1、2019 年北京市通州区高考数学三模试卷（理科）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 （5 分）已知集合 P0， 1，2 ，Q x|x2，则 P Q（ ）A0 B0 ，1 C1 ，2 D0 ，22 （5 分）设复数 ，则 a+b（ ）A0 B1 C2 D13 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（ ）A B C D4 （5 分）三国时期著名的数学家刘徽对推导特殊数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了许多算法，展现了聪明才智他在九章算术 “盈不足”章的第 19 题的注文中给出了一个特
2、殊数列的求和公式这个题的大意是：一匹良马和一匹驽马由长安出发至齐地，长安与齐地相距 3000 里（1 里500 米） ，良马第一天走 193 里，以后每天比前一天多走 13 里驽马第一天走 97 里，以后每天比前一天少走半里良马先到齐地后，马上返回长安迎驽马，问两匹马在第几天相遇（ ）A14 天 B15 天 C16 天 D17 天5 （5 分）若不等式组 可表示为由直线围成的三角形区域（包括边界）第 2 页（共 23 页），则实数 a 的范围是（ ）A （0，2） B （2，+） C （1，2） D （，1）6 （5 分）设 ， 均为单位向量，则“ 与 夹角为 ”是“|
3、 + | ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件7 （5 分）在平面直角坐标系中，记曲线 C 为点 P（2cos1，2sin+1）的轨迹，直线xty+2 0 与曲线 C 交于 A， B 两点，则|AB| 的最小值为（ ）A2 B C D48 （5 分）设函数 则下列结论中正确的是（ ）A对任意实数 a，函数 f（x）的最小值为B对任意实数 a，函数 f（x）的最小值都不是C当且仅当 时，函数 f（x）的最小值为D当且仅当 时，函数 f（x）的最小值为二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9 （5
4、 分）设a n是等比数列，且 a2a4a 5，a 427，则a n的通项公式为 10 （5 分）在极坐标系中，若点 A 在圆 C：1 上，则点 A 到直线 l：（cos +sin）2 距离的最大值为 11 （5 分）已知函数 ysinx （ 0）在（0， ）上有最大值，没有最小值，则 的取值范围为 12 （5 分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是 第 3 页（共 23 页）13 （5 分）能够说明“在某个区间（a，b）内，如果函数 yf（x）在这个区间内单调递增，那么 f&
5、#39;（x）0 恒成立” 是假命题的一个函数是 （写出函数表达式和区间）14 （5 分）如图所示，正方形 ABCD 的边长为 2，椭圆 C1： 1（ab0）及双曲线 C2： 1（m0，n0）均以正方形顶点 B，D 为焦点且经过线段 AB 的中点 E，则椭圆 C1 与双曲线 C2 离心率之比为 三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 （13 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a3， ，（）求 c 的值；（）若 D 为 BC 边上的点，并且 ，求ADB16 （14 分）如图，
6、在四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，侧棱 A1A底面ABCD， ABAC，AB1，AC AA 12，AD CD ，点 E 为线段 AA1 上的点，且第 4 页（共 23 页）AE （）求证：BE平面 ACB1；（）求二面角 D1ACB 1 的余弦值；（）判断棱 A1B1 上是否存在点 F，使得直线 DF平面 ACB1？若存在，求线段 A1F的长；若不存在，说明理由17 （13 分）为调查某公司五类机器的销售情况，该公司随机收集了一个月销售的有关数据，公司规定同一类机器销售价格相同，经分类整理得到下表：机器类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类销售总额（万元） 100 50 200
