1、2019 年北京市朝阳区高考数学一模试卷（文科）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 （5 分）在复平面内，复数 z 对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2 （5 分）设实数 x，y 满足不等式组 ，则 2x+y 的最大值是（ ）A1 B2 C3 D43 （5 分）已知集合 A1， 2，3，4，5 ，且 ABA ，则集合 B 可以是（ ）A x|2x1 Bx|x 21 C x|log2x1 D1 ，2，34 （5 分）已知ABC 中，A120，a ，三角形 ABC 的面积为 ，且 bc，则cb（ ）A
2、 B3 C3 D5 （5 分）已知 a，b，cR，给出下列条件：a 2b 2； ；ac 2bc 2，则使得ab 成立的充分而不必要条件是（ ）A B C D6 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，若网格纸上小正方形的边长为 1，则该三棱锥的体积为（ ）A4 B2 C D7 （5 分）已知圆 C：（x 2） 2+y22，直线 l：ykx2若直线 l 上存在点 P，过点 P引圆的两条切线 11，l 2，使得 l1l 2，则实数 k 的取值范围是（ ）A0，2 ）（2 ，+） B2 C （，0） D0，+ ）8 （5 分）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是 14，10，8若这三天中至少有
3、一天开车上班的职工人数是 20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（ ）A5 B6 C7 D8二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9 （5 分）已知平面向量 （2，1） ， （1，x） 若 ，则 x 10 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 x 值为 11 （5 分）双曲线 y 21 的右焦点到其一条渐近线的距离是 12 （5 分）能说明“函数（x）的图象在区间0，2 上是一条连续不断的曲线，若 f（0）f（2）0，则 f（x ）在（ 0，2）内无零点”为假命题的一个函数是 13 （5 分）天坛公园是明清两代皇帝“祭天” “祈谷”的场所天坛公园中的圜丘台共有三层（如图 1
4、 所示） ，上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石铺成（如图 2 所示） 上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有 9 块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多 9 块，则第二十七环的扇面形石块数是 ；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是 14 （5 分）若不等式 logax+x40（a0 且 a1）在区间（0，2）内有解，则实数 a 的取值范围是 三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 （13 分）已知函数 f（x ）cos 2x+ sinxcos
5、x（）求 f（ ）的值及 f（x）的最小正周期；（）若函数 f（x ）在区间0，m 上单调递增，求实数 m 的最大值16 （13 分）在等比数列a n中，a 1 ，a 44，n N*（）求数列a n的通项公式；（）设 bna n+n6，数列 bn的前 n 项和为 Sn，若 Sn0，求 n 的最小值17 （13 分）某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了 50 名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过 40 分钟）将统计数据按5，10） ，10，15） ，15，20） ，35，40 分组，制成频率分布直方图：（）求 a 的值；（）记 A 表示事
6、件“在上班高峰时段某乘客在甲站乘车等待时间少于 20 分钟“，试估计 A 的概率；（）假设同组中的每个数据用该组区间左端点值来估计，记在上班高峰时段甲、乙两站各抽取的 50 名乘客乘车的平均等待时间分别为 ， ，求 的值，并直接写出与 的大小关系18 （14 分）如图，在多面体 ABCDEF 中平面 ADEF平面 ABCD，四边形 ADEF 为正方形，四边形 ABCD 为梯形，且 ADBC，BAD90，ABAD 1，BC 2（）求证：AFCD；（）若 M 为线段 BD 的中点，求证：CE 平面 AMF；（）求多面体 ABCDEF 的体积19 （13 分）已知函数 f（x ）ae x4x，a R
