1、2017-2018 学年广东省深圳市南山区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题有 12 小题，每题 3 分，共 36 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上）1 （3 分）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）A B C D2 （3 分）计算 的结果为（ ）A1 Ba Ca+1 D3 （3 分）下列式子是分式的是（ ）A B C D4 （3 分）已知一个多边形的内角和是 900，则这个多边形是（ ）A五边形 B六边形 C七边形 D八边形5 （3 分）将下列多项式分解因式，结果中不含因式 x1
2、的是（ ）Ax 21 Bx（x2）+（2x）Cx 2 2x+1 Dx 2+2x+16 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，连接 DE 并延长，交 AB 的延长线于点 F， ABBF，添加一个条件，使四边形 ABCD 是平行四边形下列条件中正确的是（ ）AADBC BCDBF CFCDE DA C7 （3 分）直线 l1：y k 1x+b 与直线 l2：yk 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于 x 的不等式 k2xk 1x+b 的解集为（ ）第 2 页（共 25 页）Ax1 Bx1 Cx2 Dx 28 （3 分）如图，
3、设 k （ab0） ，则有（ ）Ak2 B1k2 C D9 （3 分）若关于 x 的不等式（ab）xab 的解集是 x1，那么下列结论正确的是（ ）Aab BabCab D无法判断 a、b 的大小10 （3 分）如图，在已知的ABC 中，按以下步骤作图：分别以 B，C 为圆心，以大于 BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点 M，N ；作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD 若 CDAC，A50，则 ACB 的度数为（ ）A90 B95 C100 D10511 （3 分）某商场要销售 70 件积压衬衫，销售 30 件后，降低售价，每天能多售出
4、10 件，结果 70 件衬衫一共用 5 天全部售完，原来每天销售多少件衬衫？设原来每天销售 x 件衬衫，下面列出的方程正确的是（ ）第 3 页（共 25 页）A 5 B 5C 5 D 512 （3 分）如图，ABC 中，ABAC ，AD，AE 分别是其角平分线和中线，过点 C 作CGAD 于点 F，交 AB 于点 G，连接 EF，则EFAB ；BCG （ ACB ABC） ； EF （ABAC） ； （ ABAC）AE （ AB+AC） 其中正确的是（ ）A B C D二、填空题（本有 4 小题，每题 3 分，共 12 分，把答案填在答题卡上， ）13 （3 分）若分
5、式 有意义，则 x 的取值范围为 14 （3 分）等腰三角形的顶角是 50，则这个等腰三角形的一个底角为 15 （3 分）如图所示，一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分 4 个，则剩下 9 个；如果每人分 6 个，则最后一个儿童分得的橘子数少于 3 个根据以上信息可以判定一共有 个儿童16 （3 分）如图，在平面直角坐标中，直线 l 经过原点，且与 y 轴正半轴所夹的锐角为60，过点 A（0，1）作 y 轴的垂线 l 于点 B，过点 B1 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A1，以 A1BBA 为邻边作ABA 1
6、C1；过点 A1 作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B1，过点 B1 作直线l 的垂线交 y 轴于点 A2，以 A2B1B 1A1 为邻边作A 1B1A2C2；按此作法继续下去，则 n 的坐标是 第 4 页（共 25 页）三、解答题（本大题有 7 题，其中 17 题 10 分，18 题 6 分，19 题 6 分，20 题 6 分，21 题6 分，22 题 9 分，23 题 9 分共 52 分）17 （10 分） （1）分解因式：7x 263（2）解分式方程： 2（3）解不等式 ，并将解集在数轴上表示出来18 （6 分）先化简：（x1+ ） ，然后从2、1
