1、2019 年北京市房山区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 （5 分）已知集合 Ax| x24，B0，1 ，则（ ）AAB BABA CABB DA B2 （5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入 a1，b2，则输出的 a 值为（ ）A7 B8 C12 D163 （5 分）在极坐标系中，圆 2cos 的圆心坐标为（ ）A （1， ） B （1， ） C （0，1） D （1，0）4 （5 分）已知 为单位向量，且 的夹角为 ， ，则 （ ）A2 B1 C D5 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，正视
2、图与侧视图是两个全等的等腰直角三角形，直角边长为 1，俯视图是正方形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是（ ）A B C D16 （5 分）设 a 为实数，则“ ”是“ ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件7 （5 分）已知函数 f（x ）2 x（x 0）与 g（x）ln （x+a）的图象上存在关于 y 轴对称的点，则 a 的取值范围是（ ）A （，2） B （，e） C （2，e） D （e ，+ ）8 （5 分） 九章算术中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长 1 尺蒲生日自半，莞生日自倍问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高
3、3 尺，莞第一天长高 1 尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的 2 倍若蒲、莞长度相等，则所需时间为（ ）（结果精确到 0.1参考数据：lg 20.3010，lg 30.4771 ）A2.2 天 B2.4 天 C2.6 天 D2.8 天二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9 （5 分）复数 ，其中 i 是虚数单位，则复数 z 的虚部为 10 （5 分）若 x，y 满足 则 x+2y 的最大值为 11 （5 分）在ABC 中，已知 BC6，AC 4， ，则B 12 （5 分）已知点 A（2，0） ，B（0，2） ，若点 P 在圆（x3） 2+（y+1） 22 上运动
4、，则ABP 面积的最小值为 13 （5 分）函数 yf（x） ，x1 ，+） ，数列a n满足 ，函数 f（x）是增函数；数列 an是递增数列写出一个满足的函数 f（x ）的解析式 写出一个满足但不满足的函数 f（x）的解析式 14 （5 分）已知曲线 F（x ，y ）0 关于 x 轴、y 轴和直线 yx 均对称设集合 S（x，y）|F（x ， y）0，x Z，yZ下列命题：若（ 1，2） S，则（2，1） S；若（ 0，2） S，则 S 中至少有 4 个元素；S 中元素的个数一定为偶数；若（x，y） |y24x ，x Z，y ZS，则 （x ，y）|x 24y，xZ ，y ZS其中正确命题的
5、序号为 （写出所有正确命题的序号）三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 （14 分）已知函数 （）求 f（0）的值；（）求函数 f（x ）的定义域；（）求函数 f（x ）在 上的取值范围16 （13 分）苹果是人们日常生活中常见的营养型水果某地水果批发市场销售来自 5 个不同产地的富士苹果，各产地的包装规格相同，它们的批发价格（元/箱）和市场份额如下：产地 A B C D E批发价格 150 160 140 155 170市场份额 15% 10% 25% 20% 30%市场份额亦称“市场占有率” 指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重（）从该地批发
6、市场销售的富士苹果中随机抽取一箱，估计该箱苹果价格低于 160 元的概率；（）按市场份额进行分层抽样，随机抽取 20 箱富士苹果进行检验，从产地 A，B 共抽取 n 箱，求 n 的值；从这 n 箱中随机抽取三箱进行等级检验，随机变量 X 表示来自产地 B 的箱数，求 X的分布列和数学期望（）产地 F 的富士苹果明年将进入该地市场，定价 160 元/箱，并占有一定市场份额，原有五个产地的苹果价格不变，所占市场份额之比不变（不考虑其他因素） 设今年苹果的平均批发价为每箱 M1 元，明年苹果的平均批发价为每箱 M2 元，比较 M1，M 2 的大小 （只需写出结论）17 （14 分）如图 1，在矩形
7、ABCD 中，AB4，AD2，E，F ，O 分别为 DC，AE，BC的中点以 AE 为折痕把ADE 折起，使点 D 到达点 P 的位置，且平面 PAE平面ABCE（如图 2） （）求证：BC平面 POF；（）求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值；（）在线段 PE 上是否存在点 M，使得 AM平面 PBC？若存在，求 的值；若不存在，说明理由18 （13 分）已知椭圆 的离心率为 ，左顶点为 A，右焦点为 F，且|AF |3（）求椭圆的方程；（）过点 F 做互相垂直的两条直线 l1，l 2 分别交直线 l：x4 于 M，N 两点，直线AM，AN 分别交椭圆于 P，Q 两点，求证：P，F
