1、2019 年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的 一项1 （5 分）已知集合 Ax|2x 2+x0 ，Bx|2x +10，则 AB（ ）A B C x|x0 DR2 （5 分）在复平 面内，若复数（2i）z 对应的点在第 象限，则 z 可以为（ ）A2 B1 Ci D2+i3 （5 分）在平面直角坐标系 XOY 中，角 以 OX 为始边，终边经过点 P（1，m）（m0） ，则下列各式的值一定为负的是（ ）Asin+cos Bsin cos Csin cos D4 （5 分）正方体被一个平面截去 一部
2、分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为（ ）A等腰三角形 B直角三角形 C平行四边形 D梯形5 （5 分）若 x，y 满足 ，则| xy| 的最大值为（ ）A0 B1 C2 D46 （5 分）已知直线 l 过抛物线 y28x 的焦点 F，与抛物线交于 A，B 两点，与其准线交于点 C若点 F 是的 AC 中点，则线段 BC 的长为（ ）A B3 C D67 （5 分）南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异” 其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，
3、那么这两个几何体的体积相等如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V 2，被平行于这两个平 面的任意平面截得的两个截面的面积分别为 S1，S 2，则“V1，V 2 相等”是“S 1，S 2 总相等”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件8 （5 分）已知数列a n满足：a 1a， ，则下列关于a n的判断正确的是（ ）Aa0，n2，使得Ba0， n2，使得 an an+1Ca 0，mN*，总有 ama nDa 0， mN*，总有 am+na n二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9 （5 分）在 的展开式中，x 2
4、的系数是 （用数字作答）10 （5 分）在ABC 中，若 bcosC+csinB0，则C 11 （5 分）若曲线 （ 为参数）关于直线 （t 为参数）对称，则 a；此时原点 O 到曲线 C 上点的距离的最大值为 12 （5 分）已知向量 ，向量 为单位向量，且 1，则 2 与 2 夹角为 13 （5 分）已知函数 f（x ）4xx 3，若 x1，x 2a，b，x 1x 2 都有 2f（x 1+x2）f（2x 1）+ f（2x 2）成立，则满足条件的一个区间是 14 （5 分）设 A，B 是 R 中两个子集，对于 xR，定义：若 AB则对任意 xR，m（1n） ；若对任意 xR，m+ n1，则
5、A，B 的关系为 三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出 文字说明，演算步骤或证明过程15 （13 分）已知函数 ，且 （）求 a 的值及 f（x ）的最小正周期；（）若 f（x）在区间 0，m 上单调递增，求 m 的最大值16 （13 分）改革开放 40 年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及下图是我国 2006 年至 2016 年体育产业年增加值及年增速图其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元） ，折线图为体育产业年增长率（%） （）从 2007 年至 2016 年随机选择 1 年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多亿元以上的概率；（）从 2007 年
6、至 2016 年随机选择 3 年，设 X 是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求 X 的分布列与数学期望；（）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）17 （14 分）如图，在棱长均为 2 的三棱柱 ABCA 1B1C1 中，点 C 在平面 A1ABB1 内的射影 O 为 AB1 与 A1B 的交点， E，F 分别为 BC，A 1C1 的中点（）求证：四边形 A1ABB1 为正方形；（）求直线 EF 与平面 A1ACC1 所成角的正弦值；（）在线段 AB1 上存在一点 D，使得直线 EF 与平面 A1C
7、D 没有公共点，求 的值18 （13 分）设函数 f（x ）ax 2+（a2）xlnx 的极小值点为 x0（）若 x01，求 a 的值 f（x）的单调区间；（）若 0x 01，在曲线 yf （x）上是否存在点 P，使得点 P 位于 X 轴的下方？若存在，求出一个点 P 坐标，若不存在，说明理由19 （13 分）已知椭圆 与 x 轴交于两点 A1，A 2，与 y 轴的一个交点为 B， BA1A2 的面积为 2（）求椭圆 C 的方程及离心率；（）在 y 轴右侧且平行于 y 轴的直线 l 与椭圆交于不同的两点 P1，P 2，直线 A1P1 与直线 A2P2 交于点 P以原点 O 为圆心，以 A1B
