1、2018 年上海市浦东新区高考数学三模试卷一、填空题（本大题共有 12 小题，满分 54 分）只要求直接填写结果，1-6 题每个空格填对得 4 分，7-12 题每个空格填对得 5 分，否则一律得零分注：结果等价即可得分1 （4 分）直线 x+ y+10 的倾斜角的大小为 2 （4 分）已知集合 Ax| 0，B x|x22x30，xR，则 AB 3 （4 分）函数 ycos （2x+ ）的单调递减区间是 4 （4 分）方程 4x+1162 x1 的解为 5 （4 分）设复数 z 满足
2、i（z+1）3+2i，则 6 （4 分）某学校高一、高二、高三共有 2400 名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本已知高一有 820 名学生，高二有 780名学生，则在该学校的高三应抽取 名学生7 （5 分）函数 的最小正周期 T 8 （5 分）已知甲、乙两位射手，甲击中目标的概率为 0.7，乙击中目标的概率为 0.6，如果甲乙两位射手的射击相互独立，那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击，目标被射中的概率为 9 （5 分）已知ABC 的
3、三边 a，b，c 成等比数列，a，b，c 所对的角分别为 A，B，C，则 sinB+cosB 的取值范围是 10 （5 分）若不等式|x +a|2 在 x1，2时恒成立，则实数 a 的取值范围是 11 （5 分） 的值域是 12 （5 分）已知数列a n满足 ，其首项 a1a，若数列a n是单调递增数列，则实数 a 的取值范围是 二、选择题（本大题共有 4 小题，满分 20 分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5 分，否则一律得零分13 （5
4、分）已知非空集合 A、B 满足 AB，给出以下四个命题：若任取 xA，则 xB 是必然事件 若 xA，则 xB 是不可能事件若任取 xB，则 xA 是随机事件 若 xB，则 xA 是必然事件其中正确的个数是（ ）第 2 页（共 17 页）A1 B2 C3 D414 （5 分）正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E 为棱 AA1 的中点（如图） ，用过点 B、E、D 1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ）A BC D15 （5 分）设函数 的图象为 C，下面结论中正确的是（ ）A函数 f（x）的最小正周期是 2B图象 C 关于点 对称
5、C图象 C 可由函数 g（x）sin2x 的图象向右平移 个单位得到D函数 f（x）在区间 上是增函数16 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设定点 A（a，a） ，P 是函数 图象上一动点，若点 P，A 之间的最短距离为 ，则满足条件的实数 a 的所有值为（ ）A B1 C D不存在三、解答题（本大题共有 5 小题，满分 76 分）解答下列各题必须写出必要的步骤注：其他解法相应给分17 （14 分）若 的图象的最高点都在直线 y m（m0）上，并且任意相邻两个最高点之间的距离为 （1）求 和 m 的值；第 3 页（共 17 页）（2）在ABC 中，a，b，c 分别是A，B，
6、C 的对边，若点 是函数f（x）图象的一个对称中心，且 a1，求ABC 外接圆的面积18 （14 分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，PD平面ABCD， PD6 （1）求四棱锥 PABCD 的体积；（2）求异面直线 PB 与 DC 所成角的大小19 （14 分）已知各项都不为零的无穷数列a n满足：a n+1an+an+1a n0；（1）证明 为等差数列，并求 a11 时数列a n中的最大项；（2）若 a2018 为数列a n中的最小项，求 a1 的取值范围20 （16 分）设抛物线 y24px（p0）的准线与 x 轴的交点为 M，过 M 作直线 l 交抛物线
7、于 A、B 两点（1）求线段 AB 中点的轨迹；（2）若线段 AB 的垂直平分线交对称轴于 N（x 0，0） ，求 x0 的取值范围；（3）若直线 l 的斜率依次取 p，p 2，p 3，p n，时，线段 AB 的垂直平分线与对称轴的交点依次为 N1，N 2，N 3，N n，当 0p1 时，求： 的值21 （18 分）已知函数 ，（1）分别求 f（f（1） ） ，f（f （2018） ）的值；（2）讨论|f（f （x ） ）|m（mR ）的解的个数；（3）若对任意给定的 t1，+ ） ，都存在唯一的 xR，满足 f（f （x） ）2a 2t2at，求实数 a 的取值范围第 4 页（共 17 页）
