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2018年江苏省徐州市铜山区高考数学三模试卷(含答案解析)

1、2018 年江苏省徐州市铜山区高考数学三模试卷一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需写出解题过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上)1 (5 分)知集合 Ax|0 x2,Bx|x 21,则 AB     2 (5 分)知复数 z 满足 zi 1+i(i 为虚数单位) ,则复数 z 在复平面内对应的点在第     象限3 (5 分)人甲在某周五天的时间内,每天加工零件的个数用茎叶图表示如图(左边一列的数字表示零件个数的十位数,右边的数字表示零件个数的个位数) ,则该组数据的方差 s2 的值为    

2、4 (5 分)据图所示的伪代码,可知输出的结果 S 为     5 (5 分)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)先后抛掷 2 次,则向上的点数之差的绝对值是 2 的概率为     6 (5 分)设实数 x,y 满足 ,则 3x+2y 的最大值为     7 (5 分)直线 yx +2 与双曲线 的一条渐近线平行,则双曲线的离心率为     8 (5 分)已知平面 ,直线 m,n给出下列命题:若 m ,n ,mn,则 ;若 ,m ,n ,则 mn;若 m ,n ,m

3、n,则 ;若 ,m ,n ,则 mn第 2 页(共 27 页)其中是真命题的是     (填写所有真命题的序号) 9 (5 分)设 Sn 是等比数列a n的前 n 项和,S 3,S 9,S 6 成等差数列,且 a2+a52a m,则m     10 (5 分)等边ABC 边长为 2,过边 BC 上一点 P 分别作 AB,AC 的垂线,垂足分别为M,N ,则 的最小值为     11 (5 分)已知圆 O:x 2+y2r 2(r0)及圆上的点 A(r,0) ,过点 A 的直线 l 交 y 轴于点 B( 0,1) ,交圆于另一点 C,若

4、AB2BC ,则直线 l 的斜率为     12 (5 分)设函数 f(x ) ,则满足 f(f(a) )(f(a) ) 2 的 a 的取值范围为     13 (5 分)正数 a,b,c 满足 ,若 恒成立,则实数 t 最大值为     14 (5 分)当 a0 时,若x R,使得 a3x4 成立,则实数 a 的取值范围是     二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 (14 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,

5、c已知a1,b2 ,BA (1)求 sinA 的值;(2)求 c 的值16 (14 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,平面 ABP平面BCP, APB90,BPBC ,M 为 CP 的中点求证:(1)AP平面 BDM;(2)BM平面 ACP17 (14 分)某三甲医院开展用直升飞机接送危重病人业务,为了保证直升飞机的降落准第 3 页(共 27 页)确、安全,在门诊楼 AB 和综合楼 CD 的楼上安装导航标记,已知两楼的地面距离AC50m,在 A,C 之间取一导航标志观测点 P,当点 P 在 AC 中点时,测得两楼顶导航标记的张角BPD45,若ACB45(1)求两

6、导航标记距离地面的高度 AB、CD;(2)要使在点 P 处看两楼顶导航标记的张角BPD 最大,点 P 应在何处?18 (16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A、B 分别是椭圆 + 1(ab0)的上、下顶点,点 M(0, )为线段 AO 的中点,AB a(1)求椭圆的方程;(2)设 N(t,2) (t0) ,直线 NA,NB 分别交椭圆于点 P,Q,直线 NA,NB ,PQ 的斜率分别为 k1,k 2,k 3求证: P,M,Q 三点共线;求证: k1k3+k2k3k 1k2 为定值19 (16 分)已知数列a n的首项 a1a(a0) ,其前 n 项和为 Sn,设bna n+an+1(

7、nN*) 数列b n的前 n 项和为 Tn,满足 Tnn 2(1)求证:数列b n的任意连续三项不成等比数列;第 4 页(共 27 页)(2)求数列a n的通项公式;(3)若对nN*且 n2,不等式( an1) (a n+11)2(1n)恒成立,求 a 的取值范围20 (16 分)已知函数 f(x )xa,g(x)lnxb,a,bR(1)若 b0,f(x )g(x)0 恒成立,求实数 a 的值;(2)若 a0, ,求证:函数 h(x)在(0,+)上有唯一的零点;(3)若 a0, ,若 f(x 1)g(x 1)f(x 2)g(x 2) ,x 1x 2,求证:【选做题】本题包括 21、22、23、

