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2018年上海市浦东新区高考数学三模试卷(含答案解析)

1、2018 年上海市浦东新区高考数学三模试卷一、填空题(本大题共有 12 小题,满分 54 分)只要求直接填写结果,1-6 题每个空格填对得 4 分,7-12 题每个空格填对得 5 分,否则一律得零分注:结果等价即可得分1 (4 分)直线 x+ y+10 的倾斜角的大小为     2 (4 分)已知集合 Ax| 0,B x|x22x30,xR,则 AB     3 (4 分)函数 ycos (2x+ )的单调递减区间是     4 (4 分)方程 4x+1162 x1 的解为     5 (4 分)设复数 z 满足

2、i(z+1)3+2i,则     6 (4 分)某学校高一、高二、高三共有 2400 名学生,为了调查学生的课余学习情况,拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本已知高一有 820 名学生,高二有 780名学生,则在该学校的高三应抽取     名学生7 (5 分)函数 的最小正周期 T     8 (5 分)已知甲、乙两位射手,甲击中目标的概率为 0.7,乙击中目标的概率为 0.6,如果甲乙两位射手的射击相互独立,那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击,目标被射中的概率为     9 (5 分)已知ABC 的

3、三边 a,b,c 成等比数列,a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,则 sinB+cosB 的取值范围是      10 (5 分)若不等式|x +a|2 在 x1,2时恒成立,则实数 a 的取值范围是     11 (5 分) 的值域是     12 (5 分)已知数列a n满足 ,其首项 a1a,若数列a n是单调递增数列,则实数 a 的取值范围是     二、选择题(本大题共有 4 小题,满分 20 分)每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,选对得 5 分,否则一律得零分13 (5

4、分)已知非空集合 A、B 满足 AB,给出以下四个命题:若任取 xA,则 xB 是必然事件 若 xA,则 xB 是不可能事件若任取 xB,则 xA 是随机事件 若 xB,则 xA 是必然事件其中正确的个数是(  )第 2 页(共 17 页)A1 B2 C3 D414 (5 分)正方体 ABCDA 1B1C1D1 中,E 为棱 AA1 的中点(如图) ,用过点 B、E、D 1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为(  )A BC D15 (5 分)设函数 的图象为 C,下面结论中正确的是(  )A函数 f(x)的最小正周期是 2B图象 C 关于点 对称

5、C图象 C 可由函数 g(x)sin2x 的图象向右平移 个单位得到D函数 f(x)在区间 上是增函数16 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,设定点 A(a,a) ,P 是函数 图象上一动点,若点 P,A 之间的最短距离为 ,则满足条件的实数 a 的所有值为(  )A B1 C D不存在三、解答题(本大题共有 5 小题,满分 76 分)解答下列各题必须写出必要的步骤注:其他解法相应给分17 (14 分)若 的图象的最高点都在直线 y m(m0)上,并且任意相邻两个最高点之间的距离为 (1)求 和 m 的值;第 3 页(共 17 页)(2)在ABC 中,a,b,c 分别是A,B,

6、C 的对边,若点 是函数f(x)图象的一个对称中心,且 a1,求ABC 外接圆的面积18 (14 分)在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,PD平面ABCD, PD6 (1)求四棱锥 PABCD 的体积;(2)求异面直线 PB 与 DC 所成角的大小19 (14 分)已知各项都不为零的无穷数列a n满足:a n+1an+an+1a n0;(1)证明 为等差数列,并求 a11 时数列a n中的最大项;(2)若 a2018 为数列a n中的最小项,求 a1 的取值范围20 (16 分)设抛物线 y24px(p0)的准线与 x 轴的交点为 M,过 M 作直线 l 交抛物线

7、于 A、B 两点(1)求线段 AB 中点的轨迹;(2)若线段 AB 的垂直平分线交对称轴于 N(x 0,0) ,求 x0 的取值范围;(3)若直线 l 的斜率依次取 p,p 2,p 3,p n,时,线段 AB 的垂直平分线与对称轴的交点依次为 N1,N 2,N 3,N n,当 0p1 时,求: 的值21 (18 分)已知函数 ,(1)分别求 f(f(1) ) ,f(f (2018) )的值;(2)讨论|f(f (x ) )|m(mR )的解的个数;(3)若对任意给定的 t1,+ ) ,都存在唯一的 xR,满足 f(f (x) )2a 2t2at,求实数 a 的取值范围第 4 页(共 17 页)

