 的方程,同时设直线 l 的方程为 yk(x4) ,设

21、C(m,n) ,据此可以设出 D 的坐标,由圆的性质分析可得 BCAB2,综合可得,解可得 m、n 的值,由直线的斜率公式计算可得 k的值,将 k 的值代入直线 l 的方程,即可得答案【解答】解:根据题意,圆 M:x 2+y26x4y+80 中,令 y0,即 x26x+80,解可得 x2 或 x4,又由 A 在 B 的右侧,则 A(4,0) ,B(2,0) ,以 AB 为直径的圆记为圆 N,则圆 N 的方程为(x3) 2+y21,即 x2+y26x+80,直线 l 过点 A,则直线 l 的方程为 yk (x4) ,设 C(m,n) ,又由若 D 为线段 AC 的中点,则 C 的坐标为( , )

22、 ,连接 BC、BD,而 D 为线段 AC 的中点,则 BCAB2,第 13 页(共 32 页)则有 ,解可得 m ,n ,又由直线 l 过点 A,则 k ,则直线 l 的方程为:y (x4) ,即 x+2y40,故答案为:x+2y 40【点评】本题考查直线与圆的位置关系以及直线与圆的方程的应用,关键是求出圆 N 的方程12 (5 分)在ABC 中,AB3,AC 2,D 为边 BC 上一点,若 5, ,则 的值为 3 【分析】根据题意,设 t,由平面向量基本定理可以设 m +n ,其m+n1 ,由向量数量积的计算公式可得 (m +n )m 2+n 9m+ nt5, (m +n )mt+4n ,

23、结合m+n1 解可得 t 的值,分析 t 的符号,即可得答案【解答】解:根据题意,设 t,如图所示,在ABC 中,D 为边 BC 上一点,则设 m +n ,其 m+n1,若 5, ,则有 (m +n )m 2+n 9m +nt5, (m +n )mt+4n ,又由 m+n1,解可得 t3 或 ,又由 ,则DAC 为钝角,则BAC 也是钝角,则必有 t0,故 t3;则 的值为 3第 14 页(共 32 页)故答案为:3【点评】本题考查向量数量积的计算以及向量的基本定理,属于中档题13 (5 分)若正数 a,b,c 成等差数列,则 + 的最小值为   【分析】由正数 a,b,c 成等差数

24、列,得 ,代入 中消去 b,通分化为 ,并在分式分母和分子中同时除以 c2,令 ,将分式化为,再次换元 xt 7,代入分式后分子分母同时除以 x,最后利用基本不等式可求出最小值【解答】解:由于正数 a、b、c 成等差数列,则 , ,分式中,分子分母同时除以 c2,并令 ,得原式 ,令 xt 7,显然当 x0 时,原式取得最小值,即原式 ,当且仅当 ,第 15 页(共 32 页)即当 ,等号成立,因此, 的最小值为 故答案为: 【点评】本题考察基本不等式求最值,问题的关键在于对代数式的化简,以及根据代数式的结构进行合理的变形,属于中等题14 (5 分)已知 a,bR,e 为自然对数的底数,若存在

25、 b3e,e 2,使得函数 f(x )e xax b 在 1,3上存在零点,则 a 的取值范围为 e2,4e  【分析】令 g(x)e xax ,求出 g(x )在1 ,3上的最小值,令 gmin(x)e 2 即可【解答】解:令 f(x )0 可得 be xax,令 g(x)e xax ,x 1,3,则 bg(x )在1 ,3上有解,(1)当 a0 时,g(x)为增函数,g(x)g(1)e a0,又 b3e, e 2,bg(x)在1,3上无解,不符合题意;(2)当 a0 时,g(x)e xa,令 g(x)0 可得 xlna,g(x)在(,lna)上单调递减,在(lna ,+)上单调递

26、增,若 lna1,即 0ae ,则 g(x )在1 ,3上单调递增,eag(x)e 33a,eae 2,解得 ae 2+e,舍去若 lna3,即 ae 3,则 g(x )在1 ,3上单调递减,e 33ag(x )e a,e 33ae 2,解得 a ,ae 3若 1 lna3,即 eae 3,则 g(x)在(1,lna )上单调递减,在( lna,3)上单调递增,f(1)ea b0 或 f(3)e 33ab0,解得 a4e;g(x)的最小值为 g(lna)aalna ,aalnae 2令 h(a)aalna(e ae 3) ,则 h(a)lna 0,第 16 页(共 32 页)h(a)在(e,e