8、为半径的圆与 x 轴交于两点 M，N（点M 在点 N 的左侧） ，求|PM |PN|的值20 （14 分）已知 LN+，数列 A：a 1，a 2，a n 中的项均为不大于 L 的正整数c k 表示a1，a 2，a n 中 k 的个数（k1，2，L） 定义变换 T，T 将数列 A 变成数列T（A）：t（a 1） ，t（a 2） ， t（a n）其中 t（k）L （）若 L4，对数列 A：1，1，2，3，3，4，写出 ci（1i4）的值；（）已知对任意的 k（k 1，2，n） ，存在 A 中的项 am，使得 amk求证：t（a i）a i（i1，2，n）的充分必要条件为 cic j（i ，j1，2
9、，L） ；（）若 ln，对于数列 A：a 1，a 2，a n，令 T（T（A）：b 1，b 2，b n，求证：bit（a i） （i1，2，n） 2019 年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的 一项1 （5 分）已知集合 Ax|2x 2+x0 ，Bx|2x +10，则 AB（ ）A B C x|x0 DR【分析】可求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可【解答】解： ；ABx|x0故选：C【点评】考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算2 （5 分）在复平 面内，若
10、复数（2i）z 对应的点在第 象限，则 z 可以为（ ）A2 B1 Ci D2+i【分析】分别取 z 为四个选项中的数逐一分析得答案【解答】解：当 z2 时， （2i）z42i ，对应的点在第四象限，不合题意；当 z1 时， （2i）z2+i ，对应的点在第二象限，符合题意；当 zi 时， （2i）z1+2 i，对应的点在第一象限，不合题意；当 z2+i 时， （2i）z5，对应的点在实轴上，不合题意故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3 （5 分）在平面直角坐标系 XOY 中，角 以 OX 为始边，终边经过点 P（1，m）（m0） ，则下
11、列各式的值一定为负的是（ ）Asin+cos Bsin cos Csin cos D【分析】由任意角的三角函数的定义结合三角函数的象限符号求解【解答】解：由已知得 r| OP| ，则 sin ，cos 0，tan m 0故一定为负值的是 D故选：D【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查三角函数的象限符号，是基础题4 （5 分）正方体被一个平面截去 一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为（ ）A等腰三角形 B直角三角形 C平行四边形 D梯形【分析】根据三视图知该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥，其截面是等腰三角形【解答】解：由三视图可得，该几何体是正方体被一个平面
12、截去一个三棱锥，且三棱锥的两条侧棱相等，截面是等腰三角形，如图所示；故选：A【点评】本题考查了利用三视图判断几何体形状的应用问题，是基础题5 （5 分）若 x，y 满足 ，则| xy| 的最大值为（ ）A0 B1 C2 D4【分析】根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，zxy 表示直线在 y 轴上的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最值即可推出结果【解答】解：x，y 满足 ，不等式组表示的平面区域如图所示，当直线 zxy 过点 A 时，z 取得最小值，0，当直线 zxy 过点，B 时，z 取得最大值，4，则|x y |的最大值为：4故选：D【点评】本题主要考查了简单的线性规划，
13、以及利用几何意义求最值，属于基础题6 （5 分）已知直线 l 过抛物线 y28x 的焦点 F，与抛物线交于 A，B 两点，与其准线交于点 C若点 F 是的 AC 中点，则线段 BC 的长为（ ）A B3 C D6【分析】由题意画出图形，利用抛物线定义结合已知求得 A 的坐标，得到直线 AF 的方程，与抛物线联立求得 B 的坐标，再由抛物线焦半径公式求解【解答】解：如图，A 在准线上的射影为 E，B 在准线上的射影为 H，由抛物线 y28x ，得焦点 F（ 2，0） ，点 F 是的 AC 中点，AE 2p8，则 AF8，A 点横坐标为 6，代入抛物线方程，可得 A（6，4 ） ， ，则 AF 所
