1、2017-2018 学年广东省汕头市澄海区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1 （3 分）计算 的结果是（ ）A16 B4 C2 D42 （3 分）若 与最简二次根式 是同类二次根式，则 m 的值为（ ）A7 B11 C2 D13 （3 分）若一个三角形三个内角度数的比为 1：2：3，且最大的边长为 2 ，那么最小的边长为（ ）A1 B C2 D44 （3 分）如图，在ABC 中，若 ABAC 6，BC 4， D 是 BC 的中点，则 AD 的长等于（ ）A4 B2 C2 D45 （3 分）下列计算
2、正确的是（ ）A B5 5 C D6 （3 分）在一次函数 ykx+1 中，若 y 随 x 的增大而增大，则它的图象不经过第（ ）象限A四 B三 C二 D一7 （3 分）如图，ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，已知AD10 ，BD 14，AC8，则 OBC 的周长为（ ）A16 B19 C21 D288 （3 分）已知一次函数 y（m +1）x+m 21 的图象经过原点，则 m 的值为（ ）第 2 页（共 24 页）A0 B1 C1 D19 （3 分）如图，已知直线 l1l 2l 3l 4，相邻两条平行线间的距离都是 1，正方形
3、ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则正方形 ABCD 的面积为（ ）A B C3 D510 （3 分）如图，在矩形纸片 ABCD 中，AD4cm ，把纸片沿直线 AC 折叠，使点 D 落在E 处，CE 交 AB 于点 O，若 BO3m ，则 AC 的长为（ ）A6cm B8cm C5 cm D4 cm二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）11 （4 分）|1 | 12 （4 分）使 为整数的 x 的值可以是 （只需填一个） 13 （4 分）一组数据 2，3，x，5，7 的平均
4、数是 4，则这组数据的众数是 14 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，AOD 120，对角线AC4，则 BC 的长为 15 （4 分）如图，小明同学在东西方向的环海路 A 处，测得海中灯塔 P 在北偏东 60方向上，在 A 处向正东方向行了 100 米到达 B 处，测得海中灯塔 P 在北偏东 30方向上，则灯塔 P 到环海路的距离 PC 米第 3 页（共 24 页）16 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 l：y x+2 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 A1，点 A
5、2， A3， 在直线 l 上，点 B1，B 2，B 3，在 x 轴的正半轴上，若A 1OB1，A2B1B2，A 3B2B3，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在 x 轴上，则第 n 个等腰直角三角形 AnBn1 Bn 顶点 Bn 的横坐标为 三、解答题（一） （本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分）17 （6 分）计算：18 （6 分）已知一次函数 ykx+b 的图象与直线 y2x+1 的交点 M 的横坐标为 1，与直线 yx 1 的交点 N 的纵坐标为 2，求这个一次函数的解析式19 （6 分）如图，长 4m 的楼梯 AB 的倾斜角ABD 为 60，为
6、了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角ACD 为 45，求调整后的楼梯 AC 的长四、解答题（二） （本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）20 （7 分）为鼓励学生积极参加体育锻炼，某学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年级随机抽取了部分学生所穿运动鞋的号码，绘制了如下的统计图和图（不完整） 请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，图中 m 的值为 ；（2）请补全条形统计图，并求本次调查样本数据的众数和中位数；第 4 页（共 24 页）（3）根据样本数据，若学校计划
7、购买 400 双运动鞋，建议购买 35 号运动鞋多少双？21 （7 分）若 x、y 都是实数，且 y + + ，求 x2y+xy2 的值22 （7 分）如图，已知 DB AC，E 是 AC 的中点，DB AE，连结 AD、BE（1）求证：四边形 DBCE 是平行四边形；（2）若要使四边形 ADBE 是矩形，则ABC 应满足什么条件？说明你的理由五、解答题（三） （本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分）23 （9 分）某商场计划购进 A，B 两种新型节能台灯共 100 盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：类型 价格 进价（元/盏） 售价（元/盏）A 型 30 45B 型
