1、2017-2018 学年湖北省武汉市江夏区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确）1 （3 分）直角三角形两条直角边的长分别为 3 和 4，则斜边长为（ ）A4 B5 C6 D102 （3 分）数据 60，70，40，30 这四个数的平均数是（ ）A40 B50 C60 D703 （3 分）矩形是轴对称图形，它的对称轴有几条？（ ）A5 B4 C3 D24 （3 分）计算 （ ）A4 B2 C2 D5 （3 分）下列式子中，表示 y 是 x 的正比例函数的
2、是（ ）Ay2x 2 By Cy Dy 23x6 （3 分）一组数据 8，7，6，7，6，5，4，5，8，6 的众数是（ ）A8 B7 C6 D57 （3 分）如图，AO 是圆锥的高，圆锥的底面半径 OB 0.7，AB 的长为 2.5，则 AO 的长为（ ）A2.4 B2.2 C1.8 D1.68 （3 分）已知 x 6，则代数式 x2+5x6 的值为（ ）A2 +3 B55 C32 D579 （3 分）已知直线 y x+b 经过点 P（4，1） ，则直线 y2x+b 的图象不经过第几象限？（ ）A一 B二 C三 D四10 （3 分
3、）如图，正方形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，DE 平分BDC 交 AC 于 F，交 BC 于 E若正方形 ABCD 的边长为 2，则 3OF+2CE（ ） （供参考（ +1） （第 2 页（共 24 页）1）a1，其中 a0）A3+ B4+2 C +1 D +2二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）11 （3 分）使式子 有意义的 a 的取值范围是 12 （3 分）如图所示，A，B，C 三地的两两距离如图所示，A 在 B 的正东方向，则 C 在B 的什么方向？答： 13 （3 分）
4、一组数据：24，58，45，36，75，48，80，则这组数据的中位数是 14 （3 分）在平行四边形 ABCD 中，AB ，AD2 ，点 A 到边 BC，CD 的距离分别为 AM ，AN2，则 MAN 的度数为 15 （3 分）将函数 yx 1 的图象位于 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折至其上方后，所得的折线是函数 y| x1| 的图象若函数 y| x1|的图象与 ya 交点间距离不小于 1 且不大于 3，则 a 的取值范围是 16 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，点 M 是 CD 上的点，将ADM 沿折
5、痕 AM 折叠，使点D 落在 BC 边上的点 N 处，点 P 是线段 CB 延长线上的点，连 AP，若 AD5，CD4，则满足使APN 为等腰三角形的 PB 的长是 三、解答题（共 8 小题，共 72 分）17 （8 分）计算：（1） 第 3 页（共 24 页）（2） +18 （8 分）如图，四边形 ABCD 是菱形，ACD30，BD6，求：（1）ABC 的度数（2）四边形 ABCD 的周长19 （8 分）国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于 1h”为此，某市就“每天在校体育活动时间”的问题随机调查了辖区内 320 名初中学生，根据调查结果绘制成的统计图（部
6、分）如图所示，其中分组情况是：A 组：t0.5hB 组：0.5ht1hC 组：1ht1.5hD 组： t1.5h请根据上述信息解答下列问题：（1）求 C 组的人数，并将图中的统计图补充完整；（2）本次调查数据的中位数落在 组内20 （8 分）如图，在 45 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图（1）在图 中画一条线段 AB，使 AB （2）在图 中画一个三边长均为无理数，且斜边长为 的等腰直角三角形 DCE，其中DCE90，并求出它的周长第 4 页（共 24 页）21 （8 分）已知ABC 中，ABAC ，
7、点 E、D、F 分别是 AB、BC、AC 的中点（1）如图 ，若 A90，请判断四边形 AEDF 的形状，并证明你的结论（2）如图 ，若 A120，BC 4 ，求四边形 AEDF 的周长和面积22 （10 分）在汛期来临之前，某市提前做好防汛工作，该市的 A、B 两乡镇急需防汛物质分别为 80 吨和 120 吨，由该市的甲、乙两个地方负责全部运送到位，甲、乙两地有防汛物质分别为 110 吨和 90 吨，已知甲、乙两地运到 A、B 两乡镇的每吨物质的运费如表所示：甲 乙A 20 元 /吨 15 元 /吨B 25 元 /吨 24 元 /吨（1）设乙地运到 A 乡镇的防汛物质为 x 吨，求总运费 y