8、2018 年上海市浦东新区高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有 12 小题，满分 54 分）只要求直接填写结果，1-6 题每个空格填对得 4 分，7-12 题每个空格填对得 5 分，否则一律得零分注：结果等价即可得分1 （4 分）直线 x+ y+10 的倾斜角的大小为 【分析】化直线的一般式方程为斜截式，求出直线的斜率，由倾斜角的正切值等于斜率求倾斜角【解答】解：由 x+ y+10，得，直线 x+ y+10 的斜率为 ，设其倾斜角为 （0 ） ，则 ， 故答案为： 【点评】本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题2 （4 分）已知
9、集合 Ax| 0，B x|x22x30，xR，则 AB x|5 x1 【分析】利用分式不等式和一元二次不等式分别求出集合 A 和 B，由此能求出 AB【解答】解：集合 Ax| 0 x|5x2，B x|x22x 30，xR x|x1 或 x3，ABx| 5x 1故答案为：x|5x 1【点评】本题考查集合的交集的运算，是基础题，解题时要认真审题，注意分式不等式和一元二次不等式的合理运用3 （4 分）函数 ycos （2x+ ）的单调递减区间是 第 5 页（共 17 页）【分析】根据余弦函数的单调性的性质即可得到结论【解答】解：由 2k2x+ 2k+ ，即 k xk ，k Z故函数的单
10、调减区间为 ，故答案为： 【点评】本题主要考查余弦函数的单调性的求法，要求熟练掌握三角函数的图象和性质4 （4 分）方程 4x+1162 x1 的解为 x1 【分析】直接利用指数方程，转化求解即可【解答】解：方程 4x+1162 x1 ，化为方程 22x+22 x+3，可得 2x+2x+3，解得 x1故答案为：x1【点评】本题考查函数与方程的应用，方程的解法，指数的运算法则，考查计算能力5 （4 分）设复数 z 满足 i（z+1）3+2i，则 13i 【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解：复数 z 满足 i（z+1）3+2i，ii（z+1） i（3+2i） ，化为 z+12+3i，化为
11、 z1+3i， 13i故答案为：13i【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题6 （4 分）某学校高一、高二、高三共有 2400 名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本已知高一有 820 名学生，高二有 780名学生，则在该学校的高三应抽取 40 名学生【分析】根据题意计算高三学生人数，再计算高三应抽取的学生数【解答】解：根据题意，高三学生 2400820780800，第 6 页（共 17 页）在该学校的高三应抽取 120 40（名） 故答案为：40【点评】本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题7 （5 分）函数 的最小正周期 T 【分析
12、】先利用二阶矩阵化简函数式 f（x ） ，再把函数 yf（x）化为一个角的一个三角函数的形式，然后求出它的最小正周期【解答】解：函数（sinx+cos x） （sin x+cosx）2sinxcos（x ）cos2x +sin2x sin（2x+ ） ，它的最小正周期是：T 故答案为：【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的正弦，考查计算能力，是基础题8 （5 分）已知甲、乙两位射手，甲击中目标的概率为 0.7，乙击中目标的概率为 0.6，如果甲乙两位射手的射击相互独立，那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击，目标被射中的概率为 0.88 【分析】利用对立事件概率计算公式直接求解【解答】
13、解：甲、乙两位射手，甲击中目标的概率为 0.7，乙击中目标的概率为 0.6，甲乙两位射手的射击相互独立，甲乙两射手同时瞄准一个目标射击，目标被射中的概率为：p1（10.7） （10.6）0.88故答案为：0.88【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题9 （5 分）已知ABC 的三边 a，b，c 成等比数列，a，b，c 所对的角分别为 A，B，C，则 sinB+cosB 的取值范围是 （1， 【分析】运用等比数列的中项定义和余弦定理，结合基本不等式可得 cosB 的范围，进而得到 B 的范围，再由两角和的正弦公式