8、24 四小题,请选定两题,并在相应的答题区域内作答选修 4-1:几何证明选讲(本小题满分 10 分)21 (10 分)AB 是O 的直径,D 为O 上一点,过点 D 作 O 的切线交 AB 延长线于C,若 DADC,求证:AB2BC选修 4-2:矩阵与变换 (本小题满分 10 分)22 (10 分)已知 a,bR,向量为 是矩阵 A 的属于特征值3 的一个特征向量(1)求矩阵 A 的另一个特征值;(2)求矩阵 A 的逆矩阵 A1 选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 0 分)23在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数) 以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极

9、轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 cos() 求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长选修 4-5:不等式选讲 (本小题满分 0 分)第 5 页(共 27 页)24已知实数 x,y ,z 满足 x+y+z2,求 2x2+3y2+z2 的最小值【必做题】第 25 题、第 26 题,每题 10 分,共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答25 (10 分)某小组共 10 人,利用寒假参加义工活动,已知参加义工活动次数为 1,2,3的人数分别为 3,3,4现从这 10 人中选出 2 人作为该组代表参加座谈会(1)记“选出 2 人参加义工活动的次数之和为 4”为事件 A,求事件 A 发生的概率;(2

10、)设 X 为选出 2 人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量 X 的分布列和数学期望26 (10 分)在各项均不相同的数列 a1,a 2,a 3,a n(nN*)中,任取 k(kN,且kn)项变动位置,其余 nk 项保持位置不动,得到不同的新数列,由此产生的不同新数列的个数记为 Pn(k) (1)求 P4(0)+P 4(1)+P 4(2)+P 4(3)的值;(2)求 P5(5)的值;(3)设 An kPn(nk ) ,求证:A n+1(n+1) Pn(nk) 第 6 页(共 27 页)2018 年江苏省徐州市铜山区高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题

11、 5 分,共计 70 分.不需写出解题过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上)1 (5 分)知集合 Ax|0 x2,Bx|x 21,则 AB x |0x1  【分析】可求出 B,然后进行交集的运算即可【解答】解:Bx| 1x 1;ABx|0 x1故答案为:x|0x 1【点评】考查描述法表示集合的概念,以及交集的运算2 (5 分)知复数 z 满足 zi 1+i(i 为虚数单位) ,则复数 z 在复平面内对应的点在第 四 象限【分析】把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,求出 z 在复平面内对应的点的坐标得答案【解答】解:由 zi1+ i,得 ,则复数 z 在复平面内对应

12、的点的坐标为:(1,1) ,在第四象限故答案为:四【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的代数表示法及其几何意义,是基础题3 (5 分)人甲在某周五天的时间内,每天加工零件的个数用茎叶图表示如图(左边一列的数字表示零件个数的十位数,右边的数字表示零件个数的个位数) ,则该组数据的方差 s2 的值为    【分析】由茎叶图得该组数据的平均数,由此能求出该组数据的方差【解答】解:由茎叶图得该组数据的平均数为: (18+17+22+21+22)20,第 7 页(共 27 页)该组数据的方差为:s2 (1820) 2+(1720) 2+(2220) 2+(2120)

13、2+(2220) 2 故答案为: 【点评】本题考查方差的求法,考查平均数、方差、茎叶图等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题4 (5 分)据图所示的伪代码,可知输出的结果 S 为 7 【分析】模拟程序语言的运行过程知该程序运行后输出 S3+4+5【解答】解:模拟程序的运行过程如下,I2 时,S3;I3 时,S3+4 7;,该程序运行后输出 S7故答案为:7【点评】本题考查了程序语言的应用问题,是基础题5 (5 分)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)先后抛掷 2 次,则向上的点数之差的绝对值是 2 的概率为   &

14、nbsp;【分析】基本事件总数 n6636,向上的点数之差的绝对值是 2 包含的基本事件有8 个,由此能求出向上的点数之差的绝对值是 2 的概率【解答】解:将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)先后抛掷 2 次,基本事件总数 n6636,向上的点数之差的绝对值是 2 包含的基本事件有 8 个,分别为:(1,3) , (3,1) , (2,4) , (4,2) , (3,5) , (5,3) , (4,6) , (6,4) ,则向上的点数之差的绝对值是 2 的概率为:第 8 页(共 27 页)p 故答案为: 【点评】本题考查概率的求法,考查列举法、