7、200 120销售量（台） 5 2 10 5 8利润率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2利润率是指：一台机器销售价格减去出厂价格得到的利润与该机器销售价格的比值（）从该公司本月卖出的机器中随机选一台，求这台机器利润率高于 0.2 的概率；（）从该公司本月卖出的销售单价为 20 万元的机器中随机选取 2 台，求这两台机器的利润率不同的概率；（）假设每类机器利润率不变，销售一台第一类机器获利 x1 万元，销售一台第二类机器获利 x2 万元，销售一台第五类机器获利 x5，依据上表统计数据，随机销售一台机器获利的期望为 Ex，设 ，试判断 Ex 与 的大小 （结论不要求证明）18 （13 分
8、）设函数 （）若曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线与直线 y1 平行，求 a；第 5 页（共 23 页）（）若 f（x）在 x2 处取得极大值，求 a 的取值范围19 （13 分）已知椭圆 M： （ab0）的长轴长为 6 且经过点 ，过点 P 并且倾斜角互补的两条直线 l1，l 2 与椭圆 M 的交点分别为 B，C（点 B 在点 C 的左侧） ，点 E（7，0） （）求椭圆 M 的方程；（）求证：四边形 PEBC 为梯形20 （14 分）设 n 为正整数，集合 AT |T（t 1，t 2，t n） ，t k0，1，k1，2， n对于集合 A 中的任意元素 X（x 1，x 2，x n
9、）和Y（y 1，y 2， ，y n） ，记 d（X ，Y ）（）当 n3 时，若 X（1，1，0） ，Y（0，1，1） ，求 d（X，X）和 d（X，Y）的值；（）当 n4 时，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意元素 X，Y，当 X，Y 相同时，d（X，Y）是偶数；当 X，Y 不同时，d（X，Y）是奇数求集合 B 中元素个数的最大值；（）给定不小于 2 的 n，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意两个不同的元素X，Y， d（X ，Y ）n写出一个集合 B，使其元素个数最多，并说明理由第 6 页（共 23 页）2019 年北京市通州区高考数学三模试卷（理科）参考答案
10、与试题解析一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 （5 分）已知集合 P0， 1，2 ，Q x|x2，则 P Q（ ）A0 B0 ，1 C1 ，2 D0 ，2【分析】利用集合的基本运算定义即可得出答案【解答】解：已知集合 P0，1，2 ，Q x|x2，利用集合的基本运算定义即可得：PQ0 ，1，故选：B【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题2 （5 分）设复数 ，则 a+b（ ）A0 B1 C2 D1【分析】把所给的复数进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，在分子和分母上进行复数乘法运
11、算，化简得到结果，因为与 a+bi 相等，得到 a 和 b 的值，得到结果【解答】解：复数a+bi 1+i ，a1，b1，a+b0故选：A【点评】本题考查复数相等和复数除法运算，是一个概念题，在解题时用到复数的加减乘除运算，是一个比较好的选择或填空题，可以出现在高考题的前几个题目中3 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（ ）第 7 页（共 23 页）A B C D【分析】根据程序框图进行模拟运算即可【解答】解：第一次，s ，k2，k3 否，第二次，s ，k3，k3，是，输出 s ，故选：A【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键4 （
12、5 分）三国时期著名的数学家刘徽对推导特殊数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了许多算法，展现了聪明才智他在九章算术 “盈不足”章的第 19 题的注文中给出了一个特殊数列的求和公式这个题的大意是：一匹良马和一匹驽马由长安出发至齐地，长安与齐地相距 3000 里（1 里500 米） ，良马第一天走 193 里，以后每天比前一天多走 13 里驽马第一天走 97 里，以后每天比前一天少走半里良马先到齐地后，马上返回长安迎驽马，问两匹马在第几天相遇（ ）A14 天 B15 天 C16 天 D17 天【分析】设两匹马在第 n 天相遇，由题意可知，良马每一天行程构成以 193 为首项，以13 为
13、公差的等差数列，驽马每天行程构成以 97 为首项，以0.5 为公差的等差数列，从而有 193n+ +97n+ 30002，可求【解答】解：设两匹马在第 n 天相遇，第 8 页（共 23 页）由题意可知，良马每一天行程构成以 193 为首项，以 13 为公差的等差数列，驽马每天行程构成以 97 为首项，以0.5 为公差的等差数列193n+ +97n+ 30002，化简可得，5n 2+557n48000当 n15 时，5n 2+557n48000，n16 时，5n 2+557n48000故 n16 时，满足题意故选：C【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的
