1、2019 年江苏省南京市联合体中考数学二模试卷一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1 （2 分）下列运算结果正确的是（ ）A2a3aa B （a 3） 3a 6 C|23|1 D2 1 22 （2 分）如图，下列水平放置的几何体中，左视图不是矩形的是（ ）A BC D3 （2 分）若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围在数轴上可表示为（ ）A BC D4 （2 分）一组数据：2，3，3，4，若添加一个数据 3，则发生变化的统计
2、量是（ ）A平均数 B中位数 C众数 D方差5 （2 分）如图，在ABC 中，ACB 90，分别以点 A 和 B 为圆心，以相同的长（大于 AB）为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N，作直线 MN 交 AB 于点 D，交 BC 于点E，连接 CD，下列结论错误的是（ ）AADBD BBD CD CABED DECDEDC6 （2 分）如图，某矩形游泳池 ABCD，BC 长为 25m，小林和小明分别在游泳池的AB、 CD 两边，同时沿各自的泳道朝另一边游泳，设他们游泳的时间为 t（s） ，离 AB 边的距离为 y（m） ，图中的实线和虚线分别是小明和小林在游泳过程中 y
3、与 t 的函数图象（0t180） 下面的四个结论：小明游泳的平均速度小于小林游泳的平均速度；第 2 页（共 28 页）小明游泳的路程大于小林游泳的路程； 小明游 75m 时，小林游了 90m；小明与小林共相遇 5 次其中所有正确结论的序号是（ ）A B C D二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7 （2 分）16 的平方根是 8 （2 分）分解因式：ab 22ab+a 9 （2 分）计算（3 + ） 的结果是 10 （2
4、 分）被誉为“中国天眼”的 FAST 望远镜，新发现的脉冲星自转周期为 0.00519 秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一用科学记数法表示 0.00519 是 11 （2 分）已知关于 x 的方程 ax2+6x70 的两个根为 x1、x 2，若 x1+x23，则 x1x2 12 （2 分）反比例函数 y 的图象上有两个点 A（3，y 1） 、B（2，y 2） 则 y1 y2（填“” 、 “”或“” ） 13 （2 分）一个圆锥的母线长为 13，底面圆的半径为 5，则此圆锥的侧面积是 &
5、nbsp; 14 （2 分）如图，正六边形的面积为 6a，则图中阴影部分的面积为 15 （2 分）如图，点 A，B，C 在O 上，四边形 OABC 是平行四边形，ODAB 于点 E，第 3 页（共 28 页）交 O 于点 D，则 BAD 度16 （2 分）如图，ABC 中，ABC 120，AC 2， O 是ABC 的外接圆，D 是上任意一点（不包括点 A、C） ，顺次连接四边形 ABCD 四边中点得到四边形EFGH，则四边形 EFGH 的周长的最大值为 三、解答题（本大题共 11 小题
6、，共 88 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （7 分）化简：1 18 （7 分）解不等式组： ，并求出它的整数解19 （8 分）为迎接 2022 年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中来，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了 50 名学生的综合素质展示成绩（百分制） ，并对数据（成绩）进行整理、描述和分析下面给出了部分信息a甲学校学生成绩的频数分布直方图如图：b甲学校学生成绩在 8090 这一组的是：80 80 81 81 82 82 83 8385 86 86 8
7、7 88 88 89 89c乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85 分及以上为优秀）如下：平均数 中位数 众数 优秀率第 4 页（共 28 页）85 84 78 46%根据以上信息，回答下列问题：（1）甲学校学生成绩的中位数为 分；（2）甲学校学生 A、乙学校学生 B 的综合素质展示成绩同为 83 分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是 （填“A”或“B” ） ；（3）根据上述信息，推断哪所学校综合素质展示的水平更高，并至少从两个不同的角度说明推断的合理性20 （8 分） （1）甲、乙两人用如图所示的、 两个转盘（
