1、2018 年湖北省武汉市华中师大一附中高考数学模拟试卷（理科）（5 月份）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）若复数 z 满足（1+2i）z1i ，则复数 z 的虚部为（ ）A B C i D i2 （5 分）设集合 M2，2，Nx| 2，则下列结论正确的是（ ）ANM BMN CNM 2 DN MR3 （5 分）设函数 f（x ）是以 2 为周期的奇函数，已知 x（0，1）时，f （x ）2 x，则f（x）在（2017 ，2018）上是（ ）A增函数，且 f（
2、x）0 B减函数，且 f（x）0C增函数，且 f（x）0 D减函数，且 f（x）04 （5 分）已知向量 ， 满足| |1，| |2， （ ， ） ，则|2 + |（ ）A2 B C D25 （5 分）在“双 11”促销活动中，某商场对 11 月 11 日 9 时到 14 时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知 12 时到 14 时的销售额为 14 万元，则 9 时到 11 时的销售额为（ ）A3 万元 B6 万元 C8 万元 D10 万元6 （5 分）将正方体（如图 1 所示）截去两个三棱锥，得到图 2 所示的几何体，则该几何体的左视图为（ ）
3、第 2 页（共 26 页）A B C D7 （5 分）已知命题 p：x （，0） ，2 x3 x；命题 q：x（0， ） ，sinxx，则下列命题为真命题的是（ ）Apq B （p）q C （p）q Dp（q）8 （5 分）函数 f（x ）A sin（x+）满足：f （ +x）f（ x） ，且 f（ +x）f（ x ） ，则 的一个可能取值是（ ）A2 B3 C4 D59 （5 分）已知双曲线 C 的中心在原点，焦点在 y 轴上，若双曲线 C 的一条渐近线与直线xy 10 平行，则双曲线 C 的离心率为（ ）A B C D10 （5 分）公元 263 年左右
4、，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值 3.14，这就是著名的徽率如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的 n 值为（ ）参考数据： ，sin150.2588，sin7.5 0.1305 第 3 页（共 26 页）A12 B24 C48 D9611 （5 分）二面角 AB 的平面角是锐角 ，M ，MN，N，CAB，MCB为锐角，则（ ）AMCN BMCNCMCN D以上三种情况都有可能12 （5 分）已知函数 y x2 的图象在点（x 0， x02
5、）处的切线为 l，若 l 也为函数ylnx（0x 1）的图象的切线，则 x0 必须满足（ ）A x 01 B1x 0 C x 0 D x 02二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分） （x 2+2x1） 5 的展开式中，x 3 的系数为 （用数字作答）14 （5 分）已知 x，y 满足约束条件 ，若可行域内存在（x，y）使不等式2x+y+k0 有解，则实数 k 的取值范围为 15 （5 分）已知椭圆 + 1（ab0）的离心率为 ，过椭圆上一点 M 作直线MA，MB 交椭圆于 A
6、，B 两点，且斜率分别为 k1，k 2，若点 A，B 关于原点对称，则k1k2 的值为 16 （5 分）在ABC 中，B ，AC ，D 是 AB 边上一点，CD2，ACD 的面第 4 页（共 26 页）积为 2，ACD 为锐角，则 BC 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）已知公比不为 1 的等比数列a n的前 3 项积为 27，且 2a2 为 3a1 和 a3 的等差中项（1）求数列a n的通项公式 an；（2）若数列b n满足 bnb n1 log3an+1（n2，
7、nN *） ，且 b11，求数列 的前n 项和 Sn18 （12 分）华中师大附中中科教处为了研究高一学生对物理和数学的学习是否与性别有关，从高一年级抽取 60 名同学（男同学 30 名，女同学 30 名） ，给所有同学物理题和数学题各一题，让每位同学自由选择一道题进行解答选题情况如表：（单位：人）物理题 数学题 总计男同学 16 14 30女同学 8 22 20总计 24 36 60（1）在犯错误的概率不超过 1%的条件下，能否判断高一学生对物理和数学的学习与性别有关？（2）经过多次测试后发现，甲每次解答一道物理题所用的时间为 58 分钟，乙每次解答一道物理题所用的时间为 68 分钟，现甲、