8、（元）关于 x（吨）的函数关系式，并指出 x 的取值范围（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案23 （10 分）已知：平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O（1）如图 ， EF 过点 O 且与 AB，CD 分别相交于点 E、F，AC6，AEO 的周长为10，求 CF+OF 的值（2）如图 ，将平行四边形 ABCD（纸片）沿过对角线交点 O 的直线 EF 折叠，点 A落在 A1 处，点 B 落在点 B1 处，设 FB1 交 CD 于点 G，A 1B1 分别交 CD、DE 于点H、P，请在折叠后的图形中找一条线段，使它与 EP 相等，并加以证明（3）如图 ， ABO 是
9、等边三角形，AB1，点 E 在 BC 边上，且 BE1，则第 5 页（共 24 页）2EC2EO 直接填结果24 （12 分）已知：在平面直角坐标系中，边长为 8 的正方形 OABC 的两边在坐标轴上（如图） （1）求点 A，B，C 的坐标（2）经过 A，C 两点的直线 l 上有一点 P，点 D（0，6）在 y 轴正半轴上，连PD，PB（如图 1） ，若 PB2PD 224，求四边形 PBCD 的面积（3）若点 E（0，1） ，点 N（ 2，0） （如图 2） ，经过（2）问中的点 P 有一条平行于 y 轴的直线 m，在直线 m 上是否存在一点 M，使得MNE 为直
10、角三角形？若存在，求 M 点的坐标；若不存在，请说明理由第 6 页（共 24 页）2017-2018 学年湖北省武汉市江夏区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确）1 （3 分）直角三角形两条直角边的长分别为 3 和 4，则斜边长为（ ）A4 B5 C6 D10【分析】利用勾股定理即可求出斜边长【解答】解：由勾股定理得：斜边长为： 5故选：B【点评】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，理解勾股定理的内容是关键2 （3 分）数据 60，70，40，30 这四个数的平均数是（
11、 ）A40 B50 C60 D70【分析】根据算术平均数的定义计算可得【解答】解：这四个数的平均数是 50，故选：B【点评】此题考查了平均数，掌握平均数的计算公式是本题的关键；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数3 （3 分）矩形是轴对称图形，它的对称轴有几条？（ ）A5 B4 C3 D2【分析】根据轴对称图形的概念求解矩形是轴对称图形，可以左右重合和上下重合【解答】解：矩形是轴对称图形，它的对称轴共有 2 条故选：D【点评】此题主要考查了轴对称的概念，轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合4 （3 分）计算 （ ）A4 B2 C2 D
12、【分析】先化简分子，再约分即可得第 7 页（共 24 页）【解答】解：原式 2，故选：B【点评】本题主要考查分母有理化，解题的关键是掌握分母有理化的常用方法5 （3 分）下列式子中，表示 y 是 x 的正比例函数的是（ ）Ay2x 2 By Cy Dy 23x【分析】根据正比例函数 ykx 的定义条件：k 为常数且 k0，自变量次数为 1，判断各选项，即可得出答案【解答】解：A、y 2x 2 表示 y 是 x 的二次函数，故本选项错误；B、y 表示 y 是 x 的反比例函数，故本选项错误；C、y 表示 y 是 x 的正比例函数，故本选项正确；D、y 23x 不符合正比例函数的含义，
13、故本选项错误；故选：C【点评】本题考查了正比例函数的定义解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数 ykx 的定义条件是：k 为常数且 k0，自变量次数为 16 （3 分）一组数据 8，7，6，7，6，5，4，5，8，6 的众数是（ ）A8 B7 C6 D5【分析】根据众数的定义求解可得【解答】解：在这组数据中 6 出现 3 次，次数最多，所以众数为 6，故选：C【点评】本题考查了众数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数7 （3 分）如图，AO 是圆锥的高，圆锥的底面半径 OB 0.7，AB 的长为 2.5，则 AO 的长为（ ）A2.4 B2.2 C1.8
