1、2018 年上海市浦东新区华师大二附中高考数学三模试卷一、填空题1设 xR，则不等式 0 的解集为 2f（x） 的反函数为 f1 （x） 3已知向量 ， ，则| | 4已知无穷等比数列a n的各项的和是 3，首项 a12，则其公比 q 5如果双曲线 的焦点在 y 轴上，焦距为 8，则实数 m 6方程 1og5（x+1） （x3）1 的解为 x 7在（ + ） 6 的二项展开式中，常数项等于 8已知圆锥
2、的高与底面直径均与球的直径相等，则圆锥与球的体积之比为 9已知 a，bC，集合a，b a 2，b+1，则 ab 10沙沙从写有数字 05 的 6 枚卡片中不放回地抽取 3 张并进行如下操作：若 3 张卡片中不含写 0 的那张，则记录这 3 张卡片上数字的平均值；若 3 张卡片中含有写 0 的那张，则记录 3 张卡片上数字之和，那么他在抽取一次之后，记录的数等于 3 的概率为 （结果用最简分数表示） 11已知ABC 中，BC5，CA 6，AB4，P 是ABC 内一点，使得5 +3 + ，设 PD 垂直 BC 于
3、D，PE 垂直 CA 于 E，则 12若函数 ya 在区间1，4 上的最小值是 4，实数 a 的取值范围是 二、选择题13已知平面直角坐标系中不垂直于 x 轴的直线 l，则“l 的斜率等于 k”是“l 的倾斜角等于 arctank”的（ ）A充要条件 B充分非必要条件C必要非充分条件 D既非充分又不必要条件14设常数 aR，集合 Ax|（x1） （x a）0 ，Bx|xa1，若 ABR，则 a的取值范围为（ ）第 2 页（共 17 页）A （，2） B （，2 C （2，+） D2 ，+）15方程 xln3+xln
4、4x ln5 正实数解的个数为（ ）A0 个 B1 个 C3 个 D多于 3 个16某作图软件的工作原理如下：给定 （0，0.01） ，对于函数 yf（x） ，用直线段连接各点（n，f（n） ） （ ，n Z） ，所得图形作为 yf（x）的图象因而，该软件所绘 y sin（2001x ）与 ysin x 的图象完全重合，若其所绘 ycos（ x）与ycosx 的图象也重合，则 不可能等于（ ）A1999 B1001 C999 D101三、解答题17如图，已知正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AB2，AA 14，M 是 C1A1 的中点（1）求四面体 MA1AB 的体积
5、；（2）求异面直线 MB 与 AA1 所成角的大小18设 a，b0，函数 f（x ）a x+bx（1）若 f（x）是偶函数，求 ab 的值；（2）若 b2，求 f（x +1）f（x）时 x 的取值范围（用 a 表示） 19如图，某校机器人社团需要制作一种四边形零件 ABCD，要求A90，BDC30，AD 长 10 厘米， DC 长 20 厘米（1）若ADB65，求 BC 的长（结果精确到 0.01 厘米） ；（2）若要求CADC，求 CBD 的大小（结果精确到 1） 第 3 页（共 17 页）20已知 P（t，t 2） （t0）是抛物线 yx 2 上一点，过原点 O 作直线 OP 的垂线 l，
6、设点 A的坐标为（0，a） ，其中 a（0，1直线 PA 交 l 于点 Q（1）当 t1 时，求原点 O 到直线 PA 的距离（用 a 表示） ；（2）若当 P 在抛物线上运动时，Q 点的轨迹经过点（ ） ，求 a 的值21设 mN*，若无穷数列x n满足：对所有整数 1d2m1，都成立 x2md x d，则称xn“m折叠数列”（1）求所有的实数 q，使得通项公式为 xnq n（nN*）的数列x n是 3 折叠数列；（2）给定常数 PN*，是否存在数列x n，使得对所有 mN*，x n都是 pm折叠数列，且x n的各项中恰有 P+1 个不同的值？证明你的结论；（3）设递增数列a i满足 aiN
7、*（i N*） 已知如果对所有 mN*，x n都是 am折叠数列，则x n的各项中至多只有 k 个不同的值，证明： 第 4 页（共 17 页）2018 年上海市浦东新区华师大二附中高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题1设 xR，则不等式 0 的解集为 （1，3） 【分析】不等式 可化为： ，或 ，解得答案【解答】解：若 ，则 ，或 ，解得：（1，3） ；故答案为：（1，3）【点评】本题考查的知识点是分式不等式的解法，将其转化为整式不等式组，是解答的关键2f（x） 的反函数为 f1 （x） 【分析】先把 y 当已知，反解 x ，然后 x 与 y 对调，即得【解答