8、，Q 三点共线19 （13 分）已知函数 （）当 m0 时，求曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程；（）若函数 f（x ）的图象在 x 轴的上方，求 m 的取值范围20 （13 分）若数列a n满足： ，且 a11，则称a n为一个 X 数列对于一个 X 数列a n，若数列b n满足：b 11，且，则称b n为a n的伴随数列（）若 X 数列a n中 a21，a 30，a 41，写出其伴随数列 bn中 b2，b 3，b 4 的值；（）若a n为一个 X 数列，b n为a n的伴随数列证明： “an为常数列”是“ bn为等比数列”的充要条件；求 b2019 的最大值2019 年北京市房山区高考
9、数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 （5 分）已知集合 Ax| x24，B0，1 ，则（ ）AAB BABA CABB DA B【分析】求出集合 A，B，由此能求出 ABB【解答】解：集合 Ax| x24x|2x2，B0 ， 1，ABB故选：C【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2 （5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入 a1，b2，则输出的 a 值为（ ）A7 B8 C12 D16【分析】根据程序框图，进行模拟运算即可【解答】解：
10、若 a1，b2，则 a6 否，a2，a6 否，a4，a6 否，a8，a6 是，输出 a8，故选：B【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，利用模拟运算法是解决本题的关键比较基础3 （5 分）在极坐标系中，圆 2cos 的圆心坐标为（ ）A （1， ） B （1， ） C （0，1） D （1，0）【分析】先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用 cosx，siny， 2x 2+y2，将极坐标方程转化为直角坐标方程，求出坐标即可【解答】解：圆 2cos 的直角坐标方程为：x 2+y22x0，其圆心（1，0） ，点（1，0）的极坐标为（1，0） ，故选：D【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化
11、，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化属于基础题4 （5 分）已知 为单位向量，且 的夹角为 ， ，则 （ ）A2 B1 C D【分析】直接利用向量的数量积的运算法则化简求解即可【解答】解： 为单位向量，且 的夹角为 ， ，可得| | |cos 1，解得 2故选：A【点评】本题考查平面向量的数量积的应用，是基本知识的考查5 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，正视图与侧视图是两个全等的等腰直角三角形，直角边长为 1，俯视图是正方形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是（ ）A B C D1【分析】画出几何体的直观图，
12、利用三视图的数据，求解该三棱锥的四个面的面积中最大面积即可【解答】解：该多面体为一个三棱锥 DABC ，是正方体的一部分，如图 1 所示，其中 3 个面是直角三角形，1 个面是等边三角形，S BCD ，S BAD S ACD ，SBCA 所以该三棱锥的四个面的面积中最大的是： 故选：C【点评】本题考查的知识点是棱锥的表面积和体积，简单几何体的三视图，难度中档6 （5 分）设 a 为实数，则“ ”是“ ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】结合不等式的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若 ，则 a0，即 成立，当 a
13、0 时，满足 但 不成立，即“ ”是“ ”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键7 （5 分）已知函数 f（x ）2 x（x 0）与 g（x）ln （x+a）的图象上存在关于 y 轴对称的点，则 a 的取值范围是（ ）A （，2） B （，e） C （2，e） D （e ，+ ）【分析】在同一直角坐标系中作出函数 f（x ）2 x（x 0）与 g（x）ln（x+a）的图象，观察图象得出结论【解答】解：在同一直角坐标系中作出函数 f（x ）2 x（x0）与 g（x）ln（x+a）的图象，当 g（x）lnx 向左平移 a（a0）个单