8、分别三等分和四等分）做游戏，规则是：转动两个转盘各 1 次，若两个转盘停止转动后，指针所在区域的两个数字之积为奇数，则甲获胜，否则乙获胜求甲获胜的概率（2）在一个不透明的袋中放入除颜色外都相同的 1 个红球和 n 个白球，搅匀后从中任意摸出 2 个球，若两个球中出现红球的概率与（1）中甲获胜的概率相同，则 n 21 （8 分）某施工队挖一条 1200 米的河道，开工后每天的工作效率比原计划提高了50%，结果提前 4 天完成任务，原计划每天挖多少米？22 （8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AD、BC 的中点，连接 AF、BE交于点 G，连接
9、CE、DF 交于点 H（1）求证：四边形 EGFH 为平行四边形；第 5 页（共 28 页）（2）当 AB 与 BC 满足什么条件时，四边形 EGFH 为矩形？并说明理由23 （8 分）如图，有一截面为矩形 BDFE 的建筑物，在该建筑物的上方有一信号塔DC从 A 测得 C、F 的仰角分别为 45、26.6沿 AB 方向前进 20 米到达 G 处，此时测得 F 的仰角为 37，从 F 测得 C 的仰角为 68.2（1）求建筑物 EF 的高度；（2）求信号塔 DC 的高度（参考数据：tan370.75，tan26.60.5，tan68.2 2.5）24 （8 分）某商品的市场销售量 y1（万件）
10、和生产量 y2（万件）都是该商品的定价 x（元/件）的一次函数，其函数图象如图所示（1）分别求出 y1、y 2 与 x 之间的函数表达式；（2）若生产一件该商品成本为 10 元，未售出的商品一律报废请解释点 A 的实际意义，并求出此时所获得的利润；该商品的定价为多少元时获得的利润最大，最大利润为多少万元？第 6 页（共 28 页）25 （8 分）已知二次函数 y（xm ） （xm4） （m 为常数） （1）求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有两个不同的公共点；（2）求证：不论 m 为何值，该函数的图象的顶点纵坐标不变；（3）若该函数的图象与 x 轴交点为 A、B，与 y 轴交点为
11、 C，当3m1 时，ABC 面积 S 的取值范围为 26 （8 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，以 AC 为直径的O 交 AD 于点 E，交BC 于点 F，AB 2BFBC（1）求证：AB 与O 相切；（2）若 求证： AC2AB CD；若 AC3，EF 2，则 AB+CD 27 （10 分） 【概念提出】如图 ，若正DEF 的三个顶点分别在正ABC 的边AB、 BC、AC 上，则我们称DEF 是正ABC 的内接正三角形（1）求证：ADFBED；【问题解决】利用直尺和圆规作正三角形的内接正三角形（保留作图痕迹，不写作法）第 7
12、 页（共 28 页）（2）如图 ，正ABC 的边长为 a，作正ABC 的内接正 DEF，使DEF 的边长最短，并说明理由；（3）如图 ，作正 ABC 的内接正DEF，使 FDAB第 8 页（共 28 页）2019 年江苏省南京市联合体中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1 （2 分）下列运算结果正确的是（ ）A2a3aa B （a 3） 3a 6 C|23|1 D2 1 2【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所
13、得结果作为系数，字母和字母的指数不变；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；正数的绝对值是它本身；负整数指数幂：a p （a0，p 为正整数）进行计算即可【解答】解：A、2a3aa，故原题计算错误；B、 （a 3） 3a 9，故原题计算错误；C、|23|1，故原题计算错正确；D、2 1 ，故原题计算错误；故选：C【点评】此题主要考查了合并同类项、幂的乘方、负整数指数幂和绝对值，关键是熟练掌握各计算法则2 （2 分）如图，下列水平放置的几何体中，左视图不是矩形的是（ ）A BC D【分析】根据左视图是从左面看到的视图，对各选项分析判断后利用排除法求解【解答】解：A、圆柱的左视图是矩形，故
14、本选项错误；B、圆锥的左视图是等腰三角形，故本选项正确；C、三棱柱的左视图是矩形，故本选项错误；D、长方体的左视图是矩形，故本选项错误故选：B【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关第 9 页（共 28 页）键3 （2 分）若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围在数轴上可表示为（ ）A BC D【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得到 x 的取值范围，然后在数轴上表示即可得解【解答】解：根据题意得，x10，解得 x1，在数轴上表示如下：故选：D【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数4 （2 分）一组数据：2，3，3
