1、人教版九年级下学期第 28 章 锐角三角函数2019 年单元测试卷一选择题（共 10 小题）1已知，在 RtABC 中，C90，AC3，BC 4，则 sinA 的值为（ ）A B C D2在 RtABC 中，各边都扩大 5 倍，则A 的三角函数值（ ）A不变 B扩大 5 倍 C缩小 5 倍 D不能确定3在 RtABC 中，C90，sin A ，则 cosA 的值等于（ ）A B C D4如图，在ABC 中，C90，cosA ，则 sinB（ ）A B C D5计算 sin45（ ）A B1 C D6如图，在ABC 中，ACB90，A
2、BC26， BC5若用科学计算器求边 AC的长，则下列按键顺序正确的是（ ）A5tan26 B5sin26 C5cos26 D5tan26 7如图，在ABC 中，AB AC ，ADBC 于点 D若 BC24，cosB ，则 AD 的长为（ ）第 2 页（共 19 页）A12 B10 C6 D58如图，太阳光线与地面成 80角，窗子 AB2 米，要在窗子外面上方 0.2 米的点 D 处安装水平遮阳板 DC，使光线不能直接射入室内，则遮阳板 DC 的长度至少是（ ）A 米 B2sin80 米C 米 D2.2cos80米9一斜坡的坡度是 1： ，则此斜坡的坡角是（
3、 ）A15 B30 C45 D6010如图，在热气球 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为 30、45，热气球 C 的高度CD 为 100 米，点 A、D、B 在同一直线上，则 AB 两点的距离是（ ）A200 米 B200 米 C220 米 D 米二填空题（共 10 小题）11在 RtABC 中，C90，AB 6，cos B ，则 BC 的长为 12比较下列三角函数值的大小：sin40 sin50 13已知 是锐角，sin ，那么 cos 14如图，在 RtABC 中
4、，C90，BC12，tanA ，则 sinB 15在ABC 中，C90，AC1，BC ，则B 的度数是 第 3 页（共 19 页）16用计算器计算 sin40 17在 RtABC 中，C90，如果 sinA ，BC 4，那么 AB 18如图，小红同学用仪器测量一棵大树 AB 的高度，在 C 处测得ADG30，在 E 处测得AFG60 ，CE8 米，仪器高度 CD1.5 米，这棵树 AB 的高度为 米19一斜坡的坡比 i1：1，那么坡角 &nb
5、sp; 20如图，某地修建高速公路，要从 B 地向 C 地修一座隧道（B，C 在同一水平上） ，某工程师乘坐热气球从 B 地出发，垂足上升 100m 到达 A 处，在 A 处观察 C 地的俯角为30，则 BC 两地之间的距离为 m三解答题（共 5 小题）21如图，在 RtABC 中，C90，BC6，tanA 求 AB 的长和 sinB 的值22完成下列表格，并回答下列问题，锐角 30 45 60 sincos第 4 页（共 19 页）tan（1）当锐角 逐渐增大时， sin 的值逐渐 ，cos 的值逐渐 &nb
6、sp;，tan 的值逐渐 （2）sin30cos ，sin cos60；（3）sin 230+cos230 ；（4） ；（5）若 sincos，则锐角 23如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）参考数据： 1.414 ， 1.73224如图，某数学兴趣小组想测量一座塔的高度，他们在广场选择点 A 处，测得塔顶 C 的仰角为 40，然后沿着 AD 的方
7、向前进 32m，到达 B 点，在 B 处测得塔顶 C 的仰角为60 （A、B 、 D 三点在同一条直线上） 请你根据他们的测量数据计算塔 CD 的高度 （结果精确到整数，参考数据：sin400.643，cos400.766，tan400.839，1.732）25如图，一艘海轮在 A 点时测得灯塔 C 在它的北偏东 45方向上，它沿正东方向航行80 海里后到达 B 处此时灯塔 C 在它的北偏西 60方向上（1）求海轮在航行过程中与灯塔 C 的最短距离：（结果保留根号）（2）求海轮在 B 处时与灯塔 C 的距离 （结果保留根号） 第 5 页（共 19 页）第 6 页（共 19 页）人教版九年级下学
8、期第 28 章 锐角三角函数2019 年单元测试卷参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题）1已知，在 RtABC 中，C90，AC3，BC 4，则 sinA 的值为（ ）A B C D【分析】根据勾股定理，可得 AB 的长，根据角的正弦，等于角的对边比斜边，可得答案【解答】解：由勾股定理得 AB 5，sinA ，故选：D【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出斜边，再求出正弦值2在 RtABC 中，各边都扩大 5 倍，则A 的三角函数值（ ）A不变 B扩大 5 倍 C缩小 5 倍 D不能确定【分析】易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三