8、乙解同一道物理题，求甲比乙先解答完的概率；（3）现从选择做物理题的 8 名女生中任意选取两人，对他们的解答情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望附表及公式：P（K 2k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001第 5 页（共 26 页）k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828K2 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，AB平面 BCP，CD平面ABP，AB BCCPBP 2CD2（1）证明：平面 ABP平面 ADP；（2）若直线 PA 与平面 PCD 所成角为
9、 ，求 sin 的值20 （12 分）已知抛物线 C： x22y 的焦点为 F，过抛物线上一点 M 作抛物线 C 的切线l，l 交 y 轴于点 N（1）判断MFN 的形状；（2）若 A，B 两点在抛物线 C 上，点 D（1，1）满足 + ，若抛物线 C 上存在异于 A，B 的点 E，使得经过 A，B，E 三点的圆与抛物线在点 E 处的有相同的切线，求点 E 的坐标21 （12 分）已知函数 f（x ）lnx+ax，在点（t，f （t） ）处的切线方程为 y3x1（1）求 a 的值；（2）已知 k2，当 x1 时，f （x）k（1 ）+2x1 恒成立，求实数的取值范围；（3）对于在 （0，1）中
10、的任意一个常数 b，是否存在正数 x0，使得 e +x 1，请说明理由请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，曲线 C2 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线 C1 和曲线 C2 的极坐标方程；第 6 页（共 26 页）（2）已知射线 l1： （ ） ，将射线 l1 顺时针方向旋转 得到 l2：，且射线 l1 与曲线 C1 交于 O、P 两点，射线 l2 与曲线 C2 交于 O，Q
11、 两点，求|OP|OQ|的最大值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|ax 1|（1）若 f（x） 2 的解集为 3，1，求实数 a 的值；（2）若 a1，若存在 xR，使得不等式 f（2x+1）f（x1）32m 成立，求实数m 的取值范围第 7 页（共 26 页）2018 年湖北省武汉市华中师大一附中高考数学模拟试卷（理科） （5 月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）若复数 z 满足（1+2i）z1i ，则复数 z 的虚部为（ ）A B C i D
12、i【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：（1+2i）z 1i ，z ，复数 z 的虚部为 故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2 （5 分）设集合 M2，2，Nx| 2，则下列结论正确的是（ ）ANM BMN CNM 2 DN MR【分析】判断 M 中的元素是否符合集合 N 的条件即可得出结论【解答】解： 2， ，2N，2N，MN故选：B【点评】本题考查了集合的包含关系，属于基础题3 （5 分）设函数 f（x ）是以 2 为周期的奇函数，已知 x（0，1）时，f （x ）2 x，则f（x）在（2017 ，2
13、018）上是（ ）A增函数，且 f（x）0 B减函数，且 f（x）0C增函数，且 f（x）0 D减函数，且 f（x）0【分析】根据函数奇偶性和单调性，周期性和单调性的关系进行转化即可得到结论【解答】解：函数的周期是 2，第 8 页（共 26 页）函数 f（x）在（ 2017，2018）上的单调性和（1，0）上的单调性相同，x（0，1）时， f（x ）2 x，为增函数，x（1，0）时， f（x ）为增函数，当 x（0，1）时， f（x ）2 x0，当 x（1， 0）时，f（x ） 0，即 f（x）在（2017 ，2018）上是增函数，且 f（x）0，故选：C【点评】本题主要考查函数
14、单调性和函数值符号的判断，根据函数奇偶性和周期性以及单调性的关系进行转化是解决本题的关键4 （5 分）已知向量 ， 满足| |1，| |2， （ ， ） ，则|2 + |（ ）A2 B C D2【分析】首先求出对 （ ， ）平方，求向量 ， 的数量积，然后对|2 + |平方，代入两个向量的模长以及数量积求值，然后开方求模长【解答】解：因为向量 ， 满足| |1，| |2， （ ， ） ，所以 ，所以 0，则|2 + |24 8，所以|2 + | 2 ；故选：A【点评】本题考查了平面向量模长运算以及数量积的运算；向量的平方与其模长平方相等在求向量模长时经常用到5 （5 分）在“双 1