7、、0、1、2 中选取一个作为 x 的值代入求值19 （6 分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，ABC 的顶点均在格点上，请按要求完成下列步骤：（1）画出将ABC 向上平移 3 个单位后得到的A 1B1C1；（2）画出将A 1B1C1 绕点 C1 按顺时针方向旋转 90后所得到的 A 2B2C120 （6 分）已知：将ABCD 纸片折叠，使得点 C 落在点 A 的位置，折痕为 EF，连接CE求证：四边形 AFCE 为平行四边形第 5 页（共 25 页）21 （6 分）已知：a、b、c 是ABC 的三边，且满足 a4b 4a 2c2b 2c2
8、（1）试判断该三角形的形状（2）若 a6，b8，试求ABC 的面积22 （9 分）某市为创建全国文明城市开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增 240 万平方米，自 2015 年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的 1.5 倍，这样可提前 4 年完成任务（1）实际每年绿化面积多少万平方米？（2）为加大创建力度，市政府决定从 2018 年起加快绿化速度，要求再用不超过 2 年时间完成原定绿化目标，那么平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？23 （9 分）如图 1，在 Rt ABC 中，BAC90，AB AC，点 D、E 分别在边 AB、AC上，ADAE ，连接 DC
9、，点 M、P、N 分别为 DE、DC、 BC 的中点（1）图 1 中，线段 PM 与 PN 的数量关系是 ，位置关系是 （2）把ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 MN、BD、CE，判断PMN 的形状，并说明理由第 6 页（共 25 页）（3）把ADE 绕点 A 逆时针方向旋转的过程中，如果ABD30（D 在 RtABC 内部，如图 3） ，ABBD ，求证：ADCD第 7 页（共 25 页）2017-2018 学年广东省深圳市南山区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有 12 小题，
10、每题 3 分，共 36 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上）1 （3 分）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）A B C D【分析】根据中心对称图形的概念求解【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项正确；故选：D【点评】本题考查了中心对称的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合2 （3 分）计算 的结果为（ ）A1 Ba Ca+1 D【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：原式
11、 1，故选：A【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型3 （3 分）下列式子是分式的是（ ）A B C D【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式第 8 页（共 25 页）【解答】解： ， ， 分母中都不含字母，故不是分式；分母中含有字母 x，故 是分式故选：B【点评】本题主要考查分式的定义，注意 不是字母，是常数4 （3 分）已知一个多边形的内角和是 900，则这个多边形是（ ）A五边形 B六边形 C七边形 D八边形【分析】设这个多边形是 n 边形，内角和是（n2）180，
12、这样就得到一个关于 n 的方程，从而求出边数 n 的值【解答】解：设这个多边形是 n 边形，则（n2）180900，解得：n7，即这个多边形为七边形故选：C【点评】根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决5 （3 分）将下列多项式分解因式，结果中不含因式 x1 的是（ ）Ax 21 Bx（x2）+（2x）Cx 2 2x+1 Dx 2+2x+1【分析】分别将各选项利用公式法和提取公因式法分解因式进而得出答案【解答】解：A、x 21（x+1 ） （x 1） ，故 A 选项不合题意；B、x（ x2）+（2x ）（ x2） （x1） ，故 B 选项不合题意；C、x
13、 2 2x+1（ x1） 2，故 C 选项不合题意；D、x 2+2x+1（x+1 ） 2，故 D 选项符合题意故选：D【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键6 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，连接 DE 并延长，交 AB 的延长线于点 F， ABBF，添加一个条件，使四边形 ABCD 是平行四边形下列条件中正确的是（ ）第 9 页（共 25 页）AADBC BCDBF CFCDE DA C【分析】把 A、B、C、D 四个选项分别作为添加条件进行验证，D 为正确选项添加D 选项，即可证明DEC FEB，从而