15、古典概型等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题6 (5 分)设实数 x,y 满足 ,则 3x+2y 的最大值为 3 【分析】作出不等式组对于的平面区域,利用数形结合即可得到结论【解答】解:作出不等式组对于的平面区域如图:设 z3x+2y,则 y ,平移直线 y ,由图象可知当直线 y ,经过点 C 时,直线 y 的截距最大,此时 z 最大,由 ,解得 ,即 C(1,0) ,此时 zmax31+203,故答案为:3【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用 z 的几何意义,利用数形结合是解决本题的关键7 (5 分)直线 yx +2 与双曲线 的一条渐近线平行,则双曲线的离心率为

16、 第 9 页(共 27 页)【分析】求出双曲线的渐近线方程,得到 a,b 关系,然后求解双曲线的离心率即可【解答】解:双曲线 的一条渐近线:y ,直线 yx+2 与双曲线 的一条渐近线平行,可得: ,所以 c22a 2,则双曲线的离心率为: 故答案为: 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,是基本知识的考查8 (5 分)已知平面 ,直线 m,n给出下列命题:若 m ,n ,mn,则 ;若 ,m ,n ,则 mn;若 m ,n ,mn,则 ;若 ,m ,n ,则 mn其中是真命题的是   (填写所有真命题的序号) 【分析】对各个命题分别判断真假,即可得出结论【解答】解:若 m,n ,

17、m n,则 或 、 相交,是假命题;若 ,m ,n ,则 mn 或 m,n 相交或异面,是假命题;若 m ,n ,mn,则 ,是真命题;若 ,m ,n ,则 mn,是真命题,故答案为: 【点评】本题考查空间直线与平面之间的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,比较基础9 (5 分)设 Sn 是等比数列a n的前 n 项和,S 3,S 9,S 6 成等差数列,且 a2+a52a m,则m 8 【分析】由 S3,S 9,S 6 成等差数列,利用等差数列的性质列出关系式,利用等比数列的前 n 项和公式化简,得到关于 q 的关系式,再利用等比数列的性质化简 a2+a52a m 的左右两边,将得到的关于

18、 q 的关系式整理后代入,即可得出 m 的值【解答】解:S n 是等比数列a n的前 n 项和,且 S3,S 9,S 6 成等差数列,第 10 页(共 27 页)2S 9S 3+S6,即 + ,整理得:2(1q 9)1q 3+1q 6,即 1+q32q 6,又 a2+a5a 1q+a1q4a 1q(1+q 3)2a 1q7,2a m2a 1qm1 ,且 a2+a52a m,2a 1q72a 1qm1 ,即 m17,则 m8故答案为:8【点评】此题考查了等差数列的性质,等比数列的通项公式及求和公式,熟练掌握性质及公式是解本题的关键10 (5 分)等边ABC 边长为 2,过边 BC 上一点 P 分

19、别作 AB,AC 的垂线,垂足分别为M,N ,则 的最小值为    【分析】设 PBx ,则 PC2x,可得PMBPsin B x,PNCPsin C (2x) ,再根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出【解答】解:等边ABC 边长为 2,PMAB,PNAC ,MPN120设 PBx,则 PC2x,PMBPsin B x,PNCP sinC (2x) , | | |cos120 (2xx 2)( ) (x 22x+11) (x1) 2 ,故答案为:【点评】本题考查了向量的加减的几何意义和解三角形,属于中档题第 11 页(共 27 页)11 (5 分)已知圆 O:x 2+y

20、2r 2(r0)及圆上的点 A(r,0) ,过点 A 的直线 l 交 y 轴于点 B( 0,1) ,交圆于另一点 C,若 AB2BC ,则直线 l 的斜率为  或   【分析】直线 l 的方程为 xry +r0,联立直线与圆的方程,得 C( , ) ,由 AB2BC,求出 r 或 r ,由此能求出直线 l 的斜率【解答】解:由题意直线 l 的方程为 ,即 xry +r0,联立直线与圆的方程: ,得 C( , ) ,AB2BC, 2 ,解得 r 或 r ,直线 l 的斜率 k 或 k 故答案为: 或 【点评】本题考查直线的斜率的求法,考查直线、圆、斜率公式等基础知识,考查运算