8、50 70（1）若商场预计进货款为 3500 元，则这两种台灯各购进多少盏？（2）若商场规定 B 型台灯的进货数量不超过 A 型台灯数量的 3 倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？24 （9 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB6，点 E 在边 CD 上，且 CE2DE，将ADE沿 AE 对折得到 AFE，延长 EF 交边 BC 于点 G，连结 AG、CF（1）求证：ABGAFG；第 5 页（共 24 页）（2）判断 BG 与 CG 的数量关系，并证明你的结论；（3）作 FHCG 于点 H，求 GH 的长25 （9 分）如图所示，已知直线 L 过点 A（0，
9、1）和 B（1，0） ，P 是 x 轴正半轴上的动点，OP 的垂直平分线交 L 于点 Q，交 x 轴于点 M（1）直接写出直线 L 的解析式；（2）设 OPt，OPQ 的面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式；并求出当 0t2 时，S 的最大值；（3）直线 L1 过点 A 且与 x 轴平行，问在 L1 上是否存在点 C，使得CPQ 是以 Q 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点 C 的坐标，并证明；若不存在，请说明理由第 6 页（共 24 页）2017-2018 学年广东省汕头市澄海区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
10、1 （3 分）计算 的结果是（ ）A16 B4 C2 D4【分析】直接根据二次根式的性质把原式进行化简即可【解答】解：原式 4故选：B【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键2 （3 分）若 与最简二次根式 是同类二次根式，则 m 的值为（ ）A7 B11 C2 D1【分析】直接化简二次根式，进而利用同类二次根式的定义分析得出答案【解答】解： 5 与最简二次根式 是同类二次根式，m+1 3，解得：m2故选：C【点评】此题主要考查了同类二次根式，正确把握同类二次根式的定义是解题关键3 （3 分）若一个三角形三个内角度数的比为 1：2
11、：3，且最大的边长为 2 ，那么最小的边长为（ ）A1 B C2 D4【分析】先求出三角形是直角三角形，再根据含 30角的直角三角形的性质得出即可【解答】解：三角形三个内角度数的比为 1：2：3，三角形的内角和等于 180，此三角形的三个角的度数是 30，60，90，即此三角形是直角三角形，三角形的最大的边长为 2 ，三角形的最小的边长为 2 ，第 7 页（共 24 页）故选：B【点评】本题考查了三角形的内角和定理和含 30角的直角三角形的性质，能求出三角形是直角三角形是解此题的关键4 （3 分）如图，在ABC 中，若 ABAC 6，BC 4， D 是 BC 的中点，则 AD 的长
12、等于（ ）A4 B2 C2 D4【分析】根据等腰三角形的性质得到 ADBC，BD BC2，根据勾股定理计算即可【解答】解：ABAC，D 是 BC 的中点，ADBC，BD BC2，AD 4 ，故选：A【点评】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2c 25 （3 分）下列计算正确的是（ ）A B5 5 C D【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题【解答】解： 不能合并，故选项 A 错误，故选项 B 错误，故选项 C 错误，故选项 D 正确，故选：D【点评】本题考查二次根式
13、的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法第 8 页（共 24 页）6 （3 分）在一次函数 ykx+1 中，若 y 随 x 的增大而增大，则它的图象不经过第（ ）象限A四 B三 C二 D一【分析】利用一次函数的性质得到 k0，则可判断直线 ykx +1 经过第一、三象限，然后利用直线 ykx+1 与 y 轴的交点为（0，1）可判断直线 ykx+1 不经过第四象限【解答】解：ykx+1，y 随 x 的增大而增大，k0，直线 ykx+1 经过第一、三象限，而直线 ykx+1 与 y 轴的交点为（0，1） ，直线 ykx+1 经过第一、二、三象限，不经过第四象限故选：
14、A【点评】本题考查了一次函数的性质：对于一次函数 ykx +b，当 k0，y 随 x 的增大而增大，函数从左到右上升；k0，y 随 x 的增大而减小，函数从左到右下降7 （3 分）如图，ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，已知AD10 ，BD 14，AC8，则 OBC 的周长为（ ）A16 B19 C21 D28【分析】由平行四边形的性质得出 OAOC4，OB OD7，BCAD10，即可求出OBC 的周长【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，OAOC4，OBOD7，BCAD 10，OBC 的周长OB+OC+ AD4+7+1021故选：C【点评】本题主要考查了平行四