14、进一步证明 DCBFAB，且 DCAB【解答】解：添加：FCDE，理由：FCDE，CDAB ，在DEC 与FEB 中，DECFEB（AAS） ，DCBF ，ABBF，DCAB ，四边形 ABCD 为平行四边形，故选：C【点评】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键7 （3 分）直线 l1：y k 1x+b 与直线 l2：yk 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于 x 的不等式 k2xk 1x+b 的解集为（ ）第 10 页（共 25 页）Ax1 Bx1 Cx2 Dx 2【分析】根据函数图象可知直线 l1：y k 1
15、x+b 与直线 l2：yk 2x 的交点是（1，2） ，从而可以求得不等式 k2xk 1x+b 的解集【解答】解：由图象可得，k2xk 1x+b 的解集为 x1，故选：B【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题8 （3 分）如图，设 k （ab0） ，则有（ ）Ak2 B1k2 C D【分析】分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积，然后计算比值即可【解答】解：甲图中阴影部分面积为 a2b 2，乙图中阴影部分面积为 a（ab） ，则 k 1+ ，ab0，0 1，1 +12，1k2故选：B【点评】本题考查了分式的乘除法
16、，会计算矩形的面积及熟悉分式的运算是解题的关键9 （3 分）若关于 x 的不等式（ab）xab 的解集是 x1，那么下列结论正确的是（ ）Aab Bab第 11 页（共 25 页）Cab D无法判断 a、b 的大小【分析】由已知不等式的解集确定出 a 与 b 的大小即可【解答】解：关于 x 的不等式（ab）xab 的解集是 x1，ab0，即 ab，故选：B【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键10 （3 分）如图，在已知的ABC 中，按以下步骤作图：分别以 B，C 为圆心，以大于 BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点 M，N ；作直线 MN 交 AB
17、 于点 D，连接 CD 若 CDAC，A50，则 ACB 的度数为（ ）A90 B95 C100 D105【分析】由 CDAC，A 50，根据等腰三角形的性质，可求得ADC 的度数，又由题意可得：MN 是 BC 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：CDBD，则可求得B 的度数，继而求得答案【解答】解：CDAC， A50，ADCA50，根据题意得：MN 是 BC 的垂直平分线，CDBD，BCDB，B ADC25，ACB180AB105故选：D【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等第 12 页（共
18、25 页）11 （3 分）某商场要销售 70 件积压衬衫，销售 30 件后，降低售价，每天能多售出 10 件，结果 70 件衬衫一共用 5 天全部售完，原来每天销售多少件衬衫？设原来每天销售 x 件衬衫，下面列出的方程正确的是（ ）A 5 B 5C 5 D 5【分析】设原来每天销售 x 件衬衫，则降价后每天销售（x+10）件衬衫，根据销售时间销售总量每天销售数量结合 70 件衬衫一共用 5 天全部售完，即可得出关于 x 的分式方程，此题得解【解答】解：设原来每天销售 x 件衬衫，则降价后每天销售（x+10）件衬衫，根据题意得： + 5故选：A【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方
19、程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键12 （3 分）如图，ABC 中，ABAC ，AD，AE 分别是其角平分线和中线，过点 C 作CGAD 于点 F，交 AB 于点 G，连接 EF，则EFAB ；BCG （ ACB ABC） ； EF （ABAC） ； （ ABAC）AE （ AB+AC） 其中正确的是（ ）A B C D【分析】求出 F 为 CG 中点，根据三角形的中位线性质即可判断，求出ACGAGCB+BCG，即可判断；根据三角形中位线性质即可判断，求出 2AEAB+BC 和 AEEF，即可判断【解答】解：AD 平分BAC，GAFCAF，CGAD，第 13 页（共