15、，4，若添加一个数据 3，则发生变化的统计量是（ ）A平均数 B中位数 C众数 D方差【分析】依据的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可【解答】解：原数据的 2、3、3、4 的平均数为 3，中位数为 3，众数为 3，方差为 （23） 2+（33） 22+（43） 20.5；新数据 2、3、3、3、4 的平均数为 3，中位数为 3，众数为 3，方差为（23） 2+（33） 23+（43） 20.4；添加一个数据 3，方差发生变化，故选：D【点评】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键5 （2 分）如图，在ABC 中
16、，ACB 90，分别以点 A 和 B 为圆心，以相同的长（大于 AB）为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N，作直线 MN 交 AB 于点 D，交 BC 于点E，连接 CD，下列结论错误的是（ ）第 10 页（共 28 页）AADBD BBD CD CABED DECDEDC【分析】由题意可知：MN 为 AB 的垂直平分线，可以得出 ADBD ；CD 为直角三角形ABC 斜边上的中线，得出 CDBD；利用三角形的内角和得出ABED；因为A60，得不出 ACAD，无法得出 ECED ，则ECDEDC 不成立；由此选择答案即可【解答】解：MN 为 AB 的垂直平分线，ADBD ，BDE
17、90；ACB90，CDBD；A+BB+BED90，ABED ；A60，ACAD，ECED，ECDEDC故选：D【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及直角三角形的性质注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等6 （2 分）如图，某矩形游泳池 ABCD，BC 长为 25m，小林和小明分别在游泳池的AB、 CD 两边，同时沿各自的泳道朝另一边游泳，设他们游泳的时间为 t（s） ，离 AB 边的距离为 y（m） ，图中的实线和虚线分别是小明和小林在游泳过程中 y 与 t 的函数图象（0t180） 下面的四个结论：小明游泳的平均速度小于小林游泳的平均速度；小明游泳的路程大于小林游泳的路程； 小
18、明游 75m 时，小林游了 90m；小明与小林共相遇 5 次其中所有正确结论的序号是（ ）第 11 页（共 28 页）A B C D【分析】利用图象信息，一一判断即可【解答】解：错误小明游泳的平均速度大于小林游泳的平均速度；正确小明游泳的距离大于小林游泳的距离；错误，小明游 75 米时小林游了 50 米；正确小明与小林共相遇 5 次；故选：C【点评】本题考查函数图象的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7 （2 分）16 的平方根
19、是 4 【分析】根据平方根的定义，求数 a 的平方根，也就是求一个数 x，使得 x2a，则 x 就是 a 的平方根，由此即可解决问题【解答】解：（4） 216，16 的平方根是4故答案为：4【点评】本题考查了平方根的定义注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是 0；负数没有平方根8 （2 分）分解因式：ab 22ab+a a（b1） 2 【分析】先提取公因式 a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解【解答】解：ab 22ab+a，a（b 22b+1） ，第 12 页（共 28 页）a（b1） 2【点评】考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于提取公因式后利用
20、完全平方公式进行二次因式分解9 （2 分）计算（3 + ） 的结果是 5 【分析】利用二次根式的乘法法则运算【解答】解：原式3 +3+25故答案为 5【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍10 （2 分）被誉为“中国天眼”的 FAST 望远镜，新发现的脉冲星自转周期为 0.00519 秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一用科学记数法表示 0.00519 是 5.19103 【分析】科学记数法的表示形式为