14、在直线方程为 y 联立 ，得 3x220x+1206x B4，得 ，则 BFBH 故 BCCFBFAF BF8 故选：C【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，是中档题7 （5 分）南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异” 其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V 2，被平行于这两个平 面的任意平面截得的两个截面的面积分别为 S1，S
15、 2，则“V1，V 2 相等 ”是“S 1，S 2 总相等”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可【解答】解：由祖暅原理知，若 S1，S 2 总相等，则 V1，V 2 相等成立，即必要性成立，若 V1，V 2 相等，则只需要底面积和高相等即可，则 S1，S 2 不一定相等，即充分性不成立，即“V 1，V 2 相等”是“S 1，S 2 总相等”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合祖暅原理是解决本题的关键考查学生的推理能力8 （5 分）已知数列a n满
16、足：a 1a， ，则下列关于a n的判断正确的是（ ）Aa0，n2，使得Ba0， n2，使得 an an+1Ca 0，mN*，总有 ama nDa 0， mN*，总有 am+na n【分析】Aa 1a0， ，由 an0利用基本不等式的性质即可得出 an+1 ，即可判断出正误B由 A 可得：n2 时，a n ，即 an+1a n，即可判断出正误C令 f（x ） + （x ） ，利用导数已经其单调性，即可判断出正误D：由 a1a0， ，a 2 + ，令 + a，解得 a，即可判断出正误【解答】解：Aa 1a0， ，a n0a n+12 ，因此 A 不正确B ，由 A 可得：n2 时，a n ， 1
17、，即 an+1a n，因此B 不正确C令 f（x ） + （x ） ，则 f（x） 0，因此函数 f（x）在 ，+）上单调递增，因此不存在 mN*，总有 ama n，不正确D：由 a1a0， ，a 2 + ，令 + a，解得 a ，则an ，因此结论成立故选：D【点评】本题考查了数列递推关系、数列的通项公式及其单调性、利用导数已经函数的单调性、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9 （5 分）在 的展开式中，x 2 的系数是 60 （用数字作答）【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 0，求出 r 的值，即
18、可求得 x2的系数【解答】解：在 的展开式中，通项公式为 Tr+1 （1）r xr，令 r2，求得 x2 的系数是 60，故答案为：60【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题10 （5 分）在ABC 中，若 bcosC+csinB0，则C 【分析】直接利用正弦定理对函数的关系式进行变换，进一步求出 C 的值【解答】解：bcosC+csinB0由正弦定理知，sinBcosC+sinCsinB 0，0B，sinB0，于是 cosC+sinC0，即 tanC1，0C ，C 故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式的综合应用，
19、考查了转化思想，属于基础题11 （5 分）若曲线 （ 为参数）关于直线 （t 为参数）对称，则 a；此时原点 O 到曲线 C 上点的距离的最大值为 【分析】把曲线 C 和直线 l 换成直角坐标方程后利用圆心在直线上可得 a3，所求最大值等于原点 O 到圆心的距离加上半径 1【解答】解：曲线 C 的直角坐标方程为（ xa） 2+（y 2） 21，表示圆心为（a，2） ，半径为 1 的圆，直线 l 的直角坐标方程为： 2xy40，因为圆关于直线 2xy40 对称，所以圆心（a， 2）在直线 2xy40 上，即2a240，解得 a3，此时圆 C 的方程为（x 3） 2+（y 2） 21，原点 O 到
20、圆心（3，2）的距离为 ，所以原点 O 到圆 C 上的点的最大值为 +1故答案为：3， +1【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题12 （5 分）已知向量 ，向量 为单位向量，且 1，则 2 与 2 夹角为 60 【分析】由题意求出 的坐标，再求出 （2 ）2 的值、2 和 2 的坐标，再利用两个向量的数量积的定义求得 2 与 2 夹角【解答】解：向量 ，向量 为单位向量，且 1，设（cos ，sin ） ， cos + sin2cos（ ）1，可令 ，即 （ ， ） （2 ）2 4 2 422，2 （2，0） ，2 （1， ）设 2 与 2 夹角为 ，0，60，则cos ， 60，