20、25 页）AFGAFC90，在AFG 和AFC 中AFGAFC（ASA） ，GFCF，AE 为ABC 的中线，BECE，EFAB，故正确；AFGAFC，AGCACG，AGCB+BCG，ACGB+BCG，BCGACBACGACB （B+BCG） ，2BCGACBB，BCG （ACBB） ，故 正确；AFGAFC，ACAG，BGABAGABAC，F、E 分别是 CG、BC 的中点，EF BG，EF （ABAC） ，故正确；AFG90，EAF 90，AFE AFG+EFG90，AFE EAF，AEEF，EF （ABAC） ，第 14 页（共 25 页） （ABAC ）AE ，延长 AE 到 M，使
21、AEEM，连接 BM，在ACE 和MBE 中ACEMBE（SAS） ，ACBM，在ABM 中， AMAB +AC，AEEM，2AEAB+AC ，AE （AB+ AC） ，即 （ABAC ）AE （AB+AC ） ，故正确；故选：A【点评】本题考查了平行线的性质和判定、三角形内角和定理、三角形三边关系定理、三角形的中位线定理，等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键二、填空题（本有 4 小题，每题 3 分，共 12 分，把答案填在答题卡上， ）13 （3 分）若分式 有意义，则 x 的取值范围为 x1 【分析】分式有意义，分母不等于零【解答】解
22、：依题意得 x10，即 x1 时，分式 有意义故答案是：x1第 15 页（共 25 页）【点评】本题考查了分式有意义的条件从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义分母为零；（2）分式有意义分母不为零；（3）分式值为零分子为零且分母不为零14 （3 分）等腰三角形的顶角是 50，则这个等腰三角形的一个底角为 65 【分析】根据等腰三角形的概念、三角形内角和定理计算即可【解答】解：这个等腰三角形的一个底角为：（18050）265，故答案为：65【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的概念和性质是解题的关键15 （3 分）如图所示，一筐橘子分给若干个儿童，如
23、果每人分 4 个，则剩下 9 个；如果每人分 6 个，则最后一个儿童分得的橘子数少于 3 个根据以上信息可以判定一共有 7 个儿童【分析】根据题意，儿童和橘子都为整数，列出不等式，从而求解出多少儿童【解答】解：设共有 x 个儿童，则共有（4x+9）个橘子，则 04x+96（x 1）36x7.5所以共有 7 个儿童，故答案为：7【点评】此题考查一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解16 （3 分）如图，在平面直角坐标中，直线 l 经过原点，且与 y 轴正半轴所夹的锐角为60，过点 A（0，1）作 y 轴的垂线 l 于点 B，过点 B1 作直线 l 的垂线交 y
24、 轴于点 A1，第 16 页（共 25 页）以 A1BBA 为邻边作ABA 1C1；过点 A1 作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B1，过点 B1 作直线l 的垂线交 y 轴于点 A2，以 A2B1B 1A1 为邻边作A 1B1A2C2；按此作法继续下去，则 n 的坐标是 （ 4n1 ，4 n） 【分析】先求出直线 l 的解析式为 y x，设 B 点坐标为（x，1） ，根据直线 l 经过点B，求出 B 点坐标为（ ，1） ，解 RtA 1AB，得出 AA13，OA 14，由平行四边形的性质得出 A1C1AB ，则 C1 点的坐标为（ ，4） ，即（ 40，4 1） ；根
25、据直线 l 经过点 B1，求出 B1 点坐标为（4 ，4） ，解 Rt A2A1B1，得出A1A212，OA 216，由平行四边形的性质得出 A2C2A 1B14 ，则 C2 点的坐标为（4 ，16） ，即（ 41，4 2） ；同理，可得 C3 点的坐标为（16 ，64） ，即（ 42，4 3） ；进而得出规律，求得 n 的坐标是（ 4n1 ，4 n） 【解答】解：直线 l 经过原点，且与 y 轴正半轴所夹的锐角为 60，直线 l 的解析式为 y xABy 轴，点 A（0，1） ，可设 B 点坐标为（x ，1） ，将 B（x ，1）代入 y x，得 1 x，解得 x ，B 点坐标为（ ，1）
26、，AB 在 Rt A1AB 中， AA 1B906030，A 1AB90，AA 1 AB3，OA 1OA+ AA11+3 4，ABA 1C1 中，A 1C1AB ，C 1 点的坐标为（ ，4） ，即（ 40，4 1） ；第 17 页（共 25 页）由 x4，解得 x4 ，B 1 点坐标为（4 ，4） ，A 1B14 在 Rt A2A1B1 中，A 1A2B130，A 2A1B190，A 1A2 A1B112，OA 2OA 1+A1A24+12 16，A 1B1A2C2 中， A2C2A 1B14 ，C 2 点的坐标为（4 ，16 ） ，即（ 41，4 2） ；同理，可得 C3 点的坐标为（ 1
