1、2017-2018 学年河南省洛阳市八年级（下）期末数学试卷一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1 （3 分） （ ）A5 B7 C5 D72 （3 分）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）A3 2，4 2，5 2 B C9，41，40 D2，3，43 （3 分）如图，平行四边形 ABCO 的顶点 O、A、C 的坐标分别是（0，0） 、 （3，0） 、（1，2） ，则点 B 的坐标是（ ）A （2，4） B （2，2） C （3，2） D （4，2）4 （3 分）已知一次函数 ykx+b，若 k+b0，则该函数的图象可能（ ）A
2、BC D5 （3 分）九年级（1）班“环保小组”的 5 位同学在一次活动中捡废弃塑料袋的个数分别为：4，6，8，16，16 这组数据的中位数、众数分别为（ ）A8，16 B16，16 C8，8 D10，166 （3 分）矩形的面积为 18，一边长为 ，则周长为（ ）A18 B C D247 （3 分）如图，菱形 ABCD 中，AB4，E、F 分别是 AB、BC 的中点，P 是 AC 上一动点，则 PF+PE 的最小值是（ ）第 2 页（共 25 页）A3 B C4 D8 （3 分）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：甲 乙
3、 丙 丁平均数（cm） 185 180 185 180方差 3.6 3.6 7.4 8.1根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）A甲 B乙 C丙 D丁9 （3 分）在ABC 中，AB 10，BC 12，BC 边上的中线 AD8，则ABC 边 AB 上的高为（ ）A8 B9.6 C10 D1210 （3 分）若顺次连接四边形 ABCD 四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD 一定是（ ）A矩形B菱形C对角线相等的四边形D对角线互相垂直的四边形二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）11 （3 分）若 有意义
4、，则 x 的取值范围是 12 （3 分）初二 3 班有 50 名同学，27 名男生的平均身高为 169cm，23 名女生的平均身高159cm，则全班学生的平均身高是 cm13 （3 分）函数 y2x 与 y 6kx 的图象如图所示，则 k 第 3 页（共 25 页）14 （3 分）如图，E、F 是正方形 ABCD 内的点，AE EF，EFFC，AE EF3，CF1，则正方形的面积为 15 （3 分）平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AB6，BC8，
5、若AOB是等腰三角形，则平行四边形 ABCD 的面积等于 三.解答题（本大题 8 小题，共 75 分）16 （8 分）计算：2 6 + 3 +17 （8 分）如图，矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点 C 落在 C处，BC 交 AD 于点E，AD8，AB6，求 AE 的长18 （9 分）如图是王老师散步过程中所走的路程 s（m）与步行时间 t（min）的函数图象：（1）王老师散步过程中停留了 min；（2）王老师散步过程的平均速度是 m /min；（3）求 BC 段 s 关于 t 的函数关系式第 4 页（
6、共 25 页）19 （9 分）在一次社会调查活动中，小华收集到某“健步走运动”团队中 20 名成员一天行走的步数，记录如下：5640 6430 6520 6798 73258430 8215 7453 7446 67547638 6834 7326 6830 86488753 9450 9865 7290 7850对这 20 个数据按组距 1
7、000 进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：步数分组统计表组别 步数分组 频数A 5500x6500 2B 6500x7500 10C 7500x8500 mD 8500x9500 3E 9500x10500 n请根据以上信息解答下列问题：（1）求 m，n 的值；（2）补全频数发布直方图；（3）这 20 名“健步走运动”团队成员一天行走步数的中位数落在哪一组？（4）若该团队共有 120 人，请估计其中一天行走步数不少于 7500 步的人数第 5 页（共 25 页）20 （10 分）如图所示，直线 y x+3 与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，点 C 是 y 轴负半轴上一点，