21、求解能力,考查函数与方程思想,是中档题12 (5 分)设函数 f(x ) ,则满足 f(f(a) )(f(a) ) 2 的 a 的取值范围为 a1 【分析】由已知函数解析式可知需对 a 分段,然后把 f(f (a) )(f(a) ) 2 的转化为关于 a 的不等式求解【解答】解:若 a1,则 f( a)a 21由 f(f(a) )(f(a) ) 2,得 a4a 4,此不等式无解;若 a1,则 f(a)2a1 1,由 f(f(a) )(f(a) ) 2,得 2(2a1)1(2a1) 2,即(a1) 20,此不等式对于任意 a1 恒成立满足 f(f(a) )(f(a) ) 2 的 a 的取值范围为

22、 a1第 12 页(共 27 页)故答案为:a1【点评】本题考查分段函数的应用,考查不等式的解法,是中档题13 (5 分)正数 a,b,c 满足 ,若 恒成立,则实数 t 最大值为 2 【分析】由题意可得 a ,0 1,化简 + ,结合不等式的性质,求得取值范围,即可得到 t 的最大值【解答】解:正数 a,b,c 满足 ,可得 a ,0 1,则 + + 2,可得 t2,即 t 的最大值为 2故答案为:2【点评】本题考查不等式恒成立问题解法,考查不等式的性质和变形能力,属于中档题14 (5 分)当 a0 时,若x R,使得 a3x4 成立,则实数 a 的取值范围是 或 a2  【分析】

23、将不等式转化为对数形式,然后利用换元法结合基本不等式的性质进行求最值即可【解答】解:若xR,使得 a3x4 成立,则 log2a3x4 log 2 成立,即(3x4)log 2ax 2x,若 3x40,得 x 时,不等式等价为 0( ) 2 ,此时不等式不成立,若 3x40,得 x 时,不等式等价为 log2a ,设 t3x4,则 x ,第 13 页(共 27 页)则 (t+ +5) (2 +5) 9 1,若 log2a 有解,则 log2a1,即 a2 即可若 3x40,得 x 时,不等式等价为 log2a ,设 t3x4,则 x ,则 (t+ +5) (2 +5) ,若 log2a 有解,

24、则 log2a ,即 0a 即可综上 a2 或 0a ,故答案为:a2 或 0a 【点评】本题主要考查不等式的求解,利用取对数法,以及利用基本不等式转化求最值是解决本题的关键二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 (14 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c已知a1,b2 ,BA (1)求 sinA 的值;(2)求 c 的值【分析】 (1)由已知结合正弦定理可得 ,整理后与平方关系联立求得 sinA 的值;(2)由同角三角函数基本关系式及倍角公式求得 sin2A,cos2A 的值,然后结合si

25、nCsin ( ) ,展开两角差的正弦求解【解答】解:(1)在ABC 中,a1,b2 ,BA ,由正弦定理得, ,于是 ,即 ,第 14 页(共 27 页)又 sin2A+cos2A1,sinA ;(2)由(1)知,cosA ,则 sin2A2sinAcosA ,cos2 A12sin 2A ,在ABC 中,A+B+C ,BA ,C 则 sinCsin ( )sin 由正弦定理得,c 【点评】本题考查三角形的解法,考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用,考查运算能力,属于中档题16 (14 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,平面 ABP平面BCP, APB90,

26、BPBC ,M 为 CP 的中点求证:(1)AP平面 BDM;(2)BM平面 ACP【分析】 (1)设 AC 与 BD 交于点 O,连结 OM,证明 APOM,然后证明 AP平面BDM(2)平面 ABP平面 BCP,交线为 BP,证明 APBP,APBM推出 BMCP然后证明 BM平面 ACP【解答】 (本小题满分 14 分) (第 16 题)证明:(1)设 AC 与 BD 交于点 O,连结 OM,因为 ABCD 是平行四边形,所以 O 为 AC 中点,(2 分)因为 M 为 CP 的中点,所以 APOM,( 4 分)又 AP平面 BDM,OM 平面 BDM,所以 AP平面 BDM(7 分)第

27、 15 页(共 27 页)(2)平面 ABP平面 BCP,交线为 BP,因为APB 90,故 APBP,因为 AP平面 ABP,所以 AP平面 BCP,( 9 分)因为 BM平面 BCP,所以 APBM   (11 分)因为 BPBC, M 为 CP 的中点,所以 BMCP(12 分)因为 APCP P,AP,CP平面 ACP,所以 BM平面 ACP,(14 分)【点评】本题考查直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判断定理的应用,考查空间想象能力以及计算能力17 (14 分)某三甲医院开展用直升飞机接送危重病人业务,为了保证直升飞机的降落准确、安全,在门诊楼 AB 和综合楼 CD

