1、2018 年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1 （5 分）已知集合 Ax| xa，Bx|1x2且 ARB，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，1 B （，1） C2 ，+） D （2，+）2 （5 分）某人到甲、乙两市若干小区调查空置房情况，调查得到的小区空置房的套数绘成了如图的茎叶图，则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中位数之差为（ ）A4 B3 C2 D13 （5 分）在复平面内，设 z1+i（i 是虚数单位） ，则复数
2、+z2 对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4 （5 分）小明从甲地去乙地跋山涉水共走了 2500 米，其中涉水路段 x 米他不小心把手机丢在途中，若手机掉在水里，就找不到了，若不掉在水里，则能找到已知该手机能被找到的概率为 ，则涉水长度为（ ）A1750 米 B1250 米 C750 米 D500 米5 （5 分）已知双曲线与椭圆 的焦点重合，它们的离心率之和为 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）A B C D6 （5 分）满足条件 的目标函数 zx 2+y2 的最大值为（ ）第 2 页（共 26 页）A B C2 D4
3、7 （5 分）已知点 及抛物线 x24y 上一动点 P（x，y ） ，则| y|+|PQ|的最小值是（ ）A B1 C2 D38 （5 分）设函数 f（x ）a x ka x（a0 且 a1）在（，+）上既是奇函数又是减函数，则 g（x ）log a（x +k）的图象是（ ）A BC D9 （5 分）设平面 与平面 相交于直线 m，直线 a 在平面 内，直线 b 在平面 内，且bm，则“”是“ab ”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件10 （5 分）若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，则记为 Nn（mo
4、dm） ，例如104（mod6） ，如图程序框图的算法源于我国古代 孙子算经中的“孙子定理”的某一环节，执行该框图，输入 a2，b3，c5，则输出的 N（ ）第 3 页（共 26 页）A6 B9 C12 D2111 （5 分）如图，在ABC 中，D 是边 AC 上的点，且AB AD，2AB BD，BC 2BD，则 sinC 的值为（ ）A B C D12 （5 分）已知函数 f（x ） ，g（x）|A2| sinx（xR） ，若对任意的 x1、x 2R，都有 f（x 1）g（x 2） ，则实数 A 的取值范围为（ ）A B第 4 页（共 26 页）C D二、
5、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分， ）13 （5 分）平面向量 与 的夹角为 60， （2，0） ，| |1，则| +2 |等于 14 （5 分）若函数 f（x ）lnx+ax 在区间（1，2）上单调递增，则实数 a 的取值范围是 15 （5 分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为 16 （5 分）关于函数 f（x ）cos2 x2 sinxcosx，下列命题：若存在 x1，x 2 有 x1x 2 时，f （x 1）f（x 2）成立； &
6、nbsp; f（x）在区间 上是单调递增； 函数 f（x）的图象关于点 成中心对称图象； 将函数 f（x）的图象向左平移 个单位后将与 y2sin2x 的图象重合其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （12 分）等差数列a n的各项均为正数，a 13，前 n 项和为 Sn，b n为等比数列，b11，且 b2S264，b 3S3960（1）求 an 与 bn；（2）求和： 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 A
7、BCD，底面 ABCD 是菱形，BAD60， AB2，PD ，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为棱 PB 上一点（）证明：平面 EAC平面 PBD；（）若 PD平面 EAC，求三棱锥 PEAD 的体积第 5 页（共 26 页）19 （12 分）某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如所示组号 分组 频数 频率第 1 组 160，165） 5 0.050第 2 组 165，170） 0.350第 3 组 170，175） 30 第 4 组 175，180） 20 0.200第 5 组 180，185） 10 0.100合计
