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2019年北京市朝阳区高考数学一模试卷(文科)含答案解析

1、2019 年北京市朝阳区高考数学一模试卷(文科)一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1 (5 分)在复平面内,复数 z 对应的点位于( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2 (5 分)设实数 x,y 满足不等式组 ,则 2x+y 的最大值是( )A1 B2 C3 D43 (5 分)已知集合 A1, 2,3,4,5 ,且 ABA ,则集合 B 可以是( )A x|2x1 Bx|x 21 C x|log2x1 D1 ,2,34 (5 分)已知ABC 中,A120,a ,三角形 ABC 的面积为 ,且 bc,则cb( )A

2、 B3 C3 D5 (5 分)已知 a,b,cR,给出下列条件:a 2b 2; ;ac 2bc 2,则使得ab 成立的充分而不必要条件是( )A B C D6 (5 分)某三棱锥的三视图如图所示,若网格纸上小正方形的边长为 1,则该三棱锥的体积为( )A4 B2 C D7 (5 分)已知圆 C:(x 2) 2+y22,直线 l:ykx2若直线 l 上存在点 P,过点 P引圆的两条切线 11,l 2,使得 l1l 2,则实数 k 的取值范围是( )A0,2 )(2 ,+) B2 C (,0) D0,+ )8 (5 分)某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是 14,10,8若这三天中至少有

3、一天开车上班的职工人数是 20,则这三天都开车上班的职工人数至多是( )A5 B6 C7 D8二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分9 (5 分)已知平面向量 (2,1) , (1,x) 若 ,则 x 10 (5 分)执行如图所示的程序框图,输出的 x 值为 11 (5 分)双曲线 y 21 的右焦点到其一条渐近线的距离是 12 (5 分)能说明“函数(x)的图象在区间0,2 上是一条连续不断的曲线,若 f(0)f(2)0,则 f(x )在( 0,2)内无零点”为假命题的一个函数是 13 (5 分)天坛公园是明清两代皇帝“祭天” “祈谷”的场所天坛公园中的圜丘台共有三层(如图 1

4、 所示) ,上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板,从中心向外围以扇面形石铺成(如图 2 所示) 上层坛从第一环至第九环共有九环,中层坛从第十环至第十八环共有九环,下层坛从第十九环至第二十七环共有九环;第一环的扇面形石有 9 块,从第二环起,每环的扇面形石块数比前一环多 9 块,则第二十七环的扇面形石块数是 ;上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是 14 (5 分)若不等式 logax+x40(a0 且 a1)在区间(0,2)内有解,则实数 a 的取值范围是 三、解答题共 6 小题,共 80 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程15 (13 分)已知函数 f(x )cos 2x+ sinxcos

5、x()求 f( )的值及 f(x)的最小正周期;()若函数 f(x )在区间0,m 上单调递增,求实数 m 的最大值16 (13 分)在等比数列a n中,a 1 ,a 44,n N*()求数列a n的通项公式;()设 bna n+n6,数列 bn的前 n 项和为 Sn,若 Sn0,求 n 的最小值17 (13 分)某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了 50 名乘客,统计其乘车等待时间(指乘客从进站口到乘上车的时间,乘车等待时间不超过 40 分钟)将统计数据按5,10) ,10,15) ,15,20) ,35,40 分组,制成频率分布直方图:()求 a 的值;()记 A 表示事

6、件“在上班高峰时段某乘客在甲站乘车等待时间少于 20 分钟“,试估计 A 的概率;()假设同组中的每个数据用该组区间左端点值来估计,记在上班高峰时段甲、乙两站各抽取的 50 名乘客乘车的平均等待时间分别为 , ,求 的值,并直接写出与 的大小关系18 (14 分)如图,在多面体 ABCDEF 中平面 ADEF平面 ABCD,四边形 ADEF 为正方形,四边形 ABCD 为梯形,且 ADBC,BAD90,ABAD 1,BC 2()求证:AFCD;()若 M 为线段 BD 的中点,求证:CE 平面 AMF;()求多面体 ABCDEF 的体积19 (13 分)已知函数 f(x )ae x4x,a R

7、()求函数 f(x )的单调区间;()当 a1 时,求证:曲线 yf (x)在抛物线 yx 21 的上方20 (14 分)已知点 M(x 0,y 0)为椭圆 C: +y21 上任意一点,直线 l:x 0x+2y0y2与圆(x 1) 2+y26 交于 A,B 两点,点 F 为椭圆 C 的左焦点()求椭圆 C 的离心率及左焦点 F 的坐标;()求证:直线 l 与椭圆 C 相切;()判断AFB 是否为定值,并说明理由2019 年北京市朝阳区高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1 (5 分)在复平