28、的楼上安装导航标记,已知两楼的地面距离AC50m,在 A,C 之间取一导航标志观测点 P,当点 P 在 AC 中点时,测得两楼顶导航标记的张角BPD 45,若ACB45(1)求两导航标记距离地面的高度 AB、CD;(2)要使在点 P 处看两楼顶导航标记的张角BPD 最大,点 P 应在何处?【分析】 (1)在 RtABC 中,求得 ABAC 50,在 RtAPB 中,tanAPB2,在RtCPD 中, ,通过APB+DPC135 ,利用tan(APB+DPC)1,解得 CD75(2)设 APx,则 PC50x,通过 tanBPD tan(180 0APBDPC)第 16 页(共 27 页)tan

29、(APB+DPC) ,设 100+xt, ,利用基本不等式求解函数 f( t)取最大值,从而 ,而正切函数在上为增函数,推出结果【解答】 (本小题满分 14 分)解:(1)因为点 P 是 AC 中点,AC 50,所以 APPC25,在 Rt ABC 中,AC50,ACB45,可得 ABAC50,在 Rt APB 中, ,在 Rt CPD 中, ,因为BPD45,所以APB+DPC135,于是 ,解得 CD75(2)设 APx,则 PC50x,在 Rt APB 中, ,在 Rt CPD 中, ,于是 tanBPDtan(180 0 APBDPC)tan (APB+DPC),设 100+xt,则

30、,当且仅当 不等式取等号,于是当 时,函数 f(t )取最大值,此时 , ,又因为 t2250t+25 2300 恒成立,所以 tanBPDf (t)0从而 ,而正切函数在 上为增函数,第 17 页(共 27 页)所以当 f(t)取最大值时BPD 也最大,答:(1)两导航标记距离地面的高度 AB、CD 分别为 50m,75m ;(2)当 时,在点 P 处看两楼顶导航标记的张角BPD 最大【点评】本题考查三角函数的实际应用,基本不等式在最值中的应用,构造法的应用,考查转化思想以及计算能力18 (16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A、B 分别是椭圆 + 1(ab0)的上、下顶点,点 M

31、(0, )为线段 AO 的中点,AB a(1)求椭圆的方程;(2)设 N(t,2) (t0) ,直线 NA,NB 分别交椭圆于点 P,Q,直线 NA,NB ,PQ 的斜率分别为 k1,k 2,k 3求证: P,M,Q 三点共线;求证: k1k3+k2k3k 1k2 为定值【分析】 (1)由题意知 2b4(b ) ,由此能求出椭圆的方程(2) 由 N(t,2) ,A(0, 1) ,B(0,1) ,得直线 NA 的方程为 y ,直线NB 的方程为 ,联立方程组求出 P( , ) ,Q( ,) ,从而 kPMk QM,由此能证明 P,M ,Q 三点共线由 , , ,能证明 k1k3+k2k3k 1k

32、2 为定值【解答】解:(1)A、B 分别是椭圆 + 1(ab0)的上、下顶点,点第 18 页(共 27 页)M(0, )为线段 AO 的中点,AB a,由题意知 2b4(b ) ,解得 a ,b1,椭圆的方程为 证明:(2)由 N(t,2) , A(0,1) ,B(0,1) ,得直线 NA 的方程为 y ,直线 NB 的方程为 ,由 ,解得 ,P( , ) ,由 ,解得 ,Q ( , ) ,直线 PM 的斜率 kPM ,直线 QM 的斜率 kQM ,k PMk QM,P,M,Q 三点共线由知: , , ,k 1k3+k2k3k 1k2 k 1k3+k2k3k 1k2 为定值 【点评】本题考查椭

33、圆方程的求法,考查三点共线的证明,考查代数式的和为定值的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意椭圆性质、直线方程的合理运用第 19 页(共 27 页)19 (16 分)已知数列a n的首项 a1a(a0) ,其前 n 项和为 Sn,设bna n+an+1(nN*) 数列b n的前 n 项和为 Tn,满足 Tnn 2(1)求证:数列b n的任意连续三项不成等比数列;(2)求数列a n的通项公式;(3)若对nN*且 n2,不等式( an1) (a n+11)2(1n)恒成立,求 a 的取值范围【分析】 (1)根据数列的递推公式可得 bn2n1,假设存在b n的连续三项bk 1,b k,b k+1(