8、】解：设 y ，则 x ，f（x）的反函数 f1 （x ） ，故答案为：【点评】本题考查了反函数的求法属基础题3已知向量 ， ，则| | 13 【分析】先求出向量 （4，3，12） ，由此能求出| |【解答】解：向量 ， ， （4，3，12） ，| | 13故答案为：13【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量的坐标运算法则等基础知识，考查运算求第 5 页（共 17 页）解能力，是基础题4已知无穷等比数列a n的各项的和是 3，首项 a12，则其公比 q 【分析】根据题意，由等比数列的前 n 项和公式可得 3，解可得 q 的值，即可得答案【解答】解：无穷等比数列a n
9、的各项的和是 3，必有|q|1，又由首项 a12，则有 3，解可得：q ，故答案为： 【点评】本题考查无穷等比数列的前 n 项和的计算，关键掌握等比数列的前 n 项和公式，属于基础题5如果双曲线 的焦点在 y 轴上，焦距为 8，则实数 m 4 【分析】将双曲线的标准方程，焦点在 y 轴上，焦距为 8，列出方程，即可得到结论【解答】解：由题意，双曲线 的焦点在 y 轴上，焦距为 8，则m3m16，m4故答案为：4【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质，属于基础题6方程 1og5（x+1） （x3）1 的解为 x x 4 【分析】先由对数的运算法则将等式左侧转化为 log5（x+1）
10、（x3），只要真数相等即可还要注意到对数函数的定义域【解答】解：log 5（x+1） （x3） 1log 55第 6 页（共 17 页） 解得 x4故答案为：x4【点评】本题考查对数方程的求解、对数函数的定义域和对数的运算法则，属基本运算的考查7在（ + ） 6 的二项展开式中，常数项等于 【分析】利用二项展开式的通项公式，即可求出展开式的常数项【解答】解：（ + ） 6 的二项展开式中，通项公式为 Tr+1 ，令 6 0，解得 r4，展开式的常数项为 T5 故答案为： 【点评】本题考查了二项式展开式应用问题，是基础题8已知圆锥的高与底面直径均与球的直径相等，则圆锥与
11、球的体积之比为 1：2 【分析】设出球的半径，根据条件求出圆锥的体积，球的体积，求出体积之比【解答】解：设球的半径为 r，所以圆锥的体积为： r22r r3球的体积： r3圆锥与球的体积之比是：1：2故答案为：1：2【点评】本题考查圆锥的体积，球的体积，考查计算能力，是基本知识的考查9已知 a，bC，集合a，b a 2，b+1，则 ab 1 【分析】根据a，ba 2，b+1，得到两个集合元素之间的关系，解方程即可求得 a值【解答】解：a，ba 2，b+1； ；第 7 页（共 17 页）解得 或ab1故答案为：1【点评】本题考查了集合相等的条件，考查了复数的运算，是基础题10沙沙从写有数字 05
12、 的 6 枚卡片中不放回地抽取 3 张并进行如下操作：若 3 张卡片中不含写 0 的那张，则记录这 3 张卡片上数字的平均值；若 3 张卡片中含有写 0 的那张，则记录 3 张卡片上数字之和，那么他在抽取一次之后，记录的数等于 3 的概率为 （结果用最简分数表示） 【分析】基本事件总数 n 20，利用列举法求出他在抽取一次之后，记录的数等于3 包含的基本事件有 4 个，由此能求出他在抽取一次之后，记录的数等于 3 的概率【解答】解：从写有数字 05 的 6 枚卡片中不放回地抽取 3 张，基本事件总数 n 20，若 3 张卡片中不含写 0 的那张，则记录这 3 张卡片上数字的平均值
13、；若 3 张卡片中含有写 0 的那张，则记录 3 张卡片上数字之和，他在抽取一次之后，记录的数等于 3 包含的基本事件有：（1，2，6） ， （1，3，5） ， （2，3，4） ， （0，1，2） ，共 4 个，他在抽取一次之后，记录的数等于 3 的概率 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题11已知ABC 中，BC5，CA 6，AB4，P 是ABC 内一点，使得5 +3 + ，设 PD 垂直 BC 于 D，PE 垂直 CA 于 E，则 【分析】以 C 为坐标原点，以 CB 所在直线为 x 轴建立平面直角