14、 D1.6【分析】根据勾股定理计算即可第 8 页（共 24 页）【解答】解：由勾股定理得，AO 2.4，故选：A【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键8 （3 分）已知 x 6，则代数式 x2+5x6 的值为（ ）A2 +3 B55 C32 D57【分析】直接把 x 的值代入进而求出答案【解答】解：x 6，x 2+5x6（x+6） （x 1）（ 6+6）（ 61） （ 7）57 故选：D【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用公式是解题关键9 （3 分）已知直线 y x+b 经过点 P（4，1） ，则直线 y2x+
15、b 的图象不经过第几象限？（ ）A一 B二 C三 D四【分析】直接把点 P（4，1）代入直线 y x+b，求出 b 的值，即可得到直线y2x+b 的图象不经过第二象限【解答】解：直线 y x+b 经过点（4，1） ，12+b，解得 b3，直线经过一、三、四象限，直线 y2x+b 的图象不经过第二象限，故选：B【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，解题时注意：k0，y 随 x 的增大而增大，函数从左到右上升；k0，y 随 x 的增大而减小，函数从左到右下降第 9 页（共 24 页）10 （3 分）如图，正方形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，DE 平分BDC 交
16、 AC 于 F，交 BC 于 E若正方形 ABCD 的边长为 2，则 3OF+2CE（ ） （供参考（ +1） （1）a1，其中 a0）A3+ B4+2 C +1 D +2【分析】先证明EFC67.5DEC，则 ECFC ，可知：2CE+2OF2OC2 ，过 F 作 FGCD 于 G，根据角平分线的性质得：OF FG，由FCG 是等腰直角三角形，得 CF FG OF，计算 OF 的长可得结论【解答】解：在正方形 ABCD 中，ADDC2，ADC90，AC2 ，OC ，BDC45，BCD90，ED 平分BDC，BDECDE22.5，DEC67.5，FCE45，EFC67.5DEC，E
17、CFC，2CE+2OF2OC2 ，过 F 作 FGCD 于 G，ACBD，ED 平分BDC ，OFFG ，ACD45，FCG 是等腰直角三角形，CF FG OF，OF+ OFOC ，第 10 页（共 24 页）OF 2 ，3OF+2CEOF+2OF+2 CE2 +2 2+ 故选：D【点评】本题考查了正方形的性质，角平分线的定义和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟记各性质是解题的关键，根据正方形的边长计算出 OF 的长是本题的难点二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）11 （3 分）使式子 有意义的 a 的取值范围是 a1 【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案
18、【解答】解：使式子 有意义，则 a10，解得：a1故答案为：a1【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键12 （3 分）如图所示，A，B，C 三地的两两距离如图所示，A 在 B 的正东方向，则 C 在B 的什么方向？答： 正北方向 【分析】由题中数据可得三角形为直角三角形，所以点 B，C 在一条垂线上，进而可得出其方向角【解答】解：根据题意，AB12，BC5，AC 13BC 2+AB25 2+12225+144169，AC213 2169，BC 2+AB2AC 2CBA90A 地在 B 地的正东方向，C 地在 B 地的正北方向故答案为：正北方向第
19、 11 页（共 24 页）【点评】此题考查勾股定理的应用，能够利用直角三角形判断方向角13 （3 分）一组数据：24，58，45，36，75，48，80，则这组数据的中位数是 48 【分析】根据中位数的概念求解【解答】解：将这组数据重新排列为 24、36、45、48、58、75、80，所以这组数据的中位数为 48，故答案为：48【点评】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数14 （3 分）在平行四边形 ABCD 中，AB ，AD2
20、，点 A 到边 BC，CD 的距离分别为 AM ，AN2，则 MAN 的度数为 45或 135 【分析】首先根据题意画出图形，再根据勾股定理可得 DFNAN，AMBM，然后再根据三角形内角和可得DAN45，MAB45，根据平行四边形的性质可得ABCD，进而得到D+DAB180，求出DAB 的度数，进而可得答案，同理可得出MAN 另一个度数【解答】解：如图 1 所示：ANDC，AM CBDNA90，AMB90，AD2 ，AN2，DN2DDAN45，四边形 ABCD 是平行四边形，DCAB ，DAB135，AB ，AM ，MB ，AMBM，MAB 45 ，MAN135454545，如图 2，过点