9、角函数值不变【解答】解：各边都扩大 5 倍，新三角形与原三角形的对应边的比为 5：1，两三角形相似，A 的三角函数值不变，故选：A【点评】用到的知识点为：三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的对应角相等三角函数值只与角的大小有关，与角的边的长短无关3在 RtABC 中，C90，sin A ，则 cosA 的值等于（ ）A B C D【分析】由三角函数的定义可知 sinA ，可设 a3，c5，由勾股定理可求得 b，再利用余弦的定义代入计算即可第 7 页（共 19 页）【解答】解：sinAsinA ，可设 a3，c5，由勾股定理可求得 b4，cosA ，故选：B【点评】本题主要考查
10、三角函数的定义，掌握正弦、余弦函数的定义是解题的关键4如图，在ABC 中，C90，cosA ，则 sinB（ ）A B C D【分析】直接利用锐角三角函数关系得出答案【解答】解：如图所示：在ABC 中，C90，cosA ，sinB 故选：A【点评】此题主要考查了互余两角三角函数的关系，正确把握边角关系是解题关键5计算 sin45（ ）A B1 C D【分析】根据特殊锐角的三角函数值求解可得【解答】解：sin45 ，故选：C【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值6如图，在ABC 中，ACB90，ABC26， BC5若用科学计算器求边
11、 AC的长，则下列按键顺序正确的是（ ）第 8 页（共 19 页）A5tan26 B5sin26 C5cos26 D5tan26 【分析】根据正切函数的定义，可得 tanB ，根据计算器的应用，可得答案【解答】解：由 tanB ，得ACBCtanB 5tan26故选：D【点评】本题考查了计算器，利用了锐角三角函数，计算器的应用，熟练应用计算器是解题关键7如图，在ABC 中，AB AC ，ADBC 于点 D若 BC24，cosB ，则 AD 的长为（ ）A12 B10 C6 D5【分析】先根据等腰三角形的性质得出 BD BC12，再解直角ABD，求出 AB，然后利用勾股定
12、理求出 AD【解答】解：在ABC 中，ABAC ，ADBC 于点 D，BD BC12在直角ABD 中，cos B ，AB13，AD 5故选：D【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质以及勾股定理，求出 BD 与 AB的长是解题的关键8如图，太阳光线与地面成 80角，窗子 AB2 米，要在窗子外面上方 0.2 米的点 D 处安装水平遮阳板 DC，使光线不能直接射入室内，则遮阳板 DC 的长度至少是（ ）第 9 页（共 19 页）A 米 B2sin80 米C 米 D2.2cos80米【分析】由已知条件易求 DB 的长，在光线、遮阳板和窗户构成的直角三角形中，80角的正切值窗户高
13、：遮阳板的宽，据此即可解答【解答】解：DA0.2 米， AB2 米，DBDA +AB2.2 米，光线与地面成 80角，BCD80又tanBCD ，DC 故选：C【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确选择三角函数关系是解题关键9一斜坡的坡度是 1： ，则此斜坡的坡角是（ ）A15 B30 C45 D60【分析】坡度坡角的正切值，依此求出坡角的度数【解答】解：设坡角为 ，由题意知： tan ，30即斜坡的坡角为 30故选：B【点评】此题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度 h和水平宽度 l 的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用 i
14、 表示，常写成 i1：m 的形式把坡面与水平面的夹角 叫做坡角，坡度 i 与坡角 之间的关系为：ih：ltan第 10 页（共 19 页）10如图，在热气球 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为 30、45，热气球 C 的高度CD 为 100 米，点 A、D、B 在同一直线上，则 AB 两点的距离是（ ）A200 米 B200 米 C220 米 D 米【分析】在热气球 C 处测得地面 B 点的俯角分别为 45，BDCD100 米，再在 RtACD 中求出 AD 的长，据此即可求出 AB 的长【解答】解：在热气球 C 处测得地面 B 点的俯角分别为 45，BDCD100 米，在