27、 3)上单调递减,又 h(e 2)e 22e 2e 2不等式 aalnae 2h(a)h(e 2)e 2ae 3综上,ae 2故答案为:e 2,4e【点评】本题考查了函数单调性的判断与函数零点的关系,函数极值的计算,属于中档题二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内)15 (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,锐角 , 的顶点为坐标原点 O,始边为 x 轴的正半轴,终边与单位圆 O 的交点分别为 P,Q 已知点 P 的横坐标为 ,点 Q 的纵坐标为 (1)求 cos2的值;(2)求 2 的值【分析】 (1)利

28、用三角函数的定义,求出 cos,然后利用二倍角公式求解即可(2)利用三角函数的定义,通过两角和与差的三角函数化简求解即可【解答】 (本小题满分 14 分)解:(1)因为点 P 的横坐标为 ,P 在单位圆上, 为锐角,所以 cos ,(2 分)所以 cos22cos 21                             (4 分)(2)因为点 Q 的纵坐标为 ,所以 sin           &nb

29、sp;  (6 分)第 17 页(共 32 页)又因为 为锐角,所以 cos                       (8 分)因为 cos ,且 为锐角,所以 sin ,因此 sin22sincos ,(10 分)所以 sin(2 )               (12 分)因为 为锐角,所以 02又 cos20,所以 02 ,又 为锐角,所以 2 ,所以 2     (14 分)

30、【点评】本题考查二倍角公式以及三角函数的定义的应用,考查计算能力16 (14 分)如图,在三棱锥 PABC 中,PA ,其余棱长均为 2,M 是棱 PC 上的一点,D,E 分别为棱 AB, BC 的中点(1)求证:平面 PBC平面 ABC;(2)若 PD平面 AEM,求 PM 的长【分析】 (1)连结 PE由PBC 的边长为 2 的正三角形,E 为 BC 中点,可得PEBC,由勾股定理可得 PEAE再由线面垂直的判定可得 PE平面 ABC从而得到平面 PBC平面 ABC;(2)法一、连接 CD 交 AE 于 O,连接 OM可得 PD平面 AEM,再由线面平行的性质可得 PDOM ,则 ,由 D

31、,E 分别为 AB,BC 的中点,可得 O 为ABC 重心,则 ,第 18 页(共 32 页)从而得到 PM PC 法二、取 BE 的中点 N,连接 PN可得 DNAE由线面平行的判定可得 DN平面AEM结合 PD平面 AEM,得到平面 PDN平面 AEM由面面平行的性质可得MEPN,则 由 E,N 分别为 BC,BE 的中点,可得 ,从而得到PM PC 【解答】 (1)证明:如图,连结 PEPBC 的边长为 2 的正三角形,E 为 BC 中点,PEBC,且 PE ,同理 AE PA ,PE 2+AE2PA 2,则 PEAEPEBC,PEAE,BCAEE,AE,BC 平面 ABC,PE平面 A

32、BC又PE 平面 PBC,平面 PBC平面 ABC;(2)解法一、如图,连接 CD 交 AE 于 O,连接 OMPD平面 AEM,PD平面 PDC,平面 AEM平面 PDCOM,PDOM ,则 D,E 分别为 AB,BC 的中点,CDAEO ,O 为ABC 重心,则 ,PM PC 解法二、如图,取 BE 的中点 N,连接 PND,N 分别为 AB,BE 的中点,DNAE 又 DN平面 AEM,AE平面 AEM,DN平面 AEM又PD平面 AEM,DN平面 PDN,PD平面 PDN,DNPD D,平面 PDN平面 AEM又平面 AEM平面 PBCME,平面 PDN平面 PBCPN,第 19 页(