21、A 作 AMCB 延长线于点 M，过点 A 作 ANCD 延长线于点 N，第 12 页（共 24 页）同理可得：MAB45，BAD 45，NAD45，则MAN135，故答案为：45或 135【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，平行四边形的性质，关键是正确计算出DAN45，MAB4515 （3 分）将函数 yx 1 的图象位于 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折至其上方后，所得的折线是函数 y| x1| 的图象若函数 y| x1|的图象与 ya 交点间距离不小于 1 且不大于 3，则 a 的取值范围是 a 【分析】依据函数 y|x1| 的图象与 ya 交点间距离不小于 1
22、 且不大于 3，可得关于 a的不等式组，即可得到 a 的取值范围【解答】解：函数 yx 1 的图象位于 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折至其上方后可得yx+1（x1） ，当 ya 时，x1a；在 yx1（x 1）中，当 ya 时，xa+1；函数 y|x1| 的图象与 y a 交点间距离不小于 1 且不大于 3， ，解得 a ，故答案为： a 第 13 页（共 24 页）【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，解决问题的关键是利用自变量与函数值的对应关系16 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，点 M 是 CD 上的点，将ADM 沿折痕 AM 折叠，使点D 落在 BC 边上的点 N 处，点 P
23、是线段 CB 延长线上的点，连 AP，若 AD5，CD4，则满足使APN 为等腰三角形的 PB 的长是 2 或 3 或 【分析】由折叠可得 AN5，由勾股定理可得 BN3，由 APN 是等腰三角形，则分三种情况讨论即可【解答】解：ABCD 是矩形ABCD4，ADBC5，折叠，ADAN5；由勾股定理得：BN3，APN 是等腰三角形，APAN 或 ANNP 或 APPN；若 APAN5 ，且 ABBC，PBBN3，若 ANPN5，PBPNBN532；若 PNPA，AP 2AB 2+（PN3） 2，AP ，BP 故答案为：2 或 3 或【点评】本题考查了折叠问题，等腰三角形的判定，矩形
24、的性质，关键利用分类讨论思想解决等腰三角形的问题第 14 页（共 24 页）三、解答题（共 8 小题，共 72 分）17 （8 分）计算：（1） （2） +【分析】 （1）利用二次根式的乘除法则运算；（2）先把 化简，然后合并即可【解答】解：（1）原式 ；（2）原式2 + + 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍18 （8 分）如图，四边形 ABCD 是菱形，ACD30，BD6，求：（1）ABC 的度数（2）四边形 ABCD
25、的周长【分析】 （1）根据菱形的性质得出ADC2CDO，ABCADC，DOC90，求出CDO，即可求出答案；（2）易求出 DO，则 DC 的长可得，进而可求出四边形 ABCD 的周长【解答】解：（1）四边形 ABCD 是菱形，ADC2CDO，ABCADC，DBAC，DOC90，130，CDO60，ABCADC2CDO120；第 15 页（共 24 页）（2）四边形 ABCD 是菱形，BD6，DOBO 3 ，DOC90，130，DC2DO6，四边形 ABCD 的周长4624【点评】本题考查了菱形的性质和解直角三角形等知识点，能灵活运用菱形的性质进行推理是解此题的关键19 （8 分）国家规定“中小
26、学生每天在校体育活动时间不低于 1h”为此，某市就“每天在校体育活动时间”的问题随机调查了辖区内 320 名初中学生，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示，其中分组情况是：A 组：t0.5hB 组：0.5ht1hC 组：1ht1.5hD 组： t1.5h请根据上述信息解答下列问题：（1）求 C 组的人数，并将图中的统计图补充完整；（2）本次调查数据的中位数落在 C 组内【分析】 （1）根据直方图可得总人数以及各小组的已知人数，进而根据其间的关系可计算 C 组的人数；（2）根据中位数的概念，中位数应是第 160、161 人时间的平均数，分析可得答案【解答】解：（1）根据题意有：C 组的人数