14、性质的合理运用5 （5 分）若不等式组 可表示为由直线围成的三角形区域（包括边界），则实数 a 的范围是（ ）A （0，2） B （2，+） C （1，2） D （，1）【分析】由题意画出图形，得到 1a+10 且 a0，则实数 a 的范围可求【解答】解：如图，联立 ，解得 A（1，1） ，要使不等式组 可表示为由直线围成的三角形区域（包括边界） ，则 1a+10 且 a0，则 0a2实数 a 的范围是（0，2） 第 9 页（共 23 页）故选：A【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题6 （5 分）设 ， 均为单位向量，则“ 与 夹角为 ”是“| +
15、| ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据向量数量积的应用，利用平方法求出向量夹角，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由“| + | 平方得| |2+| |2+2 3，即 1+1+2 3，得 2 1， ，则 cos ，则 与 夹角 ，即“ 与 夹角为 ”是“| + | ”的既不充分也不必要条件，故选：D【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义结合向量数量积的应用进行化简是解决本题的关键7 （5 分）在平面直角坐标系中，记曲线 C 为点 P（2cos1，2sin+1）的轨迹
16、，直线xty+2 0 与曲线 C 交于 A， B 两点，则|AB| 的最小值为（ ）A2 B C D4【分析】由 消去 得（x +1） 2+（y1） 24，曲线 C 的轨迹是以（1，1）为圆心，2 为半径的圆，再根据勾股定理以及基本不等式可得【解答】解：由 消去 得（x +1） 2+（y1） 24，曲线 C 的轨迹是以（1， 1）为圆心，2 为半径的圆，圆心（1，1）到直线 xty+20 的距离 d ，|AB| 2 2 2 2 2 2 ，当且仅当 t1 时取等第 10 页（共 23 页）故选：B【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题8 （5 分）设函数 则下列结论中正确
17、的是（ ）A对任意实数 a，函数 f（x）的最小值为B对任意实数 a，函数 f（x）的最小值都不是C当且仅当 时，函数 f（x）的最小值为D当且仅当 时，函数 f（x）的最小值为【分析】运用指数函数的值域，以及二次函数的值域求法，注意对称轴和区间的关系，即可得到所求结论【解答】解：当 xa 时，f（x）e x（0，e a，当 xa 时，f（ x）x 2x +a（x ） 2+a ，要使 f（x）取得最小值 a ，即为 x 处取得，从而 a ，又当 xa 时，f （x） （0，e a，可得 a 0，可得 a ，故选：D【点评】本题考查分段函数的最值求法，以及指数函数和二次函数的值域，考
18、查运算能力和推理能力，属于中档题二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9 （5 分）设a n是等比数列，且 a2a4a 5，a 427，则a n的通项公式为 ，nN * 【分析】由已知条件，利用等比数列的通项公式列出方程，求出公比和首项，由此能求出数列a n的通项公式【解答】解：依题意得：27a 2a 5，即 27a1qa 1q4，所以 q3所以 ，nN *第 11 页（共 23 页）故答案是： ，nN *【点评】本题考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题10 （5 分）在极坐标系中，若点 A 在圆 C：1 上，则点 A 到直线 l：（cos +sin）2 距离的最大值为 &n
19、bsp; 【分析】圆 C 的直角坐标方程为： x2+y21，直线 l 的直角坐标方程为：x+y20，问题转化为求圆心 C 到直线 l 的距离加上圆的半径，由点到直线的距离公式可得【解答】解：圆 C 的直角坐标方程为： x2+y21，直线 l 的直角坐标方程为：x+y20，问题转化为求圆心 C 到直线 l 的距离加上圆的半径，故所求最大值为 +1 +1故答案为： +1【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中挡题11 （5 分）已知函数 ysinx （ 0）在（0， ）上有最大值，没有最小值，则 的取值范围为 （2，6 【分析】根据 x 的范围可得 ，然后根据条件得解不等式即可【解