15、1”促销活动中，某商场对 11 月 11 日 9 时到 14 时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知 12 时到 14 时的销售额为 14 万元，则 9 时到 11 时的销售额为（ ）A3 万元 B6 万元 C8 万元 D10 万元第 9 页（共 26 页）【分析】根据频率分布直方图，利用频率比与销售额的比相等，即可求出对应的值【解答】解：根据频率分布直方图知，12 时到 14 时的频率为 0.35，9 时到 11 时的频率为 0.25，所以 9 时到 11 时的销售额为：14 10（万元） 故选：D【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题目6 （5 分）将
16、正方体（如图 1 所示）截去两个三棱锥，得到图 2 所示的几何体，则该几何体的左视图为（ ）A B C D【分析】直接利用三视图的画法，画出几何体的左视图即可【解答】解：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，AD 1 在右侧的射影是正方形的对角线，B1C 在右侧的射影也是对角线是虚线如图 B故选：B【点评】本题考查几何体的三视图的画法，考查作图能力7 （5 分）已知命题 p：x （，0） ，2 x3 x；命题 q：x（0， ） ，sinxx，则下列命题为真命题的是（ ）Apq B （p）q C （p）q Dp
17、（q）【分析】命题 p：x （，0） ， 1，即 2x3 x，可得 p 是真命题命题第 10 页（共 26 页）q：x（0， ） ，令 f（x ） xsinx，利用导数研究其单调性即可得出真假【解答】解：命题 p：x （，0） ， 1，即 2x3 x，因此 p 是真命题命题 q：x（0 ， ） ，令 f（x）x sinx，f （x）1 cosx0，因此函数 f（x）在x（0， ）单调递增， f（x）f （0）0x （0， ） ，sinxx，因此 q 是假命题则下列命题为真命题的是 p（q） 故选：D【点评】本题考查了指数函数的单调性、利用导数研究函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力
18、与计算能力，属于中档题8 （5 分）函数 f（x ）A sin（x+）满足：f （ +x）f（ x） ，且 f（ +x）f（ x ） ，则 的一个可能取值是（ ）A2 B3 C4 D5【分析】根据题意，得出函数 f（x ）的图象关于（ ，0）对称，也关于 x 对称；由此求出函数的周期 T 的可能取值，从而得出 的可能取值【解答】解：函数 f（x ）Asin（x+）满足：f （ +x）f（ x） ，所以函数 f（x）的图象关于（ ，0）对称，又 f（ +x）f（ x ） ，所以函数 f（x）的图象关于 x 对称；所以 ，k 为正整数，所以 T ，即 ，解得 3（2k1） ，k 为正整
19、数；当 k1 时，3，所以 的一个可能取值是 3故选：B第 11 页（共 26 页）【点评】本题考查了函数 f（ x）Asin（x+）的图象与性质的应用问题，是基础题目9 （5 分）已知双曲线 C 的中心在原点，焦点在 y 轴上，若双曲线 C 的一条渐近线与直线xy 10 平行，则双曲线 C 的离心率为（ ）A B C D【分析】利用已知条件列出 ab 关系式，然后求解双曲线的离心率即可【解答】解：双曲线 C 的中心在原点，焦点在 y 轴上，若双曲线 C 的一条渐近线与直线 xy10 平行，可得 ，即 a22b 22c 22a 2，可得 ，所以离心率 e 故选：A【点评】本题考查双
20、曲线的简单性质的应用，考查计算能力，注意双曲线的焦点的位置10 （5 分）公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值 3.14，这就是著名的徽率如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的 n 值为（ ）参考数据： ，sin150.2588，sin7.5 0.1305 第 12 页（共 26 页）A12 B24 C48 D96【分析】列出循环过程中 S 与 n 的数值，满足判断框的条件即可结束循环【解答】解：模拟执行程序，可得：n6，S3sin60