27、6 ，64） ，即（ 42，4 3） ；以此类推，则 n 的坐标是（ 4n1 ，4 n） 故答案为（ 4n1 ，4 n） 【点评】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形以及一次函数的综合应用，先分别求出 C1、C 2、C 3 点的坐标，从而发现规律是解题的关键三、解答题（本大题有 7 题，其中 17 题 10 分，18 题 6 分，19 题 6 分，20 题 6 分，21 题6 分，22 题 9 分，23 题 9 分共 52 分）17 （10 分） （1）分解因式：7x 263（2）解分式方程： 2（3）解不等式 ，并将解集在数轴上表示出来【分析】 （1）先提取公因式，再根据平方差公式分解即
28、可；（2）先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可；（3）先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可【解答】解：（1）7x 2637（x 29）7（x+3） （x 3） ；第 18 页（共 25 页）（2）原方程化为： 2 ，方程两边都乘以 x2 得：4x2（x 2）4，解得：x4，检验：当 x4 时，x 20，所以 x4 是原方程的解，即原方程的解为 x4；（3）解不等式得：x1，解不等式 得： x2.5，不等式组的解集为1x2.5，在数轴上表示为： 【点评】本题考查了因式分解、解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集、解分式方程等知识点，能熟练地分解因式是解（1）的
29、关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键，能求出不等式组的解集是解（3）的关键18 （6 分）先化简：（x1+ ） ，然后从2、1、0、1、2 中选取一个作为 x 的值代入求值【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的 x 的值代入计算可得【解答】解：原式（ + ） ，x1 且 x0，取 x2，则原式0【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法第 19 页（共 25 页）则及分式有意义的条件19 （6 分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，ABC 的顶点均在格点上，请按要
30、求完成下列步骤：（1）画出将ABC 向上平移 3 个单位后得到的A 1B1C1；（2）画出将A 1B1C1 绕点 C1 按顺时针方向旋转 90后所得到的 A 2B2C1【分析】 （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案【解答】解：（1）如图所示：A 1B1C1 是所求的三角形（2）如图所示：A 2B2C1 为所求作的三角形【点评】此题主要考查了旋转变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键20 （6 分）已知：将ABCD 纸片折叠，使得点 C 落在点 A 的位置，折痕为 EF，连接CE求证：四边形 AFCE 为平行四边形第 20
31、 页（共 25 页）【分析】由折叠的性质得到12，AFEFC根据平行四边形的性质得到ADBC由平行线的性质得到32根据等腰三角形的性质得到 AEFC即可得到结论【解答】证明：如图，点 C 与点 A 重合，折痕为 EF，12，AFFC四边形 ABCD 为平行四边形，ADBC3213AEAFAEFC又AEFC，四边形 AFCE 是平行四边形【点评】本题主要考查了折叠的性质、平行四边形的性质与判定、平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键21 （6 分）已知：a、b、c 是ABC 的三边，且满足 a4b 4a 2c2b 2c2（1）试判断该三角形的形状（2）若 a6，b8，试求ABC 的面积【分
32、析】 （1）通过给出的条件化简变形，分解因式，找出三角形三边的关系，然后再判断三角形的形状（2）确定是直角三角形，先根据勾股定理计算 c 的长，由三角形面积可得结论【解答】解：（1）a 4b 4a 2c2b 2c2（a 2+b2） （a 2b 2）c 2（a 2b 2） ，（a 2b 2） （a 2+b2c 2）0，a2b 20，a 2+b2c 20，第 21 页（共 25 页）ab 或 a2+b2c 2；故为直角三角形或等腰三角形；（2）a6，b8，c10，S ABC 24【点评】本题考查了因式分解和公式变形等内容，变形的目的就是找出三角形三边的关系再判定三角形的形状22 （9 分）某市为创