8、面内,复数 z 对应的点位于( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】根据 1i 2 将复数 进行化简成复数的标准形式,得到复数所对应的点,从而得到该点所在的位置【解答】解: i+2所对应的点为(2,1) ,该点位于第四象限故选:D【点评】本题主要考查了复数代数形式的运算,复数和复平面内的点的对应关系,属于基础题2 (5 分)设实数 x,y 满足不等式组 ,则 2x+y 的最大值是( )A1 B2 C3 D4【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求最大值【解答】解:作出实数 x,y 满足不等式组 对应的平面区域如图:(阴影部分) 由 z2x+y 得 y2

9、x +z,平移直线 y2x +z,由图象可知当直线 y2x +z 经过点 A 时,直线 y2x +z 的截距最大,此时 z 最大由 ,解得 A(1,0) ,代入目标函数 z2x+y 得 z21+02即目标函数 z2x+y 的最大值为 2故选:B【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法3 (5 分)已知集合 A1, 2,3,4,5 ,且 ABA ,则集合 B 可以是( )A x|2x1 Bx|x 21 C x|log2x1 D1 ,2,3【分析】由 ABA 可得出 AB,可分别求出选项 A,B,C 的各集合,看是否满足 A是该集合

10、的子集即可【解答】解:ABA ;AB ,且 A1,2,3,4,5;Ax|2 x1x|x0,满足 Ax|x0;B x|x21x| x1,或 x1 ,不满足 Ax|x1,或 x1 ;Cx|log 2x1x |x2,不满足 Ax|x2 ;D不满足 A1,2,3故选:A【点评】考查列举法的定义,交集的定义及运算,子集的定义,指数函数和对数函数的单调性4 (5 分)已知ABC 中,A120,a ,三角形 ABC 的面积为 ,且 bc,则cb( )A B3 C3 D【分析】根据面积求出 bc,再利用余弦定理即可求出 cb 的值【解答】解:ABC 中,S bcsinA bc ,bc4由余弦定理可得 cosA

11、 , ,解得(cb) 29,又 bc ,cb3故选:B【点评】本题考查了余弦定理,三角形的面积公式,属于中档题5 (5 分)已知 a,b,cR,给出下列条件:a 2b 2; ;ac 2bc 2,则使得ab 成立的充分而不必要条件是( )A B C D【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解:由 a2b 2;得 a,b 关系不确定,无法得 ab 成立,当 a 0,b 0 时,满足 但 ab 不成立;若 ac2bc 2,得 c0,则 ab,反之不成立,即是 ab 成立的充分不必要条件,故选:C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合不等式的关系是解决本题

12、的关键6 (5 分)某三棱锥的三视图如图所示,若网格纸上小正方形的边长为 1,则该三棱锥的体积为( )A4 B2 C D【分析】画出几何体的直观图,利用三视图的数据,求解几何体的体积即可【解答】解:由题意可知:几何体是正方体的一部分,是三棱锥,所以该三棱锥的体积为: 故选:D【点评】本题考查三视图求解几何体的体积,判断几何体的形状是解题的关键7 (5 分)已知圆 C:(x 2) 2+y22,直线 l:ykx2若直线 l 上存在点 P,过点 P引圆的两条切线 11,l 2,使得 l1l 2,则实数 k 的取值范围是( )A0,2 )(2 ,+) B2 C (,0) D0,+ )【分析】如图所示,

13、直线 l 上存在点 P,过点 P 引圆的两条切线 11,l 2,使得 l1l 2,可得CPA45,可得|CP| 2设 P(x,y) ,则点 P 满足:(x2) 2+y24,与ykx 2 联立化简,利用0,即可得出 k 的取值范围【解答】解:如图所示,直线 l 上存在点 P,过点 P 引圆的两条切线 11,l 2,使得 l1l 2,则CPA45,|CP| 2设 P(x ,y) ,则点 P 满足:( x2) 2+y24,与 ykx2 联立化为:(1+k 2)x 2( 4k+4)x +40,(4k+4) 244(1+k 2)0,解得 k0实数 k 的取值范围是0 ,+) 故选:D【点评】本题考查了直

14、线与圆相切的性质、圆的方程、一元二次方程有解与判别式的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题8 (5 分)某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是 14,10,8若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是 20,则这三天都开车上班的职工人数至多是( )A5 B6 C7 D8【分析】设周一,周二,周三开车上班的职工组成的集合分别为 A,B,C,集合A,B,C 中元素个数分别为 n(A) ,n(B) ,n(C) ,根据 n(ABC )n(A)+n(B)+n(C)n(AB ) n(AC )n(BC)+n(ABC) ,且 n(AB)n(AB C) ,n(AC)n(ABC ) ,n(BC)n(A