15、边形的性质，并利用性质解题平行四边形基本性质：平行四边形两组对边分别平行； 平行四边形的两组对边分别相等； 平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分8 （3 分）已知一次函数 y（m +1）x+m 21 的图象经过原点，则 m 的值为（ ）第 9 页（共 24 页）A0 B1 C1 D1【分析】先根据一次函数 y（m +1）x+（m 21）的图象经过原点得出关于 m 的不等式组，求出 m 的值即可【解答】解：一次函数 y（m +1）x+（m 21）的图象经过原点， ，解得 m1故选：C【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数 ykx +b（k 0
16、）中，当 b0 时函数图象经过原点是解答此题的关键9 （3 分）如图，已知直线 l1l 2l 3l 4，相邻两条平行线间的距离都是 1，正方形 ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则正方形 ABCD 的面积为（ ）A B C3 D5【分析】过 D 点作直线 EF 与平行线垂直，与 l1 交于点 E，与 l4 交于点 F易证ADEDFC，得 CF1，DF2根据勾股定理可求 CD2 得正方形的面积【解答】解：作 EFl 2，交 l1 于 E 点，交 l4 于 F 点l 1l 2l 3l 4，EFl 2，EFl 1，EFl 4，即AEDDFC90ABCD 为正方形，ADC90ADE+CD
17、F90又ADE+DAE 90，CDFDAE在ADE 和DCF 中第 10 页（共 24 页）ADEDCF（AAS ） ，CFDE1DF2，CD 21 2+225，即正方形 ABCD 的面积为 5故选：D【点评】此题主要考查了正方形的性质和面积计算，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键10 （3 分）如图，在矩形纸片 ABCD 中，AD4cm ，把纸片沿直线 AC 折叠，使点 D 落在E 处，CE 交 AB 于点 O，若 BO3m ，则 AC 的长为（ ）A6cm B8cm C5 cm D4 cm【分析】根据折叠前后角相等可证 AOCO，在直角三角形 CBO 中，运用勾股
18、定理求得 CO，再根据线段的和差关系和勾股定理求解即可【解答】解：根据折叠前后角相等可知DCAACO，四边形 ABCD 是矩形，ABCD，ADBC4cm，DCACAO，ACOCAO，AOCO，第 11 页（共 24 页）在直角三角形 BCO 中，CO 5cm，ABCDAO+BO3+58cm，在 Rt ABC 中，AC cm，故选：D【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）11 （4 分）|1 | 1 【分析】
19、根据差的绝对值是大数减小数，可得答案【解答】解：|1 | 1，故答案为： 1【点评】本题考查了实数的性质，差的绝对值是大数减小数12 （4 分）使 为整数的 x 的值可以是 2 （只需填一个） 【分析】根据 2 填上即可【解答】解：使 为整数的 x 的值可以是 2，故答案为：2【点评】本题考查了实数，能理解算术平方根的意义是解此题的关键，此题答案比唯一，如还有 5、3、10 等13 （4 分）一组数据 2，3，x，5，7 的平均数是 4，则这组数据的众数是 3 【分析】根据平均数的定义可以先求出 x 的值，再根据众数的定义求出这组数的众数即可【解答】解：利用平均数的计算公式，得（2+3+x+5
20、+7 ）45，解得 x3，则这组数据的众数即出现最多的数为 3故答案为：3【点评】本题考查的是平均数和众数的概念注意一组数据的众数可能不只一个14 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，AOD 120，对角线AC4，则 BC 的长为 2 第 12 页（共 24 页）【分析】由矩形的性质得出ABC90，OA OB，再证明AOB 是等边三角形，得出 OAAB，求出 AB，然后根据勾股定理即可求出 BC【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，ABC90，OA AC，OB BD，ACBD，OAOB ，AOD 120 ，AOB60，AOB 是等边三角形，OAA
21、B，AC2OA4，AB2BC ；故答案为：2 【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键15 （4 分）如图，小明同学在东西方向的环海路 A 处，测得海中灯塔 P 在北偏东 60方向上，在 A 处向正东方向行了 100 米到达 B 处，测得海中灯塔 P 在北偏东 30方向上，则灯塔 P 到环海路的距离 PC 50 米【分析】在图中两个直角三角形中，先根据已知角的正切函数，分别求出 AC 和 BC，根据它们之间的关系，构建方程解答【解答】解：由已知得，在 Rt PBC 中，PBC60 ，PCBC ta