8、 100 1.00（1）请先求出频率分布表中、 位置的相应数据，再完成频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试，求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（3）在（2）的前提下，学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 考官进行面试，求：第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率第 6 页（共 26 页）20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： + 1（ab0）的离心率为 ，且过点 P（ ， ） （）求椭圆 C 的方程；（）过原点的直线与椭圆 C 交于 A、
9、B 两点（A，B 不是椭圆 C 的顶点） ，点 D 在椭圆C 上，且 ADAB，直线 BD 与 x 轴交于 M 点，设直线 BD，AM 斜率分别为 k1，k 2，证明存在常数 使得 k1k 2，并求出 的值21 （12 分）设 a，bR，|a|1已知函数 f（x）x 3 6x23a（a4）x +b，g（x ）e xf（x ） （）求 f（x）的单调区间；（）已知函数 yg（x ）和 ye x 的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在 xx 0 处的导数等于 0；（ii）若关于 x 的不等式 g（x）e x 在区间x 01，x 0+1上恒成立，求 b 的取值范围选做
10、题：第 22、23 题为选做题，考生只能选做一题，如果多做，则按所做的第一题计分请先用 2B 铅笔填涂选做的试题号对应的信息点，并将选做的题号填写在括号内再作答选修44：坐标与参数方程22 （10 分）已知曲线 C1 的极坐标方程为 4cos，曲线 C2 的方程是 4x2+y24，直线 l的参数方程是： （t 为参数） （I）求曲线 C1 的直角坐标方程，直线 l 的普通方程；（）求曲线 C2 上的点到直线 l 距离的最小值选修 45：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x 2a |+|x+ |第 7 页（共 26 页）（1）当 a1 时，求不等式 f（x ）4 的解集；（2）若不等式 f（x
11、 ）m 2m +2 对任意实数 x 及 a 恒成立，求实数 m 的取值范围第 8 页（共 26 页）2018 年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1 （5 分）已知集合 Ax| xa，Bx|1x2且 ARB，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，1 B （，1） C2 ，+） D （2，+）【分析】由 Bx|1 x 2 ，得 RB ，由 ARB，得 a1，得解【解答】解：因为 Bx|1 x2 ，所以 RB ，由 Ax|xa，且 ARB，得
12、 a1，故选：B【点评】本题考查了集合的包含关系及其运算，补集的运算，属简单题2 （5 分）某人到甲、乙两市若干小区调查空置房情况，调查得到的小区空置房的套数绘成了如图的茎叶图，则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中位数之差为（ ）A4 B3 C2 D1【分析】由茎叶图写出甲、乙组数据的中位数，计算它们的差即可【解答】解：由茎叶图知，甲组数据从小到大依次为60，73，74，79，81，82，87，91，中位数是 （79+81）80；乙组数据从小到大依次为69，74，75，76，82，83，90，中位数是 76；甲、乙两组数据的中位数之差为 80764故选：A第 9 页（
13、共 26 页）【点评】本题考查了利用茎叶图求中位数的应用问题，是基础题3 （5 分）在复平面内，设 z1+i（i 是虚数单位） ，则复数 +z2 对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】根据复数的四则运算进行化简，结合复数的几何意义即可得到结论【解答】解：z1+ i， +z2 +（1+i） 2 1i+2i 1+i ，对应的点为（1，1） ，位于第一象限，故选：A【点评】本题主要考查复数的几何意义，利用复数的基本运算进行化简是解决本题的关键4 （5 分）小明从甲地去乙地跋山涉水共走了 2500 米，其中涉水路段 x 米他不小心把手机丢在途中，若手机掉在
14、水里，就找不到了，若不掉在水里，则能找到已知该手机能被找到的概率为 ，则涉水长度为（ ）A1750 米 B1250 米 C750 米 D500 米【分析】设涉水路段 x 米，根据几何概型的概率公式列方程计算【解答】解：设涉水长度为 x 米，则手机被找到的概率 P ，解得 x750故选：C【点评】本题考查了几何概型的应用，属于基础题5 （5 分）已知双曲线与椭圆 的焦点重合，它们的离心率之和为 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）A B C D【分析】求出椭圆的焦点坐标和离心率，进而求得双曲线离心率，根据离心率和焦点坐标建立方程组，求得 a 和 b，则双曲线的渐近线方程即可【解
15、答】解：椭圆 ，第 10 页（共 26 页）焦点为（4，0） ， （4，0） ，离心率 e ，双曲线离心率为 2，设双曲线中 c4，可得 a2，可得 b2 ，故双曲线的渐近线方程为：y 故选：D【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质，双曲线的渐近线方程考查了学生对双曲线和椭圆基本知识的掌握6 （5 分）满足条件 的目标函数 zx 2+y2 的最大值为（ ）A B C2 D4【分析】由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值【解答】解：由已知得到可行域如图：目标函数 zx 2+y2 的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方的最大值，由图得知，A 是距离原点最远的点，由得到 A（