33、共 32 页)MEPN,则 E,N 分别为 BC,BE 的中点, ,则 PM PC 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定,考查空间想象能力与思维能力,考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法,是中档题17 (14 分)如图,公园里有一湖泊,其边界由两条线段 AB,AC 和以 BC 为直径的半圆弧组成,其中 AC 为 2 百米,AC BC,A 为 若在半圆弧 ,线段 AC,线段AB 上各建一个观赏亭 D,E ,F,再修两条栈道 DE,DF,使 DEAB,DF AC记CBD ( ) (1)试用 表示 BD 的长;(2)试确定点 E 的位置,使两条栈道长度之和最大【分析】 (1)连结 DC求出A

34、 为 ,BC 为直径,BDC ,然后求解 BDBC cos2 cos                     (2)在BDF 中,利用正弦定理求出 DF4cos sin( +) ,BF4cos 2,求出DEAF44cos 2,推出 DE+DF2 sin(2 )+3,然后求解最大值【解答】 (本小题满分 14 分)解:(1)连结 DC第 20 页(共 32 页)在ABC 中,AC 为 2 百米,AC BC,A 为 ,所以CBA ,AB 4,BC 2       &nb

35、sp;            (2 分)因为 BC 为直径,所以BDC ,所以 BDBC cos2 cos                          (4 分)(2)在BDF 中,DBF + ,BFD ,BD 2 cos,所以 ,所以 DF4cossin( +) ,(6 分)且 BF4cos 2,所以 DEAF44cos 2, (8 分)所以 DE+DF44cos 2+4 cossin( +) si

36、n2cos2+32 sin(2 )+3                    (12 分)因为 ,所以 2 ,所以当 2 ,即 时,DE +DF 有最大值 5,此时 E 与 C 重合  (13 分)答:当 E 与 C 重合时,两条栈道长度之和最大       (14 分)【点评】本题考查正弦定理以及三角函数基本关系式以及恒等变形的应用,考查计算能力18 (16 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 1(ab0)经过点第 21 页(共 32 页

37、)P( , ) ,离心率为 已知过点 M( ,0)的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点(1)求椭圆 C 的方程;(2)试问 x 轴上是否存在定点 N,使得 为定值若存在,求出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由【分析】 (1)由离心率 e ,推导出椭圆 C 的方程为 + 1再由椭圆C 经过点 P( , ) ,得 b21,由此能求出椭圆 C 的方程(2)设 N(n,0) ,当 l 斜率不存在时,A( ,y) ,B( ,y) ,则y21 , ( n) 2 n 2 n ,当 l 经过左、右顶点时, (2n) (2n)n 24令 n2 n n 24,得 n4  由此能推导出在 x 轴上

38、存在定点 N(4,0) ,使得 为定值 12【解答】 (本小题满分 16 分)解:(1)离心率e ,c a,b a,(2 分)椭圆 C 的方程为 + 1椭圆 C 经过点 P( , ) , + 1,解得 b21,椭圆 C 的方程为 +y21           (4 分)(2)设 N(n,0) ,当 l 斜率不存在时,A( ,y) ,B( ,y) ,第 22 页(共 32 页)则 y21 ,则 ( n) 2y 2( n)2 n 2 n ,(6 分)当 l 经过左、右顶点时, (2n) (2n)n 24令 n2 n n 24,得 n4  

39、(8 分)下面证明当 N 为(4,0)时,对斜率为 k 的直线 l:yk(x ) ,恒有 12设 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) ,由 ,消去 y,得(4k 2+1)x 2 k2x+ k240,x 1+x2 ,x 1x2 ,(10 分) (x 14) (x 24)+y 1y2(x 14) (x 24)+k 2(x 1 ) (x 2 )(k 2+1)x 1x2(4+ k2) ( x1+x2)+16+ k2(12 分)(k 2+1) (4+ k2) +16+ k2 +16 +1612在 x 轴上存在定点 N(4,0) ,使得 为定值 12  (16 分)【点评】本题考查椭圆

40、方程的求法,考查使向量积为定值的定点是否存在的判断与证明,考查直线方程、向量的数量积、椭圆性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题19 (16 分)已知函数 f(x )2x 33ax 2+3a2(a0) ,记 f'(x)为 f(x)的导函数第 23 页(共 32 页)(1)若 f(x)的极大值为 0,求实数 a 的值;(2)若函数 g(x)f(x)+6x,求 g(x)在0,1 上取到最大值时 x 的值;(3)若关于 x 的不等式 f(x)f'(x )在 , 上有解,求满足条件的正整数 a 的集合【分析】 (1)求出 f'(x )6x 26ax6x(