22、n60 BC在 Rt APC 中，PAC30 ，AC PC3BC 100+BC第 13 页（共 24 页）解得，BC50PC50 （米） ，答：灯塔 P 到环海路的距离 PC 等于 50 米故答案为：50【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键明确解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线16 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 l：y x+2 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 A1，点 A2， A3， 在直线 l 上，点 B1，B 2，B 3，在 x 轴的正半轴上，若A 1OB1，A2B1B2，A 3B2B3，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都
23、在 x 轴上，则第 n 个等腰直角三角形 AnBn1 Bn 顶点 Bn 的横坐标为 2 n+12 【分析】先求出 B1、B 2、B 3的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题【解答】解：由题意得 OA OA12，OB 1OA 12，B1B2B 1A24，B 2A3B 2B38，B 1（2，0） ，B 2（6，0） ，B 3（14，0），22 22，62 32，142 42，B n 的横坐标为 2n+12故答案为 2n+12【点评】本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从第 14 页（共 24 页）特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型三、解答题（一
24、） （本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分）17 （6 分）计算：【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案【解答】解：原式4 +3 2 +3【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算，本题属于基础题型18 （6 分）已知一次函数 ykx+b 的图象与直线 y2x+1 的交点 M 的横坐标为 1，与直线 yx 1 的交点 N 的纵坐标为 2，求这个一次函数的解析式【分析】依据条件求得交点 M 的坐标是（1，1） ，交点 N 的坐标是（3，2） ，再根据待定系数法即可得到一次函数的解析式【解答】解：把 x1 代入 y2x +1 中，可得 y1，故交点 M 的坐
25、标是（1，1 ） ；把 y2 代入 yx 1 中，得 x3，故交点 N 的坐标是（3，2） ，设这个一次函数的解析式是 ykx+b，把（1，1） ， （3，2）代入，可得，解得 ，故所求函数的解析式是 y x 【点评】本题考查了两直线相交的问题，解题的关键是理解交点是两条直线的公共点19 （6 分）如图，长 4m 的楼梯 AB 的倾斜角ABD 为 60，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角ACD 为 45，求调整后的楼梯 AC 的长第 15 页（共 24 页）【分析】先在 RtABD 中利用正弦的定义计算出 AD，然后在 RtACD 中利用正弦的定义计算 AC 即可【解答】解：
26、在 RtABD 中，sinABD ，AD4sin602 （m） ，在 Rt ACD 中， sin ACD ，AC （m） 【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角：坡度是坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用 i 表示，常写成 i1：m 的形式把坡面与水平面的夹角 叫做坡角，坡度 i 与坡角 之间的关系为：itan四、解答题（二） （本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）20 （7 分）为鼓励学生积极参加体育锻炼，某学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年级随机抽取了部分学生所穿运动鞋的号码，绘制了如下的统计图和图（不
27、完整） 请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 40 ，图中 m 的值为 15 ；（2）请补全条形统计图，并求本次调查样本数据的众数和中位数；（3）根据样本数据，若学校计划购买 400 双运动鞋，建议购买 35 号运动鞋多少双？第 16 页（共 24 页）【分析】 （1）根据统计图中的数据可以得到调查的总人数和 m 的值；（2）根据（1）中的结果可以求得 34 号运动鞋的人数，从而可以将条形统计图补充完整，进而得到相应的众数和中位数；（3）根据统计图中的数据可以解答本题【解答】解：（1）1230%40，m% 100%15% ，故答案为：40，15；（2