16、0，2） ，所以目标函数 zx 2+y2 的最大值为 02+224；故选：D【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是解答此类题目的关键7 （5 分）已知点 及抛物线 x24y 上一动点 P（x，y ） ，则| y|+|PQ|的最小第 11 页（共 26 页）值是（ ）A B1 C2 D3【分析】抛物线的准线是 y1，焦点 F（0，1） 设 P 到准线的距离为 d，利用抛物线的定义得出：y+| PQ|d 1+|PQ| PF|+|PQ|1| FQ|1，利用当且仅当 F、Q、P 共线时取最小值，从而得出故 y+|PQ|的最小值【解答】解：抛物线
17、x24y 的准线是 y1，焦点 F（0， 1） 设 P 到准线的距离为 d，则y+|PQ|d1+|PQ| PF|+|PQ|1| FQ|1312（当且仅当 F、Q、P 共线时取等号）故 y+|PQ|的最小值是 2故选：C【点评】本小题主要考查抛物线的定义、不等式的性质等基础知识，考考查数形结合思想、化归与转化思想，解答关键是合理利用定义，属于中档题8 （5 分）设函数 f（x ）a x ka x（a0 且 a1）在（，+）上既是奇函数又是减函数，则 g（x ）log a（x +k）的图象是（ ）A BC D【分析】由函数 f（x ）a x ka x， （a0，a1）在（，+）上既是奇
18、函数，又是减函数，则由复合函数的性质，我们可得 k1，0a1，由此不难判断函数的图象【解答】解f（x ）a x kax（a0，a1）在 R 上是奇函数，f（0）1k 0，第 12 页（共 26 页）k1，又f（x）a xa x 为减函数，0a1，g（x）log a（x+1） ，定义域为 x|x1，且是减函数，故选：D【点评】若函数在其定义域为为奇函数，则 f（x ）+f（ x）0，若函数在其定义域为为偶函数，则 f（x ）f（x）0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数减函数增函数也是解决本题的关键9 （5 分）设平面 与平面 相交于直线 m，直线 a
19、在平面 内，直线 b 在平面 内，且bm，则“”是“ab ”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论【解答】解：bm，当 ，则由面面垂直的性质可得 ab 成立，若 ab，则 不一定成立，故“ ”是“ab”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键10 （5 分）若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，则记为 Nn（modm） ，例如104（mod6） ，如图程序框图的算法源于我国古代 孙子算经中的“孙子定理”
20、的某一环节，执行该框图，输入 a2，b3，c5，则输出的 N（ ）第 13 页（共 26 页）A6 B9 C12 D21【分析】模拟运行程序，可得程序的作用是先求 2，3 的最小公倍数，再除以 5，余数为2，即可得出结论【解答】解：模拟运行程序，可得程序的作用是先求 2，3 的最小公倍数，再除以 5，余数为 2，故 N12，故选：C【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确理解每次循环得到的 mod（n，i）的值是解题的关键，属于基础题11 （5 分）如图，在ABC 中，D 是边 AC 上的点，且AB AD，2AB BD，BC 2BD，则 sinC 的值为（ ）第
21、14 页（共 26 页）A B C D【分析】设 BDa，则由题意可得： BC2a，ABAD a，利用余弦定理表示出cosA，把三边长代入求出 cosA 的值，进而确定出 sinA 的值，由 AB，BC ，以及 sinA 的值，利用正弦定理求出 sinC 的值即可【解答】解：设 BDa，则由题意可得： BC2a，ABAD a，在ABD 中，由余弦定理得：cosA ，sinA ，在ABC 中，由正弦定理得， ，即 ，解得：sinC ，故选：D【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键12 （5 分）已知函数 f（x ） ，g（x）|A2| sinx
22、（xR） ，若对任意的 x1、x 2R，都有 f（x 1）g（x 2） ，则实数 A 的取值范围为（ ）A BC D【分析】对任意的 x1、x 2R，都有 f（x 1）g（x 2） f（ x） maxg（x） min，分别求出最值即可得出【解答】解：对任意的 x1、x 2R，都有 f（x 1）g（x 2）f（x） maxg（x） min，注意到 ，又 g（x）| A2|sin x |A2|，故 第 15 页（共 26 页）故选：C【点评】本题考查了函数的单调性、等价转化方法、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（本大题共 4 小题，每小题