15、BC)可得【解答】解:设周一,周二,周三开车上班的职工组成的集合分别为 A,B,C,集合A,B,C 中元素个数分别为 n(A) ,n(B) ,n(C) ,BC则 n(A)14,n(B)10,n(C )8,n(ABC)20,因为 n(AB C)n(A)+ n(B )+ n(C )n(AB )n(A C )n(BC)+n(ABC) ,且 n(AB)n(ABC) ,n(AC )n(ABC) ,n(BC)n(ABC) ,所以 14+10+820+n(ABC )3n(ABC) ,即 n(ABC) 6故选:B【点评】本题考查了 Venn 图表达集合的关系以及运算,属中档题二、填空题共 6 小题,每小题 5

16、 分,共 30 分9 (5 分)已知平面向量 (2,1) , (1,x) 若 ,则 x 【分析】根据 即可得出 2x+10,解出 x 即可【解答】解: ;2x+10; 故答案为: 【点评】考查向量坐标的概念,以及平行向量的坐标关系10 (5 分)执行如图所示的程序框图,输出的 x 值为 【分析】根据程序框图进行模拟计算即可【解答】解:当 x2,n1 时,n2 成立,则 x ,n2,此时 n2 成立,则 x ,n3,此时 n2 不成立,输出 x ,故答案为:【点评】本题主要考查程序框图的应用,利用条件进行模拟运算是解决本题的关键11 (5 分)双曲线 y 21 的右焦点到其一条渐近线的距离是 1

17、 【分析】确定双曲线的右焦点与一条渐近线方程,利用点到直线的距离公式,即可得到结论【解答】解:双曲线 y 21 的右焦点坐标为( ,0) ,一条渐近线方程,x2y0双曲线 y 21 的右焦点到一条渐近线的距离为 1故答案为:1【点评】本题考查双曲线的几何性质,考查点到直线的距离公式,考查学生的计算能力,属于基础题12 (5 分)能说明“函数(x)的图象在区间0,2 上是一条连续不断的曲线,若 f(0)f(2)0,则 f(x )在( 0,2)内无零点”为假命题的一个函数是 f (x)(x 1) 2 【分析】取函数 f(x )(x1) 2,可得:f(0)f (2) 1110,f(1)0,满足“若

18、f(0)f(2)0,则 f(x )在(0,2)有零点”为真命题,即”若 f(0)f(2)0,则 f(x)在(0,2)内无零点”为假命题,得解【解答】解:“若 f(0)f(2)0,则 f(x )在(0,2)内无零点”为假命题,即“若 f(0)f(2)0,则 f(x )在(0,2)有零点”为真命题,取函数 f(x)( x1) 2,可得:f(0)f (2)11 10,f(1)0,故答案为:f(x )(x1) 2【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系及零点定理,属中档题13 (5 分)天坛公园是明清两代皇帝“祭天” “祈谷”的场所天坛公园中的圜丘台共有三层(如图 1 所示) ,上层坛的中心是一块呈

19、圆形的大理石板,从中心向外围以扇面形石铺成(如图 2 所示) 上层坛从第一环至第九环共有九环,中层坛从第十环至第十八环共有九环,下层坛从第十九环至第二十七环共有九环;第一环的扇面形石有 9 块,从第二环起,每环的扇面形石块数比前一环多 9 块,则第二十七环的扇面形石块数是 243 ;上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是 3402 【分析】根据条件知每环石块数构成等差数列,首项 a19,d9,利用等差数列的通项公式以及前 n 项和公式进行计算即可【解答】解:由题意知每环石块数构成等差数列,首项 a19,d9,则 a27a 1+26d9+26 9243,上、中、下三层坛所有的扇面形石块数为前 27

20、 项和,即 S27 3402,故答案为:243,3402【点评】本题主要考查等差数列的应用,结合等差数列的通项公式是解决本题的关键14 (5 分)若不等式 logax+x40(a0 且 a1)在区间(0,2)内有解,则实数 a 的取值范围是 (0,1)(1, ) 【分析】通过 a1 与 0a1,转化求解不等式 logax+x40(a0 且 a1)在区间(0,2)内有解,列出不等式组,即可求解实数 a 的取值范围【解答】解:当 a1 时,函数 ylog ax+x4 是增函数,可得 f(2)log a2+24 0解得 1a 当 a(0,1)时,x 0 时,f(x)0,x 2 时,f(2) loga