21、故答案为：60【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题13 （5 分）已知函数 f（x ）4xx 3，若 x1，x 2a，b，x 1x 2 都有 2f（x 1+x2）f（2x 1）+ f（2x 2）成立，则满足条件的一个区间是 （ 0，1）（答案不唯一） 【分析】将不等式 2f（x 1+x2）f（2x 1）+ f（2x 2）转化为 f（ ），即函数 f（x ）满足在区间 a，b上是凸函数即可，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，作出函数的图象，利用数形结合进行判断求解即可【解答】解：由 2f（x 1+x2）f（2x 1）+ f（2x 2）得 f（ ），即函数 f（x）满足
22、在区间 a，b上是凸函数即可，函数的 f（x） 43x 2，由 f（x）0 得 43x 20 得 x ，此时函数 f（x）为增函数，由 f（x）0 得 43x 20 得 x 或 x ，此时函数 f（x）为减函数，即当 x 函数取得极小值，在 x 时，函数 f（x）取得极大值，由 f（x）4xx 30 得 x（4x 2）0，得 x0 或 x2 或 x2，则函数 f（x）对应的图象如图：则函数在0，2上为凸函数，x 1，x 2a，b，2x 1，2x 22a，2b ，则2a，2b 0，2，则当 a0，b1 时，满足条件，即满足条件的一个区间为（0，1）或0，1 ，故答案为：（0，1）【点评】本题考查
23、了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题14 （5 分）设 A，B 是 R 中两个子集，对于 xR，定义：若 AB则对任意 xR，m（1n） 0 ；若对任意 xR，m+ n1，则 A，B 的关系为 A RB 【分析】 由 AB由 xA 时，m 0，可得 m（1n） xA 时，必有 xB，可得mn1对任意 xR，m+ n1，则 m，n 的值一个为 0，另一个为 1，可得：xA 时，必有xB，或 xB 时，必有 xA，即可得出 A，B 的关系【解答】解：A B则 xA 时，m 0，m （1n）0xA 时，必有 xB，m
24、n1，m （1n）0综上可得：m（1n）0对任意 xR，m+ n1，则 m，n 的值一个为 0，另一个为 1，即 xA 时，必有 xB，或 xB 时，必有 xA，A，B 的关系为 A RB故答案为：0，A RB【点评】本题考查了集合之间的关系、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出 文字说明，演算步骤或证明过程15 （13 分）已知函数 ，且 （）求 a 的值及 f（x ）的最小正周期；（）若 f（x）在区间 0，m 上单调递增，求 m 的最大值【分析】 （）利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式进行化简结合三角函数的
25、周期公式进行求解即可（）求出角的范围，结合三角函数的单调性和最值关系进行求解即可【解答】解：（）由已知 ，得 ，解得 a1. 4cosx（ sinx cosx）2 sinxcosx2cos 2x sin2xcos2x12sin（2x ）1，所以 的最小正周期为 （）由（）知 当 x0，m 时， ，若 f（x）在区间 0，m上单调递增，则有 ，即 所以 m 的最大值为 【点评】本题主要考查三角函数的性质，结合两角和差的正弦公式以及辅助角公式进行化简是解决本题的关键16 （13 分）改革开放 40 年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及下图是我国 2006 年至 2016 年体育产业年
26、增加值及年增速图其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元） ，折线图为体育产业年增长率（%） （）从 2007 年至 2016 年随机选择 1 年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多亿元以上的概率；（）从 2007 年至 2016 年随机选择 3 年，设 X 是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求 X 的分布列与数学期望；（）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）【分析】 （）设 A 表示事件“从 2007 年至 2016 年随机选出 1 年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增
27、加值多 500 亿元以上” 由题意可知，2009 年，2011 年，2015 年，2016 年满足要求，由此能求出所求的概率（）由题意可知，X 的所有可能取值为 0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和期望（）从 2008 年或 2009 年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大从 2014 年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大【解答】解：（）设 A 表示事件“从 2007 年至 2016 年随机选出 1 年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多 500 亿元以上” 由题意可知，2009 年，2011 年，2015 年，2016 年满足要求，故 （4 分）