21、 ，不满足条件 S3.10，n12，S6sin303，不满足条件 S3.10，n24，S12sin15120.25883.1056，满足条件 S3.10，退出循环，输出 n 的值为 24故选：B【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题11 （5 分）二面角 AB 的平面角是锐角 ，M ，MN，N，CAB，MCB为锐角，则（ ）AMCN BMCNCMCN D以上三种情况都有可能【分析】过 M 作 MOAB 于 O，过 N 作 NOAB 于 O，则MON，连接 CN，在RtCMN 中， sinMCN 即可判定【解答】解：如图，过 M 作 MOA
22、B 于 O，过 N 作 NOAB 于 O，则MON，连接 CN，在 RtCON 中，有 CMOM，在 Rt CMN 中， sinMCN sin，MCN，故选：A【点评】本题考查了空间角的大小判定，考查了转化思想，属于中档题12 （5 分）已知函数 y x2 的图象在点（x 0， x02）处的切线为 l，若 l 也为函数ylnx（0x 1）的图象的切线，则 x0 必须满足（ ）第 13 页（共 26 页）A x 01 B1x 0 C x 0 D x 02【分析】求出函数 yx 2 的导数，y lnx 的导数，求出切线的斜率，切线的方程，可得x0 ，lnm1 x02，再由零点存在定理，
23、即可得到所求范围【解答】解：函数 y x2 的导数为 yx，在点（x 0， x02）处的切线的斜率为 kx 0，切线方程为 y x02x 0（xx 0） ，设切线与 ylnx 相切的切点为（m ，lnm） ，0m 1，即有 ylnx 的导数为 y ，可得 x0 ，切线方程为 ylnm （x m ） ，令 x0，可得 ylnm1 x02，由 0m1，可得 x02，且 x021，解得 x01，由 m ，可得 x02lnx 010，令 f（x） x2lnx1，x 1，f（x）x 0，f（x ）在 x1 递增，且 f（2）1ln20，f（ ） ln31 （1ln3）0，则有 x02lnx 010 的根
24、 x0（ ，2） 故选：D【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查函数方程的转化思想，以及函数零点存在定理的运用，属于中档题二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分） （x 2+2x1） 5 的展开式中，x 3 的系数为 40 （用数字作答）【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 3，求得 r、r的值，从而求得 x3 项的系数【解答】解：式子（x 2+2x1） 5 （x 2+2x）1 5 展开式的通项公式为：第 14 页（共 26 页）Tr+1 （x 2+2x） 5r （1） r，对于（x 2+2x） 5r
25、，它的通项公式为：Tr+1 2 r x102rr ，其中 0r5r，0r 5，r、r都是自然数；令 102rr 3，可得 ，或 ，所以 x3 项的系数为：23 2 40故答案为：40【点评】本题主要考查了二项式定理以及二项式展开式的通项公式应用问题，是中档题14 （5 分）已知 x，y 满足约束条件 ，若可行域内存在（x，y）使不等式2x+y+k0 有解，则实数 k 的取值范围为 4，+） 【分析】由约束条件作出可行域，可知当 k0 时，可行域内存在（x，y）使不等式2x+y+k 0 有解；当 k0 时，要使可行域内存在（ x，y）使不等式 2x+y+k0 有解，则目
26、标函数 z2x+y+k 的最大值 22+0+k0，由此求得 k 的取值范围【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，当 k0 时，可行域内存在（x，y ）使不等式 2x+y+k0 有解；当 k0 时，要使可行域内存在（x，y ）使不等式 2x+y+k0 有解，则目标函数 z2x+y+k 的最大值 22+0+k0，即 k4第 15 页（共 26 页）综上，可行域内存在（x，y ）使不等式 2x+y+k0 有解，实数 k 的取值范围为4，+） 故答案为：4，+） 【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题15 （5 分）已知椭圆 + 1（ab0）的离心率为