14、，结合正弦函数的图象和性质，可得所求范第 7 页（共 17 页）围【解答】解：由ABC 的三边 a，b，c 成等比数列，可得：acb 2a 2+c2 2accosB2ac2ac cosB，得 ，由 0B，故 ，可得 sinB+cosB sin（B+ ） ，由 B+ （ ， ，可得 sin（B+ ）（ ，1 ，则 故答案为：（1， 【点评】本题考查等比中项的定义和余弦定理、基本不等式和正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题10 （5 分）若不等式|x +a|2 在 x1，2时恒成立，则实数 a 的取值范围是 3，0 【分析】直接求出绝对值不等式的解集，利用恒成立直接求出 a 的值即可【解
15、答】解：不等式|x +a|2 可得 x2a，2a，不等式|x+ a| 2 在 x1，2时恒成立， ，解得 a3，0实数 a 的取值范围是： 3，0 故答案为：3，0【点评】本题考查绝对值不等式的解法，恒成立问题的应用，考查计算能力11 （5 分） 的值域是 （，0）2，+） 【分析】利用换元法，通过化简函数的解析式，利用基本不等式转化求解函数的最值，得到函数的值域即可【解答】解：令 ，第 8 页（共 17 页）则， ，所以值域为（，0）2，+ ） 故答案为：（，0）2，+ ） 【点评】本题考查函数的值域，函数的最值的求法，换元法以及基本不等式的应用，考查中航三鑫以及计算能力12 （5 分）已知
16、数列a n满足 ，其首项 a1a，若数列a n是单调递增数列，则实数 a 的取值范围是 （0， ）（2，+） 【分析】利用数列a n是递增数列，对 a 讨论，通过第二项大于第一项，求出 a 的范围即可当 a 时，a 1 ，a 2a 32，不满足题意由此能求出实数 a 的取值范围【解答】解： ，其首项 a1a，数列a n是递增数列，a n+1a na n+ 30，则 a1+ 30，即 a+ 30，当 a0 时，解得 a（0，1） （2，+） 当 a0 时，不等式无解当 a 时，a 1 ，a 2a 32，不满足题意当 a（0， ）时，取 a ，成立，当 a（ ，1）时，取 a ，不成立
17、实数 a 的取值范围为：（0， ）（2，+） 故答案为：（0， ）（2，+） 【点评】本题考查数列的单调性，注意推出数列的第二项大于第一项，是解题的关键，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题二、选择题（本大题共有 4 小题，满分 20 分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个第 9 页（共 17 页）选项是正确的，选对得 5 分，否则一律得零分13 （5 分）已知非空集合 A、B 满足 AB，给出以下四个命题：若任取 xA，则 xB 是必然事件 若 xA，则 xB 是不可能事件若任取 xB，则 xA 是随机事件 若 xB，则 xA 是必然事件其中正确的个数是（ ）A1
18、B2 C3 D4【分析】由集合的包含关系可得 A 中的任何一个元素都是 B 中的元素，B 中至少有一个元素不在 A 中，结合必然事件、不可能事件和随机事件的概念，即可判断正确的个数【解答】解：非空集合 A、B 满足 AB，可得 A 中的任何一个元素都是 B 中的元素，B 中至少有一个元素不在 A 中，若任取 xA，则 xB 是必然事件，故 正确；若 xA，则 xB 是可能事件，故不正确；若任取 xB，则 xA 是随机事件，故 正确；若 xB，则 xA 是必然事件，故 正确其中正确的个数为 3，故选：C【点评】本题考查集合的包含关系，以及必然事件、不可能事件和随机事件的概念和判断，考查判断能力，
19、属于基础题14 （5 分）正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E 为棱 AA1 的中点（如图） ，用过点 B、E、D 1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ）A B第 10 页（共 17 页）C D【分析】利用平面的基本性质，画出直观图，然后判断左视图即可【解答】解：由题意可知：过点 B、E、D 1 的平面截去该正方体的上半部分，如图直观图，则几何体的左视图为：D 故选：D【点评】本题考查简单几何体的三视图，是基本知识的考查15 （5 分）设函数 的图象为 C，下面结论中正确的是（ ）A函数 f（x）的最小正周期是 2B图象 C 关于点 对称C图