14、位长度，恰好过（0，1）时，就不存在关于 y轴对称的点，所以 0ae，当 g（x）lnx 向右平移 a（a0）个单位长度，总存在关于 y 轴对称的点，当 a0 时，显然也满足题意，所以 ae，故选：B【点评】本题考查函数图象上点的对称问题，数形结合是解题的切入点，属于中档题目8 （5 分） 九章算术中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长 1 尺蒲生日自半，莞生日自倍问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高 3 尺，莞第一天长高 1 尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的 2 倍若蒲、莞长度相等，则所需时间为（ ）（结果精确到 0.1参考数据：lg 20.3010，lg 3
15、0.4771 ）A2.2 天 B2.4 天 C2.6 天 D2.8 天【分析】设蒲的长度组成等比数列a n，其 a13，公比为 ，其前 n 项和为 An莞的长度组成等比数列b n，其 b11，公比为 2，其前 n 项和为 Bn利用等比数列的前 n项和公式及其对数的运算性质即可得出 【解答】解：设蒲的长度组成等比数列a n，其 a13，公比为 ，其前 n 项和为 An莞的长度组成等比数列b n，其 b11，公比为 2，其前 n 项和为 Bn则 An ，B n ，由题意可得： ，化为：2 n+ 7，解得 2n6，2 n1（舍去） n 1+ 2.6估计 2.6 日蒲、莞长度相等，故选：C【点评】本题
16、考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9 （5 分）复数 ，其中 i 是虚数单位，则复数 z 的虚部为 1 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解： ，复数 z 的虚部为1故答案为：1【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题10 （5 分）若 x，y 满足 则 x+2y 的最大值为 10 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由 x，y 满足 作出可行域如图，联立
17、 ，可得 A（2，4） ，化目标函数 zx+2y 为 y + ，由图可知，当直线 y + 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为2+2410故答案为：10【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题11 （5 分）在ABC 中，已知 BC6，AC 4， ，则B 【分析】由已知利用正弦定理可求 sinB 的值，结合大边对大角，特殊角的三角函数值可求 B 的值【解答】解：BC6，AC4， ，由正弦定理 ，可得：sinB ，ACBC，可得：B 为锐角，可得：B 故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，属
18、于基础题12 （5 分）已知点 A（2，0） ，B（0，2） ，若点 P 在圆（x3） 2+（y+1） 22 上运动，则ABP 面积的最小值为 4 【分析】先求出 AB 的方程，求出圆心 C 到直线 AB 的距离，用此距离减去半径乘以，即为所求【解答】解：点 A（2，0） ，B（0，2） ，若点 P 在圆（x3） 2+（y+1） 22 上运动，AB 的直线方程为 + 1，即 xy+20圆心 C（3，1）到直线 AB 的距离为 d 3 ，则ABP 面积的最小值为 |AB|（d ） 2 2 4，故答案为：4【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题13 （5 分）
19、函数 yf（x） ，x1 ，+） ，数列a n满足 ，函数 f（x）是增函数；数列 an是递增数列写出一个满足的函数 f（x ）的解析式 f （x）x 2 写出一个满足但不满足的函数 f（x）的解析式 【分析】本题第一个填空很简单，可用到常用的函数 f（x）x 2；第二个填空要考虑到函数和对应的数列增减性不同去思考【解答】解：由题意，可知：在 x1，+ ）这个区间上是增函数的函数有许多，可写为：f（x）x 2第二个填空是找一个数列是递增数列，而对应的函数不是增函数，可写为：则这个函数在1， 上单调递减，在 ，+）上单调递增， 在1，+）上不是增函数，不满足而对应的数列为： 在 nN*上越来越大
20、，属递增数列故答案为：f（x ）x 2； 【点评】本题主要考查对常用函数的增减性的熟悉以及函数和数列对应的增减性的一点区别，本题属中档题14 （5 分）已知曲线 F（x ，y ）0 关于 x 轴、y 轴和直线 yx 均对称设集合 S（x，y）|F（x ， y）0，x Z，yZ下列命题：若（ 1，2） S，则（2，1） S；若（ 0，2） S，则 S 中至少有 4 个元素；S 中元素的个数一定为偶数；若（x，y） |y24x ，x Z，y ZS，则 （x ，y）|x 24y，xZ ，y ZS其中正确命题的序号为 （写出所有正确命题的序号）【分析】结合曲线 F（x ，y ） 0 关于 x 轴、y