7、（）求函数 f（x ）的单调区间；（）当 a1 时，求证：曲线 yf （x）在抛物线 yx 21 的上方20 （14 分）已知点 M（x 0，y 0）为椭圆 C： +y21 上任意一点，直线 l：x 0x+2y0y2与圆（x 1） 2+y26 交于 A，B 两点，点 F 为椭圆 C 的左焦点（）求椭圆 C 的离心率及左焦点 F 的坐标；（）求证：直线 l 与椭圆 C 相切；（）判断AFB 是否为定值，并说明理由2019 年北京市朝阳区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 （5 分）在复平
8、面内，复数 z 对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】根据 1i 2 将复数 进行化简成复数的标准形式，得到复数所对应的点，从而得到该点所在的位置【解答】解： i+2所对应的点为（2，1） ，该点位于第四象限故选：D【点评】本题主要考查了复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，属于基础题2 （5 分）设实数 x，y 满足不等式组 ，则 2x+y 的最大值是（ ）A1 B2 C3 D4【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值【解答】解：作出实数 x，y 满足不等式组 对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z2x+y 得 y2
9、x +z，平移直线 y2x +z，由图象可知当直线 y2x +z 经过点 A 时，直线 y2x +z 的截距最大，此时 z 最大由 ，解得 A（1，0） ，代入目标函数 z2x+y 得 z21+02即目标函数 z2x+y 的最大值为 2故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法3 （5 分）已知集合 A1， 2，3，4，5 ，且 ABA ，则集合 B 可以是（ ）A x|2x1 Bx|x 21 C x|log2x1 D1 ，2，3【分析】由 ABA 可得出 AB，可分别求出选项 A，B，C 的各集合，看是否满足 A是该集合
10、的子集即可【解答】解：ABA ；AB ，且 A1，2，3，4，5；Ax|2 x1x|x0，满足 Ax|x0；B x|x21x| x1，或 x1 ，不满足 Ax|x1，或 x1 ；Cx|log 2x1x |x2，不满足 Ax|x2 ；D不满足 A1，2，3故选：A【点评】考查列举法的定义，交集的定义及运算，子集的定义，指数函数和对数函数的单调性4 （5 分）已知ABC 中，A120，a ，三角形 ABC 的面积为 ，且 bc，则cb（ ）A B3 C3 D【分析】根据面积求出 bc，再利用余弦定理即可求出 cb 的值【解答】解：ABC 中，S bcsinA bc ，bc4由余弦定理可得 cosA
11、 ， ，解得（cb） 29，又 bc ，cb3故选：B【点评】本题考查了余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题5 （5 分）已知 a，b，cR，给出下列条件：a 2b 2； ；ac 2bc 2，则使得ab 成立的充分而不必要条件是（ ）A B C D【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由 a2b 2；得 a，b 关系不确定，无法得 ab 成立，当 a 0，b 0 时，满足 但 ab 不成立；若 ac2bc 2，得 c0，则 ab，反之不成立，即是 ab 成立的充分不必要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题
12、的关键6 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，若网格纸上小正方形的边长为 1，则该三棱锥的体积为（ ）A4 B2 C D【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可【解答】解：由题意可知：几何体是正方体的一部分，是三棱锥，所以该三棱锥的体积为： 故选：D【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键7 （5 分）已知圆 C：（x 2） 2+y22，直线 l：ykx2若直线 l 上存在点 P，过点 P引圆的两条切线 11，l 2，使得 l1l 2，则实数 k 的取值范围是（ ）A0，2 ）（2 ，+） B2 C （，0） D0，+ ）【分析】如图所示，
13、直线 l 上存在点 P，过点 P 引圆的两条切线 11，l 2，使得 l1l 2，可得CPA45，可得|CP| 2设 P（x，y） ，则点 P 满足：（x2） 2+y24，与ykx 2 联立化简，利用0，即可得出 k 的取值范围【解答】解：如图所示，直线 l 上存在点 P，过点 P 引圆的两条切线 11，l 2，使得 l1l 2，则CPA45，|CP| 2设 P（x ，y） ，则点 P 满足：（ x2） 2+y24，与 ykx2 联立化为：（1+k 2）x 2（ 4k+4）x +40，（4k+4） 244（1+k 2）0，解得 k0实数 k 的取值范围是0 ，+） 故选：D【点评】本题考查了直