20、象 C 可由函数 g（x）sin2x 的图象向右平移 个单位得到D函数 f（x）在区间 上是增函数【分析】根据正弦型函数的图象与性质，对选项中的命题真假性判断即可【解答】解：对于 A，函数 的最小正周期为 T ，A 错误；对于 B，x 时，f（x）sin（2 ）0，其图象关于点 对称，B 正确；对于 C，f（x ）sin2（x ） ，其图象可由函数 g（x）sin2x的图象向右平移 个单位得到，C 错误；对于 D，x（ ， ）时，2x （ ， ） ，第 11 页（共 17 页）函数 f（x）sin（2x ）先递增后递减， D 错误；故选：B【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基
21、础题16 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设定点 A（a，a） ，P 是函数 图象上一动点，若点 P，A 之间的最短距离为 ，则满足条件的实数 a 的所有值为（ ）A B1 C D不存在【分析】设 ，由 x0，则 ，分 a2、a2 两种情况求出，能求出满足条件的实数 a 的所有值【解答】解：设 ，由 x0，则 ，分两种情况：（1）当 a2 时， ，则 ；（2）当 a2 时， ，则 a1满足条件的实数 a 的所有值为： 故选：C【点评】本题考查满足条件的实数 a 的所有值的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题三、解答题（本大题共有
22、 5 小题，满分 76 分）解答下列各题必须写出必要的步骤注：其他解法相应给分17 （14 分）若 的图象的最高点都在直线 y m（m0）上，并且任意相邻两个最高点之间的距离为 （1）求 和 m 的值；（2）在ABC 中，a，b，c 分别是A，B，C 的对边，若点 是函数f（x）图象的一个对称中心，且 a1，求ABC 外接圆的面积【分析】 （1）利用二倍角的正弦函数公式化简，再由正弦函数的性质求得 和 m 的值；（2）由 是函数 f（x）图象的一个对称中心求得 A 值，再由正弦定理求得外接第 12 页（共 17 页）圆半径，则ABC 外接圆的面积可求【解答】解：（1），由题意知，函数 f（x
23、）的周期为 ，且最大值为 m，1 ，m1；（2） 是函数 f（x）图象的一个对称中心， ，又A 为ABC 的内角， ，在ABC 中，设外接圆半径为 R，由正弦定理得 ，得 ABC 的外接圆的面积 【点评】本题考查了二倍角的正弦函数公式，以及正弦定理的应用，熟练掌握公式是解本题的关键，是中档题18 （14 分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，PD平面ABCD， PD6 （1）求四棱锥 PABCD 的体积；（2）求异面直线 PB 与 DC 所成角的大小【分析】 （1）由底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，PD平面 ABCD，PD 6 能求出四棱锥 PABCD
24、的体积（2）由 ABDC，得PBA 就是异面直线 PB 与 DC 所成的角，由此能求出异面直线PB 与 DC 所成角的大小【解答】解：（1）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，PD第 13 页（共 17 页）平面 ABCD，PD6四棱锥 PABCD 的体积 6 分（2）ABDC，PBA 就是异面直线 PB 与 DC 所成的角，8 分PD平面 ABCD，AB PD，又 ABAD ，ABPA，10 分在 Rt PAB 中，PA ，AB4，tanPBA ，PBAarctan ，13 分异面直线 PB 与 DC 所成角的大小为 arctan 14 分【点评】本题考查四棱锥
25、的体积的求法，考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19 （14 分）已知各项都不为零的无穷数列a n满足：a n+1an+an+1a n0；（1）证明 为等差数列，并求 a11 时数列a n中的最大项；（2）若 a2018 为数列a n中的最小项，求 a1 的取值范围【分析】 （1）推导出 是等差数列，且公差 d1，由此能证明数列a n递减数列，最大项为 a11（2）由 ，当 时，数列 是正项递增数列，此数列没有最大项，从而数列a n中就没有最小项，故 ；再由数列 是递增数列，且 a2018 是a n的