8、2018 年上海市浦东新区高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有 12 小题,满分 54 分)只要求直接填写结果,1-6 题每个空格填对得 4 分,7-12 题每个空格填对得 5 分,否则一律得零分注:结果等价即可得分1 (4 分)直线 x+ y+10 的倾斜角的大小为    【分析】化直线的一般式方程为斜截式,求出直线的斜率,由倾斜角的正切值等于斜率求倾斜角【解答】解:由 x+ y+10,得,直线 x+ y+10 的斜率为 ,设其倾斜角为 (0 ) ,则 , 故答案为: 【点评】本题考查直线的倾斜角,考查直线倾斜角与斜率的关系,是基础题2 (4 分)已知

9、集合 Ax| 0,B x|x22x30,xR,则 AB x|5 x1 【分析】利用分式不等式和一元二次不等式分别求出集合 A 和 B,由此能求出 AB【解答】解:集合 Ax| 0 x|5x2,B x|x22x 30,xR x|x1 或 x3,ABx| 5x 1故答案为:x|5x 1【点评】本题考查集合的交集的运算,是基础题,解题时要认真审题,注意分式不等式和一元二次不等式的合理运用3 (4 分)函数 ycos (2x+ )的单调递减区间是   第 5 页(共 17 页)【分析】根据余弦函数的单调性的性质即可得到结论【解答】解:由 2k2x+ 2k+ ,即 k xk ,k Z故函数的单

10、调减区间为 ,故答案为: 【点评】本题主要考查余弦函数的单调性的求法,要求熟练掌握三角函数的图象和性质4 (4 分)方程 4x+1162 x1 的解为 x1 【分析】直接利用指数方程,转化求解即可【解答】解:方程 4x+1162 x1 ,化为方程 22x+22 x+3,可得 2x+2x+3,解得 x1故答案为:x1【点评】本题考查函数与方程的应用,方程的解法,指数的运算法则,考查计算能力5 (4 分)设复数 z 满足 i(z+1)3+2i,则 13i 【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解:复数 z 满足 i(z+1)3+2i,ii(z+1) i(3+2i) ,化为 z+12+3i,化为

11、 z1+3i, 13i故答案为:13i【点评】本题考查了复数的运算法则,属于基础题6 (4 分)某学校高一、高二、高三共有 2400 名学生,为了调查学生的课余学习情况,拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本已知高一有 820 名学生,高二有 780名学生,则在该学校的高三应抽取 40 名学生【分析】根据题意计算高三学生人数,再计算高三应抽取的学生数【解答】解:根据题意,高三学生 2400820780800,第 6 页(共 17 页)在该学校的高三应抽取 120 40(名) 故答案为:40【点评】本题考查了分层抽样方法的应用问题,是基础题7 (5 分)函数 的最小正周期 T 【分析

12、】先利用二阶矩阵化简函数式 f(x ) ,再把函数 yf(x)化为一个角的一个三角函数的形式,然后求出它的最小正周期【解答】解:函数(sinx+cos x) (sin x+cosx)2sinxcos(x )cos2x +sin2x sin(2x+ ) ,它的最小正周期是:T 故答案为:【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法,二倍角的正弦,考查计算能力,是基础题8 (5 分)已知甲、乙两位射手,甲击中目标的概率为 0.7,乙击中目标的概率为 0.6,如果甲乙两位射手的射击相互独立,那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击,目标被射中的概率为 0.88 【分析】利用对立事件概率计算公式直接求解【解答】

13、解:甲、乙两位射手,甲击中目标的概率为 0.7,乙击中目标的概率为 0.6,甲乙两位射手的射击相互独立,甲乙两射手同时瞄准一个目标射击,目标被射中的概率为:p1(10.7) (10.6)0.88故答案为:0.88【点评】本题考查概率的求法,考查对立事件概率计算公式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题9 (5 分)已知ABC 的三边 a,b,c 成等比数列,a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,则 sinB+cosB 的取值范围是  (1, 【分析】运用等比数列的中项定义和余弦定理,结合基本不等式可得 cosB 的范围,进而得到 B 的范围,再由两角和的正弦公式