27、 ，过椭圆上一点 M 作直线MA，MB 交椭圆于 A，B 两点，且斜率分别为 k1，k 2，若点 A，B 关于原点对称，则k1k2 的值为 【分析】椭圆的离心率是 e ，则 a2b，则椭圆的方程可化为：x 2+4y24b 2设M（m，n） ，直线 AB 的方程为： ykx ，可设：A （x 0，kx 0） ，B（x 0，kx 0） 代入椭圆方程和利用斜率计算公式即可得出【解答】解：椭圆 + 1（ab0）的离心率是e ，a2b，于是椭圆的方程可化为：x 2+4y24b 2设 M（m，n） ，直线 AB 的方程为： ykx ，可设：A （x 0，kx 0） ，B（x 0，kx 0）
28、则 m2+4n24b 2，x 02+4k2x024b 2m2x 024k 2x024n 2，k 1k2 k1k2 故答案为： 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题16 （5 分）在ABC 中，B ，AC ，D 是 AB 边上一点，CD2，ACD 的面第 16 页（共 26 页）积为 2，ACD 为锐角，则 BC 【分析】推导出 sinACD ，cosACD ，由余弦定理得 AD ，由正弦定理，得 sinA ，由此利用正弦定理能求出 BC 的长【解答】解：在ABC 中，B ，AC ，D 是 AB 边上一点，CD2，A
29、CD 的面积为 2，ACD 为锐角，S ACD sinACD2，解得 sinACD ，cosACD ，AD ，由正弦定理，得： ，解得 sinA ，又 ，BC 故答案为： 【点评】本题考查三角形边长的求法，涉及到正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方思想、数形结合思想，是中档题三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）第 17 页（共 26 页）17 （12 分）已知公比不为 1 的等比数列a n的前 3 项积为 27，且 2a2 为 3a1 和 a3 的等差中项（1）求数列a n的通项公式 an；（2）若数列b
30、 n满足 bnb n1 log3an+1（n2，nN *） ，且 b11，求数列 的前n 项和 Sn【分析】 （1）利用等比数列的性质列方程解出公比和 a2，从而得出通项 an；（2）化简递推式可得 n，使用累乘法得出通项 bn，从而得出 的通项，利用裂项法求出 Sn【解答】解：（1）设a n的公比为 q，则 a1a2a3a 2327，a 23，a 1 ，a 33q，2a 2 为 3a1 和 a3 的等差中项，4a 23a 1+a3，即 12 +3q，解得 q3 或 q1（舍） a n3 n1 （2）b nb n1 log3an+1nb n1 ， n，又 b11，b n n!， ，S n（ ）
31、+（ ）+ （ ） 【点评】本题考查了等比数列的性质，数列求和，属于中档题18 （12 分）华中师大附中中科教处为了研究高一学生对物理和数学的学习是否与性别有关，从高一年级抽取 60 名同学（男同学 30 名，女同学 30 名） ，给所有同学物理题和数学题各一题，让每位同学自由选择一道题进行解答选题情况如表：（单位：人）物理题 数学题 总计第 18 页（共 26 页）男同学 16 14 30女同学 8 22 20总计 24 36 60（1）在犯错误的概率不超过 1%的条件下，能否判断高一学生对物理和数学的学习与性别有关？（2）经过多次测试后发现，甲每次解答一道物理题所用的时间为 58 分钟，乙
32、每次解答一道物理题所用的时间为 68 分钟，现甲、乙解同一道物理题，求甲比乙先解答完的概率；（3）现从选择做物理题的 8 名女生中任意选取两人，对他们的解答情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望附表及公式：P（K 2k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828K2 【分析】 （1）由表中数据求出 K24.4446.635，从而得到在犯错误的概率不超过 1%的前提下，不能判断高一学生对物理和数学的学习与性质有关（2）设甲、乙解答一道物
33、理题的时间分别为 x，y 分钟，由甲每次解答一道物理题所用的时间为 58 分钟，乙每次解答一道物理题所用的时间为 68 分钟，利用几何概型能求出甲比乙先解答完的概率（3）由题意知在选择物理题的 8 名女生中任意抽取两人，抽取方法有 28 种，X 的可能取值为 0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 E（X） 【解答】解：（1）由表中数据得 K2 4.4446.635，在犯错误的概率不超过 1%的前提下，不能判断高一学生对物理和数学的学习与性质有关（2）设甲、乙解答一道物理题的时间分别为 x，y 分钟，甲每次解答一道物理题所用的时间为 58 分钟，乙每次解答一道物理题所用的时