27、为 3202010060140，条形统计图如图：第 16 页（共 24 页）（2）根据中位数的概念，中位数应是第 160、161 人时间的平均数，分析可得其均在 C组，故调查数据的中位数落在 C 组故答案为：C；【点评】本题考查条形统计图，同时考查中位数的求法：给定 n 个数据，按从小到大排序，如果 n 为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果 n 为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数20 （8 分）如图，在 45 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图（1）在图 中画一条线段 AB，使 AB （2）在图 中画一个三边长均为无理数，
28、且斜边长为 的等腰直角三角形 DCE，其中DCE90，并求出它的周长【分析】 （1）AB 的长就是长为 5，宽为 2 的矩形对角线；（2）腰长是长为 4，宽为 1 的矩形对角线；【解答】解：（1）如图中，线段 AB 即为所求；第 17 页（共 24 页）（2）如图 中， DCE 即为所求DCEC ，斜边 DE 周长2 +【点评】本题考查作图应用与设计，无理数，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型21 （8 分）已知ABC 中，ABAC ，点 E、D、F 分别是 AB、BC、AC 的中点（1）如图 ，若 A90，请判断四边形 A
29、EDF 的形状，并证明你的结论（2）如图 ，若 A120，BC 4 ，求四边形 AEDF 的周长和面积【分析】 （1）先判定四边形 AEDF 是菱形，再根据A90，即可得到四边形 AEDF是正方形；（2）连接 AD，EF ，求得 AD2，根据 DF 是ABC 的中位线，可得 DF2，即可得到菱形 AEDF 周长为 8根据 EF 是ABC 的中位线，可得 EF2 ，即可得到菱形AEDF 的面积为 2 【解答】解：（1）四边形 AEDF 是正方形证明：ABAC，点 E、D、F 分别是 AB、BC、AC 的中点，AEDE DFAF，四边形 AEDF 是菱形，A90，四边形 AEDF 是正方形（2）如
30、图，连接 AD，EF ，ABAC，点 D 是 BC 的中点，第 18 页（共 24 页）ADBC，又A120，BC4 ，B30，BD2 ，ADtan30BD2，AB2AD 4，由题可得，DF 是ABC 的中位线，2DFAB，即 DF2，菱形 AEDF 周长为 8由题可得，EF 是ABC 的中位线，BC2EF，即 EF2 ，菱形 AEDF 的面积 0.522 2 【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质定理，综合运用各定理是解答此题的关键22 （10 分）在汛期来临之前，某市提前做好防汛工作，该市的 A、B 两乡镇急需防汛物质分别为 80 吨和 120 吨，由
31、该市的甲、乙两个地方负责全部运送到位，甲、乙两地有防汛物质分别为 110 吨和 90 吨，已知甲、乙两地运到 A、B 两乡镇的每吨物质的运费如表所示：甲 乙A 20 元 /吨 15 元 /吨B 25 元 /吨 24 元 /吨（1）设乙地运到 A 乡镇的防汛物质为 x 吨，求总运费 y（元）关于 x（吨）的函数关系式，并指出 x 的取值范围（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案【分析】 （1）设乙运 A 镇 x 吨，则运 B 镇（90x ）吨，甲运 A 镇（80x ）吨，运 B镇（11080+x）吨，根据题意即可求得总运费 y 与 x 的函数关系式；第 19 页（共 24 页）（2）由
32、（1）中的函数解析式，即可得 y 随 x 的增大而减小，则可求得何时总运费最低，继而可求得总运费最低时的运输方案【解答】解：（1）设乙运 A 镇 x 吨，则运 B 镇（90x ）吨，甲运 A 镇（80x ）吨，运 B 镇（11080+x）吨可得：y20（80x ）+25 （11080+x）+15x+24（90x）4x+4510（0x80） ；（2）k40，y 随 x 的增大而减少，当 x80 时，最低费用 y4190（元） 方案：乙运 A 镇 80 吨，运 B 镇 10 吨甲 110 吨全部运 B 镇【点评】此题考查了一次函数的实际应用问题此题难度适中，解题的关键是理解题意，根据题意求得当乙运