8、BABC（1）求ABC 的面积和点 C 的坐标；（2）在平面内是否存在点 P，使以 P、A、B、C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由21 （10 分）如图，O 是矩形 ABCD 对角线 AC 的中点，AB4，BC8，P 是边 AD 上一动点（不与 A、D 重合）（1）PO 的延长线交 BC 于 Q求四边形 AQCP 是平行四边形；（2）连接 BP、DQ，四边形 BPDQ 能否成为菱形？若能，请直接写出此时 AP 的长；若不能，请说明理由22 （10 分）某学校七年级一班学生要去实验基地进行实践活动，估计乘车人数为 10 人到40 人之间，
9、现在欲租甲、乙两家旅行社的车辆，已知甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人 120 元，经过协商，甲旅行社表示可给予每位学生七五折优惠；乙旅行第 6 页（共 25 页）社表示可先免去一位同学的车费，然后给予其他同学八折优惠（1）若用 x 表示乘车人数，请用 x 表示选择甲、乙旅行社的费用 y 甲 与 y 乙 ；（2）请你帮助学校选择哪一家旅行社费用合算？23 （11 分）已知边长为 2 的正方形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上的一个动点（与点 A、C不重合） ，过点 P 作 PEPB，PE 交射线 DC 于点 E，过点 E 作 EFAC，垂足为点 F（1）求证：PBPE ；（2）
10、在点 P 的运动过程中，PF 的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，写出解答过程；若变化，试说明理由；（3）在点 P 的运动过程中，PEC 能否为等腰三角形？如果能，直接写出此时 AP 的长；如果不能，试说明理由第 7 页（共 25 页）2017-2018 学年河南省洛阳市八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1 （3 分） （ ）A5 B7 C5 D7【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案【解答】解：原式615故选：A【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键2 （3 分）下列各组数中能
11、作为直角三角形的三边长的是（ ）A3 2，4 2，5 2 B C9，41，40 D2，3，4【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可【解答】解：A、9 2+16225 2，故不是直角三角形，故不符合题意；B、 （ ） 2+（ ） 2（ ） 2，故不是直角三角形，故不符合题意；C、9 2+40241 2，故是直角三角形，故符合题意；D、2 2+324 2，故不是直角三角形，故不符合题意故选：C【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可3 （3 分）如图，平行四边形 ABCO
12、的顶点 O、A、C 的坐标分别是（0，0） 、 （3，0） 、（1，2） ，则点 B 的坐标是（ ）A （2，4） B （2，2） C （3，2） D （4，2）第 8 页（共 25 页）【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点 B 的纵坐标与点 C 的纵坐标相等，且 BCOA 即可得到结论【解答】解：如图，在OABC 中，O （0，0） ，A（3，0） ，OABC3，又BCAO，点 B 的纵坐标与点 C 的纵坐标相等，B（4，2） ，故选：D【点评】本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质此题充分利用了“平行四边形的对边相互平行且相等”的性质4 （3 分）已知一次
13、函数 ykx+b，若 k+b0，则该函数的图象可能（ ）A BC D【分析】由 k+b0 可得出一次函数 ykx+b 的图象过点（1，0） ，观察四个选项即可得出结论【解答】解：在一次函数 ykx+b 中 k+b0，一次函数 ykx+b 的图象过点（1，0） 故选：A【点评】本题考查了一次函数的图象，由 k+b0 找出一次函数 ykx +b 的图象过点（1，0）是解题的关键5 （3 分）九年级（1）班“环保小组”的 5 位同学在一次活动中捡废弃塑料袋的个数分别第 9 页（共 25 页）为：4，6，8，16，16 这组数据的中位数、众数分别为（ ）A8，16 B16，16