15、热气球 C 处测得地面 A 点的俯角分别为 30，AC2100200 米，AD 100 米，ABAD +BD100+100 100（1+ ）米，故选：D【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形二填空题（共 10 小题）11在 RtABC 中，C90，AB 6，cos B ，则 BC 的长为 4 【分析】根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数关系得出答案【解答】解：如图所示：C90，AB 6，cos B ，cosB ，解得：BC4故答案为：4【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确记忆边角关系是解题关键第 11 页（共 19 页）12
16、比较下列三角函数值的大小：sin40 sin50 【分析】根据当 090 ，sin 随 的增大而增大即可得到 sin40sin50 【解答】解：4050，sin40sin50故答案为【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性：对于正弦函数，当 090，sin 随 的增大而增大13已知 是锐角，sin ，那么 cos 【分析】先确定 的度数，即可得出 cos 的值【解答】解： 是锐角，sin ，30，cos 故答案为： 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解决问题的关键是熟记一些特殊角的三角函数值14如图，在 RtABC 中，C90，BC12，tanA ，则
17、sinB 【分析】根据正切函数，可得 AC，根据勾股定理求得斜边 AB 的长，然后利用三角函数的定义即可求解【解答】解：由在 RtABC 中，C90，BC12，tanA ，得 ，即 ，AC5由勾股定理，得AB 13第 12 页（共 19 页）sinB ，故答案为： 【点评】本题考查了勾股定理以及三角函数，理解三角函数的定义是关键15在ABC 中，C90，AC1，BC ，则B 的度数是 30 【分析】直接利用已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出答案【解答】解：如图所示：C90，AC1，BC ，tanB ，故B30故答案为：30【点评】此题主要考查了特殊角的三角
18、函数值，正确记忆相关数据是解题关键16用计算器计算 sin40 1.44 【分析】利用计算器依次输入就可得到答案【解答】解： sin401.44 （精确到 0.01） 故答案为 1.44【点评】本题考查了会用科学记算器进行计算，能熟练应用计算器是解题的关键17在 RtABC 中，C90，如果 sinA ，BC 4，那么 AB 6 【分析】由 sinA 知 AB ，代入计算可得【解答】解：在 RtABC 中，sinA ，且 BC4，AB 6，故答案为：6【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义18如图，小红同学用仪器测量一棵大树 AB 的高度，在 C 处测得ADG30
19、，在 E 处第 13 页（共 19 页）测得AFG60，CE8 米，仪器高度 CD1.5 米，这棵树 AB 的高度为 （1.5+4） 米【分析】根据直角三角形的边角间关系，可用含 AG 的代数式表示出 FG、DG ，由于DGFG DF ，得到关于 AG 的方程，求解即可【解答】解：由题意，四边形 CDFE、四边形 FEBG、四边形 CDBG 均为矩形，ADG 、AFG 均为直角三角形，所以 CDBG1.5 米，CEDF8 米在 Rt ADG 中，tanADG ，即 DG AG，在 Rt AFG 中，tan AFG ，即 FG AG，又DGFG DF8， AG AG8即 AG8AG4
20、ABAG +GB1.5+4 （米）故答案为：1.5+4第 14 页（共 19 页）【点评】本题考查了解直角三角形掌握直角三角形的边角关系是解决本题的关键19一斜坡的坡比 i1：1，那么坡角 45 【分析】根据一斜坡的坡比 i1：1，可以得到 tan 的值，从而可以得到 的度数【解答】解：一斜坡的坡比 i1：1，tan 1 ，45，故答案为：45【点评】本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，明确坡比的含义是解答本题的关键20如图，某地修建高速公路，要从 B 地向 C 地修一座隧道（B，C 在同一水平上） ，某工程师乘坐热气球从 B 地出发，垂足上升 100m 到达 A 处，在 A 处观察 C
21、地的俯角为30，则 BC 两地之间的距离为 100 m【分析】利用题意得到C 30，AB 100，然后根据 30的正切可计算出 BC【解答】解：根据题意得C30，AB 100，tanC ，BC 100 （m） 故答案为 100 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角：仰角是向上看的视线与水平线的第 15 页（共 19 页）夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形三解答题（共 5 小题）21如图，在 RtABC 中，C90，BC6，tanA 求 AB 的长和 si