21、a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将数字 0.00519 用科学记数法表示应为 5.19103 ，故答案是：5.1910 3 【点评】此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值11 （2 分）已知关于 x 的方程 ax2+6x70 的两个根为 x1、x 2，若 x1+x23，则 x1x2
22、【分析】根据韦达定理求得 x1+x2 3，x 1x2 ，即可得到结论【解答】解：关于 x 的方程 ax2+6x70 的两个根为 x1、x 2，x 1+x2 3，第 13 页（共 28 页）a2，x 1x2 ，故答案为： 【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法12 （2 分）反比例函数 y 的图象上有两个点 A（3，y 1） 、B（2，y 2） 则 y1 y2（填“” 、 “”或“” ） 【分析】根据反比例函数 y 的图象上有两个点 A（3，y 1） 、B（2，y 2） ，可以求得 y1，y 2 的值，从而可以比较它们的大小，本题得以
23、解决【解答】解：反比例函数 y 的图象上有两个点 A（3，y 1） 、B（2，y 2） y 1 2，y 2 3，32y 1y 2故答案为：【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确反比例函数的性质，由 x 的值可以求得相应的 y 的值，并且会比较大小13 （2 分）一个圆锥的母线长为 13，底面圆的半径为 5，则此圆锥的侧面积是 65 【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解【解答】解：此圆锥的侧面积 132565 故答案为 65【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧
24、长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长14 （2 分）如图，正六边形的面积为 6a，则图中阴影部分的面积为 2a 第 14 页（共 28 页）【分析】连接 AD，BE ，CF 交于点 O由 CFABDE ，推出 SABF S AOB S 正六边形 ABCDEF，S DEF S EOD S 正六边形 ABCDEF，推出 S 阴 S 正六边形 ABCDEF2a【解答】解：连接 AD，BE ，CF 交于点 OABCDEF 是正六边形，CFABDE，S ABF S AOB S 正六边形 ABCDEF，S DEF S EOD S 正六边形 ABCDEF，S 阴 S 正六边形 ABCDEF2a，
25、故答案为 2a【点评】本题考查正六边形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型15 （2 分）如图，点 A，B，C 在O 上，四边形 OABC 是平行四边形，ODAB 于点 E，交O 于点 D，则BAD 15 度【分析】根据平行四边形的性质和 OCOA 得出 OAAB，根据垂径定理求出OA2AE，求出AOD 度数，即可求出答案第 15 页（共 28 页）【解答】解：四边形 OABC 是平行四边形，OCOA，OAAB，ODAB，OD 过 O，AEBE， ，即 OA2AE，AOD 30 ， 和 的度数是 30BAD15，故答案为：15【点评】本
26、题考查了垂径定理、圆周角定义、平行四边形的性质和判定，能求出AOD 30是解此题的关键16 （2 分）如图，ABC 中，ABC 120，AC 2， O 是ABC 的外接圆，D 是上任意一点（不包括点 A、C） ，顺次连接四边形 ABCD 四边中点得到四边形EFGH，则四边形 EFGH 的周长的最大值为 2+ 【分析】根据圆内接四边形的性质得到D 60，连接 OA，OC，过 O 作 OMAC于 M，解直角三角形得到 OA ，如图 2，四边形 EFGH 是边形 ABCD 的中点四边形，根据三角形的中位线的性质得到 EFHG AC，EHFG BD，于是得到结论【解答】解：如
27、图 1，四边形 ABCD 是圆内接四边形，ABC120，D60，连接 OA，OC，AOC120，过 O 作 OMAC 于 M，第 16 页（共 28 页）AOM AOC60，AM AC1，OA ，如图 2，四边形 EFGH 是边形 ABCD 的中点四边形，EFHG AC，EH FG BD，当 BD 最大时，四边形 EFGH 的周长的值最大，当 BD 为 O 的直径时，四边形 EFGH 的周长的值最大，四边形 EFGH 的周长的最大值AC+BD2+ ，故答案为：2+ 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，中点四边形，三角形的中位线的性质，解直角三角形，正确的判断当 BD 为