14、 C8，8 D10，16【分析】根据中位数和众数的定义求解【解答】解：这组数据的中位数为：8，众数为：16故选：A【点评】本题考查了中位数和众数，解答本题的关键是掌握众数和中位数的定义，属于基础题6 （3 分）矩形的面积为 18，一边长为 ，则周长为（ ）A18 B C D24【分析】先根据二次根式的除法求出矩形的另一边，再利用二次根式的加法求出其周长即可【解答】解：根据题意矩形的另一边长为 182 3 ，则矩形的周长为 2（2 +3 ）10 ，故选：C【点评】本题主要考查二次根式的乘除法，解题的关键是掌握二次根式乘除运算法则7 （3 分）如图，菱形 ABCD 中，AB4，E、F
15、分别是 AB、BC 的中点，P 是 AC 上一动点，则 PF+PE 的最小值是（ ）A3 B C4 D【分析】先根据菱形的性质求出其边长，再作 E 关于 AC 的对称点 E，连接 EF，则EF 即为 PE+PF 的最小值，再根据菱形的性质求出 EF 的长度即可【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC6，BD8，直线 AC 是菱形的对称轴，作 E 关于 AC 的对称点 E，连接 EF，则 EF 即为 PE+PF 的最小值，AC 是DAB 的平分线，E 是 AB 的中点，E在 AD 上，且 E是 AD 的中点，第 10 页（共 25 页）ADAB，AEAE，F 是 BC 的中
16、点，EFAB4故选：C【点评】本题考查的是轴对称最短路线问题及菱形的性质，熟知菱形的性质是解答此题的关键8 （3 分）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：甲 乙 丙 丁平均数（cm） 185 180 185 180方差 3.6 3.6 7.4 8.1根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）A甲 B乙 C丙 D丁【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加【解答】解： ，从甲和丙中选择一人参加比赛， ，选择甲参赛，故选：A【点评】此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键9 （3
17、 分）在ABC 中，AB 10，BC 12，BC 边上的中线 AD8，则ABC 边 AB 上的第 11 页（共 25 页）高为（ ）A8 B9.6 C10 D12【分析】如图，作 CEAB 于 E利用勾股定理的逆定理证明 ADBC，再利用面积法求出 EC 即可【解答】解：如图，作 CE AB 于 EAD 是ABC 的中线，BC12，BD6，AB10，AD8，BD6，AB 2AD 2+BD2，ADB90，ADBC，S ABC BCAD ABCE，CE 9.6，故选：B【点评】本题考查勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用面积法求三角形的高10 （
18、3 分）若顺次连接四边形 ABCD 四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD 一定是（ ）A矩形B菱形C对角线相等的四边形D对角线互相垂直的四边形【分析】首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解第 12 页（共 25 页）【解答】已知：如右图，四边形 EFGH 是矩形，且 E、F 、G 、H 分别是AB、BC、CD、AD 的中点，求证：四边形 ABCD 是对角线垂直的四边形证明：由于 E、F、G、H 分别是 AB、BC 、CD、AD 的中点，根据三角形中位
19、线定理得：EHFG BD，EFACHG ；四边形 EFGH 是矩形，即 EFFG，ACBD，故选：D【点评】本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）11 （3 分）若 有意义，则 x 的取值范围是 x0 【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案【解答】解： 有意义，x0，故答案为：x0【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键12 （3 分）初二 3 班有 50 名同学，27 名男生的平均身高为 169cm，23 名女生的平均身高159cm，则全班学生的平均身高是