34、间为 68 分钟，第 19 页（共 26 页） ，设事件 A 表示“甲比乙先解答完” ，则 A 表示“xy” ，作出可行域，如右图：甲比乙先解答完的概率 P（A） （3）由题意知在选择物理题的 8 名女生中任意抽取两人，抽取方法有 28 种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有 种，恰有一人被抽到有 种，两人都被抽到有 种，X 的可能取值为 0，1，2，P（X0） ，P （X1） ，P（X 2） ，X 的分布列为：X 0 1 2P E（X） 【点评】本题考查独立检验的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，涉及几何概
35、型、排列组合等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，AB平面 BCP，CD平面ABP，AB BCCPBP 2CD2（1）证明：平面 ABP平面 ADP；（2）若直线 PA 与平面 PCD 所成角为 ，求 sin 的值第 20 页（共 26 页）【分析】 （1）取 AP 的中点 E，PB 的中点 F，连结 DE， EF，CF ，利用平行四边形得出DECF，通过证明 CF平面 APB 得出 DE平面 PAB，于是平面 ABP平面 ADP；（2）将几何体补成直三棱柱，作出线面角，从而可求出 sin 的值【解答】 （1）
36、证明：取 AP 的中点 E，PB 的中点 F，连结 DE，EF，CF ，则 EF AB，CD平面 ABP，CD平面 ABCD，平面 ABCD平面 ABPAB，CDAB ，又 CD AB，EF CD，四边形 DEFC 是平行四边形，CFDE ，AB平面 BCP，CF平面 BCP，ABCF，BCCPBP，CFPB，又 PBABB，CF平面 ABP，DE平面 ABP，又 DE平面 ADP，平面 ABP平面 ADP（2）解：过 P 作 PPAB ，使得 PP2，延长 CD 到 C，使得 CC2，连结AC，AP， CP，则直三棱柱 PBCPAC所有棱长均为 2，取 PC的中点 M，连结 AM，则 AM平
37、面 PCCP，APM 是直线 AP 与平面 PCD 所成的角，即APM，AM ，PA 2 ，sin sinAPM 第 21 页（共 26 页）【点评】本题考查了面面垂直的判定，直线与平面所成角的计算，属于中档题20 （12 分）已知抛物线 C： x22y 的焦点为 F，过抛物线上一点 M 作抛物线 C 的切线l，l 交 y 轴于点 N（1）判断MFN 的形状；（2）若 A，B 两点在抛物线 C 上，点 D（1，1）满足 + ，若抛物线 C 上存在异于 A，B 的点 E，使得经过 A，B，E 三点的圆与抛物线在点 E 处的有相同的切线，求点 E 的坐标【分析】 （1）利用导数求得切线方程，当 x
38、0，求得 N 点坐标，根据抛物线的焦半径公式，即可求得丨 MF 丨丨 NF 丨，则MFN 为等腰三角形；（2）根据向量的坐标运算，求得 B 点坐标，分别求得 AE 及 AB 的中垂线方程，即可求得ABE 外接圆的圆心，由 kMEx01，即可求得点 E 的坐标【解答】解：（1）由题意可知：抛物线 C：x 22y 的焦点 F（0， ） ，设 M（x 1， ） ，由 y ，yx ，则切线 l 的方程 y x 1（xx 1） ，则 yx 1x ，N（0， ） ，丨 MF 丨 + ，丨 NF 丨 + ，丨 MF 丨丨 NF 丨，MFN 为等腰三角形；（2）设 A（x 2， ） ，由 + ，D（1，1）是
39、 AB 的中点， B（2x 2，2 ） ，第 22 页（共 26 页）由 B 在抛物线 C 上，则（2 x2） 22（2 ） ，解得：x 20，x 22，A，B 两点的坐标为（0，0） ， （2，2） ，设 E（x 0， ） ， （x 00，x 02） ，AB 的中垂线方程 yx +2，AE 的中垂线方程 y x+1+ ，由由解得：圆心 M（ ， ） ，由 kMEx01，整理得：x 02x 020，解得：x 01 或 x02，由 x00，x 02，x 01，E 点坐标为（1， ） 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，向量数量积的坐标运算，三角形外接圆的求法，考查计算能力，属于中档题21 （