28、O 的直径时，四边形 EFGH的周长的值最大是解题的关键三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （7 分）化简：1 【分析】原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果第 17 页（共 28 页）【解答】解：原式1 1 【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键18 （7 分）解不等式组： ，并求出它的整数解【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，从而得到它的整数解【解答】解：解不等式，得 x2，解不等式 ，得 x4，故原不等式组的解
29、集为 2x4故它的整数解为 x3 或 4【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解） 19 （8 分）为迎接 2022 年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中来，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了 50 名学生的综合素质展示成绩（百分制） ，并对数据（成绩）进行整理、描述和分析下面给出了部分信息a甲学校学生成绩的频数分布直方图如图：b甲学校学生成绩在 8090 这一组的是：80 80 81 81 8
30、2 82 83 8385 86 86 87 88 88 89 89c乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85 分及以上为优秀）如下：平均数 中位数 众数 优秀率85 84 78 46%根据以上信息，回答下列问题：（1）甲学校学生成绩的中位数为 81 分；（2）甲学校学生 A、乙学校学生 B 的综合素质展示成绩同为 83 分，这两人在本校学生第 18 页（共 28 页）中的综合素质展示排名更靠前的是 A （填“A”或“B” ） ；（3）根据上述信息，推断哪所学校综合素质展示的水平更高，并至少从两个不同的角度说明推断的合理性【分析】 （1）根据中位数的定义即可得到结论；（2）求得甲校的中
31、位数即可得到结论；（3）根据频数分布直方图和表中信息即可得到结论【解答】解：（1）甲学校学生成绩的中位数为 81 分，故答案为：81（2）甲学校学生成绩的中位数为 81 分，乙学校学生成绩的中位数为 84，故这两人在本校学生中综合素质展示排名更靠前的是 A，故答案为：A；（3）根据上述信息，推断乙学校综合素质展示的水平更高，理由为：因为 8184，乙的中位数大；因为甲的优秀率为 40%，40% 46%，乙的优秀率高；因为甲的平均数的最大值小于 8，8485，乙的平均数大【点评】本题考查频数分布直方图，中位数，平均数，众数的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型20 （8 分） （
32、1）甲、乙两人用如图所示的、 两个转盘（分别三等分和四等分）做游戏，规则是：转动两个转盘各 1 次，若两个转盘停止转动后，指针所在区域的两个数字之积为奇数，则甲获胜，否则乙获胜求甲获胜的概率（2）在一个不透明的袋中放入除颜色外都相同的 1 个红球和 n 个白球，搅匀后从中任意摸出 2 个球，若两个球中出现红球的概率与（1）中甲获胜的概率相同，则 n 5 第 19 页（共 28 页）【分析】 （1）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出指针所在区域的两个数字之积为奇数的结果数，然后根据概率公式求解；（2）利用概率公式得到 ，然后解方程即可【解答】解：（1）画树状图为：共有 12 种等可能
33、的结果数，其中指针所在区域的两个数字之积为奇数的结果数为 4，所以所以 P（甲获胜） ；（2）根据题意得 ，解得 n5故答案为 5【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B的概率21 （8 分）某施工队挖一条 1200 米的河道，开工后每天的工作效率比原计划提高了50%，结果提前 4 天完成任务，原计划每天挖多少米？【分析】设原计划每天挖 x 米，则实际每天挖（1+50%）x 米，根据工作时间工作总量工作效率结合实际比原计划提前 4 天完成任务，即可得出关于 x 的分式