21、2+240,满足题意,所以实数 a 的取值范围是(0,1)(1, ) 故答案为:(0,1)(1, )【点评】本题考查分段函数的应用,函数与不等式的关系,考查转化思想以及计算能力三、解答题共 6 小题,共 80 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程15 (13 分)已知函数 f(x )cos 2x+ sinxcosx()求 f( )的值及 f(x)的最小正周期;()若函数 f(x )在区间0,m 上单调递增,求实数 m 的最大值【分析】 ()利用倍角公式结合辅助角公式进行化简求解即可()根据三角函数的单调性的性质求出函数的单调递增区间,结合单调区间关系进行求解即可【解答】解:()f(x )c

22、os 2x+ sinxcosx + sin2xsin(2x+ )+,则 f( )sin(2 + )+ sin + 1,函数的最小周期 T ()由 2k 2x+ 2k+ ,k Z,得 k xk+ ,k Z,即函数的单调递增区间为k ,k + ,k Z,当 k0 时,函数的单调递增区间为 , ,若函数 f(x)在区间 0,m上单调递增,则0,m , ,即 0m ,即实数 m 的最大值为 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键16 (13 分)在等比数列a n中,a 1 ,a 44,n N*()求数列a n的通项公式;()设 bna n+n6,数列 bn的前

23、 n 项和为 Sn,若 Sn0,求 n 的最小值【分析】本题第()题可根据等比数列的定义求出数列a n的通项公式;第()题先求出数列b n的一般项,通过对一般项的观察发现数列 bn是一个等差数列加上一个等比数列,在求数列b n的前 n 项和为 Sn 可将等差数列和等比数列分别求和再相加,然后再判断 Sn0 时 n 的最小值【解答】解:()由数列a n为等比数列,且 a1 , a44,得 , ,即:q 38解得 q2数列a n的通项公式 ()由题意,可知:,S nb 1+b2+bn(5+2 1 )+ (4+2 0) +(n6+2 n2 ) +2n2 ) 当 n5 时, , ,S n0;当 n4

24、时, ;当 n3 时, ;当 n2 时, ;当 n1 时, n 的最小值为 5【点评】本题第()题主要考查等比数列的基本概念;第()题求数列b n的前 n项 Sn,时采用的是裂项法分别求和本题属中档题17 (13 分)某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了 50 名乘客,统计其乘车等待时间(指乘客从进站口到乘上车的时间,乘车等待时间不超过 40 分钟)将统计数据按5,10) ,10,15) ,15,20) ,35,40 分组,制成频率分布直方图:()求 a 的值;()记 A 表示事件“在上班高峰时段某乘客在甲站乘车等待时间少于 20 分钟“,试估计 A 的概率;()假设同组中的

25、每个数据用该组区间左端点值来估计,记在上班高峰时段甲、乙两站各抽取的 50 名乘客乘车的平均等待时间分别为 , ,求 的值,并直接写出与 的大小关系【分析】 ()由频率分布直方图的性质能求出 a()由频率分布直方图求出该乘客在甲站平均等待时间少于 20 分钟的频率,由此能估计 A 的概率()由频率分布直方图的性质能求出 ,由频率分布直方图得 【解答】解:()0.01253+0.04052+0.0485+a51,a0.036()由题意知该乘客在甲站平均等待时间少于 20 分钟的频率为:(0.012+0.040+0.048)50.5,估计 A 的概率 P(A )0.5()(0.0125+0.040

26、10+0.04815+0.040 20+0.03625+0.01230+0.01235)518.3由频率分布直方图得 【点评】本题考查实数值的求法,考查概率、平均数的求法,考查频率分布直方图的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题18 (14 分)如图,在多面体 ABCDEF 中平面 ADEF平面 ABCD,四边形 ADEF 为正方形,四边形 ABCD 为梯形,且 ADBC,BAD90,ABAD 1,BC 2()求证:AFCD;()若 M 为线段 BD 的中点,求证:CE 平面 AMF;()求多面体 ABCDEF 的体积【分析】 ()由四边形 ADEF 为正方形,得 AFAD ,再由平面

27、ADEF平面 ABCD,结合面面垂直的性质可得 AF平面 ABCD,从而得到 AFCD;()延长 AM,交 BC 于 G,证明BGMDAM,得到 BGAD1,再由已知证明四边形 GCEF 为平行四边形,得到 CEGF ,然后利用线面平行的判定可得 CE平面AMF;()设 G 为 BC 中点,连接 DG,EG,分别证明 DG 平面 AFB,DE 平面 AFB,可得平面 DEG 平面 AFB进一步证明 AD平面 ABF,得到多面体 AFBDEG 为直三棱柱然后利用三棱柱 AFBDEG 与三棱锥 EDGC 的体积和求求多面体 ABCDEF 的体积【解答】 ()证明:四边形 ADEF 为正方形,AF