20、答】解：当 x（0， ）时， ，ysin x（0）在（0， ）上有最大值，没有最小值， ， ，2 6 的取值范围为：（2，6故答案为：（2，6第 12 页（共 23 页）【点评】本题主要考查研究有关三角的函数时要利用整体思想，灵活应用三角函数的图象和性质解题，属基础题12 （5 分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果【解答】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：根据割补法，把几何体分成两部分，上部是四棱锥体，下面是三棱柱体，故：V 故答案为：【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几
21、何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型13 （5 分）能够说明“在某个区间（a，b）内，如果函数 yf（x）在这个区间内单调递增，那么 f'（x）0 恒成立” 是假命题的一个函数是 f （ x）x 3，x（1，1） （答案不唯一） （写出函数表达式和区间）【分析】根据条件找出一个函数在（a，b）内单调，且导函数不恒大于 0 的函数即可，比如 f（x）x 3，x（1，1） 第 13 页（共 23 页）【解答】解：函数 f（x ）x 3 在 R 上单调递增，f '（x）2x 2，当 x0 时，f' （0）0，当 x0 时，f'（x）0，
22、因此可说明在某个区间（a，b）内，如果函数 yf （x）在这个区间内单调递增，那么f'（x）0 恒成立”是假命题，f（x）x 3，x（1，1） （本题答案不唯一，写出该函数的一个含有 0 的子区间即可）符合题意故答案为：f（x ）x 3，x（1，1） 【点评】本题考查了函数的单调性和导数恒成立的问题，关键是根据题意找出一个满足条件的函数，属基础题14 （5 分）如图所示，正方形 ABCD 的边长为 2，椭圆 C1： 1（ab0）及双曲线 C2： 1（m0，n0）均以正方形顶点 B，D 为焦点且经过线段 AB 的中点 E，则椭圆 C1 与双曲线 C2 离心率之比为 &nbs
23、p;【分析】分别求得 A，B，D ，E 的坐标，代入椭圆方程和双曲线方程，解方程可得a，m，再由离心率公式可得所求值【解答】解：正方形 ABCD 的边长为 2，可得 B（ ，0） ，D（ ，0） ，A（0， ） ，E（ ， ） ，由题意可得 a2b 22， + 1，解得 a ，m2+n2 2， 1，解得 m ，第 14 页（共 23 页）则椭圆 C1 与双曲线 C2 离心率之比为 ： 故答案为： 【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 （13 分）在ABC 中
24、，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a3， ，（）求 c 的值；（）若 D 为 BC 边上的点，并且 ，求ADB【分析】 （）由已知结合余弦定理 ，可求 c；（）在ABD 中，由正弦定理 ，可求 sinADB，进而可求；【解答】解：（）由余弦定理可得： ，即 ，整理得 c2+2c 30，解得 c1 或 c3（舍） 所以 c1（）在ABD 中，由正弦定理 ，可得 又因为 ，所以 所以 所以 【点评】本题主要考查了利用正弦定理，余弦定理求解三角形，属于知识的简单应用16 （14 分）如图，在四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，侧棱 A1A底面ABCD， ABAC，AB1，AC AA 1
25、2，AD CD ，点 E 为线段 AA1 上的点，且第 15 页（共 23 页）AE （）求证：BE平面 ACB1；（）求二面角 D1ACB 1 的余弦值；（）判断棱 A1B1 上是否存在点 F，使得直线 DF平面 ACB1？若存在，求线段 A1F的长；若不存在，说明理由【分析】 （）推导出 A1AACABAC ，从而 AC平面 ABB1A1进而 ACBE再求出 BEAB 1由此能证明 BE平面 ACB1（）以 A 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 D1ACB 1 的余弦值（）设 A1Fa，则 F（0，a，2） ，利用向量汉有求出棱 A1B1 上不存在点 F，使直线DF平面 A