21、轴和直线 yx 均对称，利用对称性分别进行判断即可【解答】解：若（1，2） S，则（1，2）关于 yx 对称的点（2，1）S，关于 x 轴对称的点（2，1）S，关于 y 轴对称的点（2，1）S；故 正确，若（ 0，2） S，关于 x 轴对称的点（ 0，2） S，关于 yx 对称的点（2，0）S， （2，0）S，此时 S 中至少有 4 个元素；故正确，若（ 0，0） S，则（0，0）关于 x 轴，y 轴，yx 对称的点是自身，此时 S 中元素的个数为奇数个，故错误；若（x，y） |y24x ，x Z，y ZS，则 （x ，y）|y 24x，xZ ，y Z关于 y 对称的集合为（x，y）|y 24
22、x，x Z，yZ S，（x，y）|y 24x，xZ，yZ S，关于 yx 对称的集合（x，y）|x2 4y，xZ，yZS，成立，故正确，故正确的命题是故答案为：【点评】本题主要考查命题的真假判断，结合图象的对称性分别进行验证是解决本题的关键三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 （14 分）已知函数 （）求 f（0）的值；（）求函数 f（x ）的定义域；（）求函数 f（x ）在 上的取值范围【分析】 （）直接在函数解析式中取 x0 求解；（）由分式函数的分母不为 0 即可求得函数定义域；（）把已知函数解析式变形，再由 x 的范围求得相位的范围，则函数值域
23、可求【解答】解：（） ；（）由 cosx0，得 函数的定义域是 ；（） ，即 ， ， ，得 1 函数 f（x）在 上的取值范围为（1，2 【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数中的恒等变换应用，考查yAsin（ x+）型函数的图象和性质，是中档题16 （13 分）苹果是人们日常生活中常见的营养型水果某地水果批发市场销售来自 5 个不同产地的富士苹果，各产地的包装规格相同，它们的批发价格（元/箱）和市场份额如下：产地 A B C D E批发价格 150 160 140 155 170市场份额 15% 10% 25% 20% 30%市场份额亦称“市场占有率” 指某一产品的销售量在市场同类
24、产品中所占比重（）从该地批发市场销售的富士苹果中随机抽取一箱，估计该箱苹果价格低于 160 元的概率；（）按市场份额进行分层抽样，随机抽取 20 箱富士苹果进行检验，从产地 A，B 共抽取 n 箱，求 n 的值；从这 n 箱中随机抽取三箱进行等级检验，随机变量 X 表示来自产地 B 的箱数，求 X的分布列和数学期望（）产地 F 的富士苹果明年将进入该地市场，定价 160 元/箱，并占有一定市场份额，原有五个产地的苹果价格不变，所占市场份额之比不变（不考虑其他因素） 设今年苹果的平均批发价为每箱 M1 元，明年苹果的平均批发价为每箱 M2 元，比较 M1，M 2 的大小 （只需写出结论）【分析】
25、 （）设事件 A：“从该地批发市场销售的富士苹果中随机抽取一箱，该箱苹果价格低于 160 元” 利用互斥事件的概率的和求解即可（） （1）A 地抽取 2015%3； B 地抽取 2010% 2，推出 n 的值（2）X 的可能取值 0，1，2，求出概率，得到 X 的分布列，然后求解期望（）利用已知条件判断 M1，M 2 的大小【解答】 （本小题 13 分）（）设事件 A：“从该地批发市场销售的富士苹果中随机抽取一箱，该箱苹果价格低于 160 元” 由题意可得：P（A）0.15+0.25+0.20 0.6 （3 分）（） （1）A 地抽取 2015%3； B 地抽取 2010%2所以 n3+25（
26、5 分）（2）X 的可能取值 0，1，2 ，（8 分）所以 X 的分布列为X 0 1 2P（10 分）（）M 1M 2（13 分）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力17 （14 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，AB4，AD2，E，F ，O 分别为 DC，AE，BC的中点以 AE 为折痕把ADE 折起，使点 D 到达点 P 的位置，且平面 PAE平面ABCE（如图 2） （）求证：BC平面 POF；（）求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值；（）在线段 PE 上是否存在点 M，使得 AM平面 PBC？若存在，求 的值；若不存在，说明理由【分析
27、】 （I）证明 PF平面 ABCE 可得 PFBC，结合 BCOF 可得 BC平面 POF；（II）建立空间坐标系，计算平面 PBC 的法向量 ，通过计算法向量与 的夹角得出线面角的正弦值；（III）设设 ，令 0，计算 的值得出结论【解答】证明：（）在矩形 ABCD 中，AB4，AD2，E 是 CD 中点，所以 DADE 即 PAPE，又 F 为 AE 的中点，所以 PFAE ，又 平面 PAE平面 ABCE，平面 PAE平面 ABCEAE，PF平面 PAE，所以 PF平面 ABCE，BC平面 ABCE，所以 PFBC，由 F，O 分别为 AE，BC 的中点，易知 FOAB，所以 OFBC，