40、12 分）已知函数 f（x ）lnx+ax，在点（t，f （t） ）处的切线方程为 y3x1（1）求 a 的值；（2）已知 k2，当 x1 时，f （x）k（1 ）+2x1 恒成立，求实数的取值范围；（3）对于在 （0，1）中的任意一个常数 b，是否存在正数 x0，使得 e +x 1，请说明理由【分析】 （1）求出 f（x ）的导数，可得切线的斜率和切点，解方程可得 a 的值；（2）求出 f（x ）lnx +x，要证原不等式成立，即证 xlnx+xk（x3）0，可令g（x）xlnx +xk（x3） ，求出导数，判断符号，可得单调性，即可得证；（3）对于在（0，1）中的任意一个常数 b，假设存在
41、正数 x0，使得 +x021运用转化思想可令 H（x）（x+1）e x + x21，求出导数判断单调性，可得最小值，即可得到结论第 23 页（共 26 页）【解答】解：（1）函数 f（x）lnx+ax 的导数为 f（x） +a，在点（t，f（t） ）处切线方程为 y3x1，可得 f（t） +a，函数的切线方程为 y（lnt+at ）（ +a） （x t） ，即 y（ +a）x+lnt 1， ，解得 a2；（2）证明：由（1）可得 f（ x）lnx+2x，f（x）k（1 ）+2x1，lnxk（1 ）1即为 xlnx+xk （x3）0，可令 g（x）xlnx+x k（x3） ，g（x）2+lnxk
42、 ，由 x1，可得 lnx0，2k 0，即有 g（x）0，g（x ）在（1，+）递增，可得 g（x）g（1）1+2k0， k2故 k 的取值范围为 ，2；（3）对于在（0，1）中的任意一个常数 b，假设存在正数 x0，使得： + x021由 ef（x0+1）3x02 + x02e ln（x0+1）x 0+ x02（x 0+1）e x0 + x021 成立，从而存在正数 x0，使得上式成立，只需上式的最小值小于 0 即可令 H（x）（x+1）e x + x21，H （x ）e x （ x+1）e x +bxx（be x ） ，令 H（x）0，解得 xlnb，令 H（x）0，解得 0xlnb ，则
43、 xlnb 为函数 H（x ）的极小值点，即为最小值点故 H（x）的最小值为 H（ lnb）（lnb+1）e lnb+ ln2b1 ln2bblnb+b1，第 24 页（共 26 页）再令 G（x） ln2xxlnx+ x1， （0x1） ，G（x） （ln 2x+2lnx）（1+lnx）+1ln 2x0，则 G（x）在（0，1）递增，可得 G（x ）G（1）0，则 H（lnb）0故存在正数 x0lnb，使得 + x021【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率、单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，注意运用分析法和构造函数法，求得导数判断单调性，考查存在性问题的解法，注意运用转化思想和构造
44、函数，求出导数，运用单调性，属于难题请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，曲线 C2 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线 C1 和曲线 C2 的极坐标方程；（2）已知射线 l1： （ ） ，将射线 l1 顺时针方向旋转 得到 l2：，且射线 l1 与曲线 C1 交于 O、P 两点，射线 l2 与曲线 C2 交于 O，Q 两点，求|OP|OQ|的最大值【分析】 （1）由曲线 C1
45、 的参数方程能求出曲线 C1 的直角坐标方程，从而能求出曲线C1 的极坐标方程由曲线 C2 的参数方程能求出曲线 C2 的直角坐标方程，从而能求出曲线 C2 的极坐标方程（2）设点 P 的极坐标为 P（ 1，） ，即 12cos，设点 Q 的坐标为 Q（） ，即 ，mh |OP|OQ| 122cos2sin（ 2 ）1，能求出| OP|OQ|的最大值【解答】解：（1）曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，曲线 C1 的直角坐标方程为（ x1） 2+y21，即 x2+y22x0，曲线 C1 的极坐标方程为 22cos0，即 2cos 第 25 页（共 26 页）曲线 C2 的参数方程为 （ 为参数） ，曲线 C2 的普通方程 x2+（y1） 21，即 x2+y22y0，曲线 C2 的极坐标方程为 22sin 0，即 2sin（2）设点 P 的极坐标为 P（ 1，） ，即 12cos，设点 Q 的坐标为 Q（ ） ，即 ，|OP |OQ| 122cos 4cos（ sin ）2 sincos2cos 2 cos212sin（2 ）1，（ ） ， （ ） ，当 2 ，即 时，|OP| OQ|取最大值 1【点评】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查两线段积的最大值的求法，考查极坐标方程、直角坐