26、CB1【解答】证明：（）因为 A1A底面 ABCD，所以 A1AAC又因为 ABAC ，所以 AC平面 ABB1A1又因为 BE平面 ABB1A1，所以 ACBE因为 ，所以 RtABERt ABB 1所以ABE AB 1B因为BAB 1+ AB1B90，BAB 1+ABE 90所以 BEAB 1又 ACAB 1 A，所以 BE平面 ACB1解：（）如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得 A（0，0，0） ，B（0，1，0） ，C （2，0，0） ，D（1，2，0） ，A1（0，0，2） ，B 1（0，1，2） ，C 1（2，0，2） ， 第 16 页（共 23 页）由（）知， 为
27、平面 ACB1 的一个法向量，设 为平面 ACD1 的法向量因为 ，则 即不妨设 z1，可得 因此 因为二面角 D1ACB 1 为锐角，所以二面角 D1ACB 1 的余弦值为 （）设 A1Fa，则 F（0，a，2） ， ，所以 a1（舍） 即直线 DF 的方向向量与平面 ACB1 的法向量不垂直，所以，棱 A1B1 上不存在点 F，使直线 DF平面 ACB1【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题第 17 页（共 23 页）17 （13 分）为调查某公司五类机
28、器的销售情况，该公司随机收集了一个月销售的有关数据，公司规定同一类机器销售价格相同，经分类整理得到下表：机器类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类销售总额（万元） 100 50 200 200 120销售量（台） 5 2 10 5 8利润率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2利润率是指：一台机器销售价格减去出厂价格得到的利润与该机器销售价格的比值（）从该公司本月卖出的机器中随机选一台，求这台机器利润率高于 0.2 的概率；（）从该公司本月卖出的销售单价为 20 万元的机器中随机选取 2 台，求这两台机器的利润率不同的概率；（）假设每类机器利润率不变，销售一台第一类机器获利 x1
29、万元，销售一台第二类机器获利 x2 万元，销售一台第五类机器获利 x5，依据上表统计数据，随机销售一台机器获利的期望为 Ex，设 ，试判断 Ex 与 的大小 （结论不要求证明）【分析】 （）由题中数表知利润率高于 0.2 的是第一类和第四类，由此计算所求的概率值；（）用销售总额除以销售量得到机器的销售单价，由此知第一类与第三类的机器销售单价为 20 万，再计算所求的概率值；（）由题意计算随机销售一台机器获利的期望 Ex 和 ，即可得出 Ex 【解答】解：（）由题意知，本月共卖出 30 台机器，利润率高于 0.2 的是第一类和第四类，共有 10 台；设“这台机器利润率高于 0.2”为事件 A，则
30、 ；（）用销售总额除以销售量得到机器的销售单价，可知第一类与第三类的机器销售单价为 20 万，第一类有 5 台，第三类有 10 台共有 15 台，随机选取 2 台有 种不同方法，两台机器的利润率不同则每类各取一台有 种不同方法，第 18 页（共 23 页）设两台机器的利润率不同为事件 B，则 ；（）由题意知，随机销售一台机器获利的期望为 Ex， ，则 Ex 【点评】本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的计算问题，是中档题18 （13 分）设函数 （）若曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线与直线 y1 平行，求 a；（）若 f（x）在 x2 处取得极大值，求 a 的
31、取值范围【分析】 （）求曲线 yf（x）的导数，表达在点（1，f（1） ）处的切线与直线 y1 平行，两不同的直线斜率相等得 a；（）若 f（x ）在 x2 处取得极大值，由（）的导函数求函数的极值点的情况，分类讨论参数 a 的情况从而确定 a 的范围【解答】解：（）因为 ，所以 所以 由题设知 f'（1）0，解得 a2此时 所以 a2（）由（）得 （1）当 a1 时令 f'（x）0，则 ，或 x2，并且 x （，2） 2f'（x ） + 0 0 +第 19 页（共 23 页）f（x） 极大值 极小值 此时，f（x）在 x2 处取得极大值，符合题意（2）当 a1 时若
32、x（2，0 ） ，则 x+20，ax2x20，所以 所以2 不是 f（x ）的极大值点综上可知，a 的取值范围是（，1） 【点评】本题考查了导数的综合应用，考查函数的切线和极值的问题，属于中档题19 （13 分）已知椭圆 M： （ab0）的长轴长为 6 且经过点 ，过点 P 并且倾斜角互补的两条直线 l1，l 2 与椭圆 M 的交点分别为 B，C（点 B 在点 C 的左侧） ，点 E（7，0） （）求椭圆 M 的方程；（）求证：四边形 PEBC 为梯形【分析】 （）由椭圆 M： （ab0）的长轴长为 6 且经过点 ，列出方程组，求出 a，b，由此能求出椭圆 M 的方程（）直线 l1，l 2 的