23、 5 分，满分 20 分， ）13 （5 分）平面向量 与 的夹角为 60， （2，0） ，| |1，则| +2 |等于 2 【分析】由题设条件先求出向量 的模，再由数量积运算公式求出| +2 |的值【解答】解： （2，0） ，| |1，| +2 | ，又平面向量 与 的夹角为 60，| |1，| +2 | 2 ，故答案为：2 【点评】本题考查向量的数量积的运算性质及向量的数量积的定义，属于基本运算题14 （5 分）若函数 f（x ）lnx+ax 在区间（1，2）上单调递增，则实数 a 的取值范围是 ） 【分析】求出函数的导数，问题转化为则 +a0 在区间（1，2）恒成
24、立，求出 a 的范围即可【解答】解：f（x ）lnx +ax， （x0） ，f（x） +a，若函数 f（x） lnx+ax 在区间（1，2）上单调递增，则 +a0 在区间（1，2）恒成立，即 a ，故答案为： ） 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的性质，属于基础题15 （5 分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为 第 16 页（共 26 页）【分析】正四棱锥 PABCD 的外接球的球心在它的高 PE 上，求出球的半径，求出球的表面积【解答】解：如图，正四棱锥 PABCD 中，PE 为正四棱锥的高
25、，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心 O 必在正四棱锥的高线 PE 所在的直线上，延长 PE 交球面于一点 F，连接 AE，AF，由球的性质可知PAF 为直角三角形且 AEPF，根据平面几何中的射影定理可得 PA2PFPE ，因为 ，所以侧棱长 ，PF2R，所以 182R4，所以 R ，所以 S4R 2故答案为：【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题16 （5 分）关于函数 f（x ）cos2 x2 sinxcosx，下列命题：若存在 x1，x 2 有 x1x 2 时，f （x 1）f（x 2）成立； f（x）在区间 上是单调
26、递增； 函数 f（x）的图象关于点 成中心对称图象； 将函数 f（x）的图象向左平移 个单位后将与 y2sin2x 的图象重合其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）【分析】根据二倍角公式，可化简函数的解析式为正弦型函数的形式，根据函数的周期第 17 页（共 26 页）性可判断 ；根据函数的单调性可判断 ；根据函数的对称性可判断 ；根据函数图象的变换法则可判断【解答】解：函数 2sin（2x+ ）由 2 ，故函数的周期为 ，故 x1x 2 时，f（x 1）f（x 2）成立，故正确；由 2x+ +2k， +2k得，x +k， +k（
27、kZ ） ，故 ， 是函数的单调增区间，区间 应为函数的单调减区间，故错误；当 x 时，f（x）0，故点 是函数图象的对称中心，故正确；函数 f（x）的图象向左平移 个单位后得到函数的解析式为 f（x）2sin2（x+ ）+ 2sin （2x+ ） ，故错误故答案为：【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了三角函数的图象和性质，熟练掌握三角函数的图象和性质是解答的关键三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （12 分）等差数列a n的各项均为正数，a 13，前 n 项和为 Sn，b n为等比数列，b11，且 b2S264，b 3S3960（1）求 an 与 bn；（2）求和：
28、 【分析】 （1）设a n的公差为 d，b n的公比为 q，由题设条件建立方程组，解这个方程组得到 d 和 q 的值，从而求出 an 与 bn（2）由 Snn（n+2） ，知 ，由此可求出的值【解答】解：（1）设a n的公差为 d，b n的公比为 q，则 d 为正整数，an3+（n1）d，b nq n1第 18 页（共 26 页）依题意有 解得 ，或 （舍去）故 an3+2（n1）2n+1 ，b n8 n1（2）S n3+5+（2n+1）n（n+2）【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，底面 ABCD
29、是菱形，BAD60， AB2，PD ，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为棱 PB 上一点（）证明：平面 EAC平面 PBD；（）若 PD平面 EAC，求三棱锥 PEAD 的体积【分析】 （）由已知得 AC PD，ACBD ，由此能证明平面 EAC平面 PBD（）由已知得 PDOE，取 AD 中点 H，连结 BH，由此利用，能求出三棱锥 PEAD 的体积【解答】 （）证明：PD 平面 ABCD，AC平面 ABCD，第 19 页（共 26 页）ACPD四边形 ABCD 是菱形，ACBD ，又PDBD D，AC平面 PBD而 AC平面 EAC，平面 EAC平面 PBD（）解：PD平面 EAC，平
30、面 EAC平面 PBDOE，PDOE ，O 是 BD 中点，E 是 PB 中点取 AD 中点 H，连结 BH，四边形 ABCD 是菱形，BAD60，BHAD ，又 BHPD，ADPDD，BH平面 PAD， 【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19 （12 分）某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如所示组号 分组 频数 频率第 1 组 160，165） 5 0.050第 2 组 165，170） 0.350第 3 组 170，175） 30 第 4 组 175