34、方程，解之经检验后即可得出结论【解答】解：设原计划每天挖 x 米，则实际每天挖（1+50%）x 米，依题意，得： 4，解得：x100，经检验，x100 是原方程的，且符合题意答：原计划每天挖 100 米【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关第 20 页（共 28 页）键22 （8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AD、BC 的中点，连接 AF、BE交于点 G，连接 CE、DF 交于点 H（1）求证：四边形 EGFH 为平行四边形；（2）当 AB 与 BC 满足什么条件时，四边形 EGFH 为矩形？并说明理由【分析】 （1）可分别证明四边
35、形 AFCE 是平行四边形，四边形 BFDE 是平行四边形，从而得出 GFEH，GE FH，即可证明四边形 EGFH 是平行四边形（2）证出四边形 ABFE 是菱形，得出 AFBE，即EGF90，即可得出结论【解答】 （1）证明：连接 EF，如图所示：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，ADBC点 E、F 分别是 AD、BC 的中点AEED AD，BFFC BC，AEFC，AEFC四边形 AECF 是平行四边形GFEH 同理可证：EDBF 且 ED BF四边形 BFDE 是平行四边形GEFH 四边形 EGFH 是平行四边形（2）解：当 BC2AB 时，平行四边形 EGFH 是矩形理由如下
36、：由（1）同理易证四边形 ABFE 是平行四边形，当 BC2AB 时， ABBF，四边形 ABFE 是菱形，AFBE，即EGF 90 ，平行四边形 EGFH 是矩形第 21 页（共 28 页）【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键23 （8 分）如图，有一截面为矩形 BDFE 的建筑物，在该建筑物的上方有一信号塔DC从 A 测得 C、F 的仰角分别为 45、26.6沿 AB 方向前进 20 米到达 G 处，此时测得 F 的仰角为 37，从 F 测得 C 的仰角为 68.2（1）求建筑物 EF 的高度；（2）求信号塔 DC 的
37、高度（参考数据：tan370.75，tan26.60.5，tan68.2 2.5）【分析】 （1）设 EF 的高度为 x 米，解直角三角形即可得到结论；（2）由题意，设 EBFD y 米，解直角三角形即可得到结论【解答】解：（1）设 EF 的高度为 x 米，在 RtAEF 中，tan26.6 ，AE；在 Rt GEF 中，tan37 ，GE ，由 AEGE 20 得， 20，解得 x30，答：建筑物 EF 的高度为 30 米；（2）由（1）得 BDEF 30 米，GE 40 米，第 22 页（共 28 页）由题意，设 EBFD y 米，在 RtCFD 中，tan68.2 ，CDytan68.2
38、，在 Rt ABC 中，CAB45 ，ABBC，即 20+40+yy tan68.2+30，解得 y20，所以 CDytan68.250 米答：信号塔 DC 的高度为 50 米【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形24 （8 分）某商品的市场销售量 y1（万件）和生产量 y2（万件）都是该商品的定价 x（元/件）的一次函数，其函数图象如图所示（1）分别求出 y1、y 2 与 x 之间的函数表达式；（2）若生产一件该商品成本为 10 元，未售出的商品一律报废请解释点 A 的实际意义，并求出此时所获得的利润；该商品的定价为多少元时获得的利润
39、最大，最大利润为多少万元？【分析】 （1）利用待定系数法，结合图象上的点即可求（2）由（1）的关系式当商品的定价为 55 元时，其市场销售量和生产量均为 37.5 万件；设获得的利润为 w 万元，则有 wxy 110y 2，代入 y1，y 2，利用配方法求出顶点式即可【解答】解：依题意（1）设 y1k 1x+65，将 x130，y 10 代入得：k 1 ，y 1 x+65（2 分）第 23 页（共 28 页）把 x55 代入 y1 x+65 得 y137.5，设 y2k 2x+10，将 x55，y 237.5 代入得：k 2 ，y 2 x+10；（2） 当商品的定价为 55 元时，其市场销售量
40、和生产量均为 37.5 万件；（5510）37.51687.5 万元，此时所获得的利润为 1687.5 万元设获得的利润为 w 万元，则 wxy 110y 2（ x+65）x10（ x+10） ，整理得：w （x 60） 2+1700，即当定价为 60 元时，获得最大利润为 1700 万元【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案根据每天的利润一件的利润销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题25 （8 分）已知二次函数 y（xm ） （xm4） （m 为常数） （1）求证：不论 m 为何值