20、 164.4 cm【分析】只要运用求平均数公式： 即可求得全班学生的平均身高【解答】解：全班学生的平均身高是： 164.4（cm） 故答案为：164.4【点评】本题考查的是样本平均数的求法熟记公式是解决本题的关键13 （3 分）函数 y2x 与 y 6kx 的图象如图所示，则 k 1 第 13 页（共 25 页）【分析】首先根据一次函数 y2x 与 y6kx 图象的交点纵坐标为 4，代入一次函数y2x 求得交点坐标为（2，4） ，然后代入 y6kx 求得 k 值即可【解答】解：一次函数 y2x 与 y6kx 图象的交点纵坐标为 2，42x，解得：x2，交点坐标为（2，4） ，代入 y
21、6kx，62k 4，解得 k1故答案为：1【点评】本题考查了两条直线平行或相交问题，解题的关键是交点坐标适合 y2x 与y6kx 两个解析式14 （3 分）如图，E、F 是正方形 ABCD 内的点，AE EF，EFFC，AE EF3，CF1，则正方形的面积为 【分析】首先连接 AC，则可证得 AEM CFM，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得 EM 与 FM 的长，然后由勾股定理求得 AM 与 CM 的长，进而得到 AC 的长，在 Rt ABC 中，由 ABAC sin45，即可求出正方形的边长【解答】解：连接 AC，AC 交 EF 于 M第 14 页（共 25
22、页）AEEF，EFFC，EF 90，AME CMF，AEM CFM， ，AE3，EF3，FC1， 3，EM ，FM ，在 Rt AEM 中， AM ，在 Rt FCM 中，CM ，AC5，在 Rt ABC 中，ABACsin45 正方形 ABCD 的面积 故答案为 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质以及勾股定理的应用此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用15 （3 分）平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AB6，BC8，若AOB是等腰三角形，则平行四边形 ABCD 的面积等于 48 或 2 【分析】分三种情形分别讨论求解即可解决问
23、题；【解答】解：情形 1：如图当 OAOB 时，四边形 ABCD 是平行四边形，AC2OA，BD2OB ，ACBD，四边形 ABCD 是矩形，第 15 页（共 25 页）四边形 ABCD 的面积48情形 2：当 ABAO OC 6 时，作 AHBC 于 H设 HCxAH 2AB 2BH 2AC 2CH 2，6 2（8x） 212 2x 2，x ，AH ，四边形 ABCD 的面积8 2 情形 3：当 ABOB 时，四边形 ABCD 的面积与情形 2 相同综上所述，四边形 ABCD 的面积为 48 或 2 故答案为 48 或 2 【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，
24、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型三.解答题（本大题 8 小题，共 75 分）16 （8 分）计算：2 6 + 3 +【分析】直接化简二次根式进而合并同类二次根式进而得出答案【解答】解：原式4 6 +4 3 +4 2 +4 3 +6 3 + 【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键17 （8 分）如图，矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点 C 落在 C处，BC 交 AD 于点第 16 页（共 25 页）E，AD8，AB6，求 AE 的长【分析】先根据折叠的性质得到DBCDBE，再由 ADBC 得到DBCBDE，则D
25、BEBDE，于是可判断 BEDE 设 AEx ，则 DEBE8x，然后在 RtABE 中利用勾股定理得到 x2+62（8x） 2，再解方程即可【解答】解：BDC是由BDC 折叠得到，DBCDBE，ADBC，DBCBDE，DBEBDE，BEDE设 AEx，则 DEADAE 8x，BE8x ，在 Rt ABE 中，AE 2+AB2 BE2，x 2+62（8x ） 2，解得 x ，即 AE 的长为 【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等也考查了勾股定理18 （9 分）如图是王老师散步过程中所走的路程 s（m）与步行时
26、间 t（min）的函数图象：（1）王老师散步过程中停留了 6 min；（2）王老师散步过程的平均速度是 25 m /min；（3）求 BC 段 s 关于 t 的函数关系式第 17 页（共 25 页）【分析】 （1）根据函数图象可以得到王老师散步过程中停留的时间；（2）根据函数图象中的数据，可以求得王老师散步过程的平均速度；（3）根据函数图象中的数据可以求得 BC 段 s 关于 t 的函数关系式【解答】解：（1）由图象可得，王老师散步过程中停留了：16106min，故答案为：6；（2）王老师散步过程的平均速度是：10004025m /min，故答案为：25；（3）设 BC 段 s 关于 t 的函