33、 A 镇 x 吨时的运输方案23 （10 分）已知：平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O（1）如图 ， EF 过点 O 且与 AB，CD 分别相交于点 E、F，AC6，AEO 的周长为10，求 CF+OF 的值（2）如图 ，将平行四边形 ABCD（纸片）沿过对角线交点 O 的直线 EF 折叠，点 A落在 A1 处，点 B 落在点 B1 处，设 FB1 交 CD 于点 G，A 1B1 分别交 CD、DE 于点H、P，请在折叠后的图形中找一条线段，使它与 EP 相等，并加以证明（3）如图 ， ABO 是等边三角形，AB1，点 E 在 BC 边上，且 BE1，则2EC2EO 2
34、2 + 直接填结果【分析】 （1）只要证明AOECOF 即可解决问题；（2）结论：FGEP 只要证明A 1PECGF 即可；（3）作 OHBC，解直角三角形分不清楚 EC、OE 即可解决问题；【解答】解：（1）如图中，第 20 页（共 24 页）四边形 ABCD 是平行四边形，OAOC，ABCD，EAOFCO，AOECOF，AOECOF，OEOF ，AECF，CF+OFAE+OEAOE 的周长OA 7（2）结论：FGEP 理由：如图中，连 AC，由（1）可知：AOECOF，AECF，由折叠可知，AEA 1ECF，A 1ABCD，A 1PE DPH，D B1，PHD B 1HG，D
35、PH B 1GH，B 1GHCGF，A 1PE CGF，A 1PE CGF，FGEP（3）如图 中，作 OHBC 于 H第 21 页（共 24 页）AOB 是等边三角形，ABOAOBBAO 60，ABC90，OBC30，ABOB BE1，BC ，EC 1，OBOC，OHBC，BHCH ，HE1 ，OH OH ，OE ，2EC2EO2 2 + 故答案为 2 2 + 【点评】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、矩形的性质、翻折变换、解直角三角形、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题24
36、 （12 分）已知：在平面直角坐标系中，边长为 8 的正方形 OABC 的两边在坐标轴上（如图） 第 22 页（共 24 页）（1）求点 A，B，C 的坐标（2）经过 A，C 两点的直线 l 上有一点 P，点 D（0，6）在 y 轴正半轴上，连PD，PB（如图 1） ，若 PB2PD 224，求四边形 PBCD 的面积（3）若点 E（0，1） ，点 N（ 2，0） （如图 2） ，经过（2）问中的点 P 有一条平行于 y 轴的直线 m，在直线 m 上是否存在一点 M，使得MNE 为直角三角形？若存在，求 M 点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 （1）根据正方形的性质直接写出点点 A，B，C
37、 的坐标（2）求得直线 AC 的解析式为 yx+8，过点 P 作平行于 X 轴的直线，根据题意可求点 P 的坐标是：P（3，5） ，故四边形 PBCD 的面积S PCD +SPBC ；（3）根据第（2）中求得的 P（3，5） ，设 M（3，t） ，分类讨论：当 MEN 90时，ME 23 2+（t1） 2，EN 21 2+22，MN 21 2+t2，利用勾股定理求得 t 的值；当 MNE 90时，同理可求：M （3，2） 显然 EMN 不可能等于 90综合可得：使MNE 为直角三角形的点是 M（3，7）或 M（3，2） 【解答】解：（1）如图 1，四边形 OABC 是正方形，且其边长为 8，O
38、AABBC OC 8，A（8，0） ，B（8，8） ，C（0，8） （2）设直线 AC 的解析式为 ykx+8 ，将 A（8，0）代入，得 08k+8，解得 k1，第 23 页（共 24 页）故直线 AC 的解析式为 yx+8，设 P（x ，x+8） ，PB 2PD 224，D（0，6） ，B（8，8） ，（x8） 2+（x +88） 2x 2（x +86） 224，解得 x3，点 P 的坐标是：P（3，5） ，四边形 PBCD 的面积S PCD +SPBC 23+ 8315；（3）根据第（2）中求得的 P（3，5） ，设 M（3，t） ，分类讨论：当 MEN 90时，ME 23 2+（t1） 2，EN 21 2+22，MN 21 2+t2MN 2ME 2+EN21+t 29+t 22t+1+5，t7，M（3，7） 当 MNE 90时，同理可求：M （3，2） 显然 EMN 不可能等于 90综合可得：使MNE 为直角三角形的点 M 的坐标是（3，7）或（3，2） 第 24 页（共 24 页）【点评】考查了四边形综合题利用待定系数法求一次函数的解析式，正方形的性质，坐标与图形的特点，三角形面积的求法，勾股定理等知识点，第（3）问难度较大，运用了分类讨论的思想，利用数形结合的思想解决此问题