34、kN *,k2)成等比数列,则 ,即(2k1)2(2k3) (2k +1) ,得出矛盾,(2)a n+an+1b n2n1可得 an+1na n(n1),即可得到数列an(n1)为等比数列,公比为1,首项为 a,问题得以解决(3)不等式(a n1) (a n+11)2(1n)恒成立化为:a nan+1(a n+an+1)+12(1n) ,由 an+an+12n1不等式化为:a nan+10对分类讨论即可得出【解答】证明:(1)由 Tnn 2,n2 时,b nT nT n1 n 2(n1) 22n1n1 时,b 1T 11bn2n1, (nN*) ,假设存在b n的连续三项 bk1 ,b k,b

35、 k+1(k N*,k2)成等比数列,则 ,即(2k1) 2(2k3) (2k +1)可得 4k24k+14k 24k3,这不可能,假设不成立,从而数列b n的任意连续三项不成等比数列解:(2)由(1)得,a n+an+1b n2n1a n+1na n(n1),数列a n(n1)为等比数列,公比为1,首项为 aa n(n1)a(1) n1 ,即 ann1+a(1) n1 ,(3)不等式(a n1) (a n+11)2(1n)恒成立,化为:a nan+1(a n+an+1)+12(1n) ,第 20 页(共 27 页)由 an+an+12n1不等式化为:a nan+10,当 n 为奇数时,a n

36、a+(n1) ,a n+1a+n,a nan+1 a+(n1)( a+n)a 2+a+n(n1)0,即a 2+an(n1)对nN*,且 n2 恒成立a 2+a6,解得2a3当 n 为偶数时,a na+(n1) ,a n+1a+n,a nan+10,即a 2+an (n1)对 nN*,且 n2 恒成立a 2+a2,解得2a1又 a0,可得 a 的取值范围为:0a1【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题20 (16 分)已知函数 f(x )xa,g(x)lnxb,a,bR(1)若 b0,f(x )g(x)0 恒成立,

37、求实数 a 的值;(2)若 a0, ,求证:函数 h(x)在(0,+)上有唯一的零点;(3)若 a0, ,若 f(x 1)g(x 1)f(x 2)g(x 2) ,x 1x 2,求证:【分析】 (1)若 b0,f(x )g(x)(xa)lnx0 恒成立,对 lnx 分类讨论,得出a 的范围,再合并,对定义域内所有 x 都成立的 a 的范围即可;(2)利用导数求得函数 h(x)的单调性,根据函数值判定零点个数(3)可得 ,要证明 ,只要证lnx1x2t,即证 lnx1+lnx2t,从而只要证 ,即证 ,不妨设 x1x 2,于是只要证当 u1 时, ,只要证(u+1)lnu2(u1) ,即证第 21

38、 页(共 27 页)(u+1)lnu2 u2 即可【解答】解:(1)若 b0,f(x )g(x)(xa)lnx0 恒成立,当 lnx0 时,即 x1 时,x a0 恒成立,于是 xa, a(x ) min,从而 a1;当 lnx0 时,即 0x 1 时,x a0 恒成立,于是 x a,a(x ) max,从而 a1;综上所述,a1(2)若 a0, ,因为 ,令 ,解得 xe b+1,于是 h(x)在(0,e b+1)上递增,在(e b+1,+)上递减,从而在 xe b+1 处取极大值,这样 ,又 ,所以 h(x)在(0,e b+1)上有唯一零点;而在(e b+1,+)上,因为 lnxblne

39、b+1b10,于是 ,从而 h(x)在(e b+1,+)上没有零点,综上所述,函数 h(x)在(0,+)上有唯一的零点(3)证明:若 a0,f(x )g(x)x(lnxb)由 f(x 1)g(x 1)f(x 2)g(x 2)得 x1(lnx 1b)x 2(lnx 2b) ,即x1lnx1x 2lnx2(x 1x 2)b,一方面 x1lnx1x 2lnx1+x2lnx1x 2lnx2(x 1x 2)b,即,另一方面 x1lnx1x 1lnx2+x1lnx2x 2lnx2(x 1x 2)b,即,两式相加得 ,因为 x1x 2,所以第 22 页(共 27 页)要证明 ,只要证 lnx1x2t ,即证