31、，180） 20 0.200第 20 页（共 26 页）第 5 组 180，185） 10 0.100合计 100 1.00（1）请先求出频率分布表中、 位置的相应数据，再完成频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试，求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（3）在（2）的前提下，学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 考官进行面试，求：第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率【分析】 （1）由频率分布直方图能求出第 2 组的频数，第 3 组的频率，从而完成频率分布直方
32、图（2）第 3、4、5 组共有 60 名学生，由此利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生进入第二轮面试，能求出第 3、4、5 组分别抽取进入第二轮面试的人数（3）设第 3 组的 3 位同学为 A1，A 2，A 3，第 4 组的 2 位同学为 B1，B 2，第 5 组的 1 位同学为 C1，利用列举法能出从这六位同学中抽取两位同学，第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率【解答】解：（1）由题可知，第 2 组的频数为 0.3510035 人，第 3 组的频率为 0.300，频率分布直方图如图所示，第 21 页（共 26 页）（4 分）（2）因为第 3、4、5 组共有 60 名学生，
33、所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：第 3 组： 63 人，第 4 组： 62 人，第 5 组： 61 人，所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人进入第二轮面试 （7 分）（3）设第 3 组的 3 位同学为 A1，A 2，A 3，第 4 组的 2 位同学为 B1，B 2，第 5 组的 1 位同学为 C1，则从这六位同学中抽取两位同学有 15 种选法，分别为：（A 1，A 2） ， （A 1，A 3） ， （A 1，B 1） ， （A 1，B 2） ， （A 1，C 1） ， （A 2，A 3） ， （A 2，B 1） ，（A
34、2，B 2） ，（A 2，C 1） ， （A 3，B 1） ， （A 3，B 2） ， （A 3，C 1） ， （B 1，B 2） ， （B 1，C 1） ， （B 2，C 1） ，其中第 4 组的 2 位同学 B1，B 2 中至少有一位同学入选的有 9，分别为：（A 1，B 1） ， （A 1，B 2） ， （A 2，B 1） ， （A 2，B 2） ， （A 3，B 1） ， （A 3，B 2） ， （B 1，B 2） ，（B 1，C 1） ， （B 2，C 1） ，第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率为 （12 分）【点评】本题考查频率分直方图、分层抽样的应用，考查概率的求法，
35、考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： + 1（ab0）的离心率为 ，第 22 页（共 26 页）且过点 P（ ， ） （）求椭圆 C 的方程；（）过原点的直线与椭圆 C 交于 A、B 两点（A，B 不是椭圆 C 的顶点） ，点 D 在椭圆C 上，且 ADAB，直线 BD 与 x 轴交于 M 点，设直线 BD，AM 斜率分别为 k1，k 2，证明存在常数 使得 k1k 2，并求出 的值【分析】 （）利用所给条件的方程组，解得 a，b，可得椭圆方程；（）设点的坐标，直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数
36、关系，得到斜率之间的关系，得解【解答】解：（）由题意，e ，a2b 2c 2，则 a24b 2，由椭圆过点（ ） ，得 ，由解得 a2，b1，故椭圆方程为： ；（）证明：设 A（x 1，y 1） ， D（x 2，y 2） ，则 B（x 1， y1） ，直线 AB 的斜率为 ，ABAD ，AD 的斜率 ，设直线 AD 的方程为：ykx+m，k0，m 0，与椭圆方程联立消去 y 得：（1+4k 2）x 2+8kmx+4m240， ，y1+y2k（x 1+x2）+2 m第 23 页（共 26 页） ，可得直线 BD 的斜率 ；故直线 BD 的方程为：，令 y0，得 x3x 1，即 M（3x 1，0）
37、 ，AD 的斜率 ，即 ，故存在常数 ，使得结论成立【点评】此题考查了椭圆方程，直线与圆锥曲线的综合应用，难度较大21 （12 分）设 a，bR，|a|1已知函数 f（x）x 3 6x23a（a4）x +b，g（x ）e xf（x ） （）求 f（x）的单调区间；（）已知函数 yg（x ）和 ye x 的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在 xx 0 处的导数等于 0；第 24 页（共 26 页）（ii）若关于 x 的不等式 g（x）e x 在区间x 01，x 0+1上恒成立，求 b 的取值范围【分析】 （）求出函数 f（x）的导函数，得到导函数的零点，由导函数