14、,结合正弦函数的图象和性质,可得所求范第 7 页(共 17 页)围【解答】解:由ABC 的三边 a,b,c 成等比数列,可得:acb 2a 2+c2 2accosB2ac2ac cosB,得 ,由 0B,故 ,可得 sinB+cosB sin(B+ ) ,由 B+ ( , ,可得 sin(B+ )( ,1 ,则 故答案为:(1, 【点评】本题考查等比中项的定义和余弦定理、基本不等式和正弦函数的图象和性质,考查运算能力,属于中档题10 (5 分)若不等式|x +a|2 在 x1,2时恒成立,则实数 a 的取值范围是 3,0 【分析】直接求出绝对值不等式的解集,利用恒成立直接求出 a 的值即可【解

15、答】解:不等式|x +a|2 可得 x2a,2a,不等式|x+ a| 2 在 x1,2时恒成立, ,解得 a3,0实数 a 的取值范围是: 3,0 故答案为:3,0【点评】本题考查绝对值不等式的解法,恒成立问题的应用,考查计算能力11 (5 分) 的值域是 (,0)2,+) 【分析】利用换元法,通过化简函数的解析式,利用基本不等式转化求解函数的最值,得到函数的值域即可【解答】解:令 ,第 8 页(共 17 页)则, ,所以值域为(,0)2,+ ) 故答案为:(,0)2,+ ) 【点评】本题考查函数的值域,函数的最值的求法,换元法以及基本不等式的应用,考查中航三鑫以及计算能力12 (5 分)已知

16、数列a n满足 ,其首项 a1a,若数列a n是单调递增数列,则实数 a 的取值范围是 (0, )(2,+)  【分析】利用数列a n是递增数列,对 a 讨论,通过第二项大于第一项,求出 a 的范围即可当 a 时,a 1 ,a 2a 32,不满足题意由此能求出实数 a 的取值范围【解答】解: ,其首项 a1a,数列a n是递增数列,a n+1a na n+ 30,则 a1+ 30,即 a+ 30,当 a0 时,解得 a(0,1) (2,+) 当 a0 时,不等式无解当 a 时,a 1 ,a 2a 32,不满足题意当 a(0, )时,取 a ,成立,当 a( ,1)时,取 a ,不成立

17、实数 a 的取值范围为:(0, )(2,+) 故答案为:(0, )(2,+) 【点评】本题考查数列的单调性,注意推出数列的第二项大于第一项,是解题的关键,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题二、选择题(本大题共有 4 小题,满分 20 分)每小题都给出四个选项,其中有且只有一个第 9 页(共 17 页)选项是正确的,选对得 5 分,否则一律得零分13 (5 分)已知非空集合 A、B 满足 AB,给出以下四个命题:若任取 xA,则 xB 是必然事件 若 xA,则 xB 是不可能事件若任取 xB,则 xA 是随机事件 若 xB,则 xA 是必然事件其中正确的个数是(  )A1

18、B2 C3 D4【分析】由集合的包含关系可得 A 中的任何一个元素都是 B 中的元素,B 中至少有一个元素不在 A 中,结合必然事件、不可能事件和随机事件的概念,即可判断正确的个数【解答】解:非空集合 A、B 满足 AB,可得 A 中的任何一个元素都是 B 中的元素,B 中至少有一个元素不在 A 中,若任取 xA,则 xB 是必然事件,故 正确;若 xA,则 xB 是可能事件,故不正确;若任取 xB,则 xA 是随机事件,故 正确;若 xB,则 xA 是必然事件,故 正确其中正确的个数为 3,故选:C【点评】本题考查集合的包含关系,以及必然事件、不可能事件和随机事件的概念和判断,考查判断能力,

19、属于基础题14 (5 分)正方体 ABCDA 1B1C1D1 中,E 为棱 AA1 的中点(如图) ,用过点 B、E、D 1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为(  )A B第 10 页(共 17 页)C D【分析】利用平面的基本性质,画出直观图,然后判断左视图即可【解答】解:由题意可知:过点 B、E、D 1 的平面截去该正方体的上半部分,如图直观图,则几何体的左视图为:D 故选:D【点评】本题考查简单几何体的三视图,是基本知识的考查15 (5 分)设函数 的图象为 C,下面结论中正确的是(  )A函数 f(x)的最小正周期是 2B图象 C 关于点 对称C图