14、坐标系，求得 A，B 的坐标，设 P（m，n） ，结合 5 +3 + 求得 P 的坐标，再由数量积为 0 求解 ，则 可求【解答】解：以 C 为坐标原点，以 CB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图，第 8 页（共 17 页）在ABC 中，由 BC5，CA 6，AB4，得 cos ，sin ，C（0，0） ，B（5，0） ，A（ ， ） ，设 P（m，n） ，则 ， ，由 5 +3 + ，得 ，即 P（ ） 设 ，则 ，由 0，得 （ ， ） ，而 ， （ ， ）（0， ） 故答案为： 【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查计算能力，利用坐标法求解是关键，属难题12若函数 y
15、a 在区间1，4 上的最小值是 4，实数 a 的取值范围是 4.5，+） 【分析】运用对勾函数的单调性，求得 yx+ 的最小值为 4，最大值为 5，再由最值的取得在顶点或区间的端点处取得，分别计算可得 a 的取值范围第 9 页（共 17 页）【解答】解：由 yx + 在1，2）递减，2，4 递增，可得 yx+ 的最小值为 4，最大值为 5，函数 ya 的最值在顶点或区间的端点处取得，若 f（1）取得最小值 4，即 a|5 a|4，可得 a4.5，即有 f（x）4.5 |x + 4.5|，且此时 f（1）f（2） f（4）取得最小值，成立；若 f（2）取得最小值 4，即 a|4 a|4，即有 a
16、4；此时 f（1）a|a5| ，f（4）a|a5|，f （2）4，由 f（2）f （1） ，解得a4.5；当 f（4）取得最小值 4，即 a|5 a|4，解得 a4.5，成立综上可得 a 的范围是4.5，+） 故答案为：4.5，+） 【点评】本题考查函数的最值求法，注意运用分类讨论思想方法，以及最值求得的位置，考查运算能力和推理能力，属于中档题二、选择题13已知平面直角坐标系中不垂直于 x 轴的直线 l，则“l 的斜率等于 k”是“l 的倾斜角等于 arctank”的（ ）A充要条件 B充分非必要条件C必要非充分条件 D既非充分又不必要条件【分析】由反正切函数的值域及充分必要条件的
17、判定得答案【解答】解：当 k0 时，由 l 的斜率等于 k，可得 l 的倾斜角等于 arctank，当 k0 时，由 l 的斜率等于 k，可得 l 的倾斜角等于 arctank，反之，l 的倾斜角等于 arctank，则直线 l 的斜率为 tan（arctank）k“l 的斜率等于 k”是“l 的倾斜角等于 arctank”的必要非充分条件故选：C【点评】本题考查反三角函数的值域，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题14设常数 aR，集合 Ax|（x1） （x a）0 ，Bx|xa1，若 ABR，则 a的取值范围为（ ）A （，2） B （，2 C （2，+） D2 ，+）第 10
18、 页（共 17 页）【分析】当 a1 时，代入解集中的不等式中，确定出 A，求出满足两集合的并集为 R时的 a 的范围；当 a1 时，易得 AR，符合题意；当 a1 时，同样求出集合 A，列出关于 a 的不等式，求出不等式的解集得到 a 的范围综上，得到满足题意的 a 范围【解答】解：当 a1 时，A（，1 a，+） ，Ba1，+） ，若 ABR，则 a11，1a2；当 a1 时，易得 AR，此时 ABR；当 a1 时，A（，a 1，+） ，Ba1，+） ，若 ABR，则 a1a，显然成立，a1；综上，a 的取值范围是（，2故选：B【点评】此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒成立的
19、条件，熟练掌握并集的定义是解本题的关键15方程 xln3+xln4x ln5 正实数解的个数为（ ）A0 个 B1 个 C3 个 D多于 3 个【分析】运用对数的运算性质先证 alogbcc logba，可得原方程为 3lnx+4lnx5 lnx，x0，可得（ ） lnx+（ ） lnx1，再由复合函数的单调性和指数函数、对数函数的单调性，即可得到解的个数【解答】解：先证 alogbcc logba，可令 alogbcm ，c logban，两边取 b 为底的对数，可得logbmlog bclogba，log bn logbalogbc，则 logbmlog bn，可得 mn，即