27、数关系式是 skt+b，得 ，即 BC 段 s 关于 t 的函数关系式是 s 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答19 （9 分）在一次社会调查活动中，小华收集到某“健步走运动”团队中 20 名成员一天行走的步数，记录如下：5640 6430 6520 6798 73258430 8215 7453 7446 67547638 6834 7326 6
28、830 86488753 9450 9865 7290 7850对这 20 个数据按组距 1000 进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：步数分组统计表组别 步数分组 频数第 18 页（共 25 页）A 5500x6500 2B 6500x7500 10C 7500x8500 mD 8500x9500 3E 9500x10500 n请根据以上信息解答下列问题：（1）求 m，n 的值；（2）补全频数发布直方图；（3）这 20 名“健步走运动”团队成员一天行走步数的中位数落在哪一组？（4）若该团队共有 120
29、 人，请估计其中一天行走步数不少于 7500 步的人数【分析】 （1）根据题目中的数据即可直接确定 m 和 n 的值；（2）根据（1）的结果即可直接补全直方图；（3）根据中位数的定义直接求解；（4）利用总人数乘以对应的比例即可求解【解答】解：（1）由记录的数据可知，7500x8500 的有 8430、8215、7638、7850这 4 个，即 m4；9500x10500 的有 9865 这 1 个，即 n1（2）如图：第 19 页（共 25 页）（3）由于一共 20 个数据，其中位数是第 10、11 个数据的平均数，而第 10、11 个数据的平均数均落在 B 组，这 20 名“健步走运动”团队
30、成员一天行走步数的中位数落在 B 组；（4）120 48（人） ，答：估计其中一天行走步数不少于 7500 步的有 48 人【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题20 （10 分）如图所示，直线 y x+3 与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，点 C 是 y 轴负半轴上一点，BABC（1）求ABC 的面积和点 C 的坐标；（2）在平面内是否存在点 P，使以 P、A、B、C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 （1）根据解析式
31、得出 A，B 坐标，利用等腰三角形的性质得出 C 坐标，进而利用三角形的面积公式解答即可第 20 页（共 25 页）（2）以两边为邻边，另一边为对角线画平行四边形是可行的，所以点 P 存在【解答】解：（1）令 x0 代入解析式可得：y3，令 y0 代入解析式可得：x 4，所以 A（4，0） ，B（0，3） ，点 C 是 y 轴负半轴上一点，BABC ，点 C 坐标为（0，2） ，ABC 的面积 ；（2）当 AB 是对角线时，APBC，APBC5，A（4，0） ，点 P1（4，5） ；当 BACP，且 BACP 时， 点 P2（4，1） ；当 AC 是对角线时，APBC，APBC 5，A（4，0
32、） ， 点 P3（4，5） ；存在 P（4，5）或（4，1）或（4，5） ，使以 A、B、C、P 为顶点的四边形为平行四边形【点评】此题考查一次函数的综合题，主要利用了：（1）求交点坐标即求它们组成的方程组的解；（2）图形的分割转化思想；（3）分类讨论思想21 （10 分）如图，O 是矩形 ABCD 对角线 AC 的中点，AB4，BC8，P 是边 AD 上一动点（不与 A、D 重合）（1）PO 的延长线交 BC 于 Q求四边形 AQCP 是平行四边形；（2）连接 BP、DQ，四边形 BPDQ 能否成为菱形？若能，请直接写出此时 AP 的长；若不能，请说明理由第 21 页（共 25 页）【分析】
33、 （1）由题意可证APOCQO ，可得 APCQ，则可证 AQCP 是平行四边形（2）若四边形 BPDQ 是菱形，可得 AQCQ，根据勾股定理可求 AP 的长【解答】证明：（1）四边形 ABCD 是矩形ADBCDACBCA，APQCQPO 是矩形 ABCD 对角线 AC 的中点AOCO 且DACBCA，APQCQPAOPCOQAPCQ 且 APCQ四边形 AQCP 是平行四边形（2）若四边形 BPDQ 为菱形PDPBBQAP8PD 8BP在 Rt ABP 中，BP 2AB 2+AP2BP 216+（8BP） 2BP5AP3当 AP3 时，四边形 BPDQ 为菱形【点评】本题考查了矩形的性质，平