14、线与圆相切的性质、圆的方程、一元二次方程有解与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8 （5 分）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是 14，10，8若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是 20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（ ）A5 B6 C7 D8【分析】设周一，周二，周三开车上班的职工组成的集合分别为 A，B，C，集合A，B，C 中元素个数分别为 n（A） ，n（B） ，n（C） ，根据 n（ABC ）n（A）+n（B）+n（C）n（AB ） n（AC ）n（BC）+n（ABC） ，且 n（AB）n（AB C） ，n（AC）n（ABC ） ，n（BC）n（A
15、BC）可得【解答】解：设周一，周二，周三开车上班的职工组成的集合分别为 A，B，C，集合A，B，C 中元素个数分别为 n（A） ，n（B） ，n（C） ，BC则 n（A）14，n（B）10，n（C ）8，n（ABC）20，因为 n（AB C）n（A）+ n（B ）+ n（C ）n（AB ）n（A C ）n（BC）+n（ABC） ，且 n（AB）n（ABC） ，n（AC ）n（ABC） ，n（BC）n（ABC） ，所以 14+10+820+n（ABC ）3n（ABC） ，即 n（ABC） 6故选：B【点评】本题考查了 Venn 图表达集合的关系以及运算，属中档题二、填空题共 6 小题，每小题 5
16、 分，共 30 分9 （5 分）已知平面向量 （2，1） ， （1，x） 若 ，则 x 【分析】根据 即可得出 2x+10，解出 x 即可【解答】解： ；2x+10； 故答案为： 【点评】考查向量坐标的概念，以及平行向量的坐标关系10 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 x 值为 【分析】根据程序框图进行模拟计算即可【解答】解：当 x2，n1 时，n2 成立，则 x ，n2，此时 n2 成立，则 x ，n3，此时 n2 不成立，输出 x ，故答案为：【点评】本题主要考查程序框图的应用，利用条件进行模拟运算是解决本题的关键11 （5 分）双曲线 y 21 的右焦点到其一条渐近线的距离是 1
17、 【分析】确定双曲线的右焦点与一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即可得到结论【解答】解：双曲线 y 21 的右焦点坐标为（ ，0） ，一条渐近线方程，x2y0双曲线 y 21 的右焦点到一条渐近线的距离为 1故答案为：1【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于基础题12 （5 分）能说明“函数（x）的图象在区间0，2 上是一条连续不断的曲线，若 f（0）f（2）0，则 f（x ）在（ 0，2）内无零点”为假命题的一个函数是 f （x）（x 1） 2 【分析】取函数 f（x ）（x1） 2，可得：f（0）f （2） 1110，f（1）0，满足“若
18、f（0）f（2）0，则 f（x ）在（0，2）有零点”为真命题，即”若 f（0）f（2）0，则 f（x）在（0，2）内无零点”为假命题，得解【解答】解：“若 f（0）f（2）0，则 f（x ）在（0，2）内无零点”为假命题，即“若 f（0）f（2）0，则 f（x ）在（0，2）有零点”为真命题，取函数 f（x）（ x1） 2，可得：f（0）f （2）11 10，f（1）0，故答案为：f（x ）（x1） 2【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系及零点定理，属中档题13 （5 分）天坛公园是明清两代皇帝“祭天” “祈谷”的场所天坛公园中的圜丘台共有三层（如图 1 所示） ，上层坛的中心是一块呈
19、圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石铺成（如图 2 所示） 上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有 9 块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多 9 块，则第二十七环的扇面形石块数是 243 ；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是 3402 【分析】根据条件知每环石块数构成等差数列，首项 a19，d9，利用等差数列的通项公式以及前 n 项和公式进行计算即可【解答】解：由题意知每环石块数构成等差数列，首项 a19，d9，则 a27a 1+26d9+26 9243，上、中、下三层坛所有的扇面形石块数为前 27