20、象 C 可由函数 g(x)sin2x 的图象向右平移 个单位得到D函数 f(x)在区间 上是增函数【分析】根据正弦型函数的图象与性质,对选项中的命题真假性判断即可【解答】解:对于 A,函数 的最小正周期为 T ,A 错误;对于 B,x 时,f(x)sin(2 )0,其图象关于点 对称,B 正确;对于 C,f(x )sin2(x ) ,其图象可由函数 g(x)sin2x的图象向右平移 个单位得到,C 错误;对于 D,x( , )时,2x ( , ) ,第 11 页(共 17 页)函数 f(x)sin(2x )先递增后递减, D 错误;故选:B【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题,是基

21、础题16 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,设定点 A(a,a) ,P 是函数 图象上一动点,若点 P,A 之间的最短距离为 ,则满足条件的实数 a 的所有值为(  )A B1 C D不存在【分析】设 ,由 x0,则 ,分 a2、a2 两种情况求出,能求出满足条件的实数 a 的所有值【解答】解:设 ,由 x0,则 ,分两种情况:(1)当 a2 时, ,则 ;(2)当 a2 时, ,则 a1满足条件的实数 a 的所有值为: 故选:C【点评】本题考查满足条件的实数 a 的所有值的求法,考查两点间距离公式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题三、解答题(本大题共有

22、 5 小题,满分 76 分)解答下列各题必须写出必要的步骤注:其他解法相应给分17 (14 分)若 的图象的最高点都在直线 y m(m0)上,并且任意相邻两个最高点之间的距离为 (1)求 和 m 的值;(2)在ABC 中,a,b,c 分别是A,B,C 的对边,若点 是函数f(x)图象的一个对称中心,且 a1,求ABC 外接圆的面积【分析】 (1)利用二倍角的正弦函数公式化简,再由正弦函数的性质求得 和 m 的值;(2)由 是函数 f(x)图象的一个对称中心求得 A 值,再由正弦定理求得外接第 12 页(共 17 页)圆半径,则ABC 外接圆的面积可求【解答】解:(1),由题意知,函数 f(x

23、)的周期为 ,且最大值为 m,1 ,m1;(2) 是函数 f(x)图象的一个对称中心, ,又A 为ABC 的内角, ,在ABC 中,设外接圆半径为 R,由正弦定理得 ,得 ABC 的外接圆的面积 【点评】本题考查了二倍角的正弦函数公式,以及正弦定理的应用,熟练掌握公式是解本题的关键,是中档题18 (14 分)在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,PD平面ABCD, PD6 (1)求四棱锥 PABCD 的体积;(2)求异面直线 PB 与 DC 所成角的大小【分析】 (1)由底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,PD平面 ABCD,PD 6 能求出四棱锥 PABCD

24、的体积(2)由 ABDC,得PBA 就是异面直线 PB 与 DC 所成的角,由此能求出异面直线PB 与 DC 所成角的大小【解答】解:(1)在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,PD第 13 页(共 17 页)平面 ABCD,PD6四棱锥 PABCD 的体积 6 分(2)ABDC,PBA 就是异面直线 PB 与 DC 所成的角,8 分PD平面 ABCD,AB PD,又 ABAD ,ABPA,10 分在 Rt PAB 中,PA ,AB4,tanPBA ,PBAarctan ,13 分异面直线 PB 与 DC 所成角的大小为 arctan 14 分【点评】本题考查四棱锥

25、的体积的求法,考查异面直线所成角的大小的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题19 (14 分)已知各项都不为零的无穷数列a n满足:a n+1an+an+1a n0;(1)证明 为等差数列,并求 a11 时数列a n中的最大项;(2)若 a2018 为数列a n中的最小项,求 a1 的取值范围【分析】 (1)推导出 是等差数列,且公差 d1,由此能证明数列a n递减数列,最大项为 a11(2)由 ,当 时,数列 是正项递增数列,此数列没有最大项,从而数列a n中就没有最小项,故 ;再由数列 是递增数列,且 a2018 是a n的