28、（）由题意可知，X 的所有可能取值为 0，1，2，3，且 ，所以 X 的分布列为：X 0 1 2 3P故 X 的期望 （10 分）（）从 2008 年或 2009 年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大从 2014 年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大（13 分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望、方差的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题17 （14 分）如图，在棱长均为 2 的三棱柱 ABCA 1B1C1 中，点 C 在平面 A1ABB1 内的射影 O 为 AB1 与 A1B 的交点， E，F 分别为 BC，A 1C1 的中
29、点（）求证：四边形 A1ABB1 为正方形；（）求直线 EF 与平面 A1ACC1 所成角的正弦值；（）在线段 AB1 上存在一点 D，使得直线 EF 与平面 A1CD 没有公共点，求 的值【分析】 （I）根据勾股定理即可证明 OAOB，从而可得对角线相等，得出结论；（II）建立空间坐标系，求出平面 A1ACC1 的法向量 ，则线 EF 与平面 A1ACC1 所成角的正弦值为|cos |；（III）设 D 点坐标为（0，y 0，0） ，求出平面 A1CD 的法向量 ，令 0 求出 y0 即可得出 的值【解答】解：（）连结 COC 在平面 A1ABB1 内的射影 O 为 AB1 与 A1B 的交
30、点，CO平面 A1ABB1COOB，OCOA，由已知三棱柱 ABCA 1B1C1 各棱长均相等，所以 ACBC，且 A1ABB1 为菱形由勾股定理得 OB ，OA ，OAOB ，即 AB1A 1B四边形 A1ABB1 为正方形（）由（）知 CO平面 A1ABB1，COOA ，COOA 1在正方形 A1ABB1 中，OA 1 OA如图建立空间直角坐标系 O xyz由题意得， 所以 设平面 A1ACC1 的法向量为 （x ，y，z） ，则 ，即令 x1，则 y1，z1，于是 （1，1，1） 又因为 ，设直线 EF 与平面 A1ACC1 所成角为 ，则 sin|cos | 所以直线 EF 与平面 A
31、1AC 所成角的正弦值为 （）直线 EF 与平面 A1CD 没有公共点，即 EF平面 A1CD设 D 点坐标为（0，y 0，0） ，D 与 O 重合时不合题意，所以 y00因为 ， 设 （x 1，y 1，z 1）为平面 A1CD 的法向量，则 ，即令 x11，则 ，z 11，于是 （1， ，1） 若 EF平面 A1CD， 又 ，所以 ，解得 此时 EF平面 A1CD，所以 ， 所以 【点评】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于中档题18 （13 分）设函数 f（x ）ax 2+（a2）xlnx 的极小值点为 x0（）若 x01，求 a 的值 f（x）的单调区间；（）若 0x 01，在曲线
32、 yf （x）上是否存在点 P，使得点 P 位于 X 轴的下方？若存在，求出一个点 P 坐标，若不存在，说明理由【分析】 （）f（x ）定义域为（0，+）.由 f（1）0，得a1当 a1 时， ，由此能求出 f（x）的单调区间和 f（x）的极小值点为 1 时 a 的值（ II） 当 0 x01 时，曲线 yf （x）上不存在点 P 位于 x 轴的下方由，根据 a0，a0 分类讨论，推导出当 0x 01 时，曲线yf（x）上所有的点均位于 x 轴的上方当 0x 01 时，曲线 yf（x）上不存在点 P位于 x 轴的下方【解答】解：（）f（x ）定义域为（0，+）.由已知，得 f（1）0，解得 a
33、1当 a1 时， ，当 0x1 时，f（x）0；当 x1 时，f （x ）0所以 f（x）的递减区间为（ 0，1） ，单调递增区间为（1，+） 所以 a1 时函数 f（x ）在 x1 处取得极小值即 f（x）的极小值点为 1 时 a 的值为 1（6 分）（ II） 当 0x 01 时，曲线 yf （x）上不存在点 P 位于 x 轴的下方，理由如下：由（ I）知 ，当 a0 时，f（x ）0，所以 f（x）在（0，+）单调递减， f（x）不存在极小值点；当 a0 时，令 ，得 当 时，f（x ）0，f（x）在区间 上单调递减；当 时，f（ x）0，f（x）在区间 上单调递增所以 是 f（ x）在