41、，该函数的图象与 x 轴总有两个不同的公共点；（2）求证：不论 m 为何值，该函数的图象的顶点纵坐标不变；（3）若该函数的图象与 x 轴交点为 A、B，与 y 轴交点为 C，当3m1 时，ABC 面积 S 的取值范围为 6m8 【分析】 （1）当 y0 时， （xm ） （xm4）0，解得 x1m，x 2m +4，即可得到结论；（2）图象与 x 轴的两个交点坐标为（m ，0） 、 （m +4，0） ，由抛物线的对称性可知图象顶点横坐标为 m+2，代入解析式求得 y4，从而求得结论；（3）当3m1 时，求得 3OC 4，即可求得 S 的取值【解答】 （1）证明：当 y0 时， （xm ） （xm
42、4）0，解得 x1m，x 2m+4， （2 分）mm+4，方程有两个不相等的实数根，不论 m 为何值，函数图象与 x 轴总有两个不同的公共点；（2）解：由（1）得图象与 x 轴的两个交点坐标为（m ， 0） 、 （m +4，0） ，由抛物线的对称性可知图象顶点横坐标为 m+2，把 xm+2 代入 y（xm） （xm4）得 y4，第 24 页（共 28 页）不论 m 为何值，该函数的图象的顶点纵坐标不变为 4；（3）解：y（x m） （xm4）x 2（2m+4）x +m2+4m，C（0，m 2+4m） ，图象与 x 轴的两个交点坐标为（m ，0） 、 （m +4，0） ，AB4，S ABOC |
43、m2+4m|，当 m3 时，S236；当 m1 时，S236 ，当顶点在 y 轴上，即 m2 时，|m 2+4m|最大值是 4，故此时 S248，6S8，故答案为 6S8【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，求得交点坐标和顶点坐标是解题的关键26 （8 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，以 AC 为直径的O 交 AD 于点 E，交BC 于点 F，AB 2BFBC（1）求证：AB 与O 相切；（2）若 求证： AC2AB CD；若 AC3，EF 2，则 AB+CD 9 【分析】 （1）连接 AF，由题意可证ABCFBA，可得BACBFAA
44、FC90，由切线的判定可得 AB 与 O 相切；（2） 通过证明 ABCCAD，可得 ，可得 AC 2ABCD；由垂径定理和勾股定理可求 AB 的长，代入 AC 2ABCD，可求 CD 的长，即可求AB+CD 的值第 25 页（共 28 页）【解答】证明：（1）连接 AF，AC 是O 的直径，AFC90AB 2BFBC，即 ，且BB，ABCFBA，BACBFAAFC90，即 OAAB，且点 A 在O 上，AB 与O 相切（2） 连接 CE， ，AC 是O 的直径， ，AEAF，CECF，AC 垂直平分 EF，ABCD，ACDCABAGE90，第 26 页（共 28 页）EFCD，AEF D ，
45、AEF ACB，ACBD，且ACDCABABCCAD， ，AC 2AB CD连接 OFOGEFGF EF1OG CGEFABABAC 2AB CDACAB+CD9故答案为：9【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键第 27 页（共 28 页）27 （10 分） 【概念提出】如图 ，若正DEF 的三个顶点分别在正ABC 的边AB、 BC、AC 上，则我们称DEF 是正ABC 的内接正三角形（1）求证：ADFBED；【问题解决】利用直尺和圆规作正三角形的内接正三角形（保留作图痕迹，不写作法）（2）如图 ，正ABC 的边长为
46、 a，作正ABC 的内接正 DEF，使DEF 的边长最短，并说明理由；（3）如图 ，作正 ABC 的内接正DEF，使 FDAB【分析】 【概念提出】（1）由等边三角形的性质和外角性质可得ADFBED，DFDE，AB60，即可证ADFBED；【问题解决】（2）由 SDEF ，可知当 SDEF 最小时，DF 的长最小，设 BDx，则ADBEax，可得 SBED BEDG （ax） x （x ）2+ a2；即当 x时，S BED 有最大值 a2，则内接正DEF 的面积最小，即边长最短（3）作 AB，AC 的垂直平分线交点为 O，连接 AO，作 AO 的垂直平分线交 AB 于 D，以 O 为圆心，OD 为半径作圆，交 AC 于点 F，交 BC 于点 E，即可求解【解答】 【概念提出】证明（1）ABC 与DEF 都是正三角形，AB 60，EDF 60，DFED，ADF+EDF B+ BED，ADFBED，且 DFDE，AB60ADFBED；第 28 页（共 28 页）【问题解决】 （2）如图所示：理由：由（1）易得ADFBEDCEF，过点 D 作 DGBE，设 BDx