28、）34 号运动鞋为：401210846，补全的条形统计图如右图所示，由条形统计图可得，本次调查样本数据的众数和中位数分别是：35 号、36 号；（3）40030%120（双） ，答：建议购买 35 号运动鞋 120 双【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答21 （7 分）若 x、y 都是实数，且 y + + ，求 x2y+xy2 的值【分析】根据二次根式有意义的条件可得 x2，进而可得 y 的值，然后代入求值即可【解答】解：由题意得： ，解得：x2，则 y ，x2y+xy2xy（x+ y）2 （2+ ）4 +4【点评】此题主要考
29、查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数第 17 页（共 24 页）22 （7 分）如图，已知 DB AC，E 是 AC 的中点，DB AE，连结 AD、BE（1）求证：四边形 DBCE 是平行四边形；（2）若要使四边形 ADBE 是矩形，则ABC 应满足什么条件？说明你的理由【分析】 （1）根据 ECBD，ECBD 即可证明；（2）根据等腰三角形三线合一的性质得出BEA90，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形推出即可【解答】 （1）证明：E 是 AC 中点，AEEC，DBAE，ECBD又DBAC，四边形 DECB 是平行四边形（2）ABC 满足 ABBC 时，四边形
30、 DBEA 是矩形理由如下：DBAE ，又DBAC，四边形 DBEA 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ，ABBC，E 为 AC 中点，AEB 90，平行四边形 DBEA 是矩形，即ABC 满足 ABBC 时，四边形 DBEA 是矩形第 18 页（共 24 页）【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，题目难度不大，熟练掌握平行四边形的判定与性质以及平行四边形与矩形的联系是解题的关键五、解答题（三） （本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分）23 （9 分）某商场计划购进 A，B 两种新型节能台灯共 100 盏，这两种台灯的
31、进价、售价如表所示：类型 价格 进价（元/盏） 售价（元/盏）A 型 30 45B 型 50 70（1）若商场预计进货款为 3500 元，则这两种台灯各购进多少盏？（2）若商场规定 B 型台灯的进货数量不超过 A 型台灯数量的 3 倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？【分析】 （1）设商场应购进 A 型台灯 x 盏，表示出 B 型台灯为（100x）盏，然后根据进货款A 型台灯的进货款+B 型台灯的进货款列出方程求解即可；（2）设商场销售完这批台灯可获利 y 元，根据获利等于两种台灯的获利总和列式整理，再求出 x 的取值范围，然后根据一次函数的增减性
32、求出获利的最大值【解答】解：（1）设商场应购进 A 型台灯 x 盏，则 B 型台灯为（100x）盏，根据题意得，30x+50（100x）3500，解得 x75，所以，1007525，答：应购进 A 型台灯 75 盏，B 型台灯 25 盏；（2）设商场销售完这批台灯可获利 y 元，则 y（4530）x +（7050） （100x ） ，第 19 页（共 24 页）15x+200020x ，5x+2000，即 y5x+2000 ，B 型台灯的进货数量不超过 A 型台灯数量的 3 倍，100x3x，x25，k50，y 随 x 的增大而减小，x25 时，y 取得最大值，为525+20001875（元）
33、答：商场购进 A 型台灯 25 盏，B 型台灯 75 盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为 1875 元【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了一次函数的增减性， （2）题中理清题目数量关系并列式求出 x 的取值范围是解题的关键24 （9 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB6，点 E 在边 CD 上，且 CE2DE，将ADE沿 AE 对折得到 AFE，延长 EF 交边 BC 于点 G，连结 AG、CF（1）求证：ABGAFG；（2）判断 BG 与 CG 的数量关系，并证明你的结论；（3）作 FHCG 于点 H，求 GH 的长【分析】 （1）先计算出 DE 2，EC4，再根据折叠的性