33、倾斜角均不为 90，且直线 l1，l 2 的斜率互为相反数设直线 PB的方程为 ，由 ，得设 B（x 1，y 1） ，C（x 2，y 2） ，推导出，直线 PC 的方程为 ，同理可得 ，求出直线 BC 的斜率为 ，由此能证明四边形 PEBC 为梯形【解答】解：（）由已知有 解得第 20 页（共 23 页）所以椭圆 M 的方程为 ，证明：（）依题意，直线 l1，l 2 的倾斜角均不为 90，且直线 l1，l 2 的斜率互为相反数设直线 PB 的方程为 ，由 消去 y，整理得 当0 时，设 B（x 1，y 1） ， C（x 2，y 2） ，则 ，即 ，因为直线 PC 过点 P，且斜率为k，所以直线
34、 PC 的方程为 ，同理可得 ，所以直线 BC 的斜率： ，因为直线 PE 的斜率 ，所以 PEBC又因为|PE|1（7）8，|BC|2a6，所以|PE |BC|所以四边形 PEBC 为梯形第 21 页（共 23 页）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查四边形为梯形的证明，考查椭圆、直线方程、直线的斜率等基础知识，考查化归与转化思想，考查推理论证能力，是中档题20 （14 分）设 n 为正整数，集合 AT |T（t 1，t 2，t n） ，t k0，1，k1，2， n对于集合 A 中的任意元素 X（x 1，x 2，x n）和Y（y 1，y 2， ，y n） ，记 d（X ，Y ）（）当 n3
35、时，若 X（1，1，0） ，Y（0，1，1） ，求 d（X，X）和 d（X，Y）的值；（）当 n4 时，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意元素 X，Y，当 X，Y 相同时，d（X，Y）是偶数；当 X，Y 不同时，d（X，Y）是奇数求集合 B 中元素个数的最大值；（）给定不小于 2 的 n，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意两个不同的元素X，Y， d（X ，Y ）n写出一个集合 B，使其元素个数最多，并说明理由【分析】直接利用信息的应用和集合的意义的应用求出结果【解答】解：（）因为 X（1，1，0） ，Y（0，1，1） ，所以，（）设 X（x 1，x 2，x 3，
36、x 4） B，则 d（X，X）x 1+x2+x3+x4由题意知 x1，x 2，x 3，x 40，1，且 d（X，X）为偶数，第 22 页（共 23 页）所以 x1，x 2，x 3，x 4 中 1 的个数为 0 或 2 或 4令 C（0，0，0，0） ， （1，1，0，0） ， （1，0，1，0） ， （1，0，0，1） ， （0，1，1，0） ，（0，1，0，1） ， （0，0，1，1） ， （1，1，1，1），所以 BC（1）当 X（0，0，0，0） ，Y（y 1，y 2，y n）C ，且 X，Y 不同时，经验证，d（X，Y）2 或 4，与 d（X，Y）是奇数矛盾，所以 X（0，0，0，0）
37、B（2）当 X（1，1，1，1） ，Y（y 1，y 2，y n）C ，且 X，Y 不同时，经验证，d（X，Y）4，与 d（X，Y）是奇数矛盾，所以 X（1，1，1，1）B（3）将集合 C 中剩余的元素分成如下四组：（ 1，1，0，0） ， （0，0，1，1） ；（1，0，1，0） ， （0，1，0，1） ；（1，0，0，1） ， （0，1，1，0） 经验证，对于每组中两个元素 X，Y，均有 d（X，Y）4所以每组中的两个元素不可能同时是集合 B 的元素所以集合 B 中元素的个数不超过 3又集合（1，1，0，0） ， （1， 0，1，0） ， （1，0，0，1） 满足条件，所以集合 B 中元素个
38、数的最大值为 3（）设 X（x 1，x 2， xn） ，Y（y 1，y 2，y n） B，则 xi0，1， yi0，1，i1，2，n设 当 xiy i0 时， ；当 xiy i1 时， ；当 xi0，y i1 或 xi1，y i0 时， ；所以 mi1，i1，2，n 所以 又因为 d（X，Y）n，所以 mi1，i1，2，n 即对任意的 i，x i 与 yi 不能同时为零所以若集合 B 中的某个的元素 X 中的 xi0，i1，2，n，第 23 页（共 23 页）则其它任意元素 Y 中的 yi1 因此，集合 B 中至多有 n+1 个元素设 Sk （x 1，x 2，x k， ，x n）|x k0，x m1，m k，m1，2，n，k1，2，nS n+1（x 1，x 2，x n）|x 1x 2x n1，令 BS 1S 2S n+1，则集合 B 的元素个数为 n+1，且满足条件故 B 是一个满足条件且元素个数最多的集合【点评】本题考查的知识要点：集合的意义的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题