41、x a) 求出极值点,判断导函数的符号,得到单调性,求出极值,即可求出 a(2)g (x )f (x )+6 x2x 33ax 2+6x+3a2(a0) ,g(x )6x 26ax+6 6(x 2ax+1 ) ,x0,1通过 当 0a2 时, 当 a2 时,判断函数的单调性求解最值(3)设 h (x)f (x ) f(x)2x 33(a+2 )x 2+6ax+3a2,则 h (x)0 在, 有解,通过导函数判断单调性求出最小值,得到 a33a 26a+40设 t (a)a 33a 26a+4(a0) ,则 t(a)3a 26a6,判断函数的单调性,然后求解函数的零点个数,推出满足条件的正整数

42、a 的集合【解答】 (本小题满分 16 分)解:(1)因为 f (x )2x 33ax 2+3a2(a0) ,所以 f'(x )6x 26ax6x (x a) 令 f'(x)0,得 x0 或 a                           (2 分)当 x(, 0)时,f'(x ) 0,f  (x)单调递增;当 x(0,a)时, f'(x ) 0,f  (x)单调递减;当 x(a,+)时,f'(x)

43、0,f  (x)单调递增故 f (x) 极大值 f (0)3a20,解得 a             (4 分)(2)g (x)f (x)+6x2x 33ax 2+6x+3a2(a0) ,则 g(x)6x 26ax +66 (x 2ax+1) ,x 0,1当 0 a2 时,36(a 24)0,所以 g(x)0 恒成立,g (x)在0,1上单调递增,则 g ( x)取得最大值时 x 的值为 1                   &nbs

44、p;(6 分)第 24 页(共 32 页)当 a 2 时, g(x)的对称轴 x 1,且36(a 24)0,g(1)6(2a)0,g(0)60,所以 g(x)在(0,1)上存在唯一零点 x0 当 x(0,x 0)时,g(x)0,g (x)单调递增,当 x(x 0,1)时,g(x)0,g (x)单调递减,则 g (x)取得最大值时 x 的值为 x0           (8 分)综上,当 0a2 时,g (x)取得最大值时 x 的值为 1;当 a2 时,g (x)取得最大值时 x 的值为   (9 分)(3)设 h (x)f (x)f(

45、x )2x 33(a+2)x 2+6ax+3a2,则 h (x)0 在 , 有解                          (10 分)h(x)6 x2(a+2)x+a6 (x ) 2 ,因为 h(x)在( , )上单调递减,所以 h(x)h( ) a20,所以 h (x)在( , )上单调递减,所以 h( )0,即 a33a 26a+40               (12 分)设 t

46、(a)a 33a 26a+4( a0) ,则 t(a)3a 2 6a6,当 a(0,1+ )时,t(a)0,t (a)单调递减;当 a(1+ , +)时,t (a)0,t(a)单调递增因为 t (0)40,t (1)40,所以 t (a)存在一个零点 m(0,1) ,(14 分)因为 t (4)40,t (5)240,所以 t (a)存在一个零点 n(4,5) ,所以 t (a)0 的解集为m ,n ,故满足条件的正整数 a 的集合为1,2,3,4       (16 分)第 25 页(共 32 页)【点评】本题考查函数的导数的综合应用,函数的单调性以及函数的极值与最值的求法,考查构造法以及转化思想的应用、分类讨论思想的应用,难度比较大20 (16 分)若数列a n满足:对于任意 nN*,a n+|an+1a n+2|均为数列 an中的项,则称数列a n为“T 数列” (1)若数列a n的前 n 项和 Sn2n 2,n N*,求证:数列 an为“T 数列” ;(2)若公差为 d 的等差数列a n为“T 数列” ,求 d 的取值范围;(3)若数列a n为“T 数列” ,a 11,且对于任意 nN*,均有 an a n+1,求数列a n的通项公式【分析】 (1)推导出 an4n2,从而 an+|an+1a n+2|4n2+44(n+1)2 为数列