34、行四边形的判定，菱形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键22 （10 分）某学校七年级一班学生要去实验基地进行实践活动，估计乘车人数为 10 人到40 人之间，现在欲租甲、乙两家旅行社的车辆，已知甲、乙两家旅行社的服务质量相同，第 22 页（共 25 页）且报价都是每人 120 元，经过协商，甲旅行社表示可给予每位学生七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位同学的车费，然后给予其他同学八折优惠（1）若用 x 表示乘车人数，请用 x 表示选择甲、乙旅行社的费用 y 甲 与 y 乙 ；（2）请你帮助学校选择哪一家旅行社费用合算？【分析】 （1）设共有 x 人由题意得：甲旅行社的花费1
35、20人数七五折；乙旅行社的花费120（人数1）八折；（2）分三种情况：y 甲 y 乙 时，y 甲 y 乙 时，y 甲 y 乙 时，分别列出方程或不等式进行计算即可【解答】解：（1）设共有 x 人，则y 甲 0.75120x 90x ，y 乙 0.8120（x 1）96x96；（2）由 y 甲 y 乙 得，90x 96 x96，解得：x16，y 甲 y 乙 得，90x 96x96，解得：x16，y 甲 y 乙 得，90x 96x96，解得：x16，所以，当人数为 1016 人时，选择乙旅行社合算；当人数 1640 人时，选择甲旅行社合算；当人数正好是 16 人时，选择甲、乙旅行社一样【点评】此题
36、主要考查了一元一次不等式和方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中不等关系，再列出不等式23 （11 分）已知边长为 2 的正方形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上的一个动点（与点 A、C不重合） ，过点 P 作 PEPB，PE 交射线 DC 于点 E，过点 E 作 EFAC，垂足为点 F（1）求证：PBPE ；（2）在点 P 的运动过程中，PF 的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，写出解答过程；若变化，试说明理由；（3）在点 P 的运动过程中，PEC 能否为等腰三角形？如果能，直接写出此时 AP 的长；如果不能，试说明理由第 23 页（共 25 页）【分析】 （1）过点 P
37、 作 PG BC 于 G，过点 P 作 PHDC 于 H，如图 1要证PBPE，只需证到PGB PHE 即可；（2）连接 BD，如图 2易证 BOPPFE，则有 BO PF，只需求出 BO 的长即可；（3）可分点 E 在线段 DC 上和点 E 在线段 DC 的延长线上两种情况讨论，通过计算就可求出符合要求的 AP 的长；【解答】 （1）证明：过点 P 作 PGBC 于 G，过点 P 作 PHDC 于 H，如图 1四边形 ABCD 是正方形，PGBC，PHDC，GPCACBACDHPC45PGPH ，GPH PGBPHE90PEPB 即BPE 90，BPG90GPE EPH 在PGB 和PHE
38、中，PGBPHE（ASA ） ，PBPE（2）解：连接 BD，如图 2第 24 页（共 25 页）四边形 ABCD 是正方形，BOP90PEPB 即BPE 90，PBO90BPO EPFEFPC 即 PFE90，BOPPFE在BOP 和PFE 中，BOPPFE（AAS ） ，BOPF四边形 ABCD 是正方形，OBOC，BOC90，BC OBBC2，OB ，PFOB 点 PP 在运动过程中，PF 的长度不变，值为 （3） 若点 E 在线段 DC 上，如图 1BPE BCE90， PBC+PEC 180第 25 页（共 25 页）PBC90，PEC90若PEC 为等腰三角形，则 EPEC EPCECP45，PEC90，与PEC90矛盾，当点 E 在线段 DC 上时，PEC 不可能是等腰三角形若点 E 在线段 DC 的延长线上，如图 4若PEC 是等腰三角形，PCE135，CPCE，CPECEP22.5APB 1809022.567.5PRC90+PBR 90+CER，PBR CER22.5，ABP 67.5，ABP APBAPAB2AP 的长为 2【点评】本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、四边形的内角和定理、三角形的内角和定理及外角性质等知识，有一定的综合性，而通过添加辅助线证明三角形全等是解决本题的关键