20、alogbcc logba，则 xln3+xln4x ln5 即为 3lnx+4lnx5 lnx，x0，可得（ ） lnx+（ ） lnx1，由于 y（ ） lnx，y（ ） lnx 在 R 上递减，可得 y（ ） lnx+（ ） lnx 在 R 上递减，第 11 页（共 17 页）又 lnx2 时，即 xe 2 时，有（ ） 2+（ ） 21，则原方程的解有且只有一个故选：B【点评】本题考查方程的解的个数，注意运用对数的运算性质和换元法、复合函数的单调性，考查运算能力，属于中档题16某作图软件的工作原理如下：给定 （0，0.01） ，对于函数 yf（x） ，用直线段连接各点（n，f（n） ）
21、 （ ，n Z） ，所得图形作为 yf（x）的图象因而，该软件所绘 y sin（2001x ）与 ysin x 的图象完全重合，若其所绘 ycos（ x）与ycosx 的图象也重合，则 不可能等于（ ）A1999 B1001 C999 D101【分析】依题意，该软件所绘 ysin （2001x）与 ysin x 的图象完全重合，说明给定的 恰好为 ysin（2001x）周期 的 k（kN *）倍故要想满足 ycos （x）与ycosx 的图象也重合，只须验证， 是否为 的 k（kN *）倍即可【解答】解：给定 （0， 0.01） ，若其所绘 ycos （x ）与 ycosx 的图象
22、也重合，则 k （0，0.01） ，故 628，故选：D【点评】本题难点在于将软件所绘 ysin （2001x）与 ysinx 的图象完全重合转化为 为函数 ysin（2001x）周期的整数倍属于中档题三、解答题17如图，已知正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AB2，AA 14，M 是 C1A1 的中点（1）求四面体 MA1AB 的体积；（2）求异面直线 MB 与 AA1 所成角的大小第 12 页（共 17 页）【分析】 （1）取 AC 的中点 G，可得 BG平面 ACC1A1，则四面体 MA1AB 的体积 V即可计算（2）接 MG，则有 AA1MG，则BMG 就是异面直线 MB 与 AA1
23、 所成的角在直角三角形 BMG 中，求得 tan 即可【解答】解：（1）取 AC 的中点 G，连接 BG，在正三角形 ABC 中，BGAC，在正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，面 ACC1A1平面 ABC，BG平面 ACC1A1四面体 MA1AB 的体积 V （2）接 MG，则有 AA1MG，则BMG 就是异面直线 MB 与 AA1 所成的角在直角三角形 BMG 中，GB ，MG4，即 tan 异面直线 MB 与 AA1 所成角的大小为 arctan 【点评】本题主要考查线面垂直的判断以及三棱锥的体积、异面直线所成角的计算，属第 13 页（共 17 页）于中档题 18设 a，b0，函数 f（
24、x ）a x+bx（1）若 f（x）是偶函数，求 ab 的值；（2）若 b2，求 f（x +1）f（x）时 x 的取值范围（用 a 表示） 【分析】 （1）根据 f（x ）f（x）恒成立可求得 ab1；（2）代表达式后，对 1a 分两种情况讨论即可【解答】解（1）因为 f（x ）是偶函数，所以 f（x）f （x ）恒成立，所以 ax +bx a x+bx 恒成立，即（a x+bx）1 0 恒成立，1 0，（ab） x1 恒成立，ab1；（2）b2 时，f（x ）a x+2x，f（x +1）a x+1+2x+1，a x+1+2x+1a x+2x，（ ） x1a ，当 1a0 即 a1 时，不等式
25、恒成立，解集为 R；当 1a0，即 0a1 时，xlog综上：a1 时，x 的取值范围是 R；0a1 时，x 的取值范围是（log （1a） ，+）【点评】本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属中档题19如图，某校机器人社团需要制作一种四边形零件 ABCD，要求A90，BDC30，AD 长 10 厘米， DC 长 20 厘米（1）若ADB65，求 BC 的长（结果精确到 0.01 厘米） ；（2）若要求CADC，求 CBD 的大小（结果精确到 1） 第 14 页（共 17 页）【分析】 （1）利用正余弦定理即可求解；（2）利用正弦定理建立关系即可求解；【解答】解：（1）在 RtDAB