34、质AFAD 6，EFED2，AFE D90，FAEDAE，然后根据“HL”可证明 RtABGRtAFG；（2）由全等性质得 GBGF、BAGFAG ，从而知GAE BAD45、GEGF+EFBG +DE；设 BGx，则 GFx，CGBCBG6x，在 RtCGE 中，根据勾股定理得（6x） 2+42（x+2） 2，解之可得 BGCG3；（3）由（2）中结果得出 GF3、GE 5，证FHGECG 得 ，代入计算可第 20 页（共 24 页）得【解答】解：（1）正方形 ABCD 的边长为 6，CE2DE，DE2，EC4，把ADE 沿 AE 折叠使ADE 落在AFE 的位置，AFAD 6，EFED2，
35、AFE D90，FAEDAE，在 Rt ABG 和 RtAFG 中 ，RtABGRtAFG（HL） ；（2）Rt ABGRtAFG，GBGF ，BAG FAG，GAEFAE+FAG BAD45，设 BGx，则 GFx ，CGBC BG6x，在 Rt CGE 中， GEx+2，EC 4，CG6x ，CG 2+CE2GE 2，（6x） 2+42（x +2） 2，解得 x3，BG3，CG633BGCG；（3）由（2）知 BGFGCG3，CE4，GE5，FHCG，FHG ECG 90，FHEC，FHG ECG ，则 ，即 ，解得 GH 第 21 页（共 24 页）【点评】本题考查了四边形的综合问题，解
36、题的关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等也考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理和正方形的性质25 （9 分）如图所示，已知直线 L 过点 A（0，1）和 B（1，0） ，P 是 x 轴正半轴上的动点，OP 的垂直平分线交 L 于点 Q，交 x 轴于点 M（1）直接写出直线 L 的解析式；（2）设 OPt，OPQ 的面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式；并求出当 0t2 时，S 的最大值；（3）直线 L1 过点 A 且与 x 轴平行，问在 L1 上是否存在点 C，使得CPQ 是以 Q 为直角顶点的等腰直角三角形
37、？若存在，求出点 C 的坐标，并证明；若不存在，请说明理由【分析】 （1）已知直线 L 过 A，B 两点，可将两点的坐标代入直线的解析式中，用待定系数法求出直线 L 的解析式；（2）求三角形 OPQ 的面积，就需知道底边 OP 和高 QM 的长，已知了 OP 为 t，关键是求出 QM 的长已知了 QM 垂直平分 OP，那么 OM t，然后要分情况讨论：当 OMOB 时，即 0t2 时，BM OB OM，然后在等腰直角三角形 BQM 中，即可得出 QM BM，由此可根据三角形的面积公式得出 S 与 t 的函数关系式当 OMOB 时，即当 t2 时，BM OM OB，然后根据的方法即可得出 S 与
38、 t 的函数关系式然后可根据 0t2 时的函数的性质求出 S 的最大值；（3）如果存在这样的点 C，那么 CQQPOQ，因此 C，O 就关于直线 BL 对称，因此 C 的坐标应该是（1，1） 那么只需证明 CQPQ 即可分三种情况进行讨论当 Q 在线段 AB 上（Q，B 不重合） ，且 P 在线段 OB 上时要证CQP90，那么在四边形 CQPB 中，就需先证出QCB 与QPB 互补，由于QPB 与QPO 互补，而QPO QOP，因此只需证 QCBQOB 即可，根据折叠的性质，这两个角相等，第 22 页（共 24 页）由此可得证当 Q 在线段 AB 上，P 在 OB 的延长线上时，根据已得出Q
39、PBQCB，那么这两个角都加上一个相等的对顶角后即可得出CQPCBP90 度当 Q 与 B 重合时，很显然，三角形 CQP 应该是个等腰直角三角形综上所述即可得出符合条件 C 点的坐标【解答】解：由题意得（1）y1x；（2）OPt，Q 点的横坐标为 ，当 ，即 0t2 时， ，S OPQ t（1 t） 当 t 2 时，QM |1 t| t1，S OPQ t（ t1） 当 0 t1，即 0t2 时，S t（1 t） （t1） 2+ ，当 t1 时，S 有最大值 ；第 23 页（共 24 页）（3）由 OAOB1，所以OAB 是等腰直角三角形，若在 L1 上存在点 C，使得CPQ 是以 Q 为直角
40、顶点的等腰直角三角形，则 PQQC，所以 OQQC，又 L1x 轴，则 C，O 两点关于直线 L 对称，所以 ACOA1，得 C（1， 1） 下面证PQC90 度连 CB，则四边形 OACB 是正方形当点 P 在线段 OB 上，Q 在线段 AB 上（Q 与 B、C 不重合）时，如图 1由对称性，得BCQQOP，QPO QOP，QPB+QCBQPB +QPO180，PQC360（QPB+QCB+PBC ）90 度当点 P 在线段 OB 的延长线上，Q 在线段 AB 上时，如图 2，如图3QPBQCB，12，PQCPBC90 度当点 Q 与点 B 重合时，显然PQC90 度综合，PQC90 度在 L1 上存在点 C（1，1） ，使得CPQ 是以 Q 为直角顶点的等腰直角三角形【点评】本题结合了三角形的相关知识考查了一次函数及二次函数的应用，要注意的是（2）中为保证线段的长度不为负数要分情况进行求解 （3）中由于 Q，P 点的位置不第 24 页（共 24 页）确定，因此要分类进行讨论不要漏解