40、 lnx1+lnx2t,从而只要证又因为 ,所以只要证 ,即证不妨设 x1x 2, ,于是只要证当 u1 时,只要证(u+1)lnu2(u1 ) ,即证(u+1)lnu 2u 2记 p(u)(u+1)lnu2u,则 ,记 ,因为 ,所以 q(u)在(1,+)上递增,从而 q(u)q(1)0,即 p'(u)0,于是 p(u)在(1,+)上递增,p(u)p(1)2,这样(u+1)lnu 2u2 得证,所以 【点评】本题考查了导数的应用,考查了转化思想、运算能力,属于难题【选做题】本题包括 21、22、23、24 四小题,请选定两题,并在相应的答题区域内作答选修 4-1:几何证明选讲(本小题

41、满分 10 分)21 (10 分)AB 是O 的直径,D 为O 上一点,过点 D 作 O 的切线交 AB 延长线于C,若 DADC,求证:AB2BC【分析】证法一、可以连接 OD,构造直角三角形,然后求出 DCO,然后根据 30所对的直角边等于斜边的一半,得出结论;证法二、连接 OD,DB,再证明ADBCDO,得到 ABOC,转化为证明CO2BC【解答】证明:法一:连接 OD,则:ODDC,第 23 页(共 27 页)又 OAOD ,DA DC,所以DAO ODADCO,DOCDAO+ODA2DCO,所以DCO30,DOC60,所以 OC2OD,即 OBBCODOA,所以 AB2BC 证法二:

42、连接 OD、BD因为 AB 是圆 O 的直径,所以 ADB90,AB2OB 因为 DC 是圆 O 的切线,所以CDO 90又因为 DADC,所以DAC DCA,于是ADBCDO,从而 ABCO即 2OBOB +BC,得 OBBC 故 AB2BC【点评】本题考查的知识点是切线的性质,即切线垂直过切点的半径,将问题转化为直角三角形问题,解直角三角形即可得到答案选修 4-2:矩阵与变换 (本小题满分 10 分)22 (10 分)已知 a,bR,向量为 是矩阵 A 的属于特征值3 的一个特征向量(1)求矩阵 A 的另一个特征值;(2)求矩阵 A 的逆矩阵 A1 【分析】 (1)由已知得, 3 ,解出

43、a,b 值后,可得特征多项式,令第 24 页(共 27 页)其为 0,可得矩阵 A 的另一个特征值;(2)先求得 det(A )6,进而可求矩阵 A 的逆矩阵 A1 【解答】解:(1)由条件得, 3 , ,解得                                (2 分)因为矩阵 A ,所以特征多项式为 f() (+2) ( 1 )4 2+6(4 分)令 f()0,解得 3,或 2所以矩阵 A 的另一个特征值为 2 &nbs

44、p;                            (5 分)(2)因为 det(A ) 21226,(7 分)所以矩阵 A 的逆矩阵 A1                             (10 分)【点评】本题考查的知识点是矩形的特征值,特征多项式,及逆矩阵的求法,难度中档选修 4-4:坐标系与参数

45、方程(本小题满分 0 分)23在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数) 以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 cos() 求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长【分析】直接利用转换关系,把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化,再利用点到直线的距离公式和勾股定理的应用求出结果【解答】解:把曲线 C 的极坐标方程为 cos( ) 化为直角坐标方程为:x 2+y22x 2y0,即(x1) 2+(y 1) 22,所以曲线 C 是以(1,1)为圆心, 为半径的圆第 25 页(共 27 页)直线 l 的参数方程 (t 为参数) ,

46、化为普通方程为:3x+4y 10所以圆心 C(1,1)到直线 l 的距离为 d ,直线 l 被曲线 C 所截得的弦长为 【点评】本题考查的知识要点:参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化,点到直线的距离公式的应用,勾股定理的应用选修 4-5:不等式选讲 (本小题满分 0 分)24已知实数 x,y ,z 满足 x+y+z2,求 2x2+3y2+z2 的最小值【分析】由柯西不等式知:(x+y+z) 2( x) 2+( y) 2+z2( ) 2+( )2+12故 2x2+3y2+z2 ,由此能求出 2x2+3y2+z2 的最小值【解答】解:由柯西不等式可知:(x+y+ z) 2( x) 2+( y) 2+z2( ) 2+( ) 2+12,(5 分)故 2x2+3y2+z2 ,当且仅当 ,即:x ,y ,z 时,2x2+3y2+z2 取得最小值为 【点评】考查柯西不等式的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意等价转化思想的灵活运用,属于基础题【必做题】第 25 题、第 26 题