38、的零点对定义域分段，列表后可得 f（x ）的单调区间；（） （i）求出 g（x ）的导函数，由题意知 ，求解可得 得到 f（x）在 xx 0 处的导数等于 0；（ii）由（I）知 x0a且 f（ x）在（a1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当 x0a 时，f（x）f（a ）1 在a1，a+1上恒成立，从而 g（x）e x 在x01， x0+1上恒成立由 f（a）a 36a 23a（a4） a+b1，得b2a 36a 2+1，1a1构造函数 t（x ）2x 36x 2+1，x1，1，利用导数求其值域可得 b 的范围【解答】 （）解：由 f（x ）x 36x 23a（a4）x+b，
39、可得 f'（x）3x 212x3a（a4）3（x a） （x（4a） ） ，令 f'（x）0，解得 xa，或 x4a由|a| 1，得 a 4a当 x 变化时，f'（x） ，f（x ）的变化情况如下表：x （，a） （a，4a） （4a，+）f'（ x） + +f（x） f（x）的单调递增区间为（，a） ， （4a，+） ，单调递减区间为（a，4a） ；（） （i）证明：g'（x ）e x（f（x）+f '（x ） ） ，由题意知 ， ，解得 f（x）在 xx 0 处的导数等于 0；（ii）解：g（x）e x，x x01，x 0+1，由 ex0，可
40、得 f（x）1又f（x 0） 1，f'（x 0）0 ，第 25 页（共 26 页）故 x0 为 f（x）的极大值点，由（I）知 x0a另一方面，由于|a| 1，故 a+14a，由（）知 f（x ）在（a1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当 x0a 时，f（x）f（a ）1 在a1，a+1上恒成立，从而 g（x）e x 在x01， x0+1上恒成立由 f（a）a 36a 23a（a 4）a+b1，得 b2a 36a 2+1，1a1令 t（x）2x 36x 2+1，x 1，1，t'（x）6x 212x，令 t'（x）0，解得 x2（舍去） ，或 x0t（1）
41、7，t（1）3，t（0）1，故 t（x）的值域为7，1 b 的取值范围是7，1【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用研究过曲线上某点处的切线方程，训练了恒成立问题的求解方法，体现了数学转化思想方法，是压轴题选做题：第 22、23 题为选做题，考生只能选做一题，如果多做，则按所做的第一题计分请先用 2B 铅笔填涂选做的试题号对应的信息点，并将选做的题号填写在括号内再作答选修44：坐标与参数方程22 （10 分）已知曲线 C1 的极坐标方程为 4cos，曲线 C2 的方程是 4x2+y24，直线 l的参数方程是： （t 为参数） （I）求曲线 C1 的直角坐标方程，直线 l 的普通方
42、程；（）求曲线 C2 上的点到直线 l 距离的最小值【分析】 （）利用转换关系把参数方程，极坐标方程和直角坐标方程进行转化（）直接利用点到直线的距离和三角函数关系式的恒等变换求出最小值【解答】解：（）曲线 C1 的极坐标方程为 4cos，转化为直角坐标方程为：x 2+y24x 直线 l 的参数方程是： （t 为参数） 转化为直角坐标方程为：xy+2 （）曲线 C2 的方程是 4x2+y24，整理得 ，第 26 页（共 26 页）转化为参数方程为： （ 为参数） 所以点 P（cos，2sin ）到直线 xy2 0，的距离：d ，当 sin（+）1 时， 【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐
43、标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换选修 45：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x 2a |+|x+ |（1）当 a1 时，求不等式 f（x ）4 的解集；（2）若不等式 f（x ）m 2m +2 对任意实数 x 及 a 恒成立，求实数 m 的取值范围【分析】 （1）当 a1 时，分类讨论，求不等式 f（x ）4 的解集；（2）f（x） |x2a|+|x+ |2a+ |2a|+| | ，利用不等式 f（x）m 2m +2对任意实数 x 及 a 恒成立，求实数 m 的取值范围【解答】解：（1）当 a1 时，不等式 f（x ）4 为|x2|+|x+1|4x1 时，不等式可化为（x2）（x +1）4，解得 x ，x ；1x2 时，不等式可化为（x2）+（x +1）4，不成立；x2 时，不等式可化为（x 2）+（x +1）4，解得 x ，x ；综上所述，不等式的解集为x|x 或 x ；（2）f（x） |x2a|+|x+ |2a+ |2a|+| | ，不等式 f（x） m2m +2 对任意实数 x 及 a 恒成立，2 m2m+2 ，0m1【点评】本题主要考查绝对值的意义，带由绝对值的函数，函数的恒成立问题，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题