20、 项和，即 S27 3402，故答案为：243，3402【点评】本题主要考查等差数列的应用，结合等差数列的通项公式是解决本题的关键14 （5 分）若不等式 logax+x40（a0 且 a1）在区间（0，2）内有解，则实数 a 的取值范围是 （0，1）（1， ） 【分析】通过 a1 与 0a1，转化求解不等式 logax+x40（a0 且 a1）在区间（0，2）内有解，列出不等式组，即可求解实数 a 的取值范围【解答】解：当 a1 时，函数 ylog ax+x4 是增函数，可得 f（2）log a2+24 0解得 1a 当 a（0，1）时，x 0 时，f（x）0，x 2 时，f（2） loga
21、2+240，满足题意，所以实数 a 的取值范围是（0，1）（1， ） 故答案为：（0，1）（1， ）【点评】本题考查分段函数的应用，函数与不等式的关系，考查转化思想以及计算能力三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 （13 分）已知函数 f（x ）cos 2x+ sinxcosx（）求 f（ ）的值及 f（x）的最小正周期；（）若函数 f（x ）在区间0，m 上单调递增，求实数 m 的最大值【分析】 （）利用倍角公式结合辅助角公式进行化简求解即可（）根据三角函数的单调性的性质求出函数的单调递增区间，结合单调区间关系进行求解即可【解答】解：（）f（x ）c
22、os 2x+ sinxcosx + sin2xsin（2x+ ）+，则 f（ ）sin（2 + ）+ sin + 1，函数的最小周期 T （）由 2k 2x+ 2k+ ，k Z，得 k xk+ ，k Z，即函数的单调递增区间为k ，k + ，k Z，当 k0 时，函数的单调递增区间为 ， ，若函数 f（x）在区间 0，m上单调递增，则0，m ， ，即 0m ，即实数 m 的最大值为 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键16 （13 分）在等比数列a n中，a 1 ，a 44，n N*（）求数列a n的通项公式；（）设 bna n+n6，数列 bn的前
23、 n 项和为 Sn，若 Sn0，求 n 的最小值【分析】本题第（）题可根据等比数列的定义求出数列a n的通项公式；第（）题先求出数列b n的一般项，通过对一般项的观察发现数列 bn是一个等差数列加上一个等比数列，在求数列b n的前 n 项和为 Sn 可将等差数列和等比数列分别求和再相加，然后再判断 Sn0 时 n 的最小值【解答】解：（）由数列a n为等比数列，且 a1 ， a44，得 ， ，即：q 38解得 q2数列a n的通项公式 （）由题意，可知：，S nb 1+b2+bn（5+2 1 ）+ （4+2 0） +（n6+2 n2 ） +2n2 ） 当 n5 时， ， ，S n0；当 n4
24、时， ；当 n3 时， ；当 n2 时， ；当 n1 时， n 的最小值为 5【点评】本题第（）题主要考查等比数列的基本概念；第（）题求数列b n的前 n项 Sn，时采用的是裂项法分别求和本题属中档题17 （13 分）某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了 50 名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过 40 分钟）将统计数据按5，10） ，10，15） ，15，20） ，35，40 分组，制成频率分布直方图：（）求 a 的值；（）记 A 表示事件“在上班高峰时段某乘客在甲站乘车等待时间少于 20 分钟“，试估计 A 的概率；（）假设同组中的
25、每个数据用该组区间左端点值来估计，记在上班高峰时段甲、乙两站各抽取的 50 名乘客乘车的平均等待时间分别为 ， ，求 的值，并直接写出与 的大小关系【分析】 （）由频率分布直方图的性质能求出 a（）由频率分布直方图求出该乘客在甲站平均等待时间少于 20 分钟的频率，由此能估计 A 的概率（）由频率分布直方图的性质能求出 ，由频率分布直方图得 【解答】解：（）0.01253+0.04052+0.0485+a51，a0.036（）由题意知该乘客在甲站平均等待时间少于 20 分钟的频率为：（0.012+0.040+0.048）50.5，估计 A 的概率 P（A ）0.5（）（0.0125+0.040
26、10+0.04815+0.040 20+0.03625+0.01230+0.01235）518.3由频率分布直方图得 【点评】本题考查实数值的求法，考查概率、平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题18 （14 分）如图，在多面体 ABCDEF 中平面 ADEF平面 ABCD，四边形 ADEF 为正方形，四边形 ABCD 为梯形，且 ADBC，BAD90，ABAD 1，BC 2（）求证：AFCD；（）若 M 为线段 BD 的中点，求证：CE 平面 AMF；（）求多面体 ABCDEF 的体积【分析】 （）由四边形 ADEF 为正方形，得 AFAD ，再由平面