26、 中，AD 10，ADB65，BD 2.366，在BDC 中，由余弦定理得：BC2BD 2+DC22BDDCcos302.366 2+20222.36620323.64，BC17.99（2）由题意CBDx；则 x3090x120在ABD 中，正弦定理：可得：在DBC 中，正弦定理： ， 化简可得 4sin2x2sinx 1 0，可得 sinx 0.809可得 x53即CBD 的大小约为 53第 15 页（共 17 页）【点评】本题考虑了正弦定理、余弦定理在四边形中的灵活应用属于中档题20已知 P（t，t 2） （t0）是抛物线 yx 2 上一点，过原点 O 作直线 OP 的垂线 l，设点 A的
27、坐标为（0，a） ，其中 a（0，1直线 PA 交 l 于点 Q（1）当 t1 时，求原点 O 到直线 PA 的距离（用 a 表示） ；（2）若当 P 在抛物线上运动时，Q 点的轨迹经过点（ ） ，求 a 的值【分析】 （1）P（1，1） ，A（0，a） ，直线 PA 的方程为 y（1a）x+a，利用点到直线的距离公式即可得出原点 O 到直线 PA 的距离（2）k OPt，直线 l 的方程为 y ，直线 AP 的方程为 y x+a，联立两直线方程可得交点坐标，根据 Q 点的轨迹经过点（ ） ，代入即可解出【解答】解：（1）P（1，1） ，A（0，a） ，直线 PA 的方程为 y（1a）x +a
28、，原点 O 到直线 PA 的距离为 （2）k OPt，直线 l 的方程为 y ，直线 AP 的方程为 y x+a，联立两直线方程可得 x ，y ，Q 点的轨迹经过点（ ） ，可得 ，1 ，消去 t，解得 t ，a 【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、直线交点，考第 16 页（共 17 页）查了推理能力与计算能力，属于中档题21设 mN*，若无穷数列x n满足：对所有整数 1d2m1，都成立 x2md x d，则称xn“m折叠数列”（1）求所有的实数 q，使得通项公式为 xnq n（nN*）的数列x n是 3 折叠数列；（2）给定常数 PN*，是否存在数列x n，使得
29、对所有 mN*，x n都是 pm折叠数列，且x n的各项中恰有 P+1 个不同的值？证明你的结论；（3）设递增数列a i满足 aiN*（i N*） 已知如果对所有 mN*，x n都是 am折叠数列，则x n的各项中至多只有 k 个不同的值，证明： 【分析】 （1）根据给出的定义，列方程讨论 q 的取值即可得到结果（2）存在性问题，只须举出例子即可证明，结合定义，x n有无数对称轴，想到三角函数（3）结合（2）的结论用数学归纳法即可证出【解答】解：（1）要使通项公式为 xnq n（nN*）的数列x n是 3 折叠数列只须 q6d q dq0 时，x n0，显然成立q0 时，上式可化为 q62d
30、1（q 3d ） 21， （d1，2，3，4，5 ） ，q1 或 q1，综上 q0 或 q1 或 q1（2）对给定的 p，x n都是 pm折叠数列，故 xn 有多条对称轴，其中 xpm 都是数列xn的对称轴设 xncos ，由 m （m N*）得对称轴为 xpm，且 xn 的周期为 2p满足给定常数 PN*，使得对所有 mN*， xn都是 pm折叠数列xn 是周期函数，周期为 2p，在（1，2p这个周期内，x p 为对称轴，故 xn（1，2p 对应函数值的个数与 xnp，2p对应的函数值个数相等xnp， 2p， ，2 ，x n在p，2p 上单调递增，pN *故 xn 各项中共有
31、p+1 个不同的值综上，给定常数 PN*，存在数列x n，使得对所有 mN*，x n都是 pm折叠数列，第 17 页（共 17 页）且x n的各项中恰有 P+1 个不同的值（3）由（2）知，a mpm（p N*，m N*）且 kp+1 即 k1p故要证原不等式成立，只须证：pm 2 m1 p+1，只须证： m2 m1 +显然当 m1 时，12 11 + 成立；假设当 mk 时，有 k2 k1 + 成立则当 mk+1 时k+12 k1 + +12 k1 +1+211 + 2 （k+1 ）1 +故当 mk+1 时不等式成立综上： 【点评】本题主要考查了数列，三角函数，不等式的证明等知识，用到了分类讨论思想，函数思想，属于难题，做题时还要注意对新定义的理解和迁移