33、建全国文明城市开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增 240 万平方米，自 2015 年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的 1.5 倍，这样可提前 4 年完成任务（1）实际每年绿化面积多少万平方米？（2）为加大创建力度，市政府决定从 2018 年起加快绿化速度，要求再用不超过 2 年时间完成原定绿化目标，那么平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？【分析】 （1）设原计划每年绿化面积为 x 万平方米，则实际每年绿化面积为 1.5x 万平方米，根据工作时间工作总量工作效率结合实际比原计划提前 4 年完成任务，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（
34、2）设平均每年绿化面积增加 a 万平方米，根据工作总量工作效率工作时间，即可得出关于 a 的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论【解答】解：（1）设原计划每年绿化面积为 x 万平方米，则实际每年绿化面积为 1.5x万平方米，根据题意得： 4，解得：x20，经检验，x20 是原分式方程的解，1.5x30答：实际每年绿化面积 30 万平方米（2）设平均每年绿化面积增加 a 万平方米，根据题意得：303+2（30+ a）240，解得：a45第 22 页（共 25 页）答：平均每年绿化面积至少增加 45 万平方米【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找
35、准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式23 （9 分）如图 1，在 Rt ABC 中，BAC90，AB AC，点 D、E 分别在边 AB、AC上，ADAE ，连接 DC，点 M、P、N 分别为 DE、DC、 BC 的中点（1）图 1 中，线段 PM 与 PN 的数量关系是 PMPN ，位置关系是 PMPN （2）把ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 MN、BD、CE，判断PMN 的形状，并说明理由（3）把ADE 绕点 A 逆时针方向旋转的过程中，如果ABD30（D 在 RtABC 内部，如图 3） ，ABBD
36、 ，求证：ADCD【分析】 （1）利用三角形的中位线得出 PM CE，PN BD，进而判断出BDCE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出 PMCE 得出DPMDCA，最后用互余即可得出结论；（2）先判断出ABDACE，得出 BDCE，同（1）的方法得出 PM BD，PNBD，即可得出 PMPN，同（1）的方法即可得出结论；（3）先判断出BAG60，AG AB AC，进而求出 BADBDA 75，即第 23 页（共 25 页）可得出GAD DAC，进而得出 ADG ADH，得出 AHAG ，即可得出结论【解答】解：（1）点 P，N 是 BC，CD 的中点，PNBD，PN BD，点 P，M 是
37、 CD，DE 的中点，PMCE，PM CE，ABAC，ADAE，BDCE，PMPN，PNBD，DPNADC，PMCE，DPMDCA，BAC90，ADC+ACD90，MPNDPM+ DPN DCA+ ADC90，PMPN，故答案为：PMPN，PMPN ，（2）PMN 是等腰直角三角形，理由：由旋转知，BADCAE ，ABAC，ADAE，ABDACE（SAS） ，ABDACE，BDCE，同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN BD，PM CE，PMPN，PMN 是等腰三角形，同（1）的方法得，PMCE，DPMDCE，同（1）的方法得，PNBD，第 24 页（共 25 页）PNC DBC ，DP
38、NDCB+PNC DCB+DBC，MPNDPM+ DPN DCE+ DCB+DBCBCE+ DBCACB+ACE +DBCACB+ ABD +DBC ACB+ABC ，BAC90，ACB+ ABC90，MPN90，PMN 是等腰直角三角形，（3）如图 3，过点 A 作 AG BD 于 G，过点 D 作 DHAC 于 H，BAG60，AG AB AC，ABAD ，BADBDA75，GAD 15 ，DAC BACBAD15，GAD DAC ，ADG ADH，AHAG ，AH AC，CHAH，DHAC，ADCD【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解（1）的关键是判断出第 25 页（共 25 页）PM CE，PN BD，解（2）的关键是判断出ABDACE，解（3）的关键是判断出GAD DAC