27、ADEF平面 ABCD，结合面面垂直的性质可得 AF平面 ABCD，从而得到 AFCD；（）延长 AM，交 BC 于 G，证明BGMDAM，得到 BGAD1，再由已知证明四边形 GCEF 为平行四边形，得到 CEGF ，然后利用线面平行的判定可得 CE平面AMF；（）设 G 为 BC 中点，连接 DG，EG，分别证明 DG 平面 AFB，DE 平面 AFB，可得平面 DEG 平面 AFB进一步证明 AD平面 ABF，得到多面体 AFBDEG 为直三棱柱然后利用三棱柱 AFBDEG 与三棱锥 EDGC 的体积和求求多面体 ABCDEF 的体积【解答】 （）证明：四边形 ADEF 为正方形，AF
28、AD，又平面 ADEF平面 ABCD，且平面 ADEF平面 ABCDAD ，AF平面 ADEF，AF平面 ABCD，又 CD平面 ABCD，AF CD；（）证明：延长 AM，交 BC 于 G，ADBC，M 为 BD 的中点， BGMDAM，BGAD 1，BC2，GC1，由已知 FEAD1 且 FEAD，又ADGC，FEGC，且 FEGC四边形 GCEF 为平行四边形，则 CEGF ，CE平面 AMF，GF平面 AMF，CE平面 AMF；（）解：设 G 为 BC 中点，连接 DG，EG，由已知 DGAB，DG平面 AFB，又DEAF，DE平面 AFB，平面 DEG 平面 AFBADAB，ADAF
29、，AD平面 ABF，多面体 AFBDEG 为直三棱柱ABAFAD1，且BAF90，V 1V 三棱柱 AFBDEG S AFB AD ，由已知 DGAB，且 DGAB，DGGC 且 DGGC1，又DEAF，AF平面 CDG，DE平面 CDG，DEAF1， 【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求解多面体的体积，是中档题19 （13 分）已知函数 f（x ）ae x4x，a R（）求函数 f（x ）的单调区间；（）当 a1 时，求证：曲线 yf （x）在抛物线 yx 21 的上方【分析】 （）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求
30、出函数的单调区间即可；（）设 F（x ）e x4x +x2+1，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（）f（x ）ae x4，定义域是 R，当 a0 时，f（x ）0，函数 f（x）在 R 递减，当 a0 时，令 f（x ）0，解得：xln ，f （x）递增，令 f（x）0 ，解得：xln ，f （x）递减，故 a0 时，函数 f（x ）在 R 递增，当 a0 时，函数 f（x ）在（ln ，+）递增，在（ ，ln ）递减；（）由题意，只需证明 ex4x+x 2+10，设 F（x ）e x4x +x2+1，则 F（x） ex4+2x ，设 G（x）F（x） ，G（x）0，故 G
31、（x ）在 R 递增，又 G（0）30，G（1）e20，故 G（x）0 在（0，1）内有唯一解，即为 x0，即 42x 0，当 xx 0 时，F（x）0，F（x）递减，当 xx 0 时，F（x）0，F（x）递增，故 F（x ）min F（x 0） 4x 0+ +1 6x 0+5，x 0（0，1） ，设 g（x）x 26x +5（x3） 24，x（0，1） ，则 g（x）g（1）0，故 F（x 0）0 ，故 F（x ）0，即曲线 yf（x）在抛物线 yx 21 上方【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题20 （14 分）已知点 M（x 0
32、，y 0）为椭圆 C： +y21 上任意一点，直线 l：x 0x+2y0y2与圆（x 1） 2+y26 交于 A，B 两点，点 F 为椭圆 C 的左焦点（）求椭圆 C 的离心率及左焦点 F 的坐标；（）求证：直线 l 与椭圆 C 相切；（）判断AFB 是否为定值，并说明理由【分析】 （）根据椭圆的离心率公式即可求出，（）根据判别式即可证明（）根据向量的数量积和韦达定理即可证明，需要分类讨论，【解答】解：（）由题意可得 a ，b1，则 c 1，椭圆 C 的离心率 e ，左焦点 F 的坐标（1，0） ，证明：（）由题意可得 +y021，当 y00 时，直线 l 的方程为 x 或 x ，直线 l 与
33、椭圆相切，当 y00 时，由 可得（2y 02+x02）x 24x 0x+44y 020，即 x22xx 0+22y 020，（2x 0） 24（22y 02）4x 02+8y0280，故直线 l 与椭圆 C 相切（）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，当 y00 时，x 1x 2，y 1y 2，x 1 ， （x 1+1） 2y 12（x 1+1） 26+（x 11） 22x 1240， ，即AFB90当 y00 时，由 ， （y 02+1）x 22（2y 02+x0x）x+210y 020，则 x1+x2 ，x 1x2 ，y 1y2 x1x2 （x 1+x2）+ ， （x 1+1，y 1）（x 2+1，y 2）x 1x2+x1+x2+1+y1y2 + + 0， ，即AFB90综上所述AFB 为定值 90【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查向量的运算，注意直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题