26、最小项,能求出 a1 的取值范围【解答】证明:(1)由 2 分第 14 页(共 17 页) 是等差数列,且公差 d1;      2 分当 a11 时, 1 分数列a n递减数列,最大项为 a111 分解:(2)由(1)知 ;         1 分当 时,数列 是正项递增数列,此数列没有最大项,从而数列a n中就没有最小项,故 ; 1 分由数列 是递增数列,且 a2018 是a n的最小项, 是数列 中的最大负项,2 分从而有 2 分又a 1 的取值范围是: 2 分【点评】本题考查等数列的证明,考查数列的首项的取值范围的求

27、法,考查等差数列、数列的单调性等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题20 (16 分)设抛物线 y24px(p0)的准线与 x 轴的交点为 M,过 M 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点(1)求线段 AB 中点的轨迹;(2)若线段 AB 的垂直平分线交对称轴于 N(x 0,0) ,求 x0 的取值范围;(3)若直线 l 的斜率依次取 p,p 2,p 3,p n,时,线段 AB 的垂直平分线与对称轴的交点依次为 N1,N 2,N 3,N n,当 0p1 时,求: 的值【分析】 (1)设直线 AB:y k (x+p) ,联立 y24px,利用韦达定理求解 AB 的中点为P(x

28、, y) ,求解轨迹方程,得到轨迹为该抛物线位于直线 xp 右方的两段抛物线弧(2)设 AB 的中点为 P'(x ',y ') ,求出线段 AB 的垂直平分线的方程,然后求解x03p(3)求出 AB 中点的横坐标 ,求出点 Nn 的横坐标第 15 页(共 17 页),通过数列 为一无穷递缩等比数列,求解所有项的和【解答】解:(1)设直线 AB:yk (x+p) ,联立 y24px ,得:k 2x2+(2pk 24p)x+ k2p20,(1 分)由 k0 且0 得到:0k 21(1 分)设 AB 的中点为 P(x ,y) ,则 ,(1 分)消去 k 得,y 22p(x +

29、p) (xp) (1 分)实际轨迹为该抛物线位于直线 xp 右方的两段抛物线弧(1 分)(2)设 AB 的中点为 P'(x ',y ') ,(1 分)则线段 AB 的垂直平分线的方程为: (1 分)令 y0,得 ,(2 分)由 x'p ,得 x03p(1 分)(3)x 02p+x ',由(1)知 AB 中点的横坐标 , (1分)则当 kp n 时,点 Nn 的横坐标 ,(1 分)同理 Nn+1 的横坐标 , ,(1 分)(1 分)数列 为一无穷递缩等比数列,所有项的和为 (2 分)【点评】本题考查数列的应用,数列求和,数列与函数以及解析几何相结合的应用,

30、考查发现问题解决问题的能力第 16 页(共 17 页)21 (18 分)已知函数 ,(1)分别求 f(f(1) ) ,f(f (2018) )的值;(2)讨论|f(f (x ) )|m(mR )的解的个数;(3)若对任意给定的 t1,+ ) ,都存在唯一的 xR,满足 f(f (x) )2a 2t2at,求实数 a 的取值范围【分析】 (1)直接由分段函数求得 f(f (1) ) ,f(f (2018) )的值;(2)求出函数 y|f(f(x) )|的解析式并作出图象,数形结合可得|f (f(x) )|m (m R)的解的个数;(3)由题意可得 2a2t2at 的取值必须大于 1,然后根据 a

31、 的范围分析关于 t 的二次函数的值域,从而可得实数 a 的取值范围【解答】解:(1)f(1 )2018 1 ,f (f(1) )1f(2018)1,f(f(2018) )0(2) ,画图 y|f(f(x) )| 的图象如图,由图可知,当 m0 时,方程 |f(f (x) )|m 有 0 解;当 m0 时,方程|f(f(x) )|m 有 2 解;当 0m1 时,方程|f(f(x) )|m 有 4 解;当 m1 时,方程|f(f(x) )|m 有 3 解(3)要使对任意给定的 t1,+ ) ,都存在唯一的 xR,满足 f(f (x) )2a 2t2at,则 2a2t2at 的取值必须大于 1;即当 t1,+ )时,2a 2t2at 的值域包含于(1,+) ;第 17 页(共 17 页)当 a0 时,2a 2t2at0,舍去;当 时, ;当 时, 0,舍去;综上所述, 【点评】本题主要考查了分段函数的应用,关键是可以把 2a2t2at 当作是一个数,然后在确定数的大小后再把它作为一个关于 t 的函数求解,是难题