28、AD,又平面 ADEF平面 ABCD,且平面 ADEF平面 ABCDAD ,AF平面 ADEF,AF平面 ABCD,又 CD平面 ABCD,AF CD;()证明:延长 AM,交 BC 于 G,ADBC,M 为 BD 的中点, BGMDAM,BGAD 1,BC2,GC1,由已知 FEAD1 且 FEAD,又ADGC,FEGC,且 FEGC四边形 GCEF 为平行四边形,则 CEGF ,CE平面 AMF,GF平面 AMF,CE平面 AMF;()解:设 G 为 BC 中点,连接 DG,EG,由已知 DGAB,DG平面 AFB,又DEAF,DE平面 AFB,平面 DEG 平面 AFBADAB,ADAF

29、,AD平面 ABF,多面体 AFBDEG 为直三棱柱ABAFAD1,且BAF90,V 1V 三棱柱 AFBDEG S AFB AD ,由已知 DGAB,且 DGAB,DGGC 且 DGGC1,又DEAF,AF平面 CDG,DE平面 CDG,DEAF1, 【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用等积法求解多面体的体积,是中档题19 (13 分)已知函数 f(x )ae x4x,a R()求函数 f(x )的单调区间;()当 a1 时,求证:曲线 yf (x)在抛物线 yx 21 的上方【分析】 ()求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,求

30、出函数的单调区间即可;()设 F(x )e x4x +x2+1,求出函数的导数,根据函数的单调性证明即可【解答】解:()f(x )ae x4,定义域是 R,当 a0 时,f(x )0,函数 f(x)在 R 递减,当 a0 时,令 f(x )0,解得:xln ,f (x)递增,令 f(x)0 ,解得:xln ,f (x)递减,故 a0 时,函数 f(x )在 R 递增,当 a0 时,函数 f(x )在(ln ,+)递增,在( ,ln )递减;()由题意,只需证明 ex4x+x 2+10,设 F(x )e x4x +x2+1,则 F(x) ex4+2x ,设 G(x)F(x) ,G(x)0,故 G

31、(x )在 R 递增,又 G(0)30,G(1)e20,故 G(x)0 在(0,1)内有唯一解,即为 x0,即 42x 0,当 xx 0 时,F(x)0,F(x)递减,当 xx 0 时,F(x)0,F(x)递增,故 F(x )min F(x 0) 4x 0+ +1 6x 0+5,x 0(0,1) ,设 g(x)x 26x +5(x3) 24,x(0,1) ,则 g(x)g(1)0,故 F(x 0)0 ,故 F(x )0,即曲线 yf(x)在抛物线 yx 21 上方【点评】本题考查了函数的单调性,最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,是一道综合题20 (14 分)已知点 M(x 0

32、,y 0)为椭圆 C: +y21 上任意一点,直线 l:x 0x+2y0y2与圆(x 1) 2+y26 交于 A,B 两点,点 F 为椭圆 C 的左焦点()求椭圆 C 的离心率及左焦点 F 的坐标;()求证:直线 l 与椭圆 C 相切;()判断AFB 是否为定值,并说明理由【分析】 ()根据椭圆的离心率公式即可求出,()根据判别式即可证明()根据向量的数量积和韦达定理即可证明,需要分类讨论,【解答】解:()由题意可得 a ,b1,则 c 1,椭圆 C 的离心率 e ,左焦点 F 的坐标(1,0) ,证明:()由题意可得 +y021,当 y00 时,直线 l 的方程为 x 或 x ,直线 l 与

33、椭圆相切,当 y00 时,由 可得(2y 02+x02)x 24x 0x+44y 020,即 x22xx 0+22y 020,(2x 0) 24(22y 02)4x 02+8y0280,故直线 l 与椭圆 C 相切()设 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) ,当 y00 时,x 1x 2,y 1y 2,x 1 , (x 1+1) 2y 12(x 1+1) 26+(x 11) 22x 1240, ,即AFB90当 y00 时,由 , (y 02+1)x 22(2y 02+x0x)x+210y 020,则 x1+x2 ,x 1x2 ,y 1y2 x1x2 (x 1+x2)+ , (x 1+1,y 1)(x 2+1,y 2)x 1x2+x1+x2+1+y1y2 + + 0, ,即AFB90综上所述AFB 为定值 90【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查向量的运算,注意直线方程和椭圆方程联立,运用韦达定理,考查化简整理的运算能力,属于中档题