34、（0，+）上的最小值由已知，若 0x 01，则有 ，即 a1当 a1 时，lna0，且 ， 所以 当 0x 01 时，曲线 yf（x）上所有的点均位于 x 轴的上方故当 0x 01 时，曲线 yf（x）上不存在点 P 位于 x 轴的下方（13 分）【点评】本题考查函数的单调区间的求法，考查满足条件的点是否的判断与求法，考查导数性质、函数极值、单调区间等基础知识，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，是中档题19 （13 分）已知椭圆 与 x 轴交于两点 A1，A 2，与 y 轴的一个交点为 B， BA1A2 的面积为 2（）求椭圆 C 的方程及离心率；（）在 y 轴右侧且平行于 y 轴的直线
35、l 与椭圆交于不同的两点 P1，P 2，直线 A1P1 与直线 A2P2 交于点 P以原点 O 为圆心，以 A1B 为半径的圆与 x 轴交于两点 M，N（点M 在点 N 的左侧） ，求|PM |PN|的值【分析】 （）由椭圆方程知： ，从而，求出 m1由此能求出椭圆 C 的方程，从而能求出椭圆 C 的离心率（）设点 P（x P，y P） ，P 1（x 0，y 0） ，P 2（x 0，y 0） （x 00） ，A 1（2，0） ，A2（2，0） ，设 ， ，由得 从而 由A1（2，0） ，B（0，1） ，求出点 P 的轨迹为双曲线 的右支，M，N 两点恰为其焦点，A 1，A 2 为双曲线的顶点，
36、由此能求出| PM|PN|的值【解答】 （共 13 分）解：（）因为 m0，由椭圆方程知： ，所以 m1所以椭圆 C 的方程为 由 a2，b1，a 2b 2+c2，得 ，所以椭圆 C 的离心率为 （5 分）（）设点 P（x P，y P） ，P 1（x 0，y 0） ，P 2（x 0，y 0） （x 00） ，不妨设 A1（2，0） ，A 2（2，0） ，设 ， ，由 得即又 ，得 ，化简得 因为 A1（2，0） ，B（0，1） ，所以 ，即 所以点 P 的轨迹为双曲线 的右支，M，N 两点恰为其焦点，A 1，A 2 为双曲线的顶点，且| A1A2|4，所以|PM| |PN |4（13 分）【点
37、评】本题主要考查了椭圆、双曲线的简单性质，还考查了韦达定理及中点坐标公式、弦长公式，考查了方程思想、函数与方程思想及计算能力，考查了直线与椭圆、双曲线的位置关系及转化思想，属于难题20 （14 分）已知 LN+，数列 A：a 1，a 2，a n 中的项均为不大于 L 的正整数c k 表示a1，a 2，a n 中 k 的个数（k1，2，L） 定义变换 T，T 将数列 A 变成数列T（A）：t（a 1） ，t（a 2） ， t（a n）其中 t（k）L （）若 L4，对数列 A：1，1，2，3，3，4，写出 ci（1i4）的值；（）已知对任意的 k（k 1，2，n） ，存在 A 中的项 am，使得
38、 amk求证：t（a i）a i（i1，2，n）的充分必要条件为 cic j（i ，j1，2，L） ；（）若 ln，对于数列 A：a 1，a 2，a n，令 T（T（A）：b 1，b 2，b n，求证：bit（a i） （i1，2，n） 【分析】 （）由 L4，对数列 A：1，1，2，3，3，4，能写出写出 ci（1i4）的值（）由于对任意的正整数 k（1kL） ，存在 A 中的项 am，使得 amk所以c1，c 2，c L 均不为零先证必要性，再证充分性，由此能证明 t（a i）a i（i1，2，n）的充分必要条件为 cic j（i ，j1，2，L） （）设 A：a 1，a 2，a n 的所
39、有不同取值为 u1，u 2，u m，且满足：u1u 2u m设，由 Ln，根据变换 T 得到 T（T（A） ）： ， ，由此能证明 bit（a i） （i1，2，n） 【解答】 （共 14 分）解：（）L4，对数列 A：1，1，2，3，3，4，c 12，c 21，c 32，c 41（3 分）证明：（）由于对任意的正整数 k（1kL） ，存在 A 中的项 am，使得 amk所以c1，c 2，c L 均不为零必要性：若 t（a i）a i（1i n） ，由于 ， ； ； ；通过解此方程组，可得 cic j（i ，j1，2，L）成立充分性：若 ci cj（i，j1，2，L）成立，不妨设 hc ic
40、j（i，j 1，2，L） ，可以得到 hLn ； ； ； t（a i）a i（1in）成立故 t（a i）a i（i1，2，n）的充分必要条件为cic j（i，j1，2，L） （9 分）证明：（）设 A：a 1，a 2，a n 的所有不同取值为 u1，u 2，u m，且满足：u1u 2u m不妨设，其中 ； ； 又Ln，根据变换 T 有： ；T（A）： ， ，即 T（A）：， ， ，T（T（A） ）： ， ，r 1r 1+r2r 1+r2+rm，t（r 1）r 1， t（r 1+r2）r 1+r2，t （r 1+r2+rm）L ，即 T（T（A） ）： ， ，从而 bit（a i） （i1，2，n） 故 bit（a i） （i1，2，n） （14 分）【点评】本题考查数列的求法，考查充要条件的证明，考查数列等式的证明，考查数性质性质、充要条件等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题