28、所以 BC平面 POF，（）：过点 O 做平面 ABCE 的垂线 OZ，以 O 为原点，分别以 OF，OB，OZ 为 x，y，z 轴建立坐标系 Oxyz则 ， ，设平面 PBC 的法向量为 ，由 得 ，令 z3 得 ，所以 直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值 ，（）在线段 PE 上不存在点 M，使得 AM平面 PBC证明如下：点 M 在线段 PE 上，设 则 ， + （1，1， （1） ） ，若 AM平面 PBC，则 ，由 得 ，解得 2 0，1所以 在线段 PE 上不存在点 M，使得 AM平面 PBC【点评】本题考查了线面垂直的判定，空间向量与空间角的计算，属于中档题18 （13 分
29、）已知椭圆 的离心率为 ，左顶点为 A，右焦点为 F，且|AF |3（）求椭圆的方程；（）过点 F 做互相垂直的两条直线 l1，l 2 分别交直线 l：x4 于 M，N 两点，直线AM，AN 分别交椭圆于 P，Q 两点，求证：P，F ，Q 三点共线【分析】 （）根据离心率和|AF |3，可得 a2，c1，从而求出椭圆的方程；（）联立直线和椭圆的方程，表示出 P，Q 坐标，求出直线 PF，QF 的斜率，判断即可【解答】解：（）设椭圆的半焦距为 c，依题意： ，解得：a2，c1所以 b2a 2c 23，所以椭圆的方程是 （）证明：由题意可知，直线 l1，l 2 的斜率均存在且不为 0，A （2，0
30、）F（1，0）设 l1，l 2 的斜率分别为 k1，k 2，则 k1k21则直线 l1 的方程为 yk 1（x1） ，则 M 点坐标为（4，3 k1） ， ，设直线AM 的方程为 ，由 得：因为 x2 是方程的根，所以 ， 同理可得 当 ，即 时，可得又 F 的坐标为 F（1，0）所以 P，F，Q 三点共线；当 ，即 ， 时，所以 kQFk PF 所以 P，F，Q 三点共线，综上所述 P，F，Q 三点共线【点评】本题考查了求椭圆方程问题，考查直线和椭圆的关系，考查直线的斜率问题，是一道综合题19 （13 分）已知函数 （）当 m0 时，求曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程；（）若函数 f（
31、x ）的图象在 x 轴的上方，求 m 的取值范围【分析】 （）求得 m0 的 f（x）解析式和导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；（） “函数 f（x ）的图象在 x 轴的上方” ，等价于“x0 时，f（x）0 恒成立” 求得f（x）的导数，讨论 m 的范围，讨论单调性，可得最小值，解不等式，可得所求范围【解答】解：（）当 m0 时，f（x）xlnx ，f（x）lnx1，所以 f（1）0，f（1）1，所以曲线 yf（ x）在 x1 处的切线方程是 yx +1；（） “函数 f（x ）的图象在 x 轴的上方” ，等价于“x0 时，f（x）0 恒成立” 由 得 f（x ）（2mx
32、 1）lnx+2mx 1（2mx1）（lnx+1） ，当 m0 时，因为 ，不合题意；当 0 m1 时，令 f（x）0 得 显然 ；令 f（x）0 得 或 ；令 f（x）0 得 ，所以函数 f（x）的单调递增区间是 ，单调递减区间是，当 时，mx 2x0，lnx0，所以 ，只需 ，所以 ，所以 【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性，考查分类讨论思想方法和转化思想，考查化简运算能力，属于中档题20 （13 分）若数列a n满足： ，且 a11，则称a n为一个 X 数列对于一个 X 数列a n，若数列b n满足：b 11，且，则称b n为a n的伴随数列（）若 X 数列a n中 a21
33、，a 30，a 41，写出其伴随数列 bn中 b2，b 3，b 4 的值；（）若a n为一个 X 数列，b n为a n的伴随数列证明： “an为常数列”是“ bn为等比数列”的充要条件；求 b2019 的最大值【分析】 （）直接由已知与数列递推式求 b2，b 3，b 4 的值；（） 充分性，由 X 数列 an为常数列，推出 ；必要性，利用反证法证明；当 an1，a n+11 时， 当 an1，a n+1 0 时，b n+1b n当an0，a n+11 时， 当 an0，a n+10 时，b n+10由此可得，或 ，或 0，又由题意可知 bn0，得到 证得当数列 时，求得 b2019 的最大值为
34、 【解答】 （）解： ， ，；（） 证明：充分性：若 X 数列 an为常数列，a 11， ， ，又b 110，其伴随数列b n是以 1 为首项，以 为公比的等比数列；必要性：（方法一）假设数列b n为等比数列，而数列a n不为常数列，数列a n中存在等于 0 的项，设第一个等于 0 的项为 ak，其中 k1，k N*， ，得等比数列b n的公比 又 ，得等比数列b n的公比 ，与 q1 矛盾假设不成立当数列b n为等比数列时，数列a n为常数列综上“a n为常数列”是“b n为等比数列”的充要条件；解：当 an 1，a n+11 时， 当 an1，a n+10 时，b n+1b n当 an0，a n+11 时， 当 an0，a n+10 时，b n+10综上 ，或 ，或 0，又由题意可知 bn0， 当数列 时， b2019 的最大值为 【点评】本题考查数列递推式，考查充分必要条件的判定，考查逻辑思维能力与推理运算能力，考查分类讨论的数学思想方法，属难题