22、nB 的值【分析】根据A 的正切值用 BC 表示出 AC，再利用勾股定理列式求解即可得到 BC 的长，然后求出 AB 的长，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解【解答】解：在 RtABC 中，C90，BC6，tanA ，AC12，AB 6 ，sinB 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，用 BC 表示出 AC 是解题的关键22完成下列表格，并回答下列问题，锐角 30 45 60 sincostan（1）当锐角 逐渐增大时， sin 的值逐渐 增大 ，cos 的值逐渐 减少 ，tan 的值逐渐 增大 （2）sin30cos 60 ，sin 30 co
23、s60；（3）sin 230+cos230 1 ；（4） 30 ；（5）若 sincos，则锐角 45 第 16 页（共 19 页）【分析】根据特殊角的三角函数值填写即可；（1）根据锐角三角函数的增减性，同角三角函数的关系填写；（2）根据同角三角函数的关系解答；（3）根据同角三角函数的关系解答；（4）45角的正弦和余弦相等【解答】解：填表如下：锐角 30 45 60 sincostan 1（1）当锐角 逐渐增大时， sin 的值逐渐 增大，cos 的值逐渐 减少，tan 的值逐渐增大（2）sin30cos 60 ，sin 30 cos60；（3）sin 230+cos2
24、301；（4） 30；（5）若 sincos，则锐角 45故答案为：增大，减少，增大60 ，30 ；1；30；45【点评】考查了三角函数，应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记23如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）参考数据： 1.414 ， 1.732【分析】利用锐角三角函数，在 RtCDE 中计算出坝高 DE 及 CE 的长，通过矩形ADEF利用等腰直角三角形的边角关系，求出 BF 的长，得到坝底的宽第 17 页（共 19 页）【解答
25、】解：在 RtCDE 中，sinC ，cosCDEsin30DC 147（m） ，CEcos30DC 147 12.12412.12，四边形 AFED 是矩形，EFAD 6m ，AFDE7m在 Rt ABF 中，B45DEAF7m ，BCBF+EF+EC7+6+12.1225.1225.1（m ）答：该坝的坝高和坝底宽分别为 7m 和 25.1m【点评】本题考查了解直角三角形的应用题目难度不大，求 BF 的长即可利用直角等腰三角形的性质，也可利用锐角三角函数24如图，某数学兴趣小组想测量一座塔的高度，他们在广场选择点 A 处，测得塔顶 C 的仰角为 40，然后沿着 AD 的方向前进 32m，到
26、达 B 点，在 B 处测得塔顶 C 的仰角为60 （A、B 、 D 三点在同一条直线上） 请你根据他们的测量数据计算塔 CD 的高度 （结果精确到整数，参考数据：sin400.643，cos400.766，tan400.839，1.732）【分析】在两个直角三角形中用 CD 表示出 AD，BD ，列方程解出 CD【解答】解：在 RtACD 中， A40，第 18 页（共 19 页）AD ，在 Rt BCD 中， CBD 60，BD CD，又 ABAD BD， CD32，解得 CD55答：塔 CD 的高度是 55 米【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形25如
27、图，一艘海轮在 A 点时测得灯塔 C 在它的北偏东 45方向上，它沿正东方向航行80 海里后到达 B 处此时灯塔 C 在它的北偏西 60方向上（1）求海轮在航行过程中与灯塔 C 的最短距离：（结果保留根号）（2）求海轮在 B 处时与灯塔 C 的距离 （结果保留根号） 【分析】 （1）过 C 作 AB 的垂线，设垂足为 D，则 CD 的长为海轮在航行过程中与灯塔C 的最短距离；（2）在 RtBCD 中，根据 60角的余弦值即可求出海轮在 B 处时与灯塔 C 的距离【解答】解：（1）过 C 作 AB 的垂线，垂足为点 D，根据题意可得：1245，3460，设 CD 的长为 x 海里，在 Rt ACD 中， tan45 ，则 ADCDx，在 Rt BCD 中， tan60 ，则 BD x，AB80，AD+ BD80，x+ x80，解得：x40 40，第 19 页（共 19 页）答：海轮在航行过程中与灯塔 C 的最短距离是（40 40）海里；（2）在 RtBCD 中，cos60 ，BC2CD80 80（海里） ，答：海轮在 B 处时与灯塔 C 的距离为（80 80）海里【点评】本题主要考查解直角三角形的应用方向角问题，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线