26、最小项，能求出 a1 的取值范围【解答】证明：（1）由 2 分第 14 页（共 17 页） 是等差数列，且公差 d1； 2 分当 a11 时， 1 分数列a n递减数列，最大项为 a111 分解：（2）由（1）知 ； 1 分当 时，数列 是正项递增数列，此数列没有最大项，从而数列a n中就没有最小项，故 ； 1 分由数列 是递增数列，且 a2018 是a n的最小项， 是数列 中的最大负项，2 分从而有 2 分又a 1 的取值范围是： 2 分【点评】本题考查等数列的证明，考查数列的首项的取值范围的求
27、法，考查等差数列、数列的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题20 （16 分）设抛物线 y24px（p0）的准线与 x 轴的交点为 M，过 M 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点（1）求线段 AB 中点的轨迹；（2）若线段 AB 的垂直平分线交对称轴于 N（x 0，0） ，求 x0 的取值范围；（3）若直线 l 的斜率依次取 p，p 2，p 3，p n，时，线段 AB 的垂直平分线与对称轴的交点依次为 N1，N 2，N 3，N n，当 0p1 时，求： 的值【分析】 （1）设直线 AB：y k （x+p） ，联立 y24px，利用韦达定理求解 AB 的中点为P（x
28、， y） ，求解轨迹方程，得到轨迹为该抛物线位于直线 xp 右方的两段抛物线弧（2）设 AB 的中点为 P'（x '，y '） ，求出线段 AB 的垂直平分线的方程，然后求解x03p（3）求出 AB 中点的横坐标 ，求出点 Nn 的横坐标第 15 页（共 17 页），通过数列 为一无穷递缩等比数列，求解所有项的和【解答】解：（1）设直线 AB：yk （x+p） ，联立 y24px ，得：k 2x2+（2pk 24p）x+ k2p20，（1 分）由 k0 且0 得到：0k 21（1 分）设 AB 的中点为 P（x ，y） ，则 ，（1 分）消去 k 得，y 22p（x +
29、p） （xp） （1 分）实际轨迹为该抛物线位于直线 xp 右方的两段抛物线弧（1 分）（2）设 AB 的中点为 P'（x '，y '） ，（1 分）则线段 AB 的垂直平分线的方程为： （1 分）令 y0，得 ，（2 分）由 x'p ，得 x03p（1 分）（3）x 02p+x '，由（1）知 AB 中点的横坐标 ， （1分）则当 kp n 时，点 Nn 的横坐标 ，（1 分）同理 Nn+1 的横坐标 ， ，（1 分）（1 分）数列 为一无穷递缩等比数列，所有项的和为 （2 分）【点评】本题考查数列的应用，数列求和，数列与函数以及解析几何相结合的应用，
30、考查发现问题解决问题的能力第 16 页（共 17 页）21 （18 分）已知函数 ，（1）分别求 f（f（1） ） ，f（f （2018） ）的值；（2）讨论|f（f （x ） ）|m（mR ）的解的个数；（3）若对任意给定的 t1，+ ） ，都存在唯一的 xR，满足 f（f （x） ）2a 2t2at，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）直接由分段函数求得 f（f （1） ） ，f（f （2018） ）的值；（2）求出函数 y|f（f（x） ）|的解析式并作出图象，数形结合可得|f （f（x） ）|m （m R）的解的个数；（3）由题意可得 2a2t2at 的取值必须大于 1，然后根据 a
31、 的范围分析关于 t 的二次函数的值域，从而可得实数 a 的取值范围【解答】解：（1）f（1 ）2018 1 ，f （f（1） ）1f（2018）1，f（f（2018） ）0（2） ，画图 y|f（f（x） ）| 的图象如图，由图可知，当 m0 时，方程 |f（f （x） ）|m 有 0 解；当 m0 时，方程|f（f（x） ）|m 有 2 解；当 0m1 时，方程|f（f（x） ）|m 有 4 解；当 m1 时，方程|f（f（x） ）|m 有 3 解（3）要使对任意给定的 t1，+ ） ，都存在唯一的 xR，满足 f（f （x） ）2a 2t2at，则 2a2t2at 的取值必须大于 1；即当 t1，+ ）时，2a 2t2at 的值域包含于（1，+） ；第 17 页（共 17 页）当 a0 时，2a 2t2at0，舍去；当 时， ；当 时， 0，舍去；综上所述， 【点评】本题主要考查了分段函数的应用，关键是可以把 2a2t2at 当作是一个数，然后在确定数的大小后再把它作为一个关于 t 的函数求解，是难题